2022-2023学年广东省肇庆市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2022-2023学年广东省肇庆市高二（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.A52+C32=( )
A. 13B. 16C. 23D. 26
2.以下求导正确的是( )
A. (lg2x)′=1xln2B. (csx)′=sinxC. (ln3)′=13D. (3x)′=x⋅3x−1
3.(x+2x2)5的展开式中x2的系数为( )
A. 10B. 20C. 40D. 80
4.近年来，农村电商借助互联网，使特色农副产品走向全国，送到世界各地，打破农副产品有“供”无“销”的局面，助力百姓增收致富.已知某农村电商每月直播带货销售收入y(单位：万元)与月份x(x=1,2,⋯,12)具有线性相关关系，根据2023年前5个月的直播销售数据，得到经验回归方程为y =0.8x+9.3，则下列结论正确的是( )
A. 相关系数r=0.8，销售收入y与月份x的相关性较强
B. 经验回归直线y =0.8x+9.3过点(3,11.7)
C. 根据经验回归方程可得第6个月的销售收入为14.1万元
D. 关于两个变量x，y所表示的成对数据构成的点都在直线y =0.8x+9.3上
5.有5名学生报名参加宣传、环境治理、卫生劝导、秩序维护4个项目的志愿者，每位学生限报1个项目，每个项目至少安排1名志愿者，且学生甲只能参加卫生劝导和秩序维护中的一个项目，则不同的分配方案共有( )
A. 80种B. 100种C. 120种D. 140种
6.某次数学测验共有10道单选题(四个选项中只有一项是正确的)，某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为X，且X服从二项分布B(10,14)，则以下说法错误的是( )
A. E(X)=52B. D(X)=158C. E(2X+1)=6D. P(X=1)=34
7.若a=1e，b=ln 2，c=ln55，则( )
A. a>c>bB. a>b>cC. c>b>aD. c>a>b
8.已知函数f(x)=2−x2,−2≤x≤01+lnx,0A. 2+e−3B. 4+e−3C. 2−e−3D. 4−e−3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若(x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，则( )
A. a0=1B. a0+a1+⋯+a10=−1
C. a0−a1+a2−a3+⋯+a10=210D. a0+a2+a4+⋯+a10=−29
10.袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.记“第一次摸出蓝球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件B，则下列说法正确的是( )
A. P(A)=35B. P(AB)=625
C. P(B|A)=12D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为13
11.已知某大型社区的居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，X服从正态分布N(5,σ2)，若P(X<4.5)=p，则( )
A. P(X>5)=12
B. P(4.5C. σ越小，每周运动总时间在(4.5,5.5)内的概率越大
D. 若p=310，则从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在(4.5,5.5)内的概率为36125
12.已知函数f(x)=−3x4+6x2−1，f′(x)是f(x)的导函数，且f′(a)=f′(b)=f′(c)，其中aA. f(x)的所有极值点之和为0B. f(x)的极大值点之积为2
C. ab+ac+bc=−1D. abc的取值范围是(−32 3,32 3)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)=74，则P(X≤2)=______.
14.已知多项选择题的四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.若某题的正确答案是ACD，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为______.
15.“白日依山尽，黄河入海流”是唐代诗人王之涣形容美景的一首诗词.某数学爱好者用两个函数图象描绘了这两句诗词：f(x)=|3sinx|+sinx，x∈[0,2π]的图象犹如两座高低不一的大山，太阳从两山之间落下(如图1)，g(x)=12sin2x,x∈[0,2π]的图象如滚滚波涛，奔腾入海流(如图2).若存在一点x0≠π，使f(x)在(x0,f(x0))处的切线与g(x)在(x0,g(x0))处的切线平行，则csx0的值为______.
16.已知函数g(x)=|lnx|−2a的两个零点分别为x1和x2，且x1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数.
(1)这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？(结果用数值表示)
(2)要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？(结果用数值表示)
18.(本小题12分)
甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛(不考虑平局)，比赛采用“五局三胜”制，先赢得三局的人获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率为23，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲以3：1获胜的概率；
(2)若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及数学期望E(X).
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−32x2−6x+1.
(1)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1(2)设x∈[−2,3]，求f(x)的最值.
20.(本小题12分)
为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展.该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力.现得到一组在该技术研发投入x(单位：亿元)与收益y(单位：亿元)的数据如表所示：
(1)已知可用一元线性回归模型y =b x+a 模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程；(附：对于一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(xn,yn)，其经验回归直线y =b x+a 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b =i=1nxiyi−nx−y−i=1n(xi−x−)2，a =y−−b x−，i=18xiyi=9138，i=18(xi−x−)2=634，结果保留两位小数)
(2)该企业主要生产I、II类产品，现随机抽取I类产品2件、II类产品1件进行质量检验，已知I类、II类产品独立检验为合格品的概率分别为34，23，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率.
21.(本小题12分)
为充分了解广大业主对小区物业服务的满意程度及需求，进一步提升物业服务质量，现对小区物业开展业主满意度调查，从小区中选出100名业主，对安保服务和维修服务的评价进行统计，数据如表.
(1)完成下面的2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验判断业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度是否有关联；
(2)现从对物业服务不满意的业主中抽取6人，其中对维修服务不满意的有4人，然后从这6人中随机抽取3人，记这3人中“对安保服务不满意”的人数为X，求X的分布列及数学期望.
附：①χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
②临界值表
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=axex−lnx−x−1.
(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)≥0恒成立，证明：a≥1.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A52+C32=5×4+3×22×1=23.
故选：C.
根据排列组合数的运算求解．
本题主要考查组合数、排列数公式，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对于A，(lg2x)′=1xln2，A正确；
对于B，(csx)′=−sinx，B错误；
对于C，(ln3)′=0，C错误；
对于D，(3x)′=3xln3，D错误．
故选：A.
利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：通项公式为Tk+1=C5kx5−k⋅(2x2)k=2kC5k⋅x5−3k，
令5−3k=2，得k=1，
所以展开式中x2的系数为2×C51=10.
故选：A.
根据通项公式可求出结果．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：对于A：由回归方程为y =0.8x+9.3得回归系数为0.8，不是相关系数，故A错；
对于B：由前5个月的直播销售数据得到经验回归方程，故x−=1+2+3+4+55=3，
∴y−=3×0.8+9.3=11.7，故过点(3,11.7)，故B正确；
对于C：根据经验回归方程可得第6个月的销售收入的预测值为14.1万元，并不是实际值，故C错误；
对于D：并不是所有关于两个变量x，y所表示的成对数据构成的点都在直线y =0.8x+9.3上，故D错误；
故选：B.
根据经验回归方程的性质和定义，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查线性回归方程，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：将5个元素分成4组，有C52=10种，再安排含甲的一组，有C21=2种，
再安排其余3组，有A33=6种，
所以不同的分配方案共有10×2×6=120种．
故选：C.
采用先分后排的方法可求出结果．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为X∼B(10,14)，所以E(X)=10×14=52，故A正确；
D(X)=10×14×(1−14)=158，故B正确；
E(2X+1)=2E(X)+1=2×52+1=6，故C正确；
P(X=1)=C101⋅14⋅(1−14)9=52×3949≠34，故D错误．
故选：D.
根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：a=lnee,b=ln22=ln44，
设f(x)=lnxx(x>0)，则f′(x)=1−lnxx2，
当00，f(x)单调递增，
当x>e时，则f′(x)<0，f(x)单调递减，
∴f(e)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
故选：B.
由a=lnee,b=ln22=ln44，可构造函数f(x)=lnxx，再求导判断单调性，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对数值大小的比较，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：作出y=f(x)，y=m+1的图象如下，
由图象可知，当−2≤m+1≤2，即−3≤m≤1时，函数y=f(x)，y=m+1有2个交点，
即函数g(x)=f(x)−m−1恰有两个不同的零点，
因为x1则x12+x2=em−m+1，
构造函数h(x)=ex−x+1，(−3≤x≤1)，h′(x)=ex−1，(−3≤x≤1)，
令h′(x)>0解得，0所以h(x)在[−3,0)单调递减，(0,1]单调递增，
所以h(x)min=h(0)=2,h(x)max=max{h(−3),h(1)}=e−3+4，
所以函数h(x)=ex−x+1，(−3≤x≤1)的最大值和最小值之差为2+e−3，
所以x12+x2的最大值和最小值的差是2+e−3.
故选：A.
作出y=f(x)，y=m+1的图象，数形结合可得m的取值范围，将x12,x2用m表示，构造函数h(x)=ex−x+1，(−3≤x≤1)，利用导函数讨论单调性求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：(x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，
当x=0时，得(−1)10=a0，即a0=1，故A正确；
当x=1时，得(1−1)10=a0+a1+a2+⋯+a10，
即a0+a1+⋯+a10=0，故B错误；
当x=−1时，得(−1−1)10=a0−a1+a2−a3⋯+a10，
故a0−a1+a2−a3+⋯+a10=210，即C正确；
a0+a2+a4+⋯+a10=(a0+a1+⋯+a10)+(a0−a1+a2−a3+⋯+a10)2=0+2102=29，故D错误．
故选：AC.
根据已知条件，结合赋值法，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，则P(A)=35，故A正确；
对于B，P(AB)=35×24=310，故B不正确；
对于C，由A、B的结论，所以P(B|A)=P(AB)P(A)=31035=12，故C正确；
对于D，第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为35×24=310，
第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为25×34=310，
所以摸球两次，恰有一个是红球为事件310+310=35，故D不正确．
故选：AC.
根据题意，根据古典概型概率公式分析A，相互独立事件的概率分析B，由条件概率的计算公式分析C，由互斥事件的概率公式分析D，综合可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及互斥事件、相互独立事件的性质，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A选项，因为X∼N(5,σ2)，则P(X>5)=12，A对；
对于B选项，因为P(X<4.5)=p，则P(4.5对于C选项，σ越小，每周运动总时间在(4.5,5.5)内的概率越大，C对；
对于D选项，若p=310，P(4.5所以，从该社区中随机抽取3名居民，恰好有2名居民每周运动总时间在(4.5,5.5)内的概率为C32⋅(25)2⋅35=36125，D对．
故选：ACD.
利用正态密度曲线的对称性可判断AB选项；利用σ与正态密度曲线的关系可判断C选项；利用独立重复试验的概率公式可判断D选项．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：f(x)=−3x4+6x2−1，
f′(x)=−12x3+12x=−12x(x2−1)，
令f′(x)=0得x=0或−1或1，
所以在(−∞,−1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(−1,0)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(0,1)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
在(1,+∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)的极大值点为−1，1，极小值点为0，
对于A：f(x)的极值点和为−1+1+0=0，故A正确；
对于B：f(x)的极大值点之积为−1×1=−1，故B错误；
对于C：根据题意，不妨设f′(a)=f′(b)=f′(c)=t，
所以y=f′(x)与y=t有三个交点，且交点的横坐标为a，b，c，
所以f′(x)−t=0有三个根a，b，c，
所以−12x3+12x−t=−12(x−a)(x−b)(x−c)，
所以−12x3+12x−t=−12(x−a)(x−b)(x−c)，
所以−12x3+12x−t=−12x3+12(a+b+c)x2−12(bc+ac+ab)x+12abc，①
所以12=−12(bc+ac+ab)，
所以bc+ac+ab=−1，故C正确；
对于D：由①得12abc=−t，即abc=−t12，
由上可知f′(x)=−12x3+12x，
令g(x)=−12x3+12x，
g′(x)=−36x2+12，
令g′(x)=0，得x=± 33，
所以在(−∞,− 33)上g′(x)<0，g(x)单调递减，f′(x)单调递减，
在(− 33, 33)上g′(x)>0，g(x)单调递增，f′(x)单调递增，
在( 33,+∞)上g′(x)<0，g(x)单调递减，f′(x)单调递减，
所以f′(x)极小值=f′(− 33)=−12(− 33)3+12(− 33)=−8 33，
f′(x)极大值=f′( 33)=−12( 33)3+12(− 33)=8 33，
所以−8 33所以−2 39<−t12<2 39，
所以−2 39故选：AC.
求导分析f(x)的单调性和极值点，即可判断A，B是否正确；根据题意，不妨设f′(a)=f′(b)=f′(c)=t，则f′(x)−t=0有三个根a，b，c，即−12x3+12x−t=−12(x−a)(x−b)(x−c)，进而可得bc+ac+ab=−1，abc=−t12，即可判断C，D是否正确．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
13.【答案】34
【解析】解：由分布列的性质和期望公式可得m+n+14=1E(X)=m+2×14+3n=74，
解得m=12n=14，
因此，P(X≤2)=12+14=34.
故答案为：34.
利用分布列的性质结合期望公式可得出关于m、n的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得P(X≤2)的值．
本题考查分布列的性质，属于基础题．
14.【答案】67
【解析】解：设事件A：“小明得分”，事件B：“小明拿到2分”，
小明只选一个选项有C41=4种选法，
小明只选两个选项有C42=6种选法，
小明只选三个选项有C43=4种选法，
小明选四个选项有C44=1种选法，
事件A：“小明得分”包含C31+C32+C33=7个基本事件，
事件B：“小明拿到2分”包含C31+C32=6个基本事件，
所以P(B|A)=67，
故答案为：67.
利用条件概率直接求解．
本题主要考查了条件概率公式，属于基础题．
15.【答案】2− 62或−1+ 32
【解析】解：由题可知f(x)=4sinx,x∈[0,π]−2sinx,x∈(π,2π],
f′(x)=4csx,x∈[0,π]−2csx,x∈(π,2π],
g′(x)=cs2x，x∈[0,2π]，
当x0∈[0,π)时，由题意得，f′(x0)=g′(x0)，
所以4csx0=cs2x0，即2cs2x0−4csx0−1=0，
解得csx0=4±2 64，即csx0=2+ 62(舍)或csx0=2− 62，
当x0∈(π,2π]时，由题意得，f′(x0)=g′(x0)，
所以−2csx0=cs2x0，即2cs2x0+2csx0−1=0，
解得csx0=−2±2 34，即csx0=−1− 32(舍)或csx0=−1+ 32，
故答案为：2− 62或−1+ 32.
将函数f(x)表示为分段函数的形式，根据切线的平行和导函数的关系列出三角等式，利用余弦的二倍角公式求解．
本题考查利用导数求函数的切线，方程思想，化归转化思想，属中档题．
16.【答案】2e
【解析】解：当01，时lnx>0，
由题意−lnx1=2a，lnx2=2a，a>0，
所以x1=e−2a，x2=e2a，
故x1x22a=e2aa
设f(x)=e2xx，x>0，
则f′(x)=e2x(2x−1)x2，
当0当x>12时，f′(x)>0，f(x)在区间(12,+∞)上单调递增，
故f(x)≥f(12)=2e，
故x1x22a=e2aa的最小值为2e.
故答案为：2e.
先将x1和x2用a去表示，可将x1x22a转化为e2aa，构造函数f(x)=e2xx，利用导数求最小值即可．
本题主要考查函数零点的判定定理，考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)从1，3，5中选一个填入个位，有A31种，
剩余四个位置全排列，有A44种，
故共有A31A44=72个．
(2)3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，
然后3和4内部全排列，有A41A22种，
其他位置进行全排列，有A33种，
故共有A41A22A33=48个．
【解析】(1)先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解；
(2)先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)若四局比赛甲以3：1获胜，则前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，
概率为：P=C32(23)2×(1−23)×23=827.
(2)由题意得X的所有可能取值为3，4，5，
则打了三局，前三局都是甲胜或都是乙胜，则P(X=3)=(23)3+(13)3=13，
打了四局，且前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜；
或前三局乙胜两局，负一局，第四局乙胜，
则P(X=4)=C32(23)2×(1−23)×23+C32(13)2×(1−13)×13=1027，
打了五局，前四局各赢了两局，没有分出胜负，第五局谁输谁赢都可以，
P(X=5)=C42(23)2×(13)2=827.
所以X的分布列为：
所以X的数学期望E(X)=3×13+4×1027+5×827=10727.
【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，相互独立事件的概率乘法公式，属中档题．
(1)由题意可得前三局甲胜两局，负一局，第四局甲胜，从而可求出其概率；
(2)由题意得X的所有可能取值为3，4，5，然后根据题意求出各自对应的概率，从而可求出比赛结束时比赛局数X的分布列及数学期望．
19.【答案】解：(1)f(x)的定义域为R.
由f(x)=x3−32x2−6x+1，得f′(x)=3x2−3x−6=3(x−2)(x+1)，
令f′(x)=0，解得x=−1或x=2，
当x∈(−∞,−1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(−1,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
依题意有x1=−1，x2=2，则f(x1)=f(−1)=92，f(x2)=f(2)=−9，
所以x1x2+f(x1)+f(x2)=−132.
(2)由(1)知f(x)在[−2,−1)上单调递增，在(−1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，
所以f(x)极大值=f(−1)=92，
f(x)极小值=f(2)=−9.
又f(−2)=−1，f(3)=−72，
所以f(x)的最大值为92，最小值为−9.
【解析】(1)求导后，令导数为0判断单调性，从而可确定极值点，进而求解即可；
(2)计算极值和端点的函数值，从而可求解．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，属中档题．
20.【答案】解：(1)x−=3+6+8+10+14+17+22+328=14，
y−=43+52+60+71+74+81+89+988=71，
b =i=18xiyi−8x−y−i=18(xi−x−)2=9138−8×14×71634=1186634≈1.87，
a =y−−b x−≈71−1.87×14=44.82，
所以y关于x的经验回归方程为y =1.87x+44.82.
(2)记“恰有2件产品为合格品”为事件A，“II类产品为合格品”为事件B，
则P(A)=(34)2×(1−23)+C21(1−34)×34×23=716，
P(AB)=C21(1−34)×34×23=14，
由条件概率的计算公式得P(B|A)=P(AB)P(A)=14716=47，
故在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率为47.
【解析】(1)利用最小二乘法估计公式可得经验回归方程；
(2)根据条件概率公式可得．
本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】(1)解：依题意得2×2列联表如下：
零假设为H0：业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到χ2=100×(28×3−12×57)240×60×85×15≈11.765>10.828=x0.001，
根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，
即认为业主对安保服务的满意度与对维修服务的满意度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)解：依题意可知，所抽取的6人中对维修服务不满意的有4人，对安保服务不满意的有2人，
X的所有可能取值为0、1、2，
则P(X=0)=C43C63=15，P(X=1)=C42C21C63=35，P(X=2)=C41C22C63=15，
所以X的分布列如下：
故X的数学期望为E(X)=0×15+1×35+2×15=1.
【解析】(1)根据题中信息完善2×2列联表，计算出χ2的观测值，结合临界值表可得出结论；
(2)分析可知，随机变量X的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得E(X)的值．
本题考查独立性检验原理的应用，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．
22.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−lnx−x−1，x∈(0,+∞).
所以f′(x)=−1x−1<0，
故f(x)的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间．
证明：(2)由f(x)=axex−lnx−x−1≥0恒成立，
可知a≥x+lnx+1xex恒成立，即a≥(x+lnx+1xex)max，
令g(x)=x+lnx+1xex=x+lnx+1ex+lnx，
不妨设t=x+lnx，则h(t)=t+1et(t∈R)，
h′(t)=et−(t+1)ete2t=−tet，
由h′(t)>0，得t<0，由h′(t)<0，得t>0，
所以h(t)在(−∞,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．
故g(x)max=h(t)max=h(0)=1e0=1，
所以a≥g(x)max=1.
【解析】(1)利用导数的符号可得结果；
(2)转化为a≥(x+lnx+1xex)max，再构造函数，利用导数求出其最大值证不等式成立．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性，恒成立问题的求解，化归转化思想，属中档题．X
1
2
3
P
m
14
n
研发投入x
3
6
8
10
14
17
22
32
收益y
43
52
60
71
74
81
89
98
评价
服务
合计
安保服务
维修服务
满意
57
不满意
15
合计
40
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
3
4
5
P
13
1027
827
评价
服务
合计
安保服务
维修服务
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
X
0
1
2
P
15
35
15