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    2022-2023学年广东省深圳科学高中高二(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年广东省深圳科学高中高二(下)期中数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022-2023学年广东省深圳科学高中高二(下)期中数学试卷

    学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

    I卷(选择题)

    一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

    1.  已知集合,则(    )

    A.  B.
    C.  D.

    2.  在复平面内,复数对应的点分别是,则的虚部是(    )

    A.  B.  C.  D.

    3.  九章算术商功记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”就是说:圆堡瑽圆柱体的体积为底面圆的周长的平方,则由此可推得圆周率的取值为(    )

    A.  B.  C.  D.

    4.  已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    5.  已知向量,若,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    6.  若幂函数的图象过点,则函数的递增区间为(    )

    A.  B.
    C.  D.

    7.  六名同学排成一排照相,则其中甲、乙、丙三人两两不相邻,且甲和丁相邻的概率为(    )

    A.  B.  C.  D.

    8.  已知数列满足,且的前项的和记为,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

    9.  已知函数,则下列结论正确的是(    )

    A. 的最小正周期为
    B. 图象的一条对称轴
    C. 上单调
    D. 的图象向左平移个单位后,得到的图象关于原点对称

    10.  已知分别为随机事件的对立事件,,则下列结论正确的是(    )

    A.
    B.
    C. 互斥,则
    D. 独立,则

    11.  如图,在正方体中,是正方形内部含边界的一个动点,则(    )

    A. 存在唯一点,使得
    B. 存在唯一点,使得直线与平面所成的角取到最小值
    C. ,则三棱锥外接球的表面积为
    D. 若异面直线所成的角为,则动点的轨迹是抛物线的一部分
     

    12.  数学中的很多符号具有简洁、对称的美感,是形成一些常见的漂亮图案的基石,也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号,我们把形状类似的曲线称为“曲线”在平面直角坐标系中,把到定点距离之积等于的点的轨迹称为“曲线”已知点是“曲线”上一点,下列说法中正确的有(    )

    A. 曲线”关于原点中心对称
    B.
    C. 曲线”上满足的点有两个
    D. 的最大值为

    II卷(非选择题)

    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)

    13.  已知等比数列的前三项和为,且,则的公比为______

    14.  的展开式中二项式系数之和为,则的展开式中的系数为______

    15.  古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系中,,点满足则点的轨迹方程为______ ;在三棱锥中,平面,且,该三棱锥体积的最大值为______

    16.  已知函数,,若恒成立,则实数的取值范围______

    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

    17.  本小题
    已知等比数列的前项和为,且
    求数列的通项公式;
    ,证明:

    18.  本小题
    中,的角平分线上一点,且与分别位于边的两侧,若
    的面积;
    ,求的长.


    19.  本小题
    某市举行招聘考试,共有人参加,分为初试和复试,初试通过后参加复试为了解考生的考试情况,随机抽取了名考生的初试成绩,并以此为样本绘制了样本频率分布直方图,如图所示.

    根据频率分布直方图,试求样本平均数的估计值;
    若所有考生的初试成绩近似服从正态分布,其中为样本平均数的估计值,,试估计初试成绩不低于分的人数;
    复试共三道题,第一题考生答对得分,答错得分,后两题考生每答对一道题得分,答错得分,答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩已知某考生进入复试,他在复试中第一题答对的概率为,后两题答对的概率均为,且每道题回答正确与否互不影响记该考生的复试成绩为,求的分布列及均值.
    附:若随机变量服从正态分布,则:

    20.  本小题
    如图,在三棱柱中,的中点,的中点,点上,且
    证明:平面
    平面,求平面与平面夹角的余弦值.


    21.  本小题
    已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,且椭圆,直线与椭圆交于
    求椭圆的标准方程;
    设直线的斜率分别为,证明:
    直线是过点的椭圆的切线,且与直线交于点,定义为椭圆的弦切角,为弦对应的椭圆周角,探究椭圆的弦切角与弦对应的椭圆周角的关系,并证明你的结论.


    22.  本小题
    已知函数注:是自然对数的底数
    时,求曲线在点处的切线方程;
    时,函数在区间内有唯一的极值点
    (ⅰ)求实数的取值范围;
    (ⅱ)求证:在区间内有唯一的零点,且

    答案和解析

     

    1.【答案】 

    【解析】解:解不等式,得
    所以
    所以
    故选:
    根据已知条件,结合补集的定义,即可求解.
    本题主要考查补集及其运算,属于基础题.
     

    2.【答案】 

    【解析】解:复数对应的点分别是

    ,其虚部为
    故选:
    由复数对应的点分别求出,代入化简计算,进而可得的虚部.
    本题主要考查复数的四则运算,复数的几何意义,属于基础题.
     

    3.【答案】 

    【解析】

    【分析】
    本题考查圆周率的求法,考查圆柱体体积等基础知识,是基础题.
    由圆堡瑽圆柱体的体积为底面圆的周长的平方,得到,由此能求出的值.
    【解答】
    解:圆堡瑽圆柱体的体积为底面圆的周长的平方

    解得
    故选A  

    4.【答案】 

    【解析】解:双曲线的焦点坐标
    抛物线的准线过双曲线的一个焦点,
    所以,可得
    故选:
    求出双曲线的焦点坐标,然后利用抛物线的定义,求解即可.
    本题考查抛物线的简单性质的应用,双曲线的焦点坐标的求法,是基础题.
     

    5.【答案】 

    【解析】解:因为
    所以,即
    所以,解得
    所以
    故选:
    求得,再用倍角公式求即可.
    本题主要考查二倍角的三角函数,属于基础题.
     

    6.【答案】 

    【解析】解:设幂函数,它的图象过点



    ,即,解得:
    递增,
    故选:
    先求幂函数,再利用导数判定函数的单调递增区间.
    本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题,是中档题.
     

    7.【答案】 

    【解析】解:六名同学排成一排照相,共有中不同的排列方法,
    甲、乙、丙三人两两不相邻,且甲和丁相邻共有:
    先确定除甲乙丙三人外的位置,共有种方式,再确定甲在丁的两边有种方式,最后将乙丙放入个空中,甲旁边不能放入,有种方式,
    故共有种不同的排法,故概率
    故选:
    六名同学排成一排照相,共有中不同的排列方法,满足条件的共有种排法,得到概率.
    本题主要考查了古典概型的概率公式,属于基础题.
     

    8.【答案】 

    【解析】解:


    故选:
    利用和差公式、裂项求和方法即可得出结论.
    本题考查了和差公式、裂项求和方法、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
     

    9.【答案】 

    【解析】解:
    最小正周期为,故A正确;
    ,解得:时,对称轴是,故B错误,
    由于,则上单调减,C正确;
    的图象向左平移个单位后,得到的解析式是
    其图象不关于原点对称,故D错误.
    故选:
    变形可得,然后对应的性质来判断各个选项即可.
    本题考查三角函数的图象和性质,属于基础题.
     

    10.【答案】 

    【解析】解:选项A中:由对立事件定义可知,选项A正确;
    选项B中:,选项B正确;
    选项C中:互斥,,故选项C错误;
    选项D中:独立,则,则,故选项D正确.
    故选:
    结合互斥事件、对立事件的定义,根据条件概率公式判断即可.
    本题主要考查条件概率公式,属于基础题.
     

    11.【答案】 

    【解析】解:对于选项:正方形中,有
    正方体中有平面平面
    平面平面
    只要平面,就有在线段上,有无数个点,选项错误;

    对于选项:平面,直线与平面所成的角为取到最小值时,最大,
    此时点与点重合,选项正确;
    对于选项:若,则中点,为等腰直角三角形,外接圆半径为
    三棱锥外接球的球心到平面的距离为,则外接球的半径为,所以三棱锥外接球的表面积为选项正确;
    对于选项:以为原点,的方向为轴,轴,轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
    ,设,则有
    ,化简得是正方形内部含边界的一个动点,
    所以的轨迹是抛物线的一部分,选项正确.
    故选:
    由线面垂直得线线垂直来确定点位置,判断选项A
    几何法找线面角,当角最小时确定点位置,判断选项B
    中点时,求三棱锥外接球的半径,计算外接球的表面积,判断选项C
    利用向量法解决异面直线所成角的问题,求出动点的轨迹,判断选项D
    本题主要考查空间中直线与平面所成得角,属于中档题.
     

    12.【答案】 

    【解析】解:对,设动点,由题意可得的轨迹方程为,把关于原点对称的点代入轨迹方程,显然成立;所以A正确;
    ,因为,故
    ,所以
    ,故,故B正确;
    ,若,则的中垂线即轴上.
    故此时,代入
    可得,即,仅有一个,故C错误;
    ,因为

    因为


    所以
    ,当且仅当共线时取等号.

    ,解得,故D错误.
    故选:
    ,设动点,求出轨迹方程判断的正误;对,通过三角形底面积转化求解推出,判断的正误;对,通过,则的中垂线即轴上.说明,即,仅有一个,判断的正误;对,因为,推出
    结合,得,判断的正误.
    本题考查命题的真假的判断与应用,考查轨迹方程,余弦定理以及曲线与方程的应用,是难度比较大的题目.
     

    13.【答案】 

    【解析】解:由可设的公比为
    等比数列的前三项和为
    ,解得
    故答案为:
    根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.
    本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用,属于基础题.
     

    14.【答案】 

    【解析】解:的展开式中二项式系数之和为,所以,则
    由于的系数为:项的系数
    所以的展开式中的系数,
    故答案为:
    由题意利用二项式系数的性质,求得的值,再利用二项展开式的通项公式,求得的展开式中的系数.
    本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.
     

    15.【答案】   

    【解析】解:设
    所以
    所以

    所以点的轨迹方程为
    三棱锥的高为,当底面的面积最大值时,三棱锥的体积最大,
    ,取靠近的一个三等分点为坐标原点轴建立平面直角坐标系,
    不妨取
    由题设定义可知的轨迹方程为
    所以在圆的最高点处
    此时
    故答案为:
    利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解;根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点,结合棱锥的体积公式即可求解.
    本题考查“五步求曲“法的应用,三棱锥的体积的最值的求解,阿波罗尼斯圆的应用,属中档题.
     

    16.【答案】 

    【解析】解:


    又易知上单调递增,
    时,时,
    ,使得

    的最小值为

    的最小值为
    恒成立,

    故实数的取值范围为
    故答案为:
    利用导数研究函数的单调性与最值,从而得的不等式,解不等式,即可得解.
    本题考查恒成立问题,利用导数研究函数的单调性与最值,函数的隐形零点问题,属中档题.
     

    17.【答案】解:因为,则当时,
    时,由,可得
    所以,即
    因为是等比数列,所以该数列的公比为
    所以,所以,即
    所以数列的通项公式
    证明:由
    所以
      

    【解析】,可得出,令时,由,可得,两式作差,可得,结合数列为等比数列,确定该数列的公比,求出的值,进而得到等比数列的通项公式;
    结合,可得,利用裂项求和法可证得原不等式成立.
    本题主要考查数列与不等式的综合和数列的递推式,考查运算求解能力,属于中档题.
     

    18.【答案】解:中,
    ,解得负值舍去

    平分



    中,
    中,
    ,得

    由三角函数的同角公式可知,,且

    代入,得
     

    【解析】根据已知条件,结合余弦定理,求出,再结合三角形的面积公式,即可求解;
    根据已知条件,结合三角形中角之间的关系,以及正弦定理,推出,再结合三角形的面积公式,即可求解.
    本题主要考查解三角形,考查转化能力,属于中档题.
     

    19.【答案】解:样本平均数的估计值为
    因为学生初试成绩服从正态分布,其中

    所以
    所以估计初试成绩不低于的人数为人;
    的取值分别为

    的分布列为:

    所以数学期望为 

    【解析】根据频率分布直方图的平均数的估算公式即可求解;
    可知即可求解;
    根据题意确定的取值分别为,利用独立性可求得分布列,进而求得均值.
    本题主要考查离散型随机变量分布列的求解,以及期望公式的应用,属于中档题.
     

    20.【答案】证明:如图,取的中点,连接,由的中点,得
    因为,则,从而
    平面平面,即有平面
    因为分别为的中点,则
    平面平面,即有平面
    平面,因此平面平面
    因为平面,所以平面
    解:如图,以为坐标原点,的方向分别为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,

    从而
    设平面的法向量为,则,即
    ,则
    设平面的法向量为,则
    ,则

    故平面与平面夹角的余弦值为 

    【解析】的中点,连接,利用线面平行的判定,面面平行的判定、性质推理作答.
    以点为坐标原点建立空间直角坐标系,利用空间向量求解作答.
    本题主要考查直线与平面平行的证明,平面与平面夹角的求法,考查运算求解能力,属于中档题.
     

    21.【答案】解:由题意知,,所以
    又椭圆经过,所以
    解得,所以椭圆方程为
    证明:联立直线与椭圆方程,得
    所以
    ,解得
    ,则
    所以



    证明:椭圆的弦切角与弦对应的椭圆周角相等.证明如下:
    设切线方程为,即
    ,得
    所以
    ,解得
    ,又,所以,所以
    设切线与轴交点为分别与交于

    因为,所以,又

    所以 

    【解析】根据题意可得,解出即可求解;
    ,将直线方程联立椭圆方程,利用韦达定理表示则,结合两点表示斜率公式对化简计算,即可求解;
    设切线方程,由直线与椭圆的位置关系求出,得出倾斜角,可得,由,得,结合三角形的外角和即可下结论.
    本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理,考查计算能力,属中档题.
     

    22.【答案】解:

    切线的斜率,又
    切线方程为

    时,当时,

    上单调递增,没有极值点,不合题意,舍去;
    时,
    上递增,

    上有唯一零点
    时,,函数单调递减;
    时,,函数单调递增,
    函数在区间内有唯一极值点,符合题意,
    综上,的取值范围是
    (ⅱ)证明:由(ⅰ),当时,
    时,,函数单调递减;
    时,,函数单调递增;
    时,,则

    上有唯一零点
    上有唯一零点
    (ⅰ)







    为单调递增,又
    时,


    由前面讨论知单调递增,
     

    【解析】,利用导数的运算法则可得,可得切线斜率,利用点斜式可得切线方程.
    ,对分类讨论,利用函数的单调性,根据函数在区间内有唯一的极值点,即可得出的取值范围.
    (ⅱ)(ⅰ),当时,,结合的单调性与函数零点存在定理可得:上有唯一零点,由(ⅰ),化简整理,构造函数,再一次利用导数研究函数的单调性即可证明结论.
    本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、方程与不等式的解法、函数零点存在定理、等价转化方法、构造法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
     

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