2022-2023学年广东省湛江市多校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省湛江市多校联盟高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月，第届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了金银铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程单位：与时间单位：之间的关系为，则当时，该运动员的滑雪速度为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  国家三孩政策落地后，有一对夫妻生育了三个小孩，他们五人坐成一排，若爸妈坐两边，三个小孩坐在爸妈中间，则所有不同排法的种数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数的定域为，图象恒过点，对任意，，当时，都有，则不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  北京大兴国际机场拥有世界上最大的单一航站楼，并拥有机器人自动泊车系统，解决了停车满、找车难的问题现有辆车停放在个并排的泊车位上，要求停放的车辆相邻，箭头表示车头朝向，则不同的泊车方案有种．(    )

A.
B.
C.
D.

6.  年初，新冠病毒肺炎疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来，截止今天仍在全国大规模蔓延；现某地决定进行全面入户排查类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者在排查期间，一户口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为个区域如图，现要在每个区域栽种一种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻没有公共边区域的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(    )

A. 曲线在点处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上是严格增函数
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在区间内至多有两个零点

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列求导运算正确的是(    )

A.
B.
C.
D. ，则

10.  下列四个关系式中，一定成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  若，则(    )

A.
B.
C. 展开式中的各项系数之和为
D. 展开式中所有项的二项式系数之和为

12.  下列结论正确的是(    )

A. 当时， B. 当时，
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若函数为常数在区间上有两个极值点，则实数取值范围是______ ．

14.  一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为______ ．

15.  若展开式的常数项等于，则 ______ ．

16.  数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“客醉花间花醉客”，既可以顺读也可以逆读数学中有回文数，如，等，两位数的回文数有，，，，共个，则三位数的回文数中是奇数的个数是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知点和点是曲线上的两点，且点的横坐标是，点的横坐标是，求：
割线的斜率；
点处的切线方程．

18.  本小题分
已知数列满足，
求证：数列是等比数列；
求数列的通项公式及前项的和．

19.  本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．

20.  本小题分
已知，，的内角，，所对的，边分别为，，，若的最大值为．
求；
当，时，求的面积．

21.  本小题分
设函数，其中．
Ⅰ若，求的单调区间；
Ⅱ若，且，恒成立，求的取值范围．

22.  本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求的解析式；
判断单调性，并用单调性的定义加以证明；
若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，则，
所以，
则．
故选：．
求出函数的导数，然后令求出导数的值，再根据导数的几何意义即可求解．
本题考查了导数的运算以及极限的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意，，
故当时，该运动员的滑雪速度为．
故选：．
根据导数的实际意义，对求导再代入求解即可．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：将爸妈安排在两边，有种排法；将三个小孩放在中间，有种排法；则所有不同的排法种数为：种．
故选：．
首先安排爸妈，再将孩子放在中间，根据分步乘法计数原理可求得结果．
本题考查排列组合，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对任意，，当时，都有，
不妨设，
则，
令，在上单调递增，
又，
，
则，即，
故，即，解得，
故不等式的解集为．
故选：．
根据已知条件，构造函数，再利用函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：从个车位里选择个相邻的车位，共有种方式．
停放的个车辆相邻，有种方式，
则不同的泊车方案有种．
故选：．
从个车位里选择个相邻的车位，共有种方式，停放的个车辆相邻，有种方式，则可计算出不同的泊车方案．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意，前次没有检测到第次才检测到或是前次没有检测到第次才检测到，
，
，
，令，解得，
当时，， 单调递增，
当时，， 单调递减，
所以，在时， 取得最大值．
故选：．
“至少第次检测到”意味着前次没有检测到第次检测到或是前次都没有检测到第六次检测到，据此算出 的表达式，求导计算极值即可．
本题考查概率的计算，考查导数的应用，是中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：每个区域种不同颜色的花，有种方法，
这个区域中相邻的区域有个；；；；；；；；，
所以红色、白色种在相邻区域有种方法，
所以红色、白色在不相邻没有公共边区域的概率为，
故选：．
每个区域种不同颜色的花，有种方法，红色、白色种在相邻区域有种方法，通过对立事件求出正确答案．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：逐一考查所给的说法：
A.曲线在点处的切线斜率等于零，选项A错误；
B.函数在区间上单调递减，选项B错误；
C.函数在左右两侧都单调递减，函数在此处不取得极大值，选项C错误；
D.函数在区间先单调递增，再单调递减，故在区间内内至多有两个零点，选项D正确．
故选：．
由题意利用导数与原函数之间的关系结合图像考查题中的说法是否正确即可．
本题主要考查导函数与原函数之间的关系，利用导数图像确定原函数性质的方法等知识，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：选项，，故A正确；
选项，，故B错误；
选项，，故C正确；
选项，，则，D正确．
故选：．
利用导数计算公式分析各选项可得答案．
本题考查导数的计算相关知识，属于简单题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项，，A正确；
选项，，B错误；
选项，，C正确；
选项，，D错误．
故选：．
根据排列数和组合数的公式和性质逐项计算即可求解．
本题考查排列组合数公式的性质，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
：令，即可判断；令，即可判断选项B，；根据二项式系数和公式即可判断．

【解答】

解：：令，则，故A正确
：令，则，所以，故B错误
：令，则展开式中的各项系数之和为，故C正确；
：因为，所以展开式的所有二项式系数和为，故D正确．
故选ACD．

12.【答案】 

【解析】解：选项，令，则，则函数在上递增，则当时，，则恒成立，A正确；
选项，令，则，则函数在上递增，在上递减，，，，B错误；
选项，，则，则函数在上递增，在上递减，，，C正确；
选项，当时，则，D错误．
故选：．
构造函数，再求出导数并判断单调性即可判断，利用举实例判断．
本题考查函数的导数应用，函数的单调性，考查计算能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
函数在内有两个极值点，
在内与轴有两个不同的交点，如图所示：

，解得．
故答案为：．
问题等价于的导数在上与轴有两个不同的交点，利用二次方程根的分布即可求解．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，且，，互不相同所组成的三位数的所有可能情况为：，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个数字，
其中是“凹数”的有，，，，，，，，共个数，
故所求概率为．
故答案为：．
先确定，，，且，，互不相同所组成的三位数的所有可能情况，再确定其中是“凹数”的数字个数，最后即可运用古典概型概率计算公式求出所求概率．
本题考查古典概型概率计算公式，涉及运用列举法确定基本事件个数，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，
属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项公式为：，
所以当时，项的系数为：，
的展开式无常数项，
所以展开式的常数项为：，解得．
故答案为：．
先求出展开式中的系数，结合 展开式的常数顶，求解即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：三位数的回文数有：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
共有个，其中奇数有个．
故答案为：．
列出所有三位数的回文数即可求得结果．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

17.【答案】解：，
当时，，当，；
，；
割线的斜率为；
，
；
当时，；
点处的切线方程为，
即． 

【解析】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的概念与应用问题，是基础题目．
根据函数的解析式求出、的坐标，计算的斜率；
利用导数求出点的斜率，写出过点的切线方程．
 

18.【答案】解：证明：，
，
，
数列是等比数列，首项为，公比为．
由可得：，即，
． 

【解析】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
由，变形为，即可证明结论．
结合，利用等比数列的通项公式及其求和公式，即可得出．
 

19.【答案】解：如图示：
，
以为原点建立空间直角坐标系，
由题意得：，，，，，
Ⅰ证明：，，，
，，
即，，
，
平面；
Ⅱ解：由Ⅰ可得为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
而，，
则，即，
不妨设，可得，
易知二面角为锐角，
因此有，，
即二面角的余弦值是；
Ⅲ解：，，，
作平面，垂足为，
设，且，
由，，得：
，解得，
，，
即点到平面的距离是． 

【解析】Ⅰ建立坐标系，求出向量的坐标，得到，，求出线面垂直即可；
Ⅱ设平面的法向量为，求出一个法向量，代入余弦公式即可求出余弦值；
Ⅲ作平面，垂足为，求出的坐标，从而求出点到平面的距离．
本题考查了线面垂直，考查平面的法向量，点到平面的距离，是一道中档题．
 

20.【答案】解：，
当，即时，，
又是的最大值，且是的内角，则，
故；
在中，，，，由余弦定理得，即，整理得，解得或，
当时，，
当时，．
故的面积是或． 

【解析】利用三角恒等变换化简函数，借助正弦函数的性质求出，即可得出答案．
利用余弦定理求出边，再利用三角形面积公式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：Ⅰ由，得，所以．
由，得，故的单调递增区间是，
由，得，故的单调递减区间是．
Ⅱ由，得，，
当时，，
此时在上单调递增．
故，符合题意．
当时，．
当变化时，的变化情况如下表：

由此可得，在上，．
依题意，，又，．
综合，得，实数的取值范围是． 

【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，考查了转化思想，属中档题．
Ⅰ将代入中，然后对求导，再求出的单调区间即可；
Ⅱ由，得，然后分和两种情况，结合条件求出的取值范围．
 

22.【答案】解：由定义域为的函数是奇函数．
可得，即，可得，
经检验，当时，是奇函数；
故，
；
是定义在上的增函数；
证明：由可知，
设上的任意，，且，
由，
，
，
那么，
则．
是定义在上的增函数；
因为，
所以，
由可知，是定义在上的增函数，
所以，
由题意可知对任意的恒成立，
设，
令，，
所以，
所以当时，有最大值为，
故，
即的取值范围是． 

【解析】根据，即可求解的值，从而可得函数解析式；
利用定义证明即可；
根据奇偶性和单调性，脱去“，转化为二次函数问题求解即可；
本题考查了函数的奇偶性和单调性，以及不等式的恒成立问题，属于中档题．