2022-2023学年广东省深圳重点学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳重点学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知向量，，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知单位向量，满足，则，(    )

A.  B.  C.  D.

4.  从正方体的个顶点上任取个顶点，则这个顶点构成的几何图形不可能是(    )

A. 三个面是直角三角形的正三棱锥 B. 有一个面是钝角三角形的四面体
C. 每个面都是等边三角形的四面体 D. 每个面都是直角三角形的四面体

5.  在中，已知，则一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，若三角形有两解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  过的重心的直线分别交线段、于点、，若，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设，，为平面内任意三个非零向量，下列结论正确的是(    )

A. 的充要条件是
B. 的充要条件是
C. 若，，则
D. 若，则

10.  已知复数，下列结论正确的是(    )

A. 的充要条件是 B. 是纯虚数的充要条件是
C. 若，则 D. 若，则是纯虚数

11.  在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是(    )

A. 正四面体的体积为
B. 正四面体外接球的表面积为
C. 如果点在线段上，则的最小值为
D. 正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为

12.  在中，角，，所对的边分别为，，，，是的外接圆圆心，下列结论正确的是(    )

A. 的最大值是
B. 的取值范围是
C. 若，则是等腰三角形
D. 的最大值是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若，为单位向量，且，则在方向上的投影向量为______ ．

14.  在复数范围内方程的两根为，，则 ______ ．

15.  若为的重心，，则的最小值为______．

16.  水平桌面上放置了个半径为的小球，它们两两相切，并均与桌面相切若用一个半球形容器容器厚度忽略不计罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知，，为坐标原点．
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
当时，求的取值范围．

18.  本小题分
已知半圆圆心为点，直径，为半圆弧上靠近点的三等分点，若为半径上的动点，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
若，求与夹角的大小；
试求点的坐标，使取得最小值，并求此最小值．

19.  本小题分
如图，在中，，，且点在线段上．
若，求的长；
若，，求的面积．

20.  本小题分
已知正四棱锥的侧棱长为和底面边长为．
求正四棱锥的体积和表面积；
若点，，分别在侧棱，，上，且，求三棱锥的体积．

21.  本小题分
正六棱台玻璃容器的两底面棱长分别为，，高为，如图水平放置，盛有水深为．
求玻璃容器的体积；
将一根长度为的搅棒置入玻璃容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．容器厚度，搅棒粗细均忽略不计

22.  本小题分
如图，某景区是一个以为圆心，半径为的圆形区域，道路，成角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道，点，分别在和上，修建的木栈道与道路，围成三角地块注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等．
若的面积，求木栈道长；
如图，若景区中心与木栈道段连线的，求木栈道的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：向量，，，
，
解得．
故选：．
利用向量垂直的性质求解．
本题考查向量垂直的条件，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
故，
则，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数、虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数、虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：单位向量，满足，
则，即，解得，
，
，
故，．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，以及平面向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，以及平面向量的夹角公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，正方体中，
对于，四面体就是三个面是直角三角形的正三棱锥，A正确；
对于，四面体就是每个面都是等边三角形的四面体，C正确；
对于，四面体就是每个面都是直角三角形的四面体，D正确；
对于，先选取其中一点，与其余的个点中的任意个都不会构成钝角三角形，则不可能构成有一个面是钝角三角形的四面体，B错误；
故选：．
根据题意，正方体中，举出例子可以说明ACD正确，对于，先选取其中一点，与其余的个点中的任意个都不会构成钝角三角形，由此可得B错误，即可得答案．
本题考查正方体、四面体的几何结构，涉及直线与平面垂直的判定，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
所以，
由正弦定理得：，
由余弦定理得，
又，
所以．
故选：．
由二倍角的余弦公式化简已知表达式，并结合余弦定理可求出的值，结合的范围可求的值，即可得解．
本题主要考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，三角形有两组解，
又，，，如果三角形有两组解，
那么应满足，
即；
的取值范围是．
故选：．
有两组解，利用正弦定理得，代入数据，求出的范围．
本题考查了三角形的应用与正弦定理的应用问题，属基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设直线与交于，因为直线过重心，又，
而，，三点共线，所以，
所以，可得，
所以，
因为，，所以，
由均值不等式可得，
所以的最小值为．
故选：．
由为重心，且，，三点共线，可得用，的线性表示，再由题意可得用，的线性表示，可得，的关系，由““的活用及均值不等式可得的最小值．
本题考查重心的性质及向量的基本定理的应用，均值不等式的应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则，
则，
则或，
则或舍，
由正弦定理可得
，
又因为是锐角三角形，
所以，解得，
则，
则，即．
故选：．
先根据已知条件化简可得，再将化为，结合为锐角三角形，可得的范围，进而得解．
本题考查三角恒等变换，解三角形与三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，当且仅当与同向时成立，而与方向相同或相反都有，因此不是充要条件，A错误；
因为和均为非零向量，所以当时，必有，则必有，B正确；
因为和均为非零向量，所以当，时，有和方向相同或相反，和方向相同或相反，故与同向或反向，C正确；
由可得，，则可得或，故D错误．
综上，BC正确．
故选：．
根据平面向量的平行与垂直的性质即可判定．
本题考查了平面向量的平行、垂直的性质，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，若，则，，是充分条件，反之也成立，故A正确；
对于，若是纯虚数，则且，则，是充分条件，
反之，若，则，当时，不是纯虚数，故不是必要条件，故B错误；
对于，若，则，
则，则，，故C正确；
对于，若，则，则，则，故D错误．
故选：．
根据充分必要条件判断，根据充分必要条件以及特殊值法判断，根据定义得方程组判断．
本题考查了复数，充分必要条件问题，考查转化思想，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，
故棱长为，如下图示，

为底面中心，则，，共线，为体高，
故，
所以，
故正四面体的体积为，A错误；
由题设，外接球球心在上，且半径，
所以，则，
故外接球的表面积为，B正确；
由题意知：将面与面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图示，

所以且，，
又，
而，
要使最小，只需，，共线，
则，
所以，C正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体内接一个圆柱的上底面，

若截面所成正三角形边长为，
则圆柱体的高，圆柱底面半径为，
所以其侧面积，
故当时，，D正确．
故选：．
由正四棱锥的结构特征，应用棱锥的体积公式求体积，并确定外接球的半径求表面积，展开侧面，要使最小，只需，，共线，结合余弦定理求其最小值，根据正四面体内接一个圆柱底面圆与其中截面正三角形关系求半径、体高，应用二次函数性质求侧面积最大值．
本题考查立体几何知识的综合运用，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设的外接圆半径为，
则根据正弦定理可得，
如下图，过作于，

由，则，
所以，仅当时等号成立，A正确；
由题意，，则，B错误；
若，，为，，中点，由，故C，，共线，
又，所以且，故CE为中垂线，
所以是等腰三角形，C正确；
由

，又，
则上式，
所以原式，
由，故时最大值为，D正确．
故选：．
由余弦定理、基本不等式可得，进而求最大值，注意取值条件，由已知条件和构成三角形条件有求范围，若，，为，，中点，由外心的性质、向量线性关系可得且，即得三角形形状，将化为，根据对应线段位置关系、长度及正弦边角关系、三角恒等变换、正弦函数性质求最值．
本题考查向量与解三角形的综合问题，三角形外接圆的性质，余弦定理与正弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
在方向上的投影向量为．
故答案为：．
对两边平方，求出，再利用投影向量的定义求解．
本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：复数范围内方程的两根为，，
，、，
故、中一个等于，另一个等于，
则．
故答案为：．
由题意，利用当判别式小于零时，利用根公式求得、，再根据复数的模的定义与求法，
本题主要考查当判别式小于零时，求根公式的应用，复数的模的定义与求法，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：令，且它们的模长分别为，，夹角为，
则，同理，
所以，，，
故，
因为，所以，当且仅当时取等号，故式，
即的最小值为．
故答案为：．
令，且它们的模长分别为，，夹角为，以此为基底向量，表示出的值，然后借助于基本不等式求解．
本题考查数量积的运算以及基本不等式求最值，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，设个球心分别为，，，个球分别与水平桌面相切于，，三点，
假设半球形的容器与球相切于点，此时半球形容器内壁的半径最小，
记最小半径设为，易知是边长为的正三角形，
记中点为，半球形容器的球心为的中心，
则．
则．
故答案为：．
以个小球球心和与桌面的切点为顶点作三棱柱，结合图形分析可解．
本题考查内切球问题，化归转化思想，属中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，，，
则，，
若与的夹角为钝角，
则有，且，
解得且，即的取值范围为；
根据题意，，
则，
所以，
又，则，
即的取值范围是 

【解析】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．
根据题意，求出与的坐标，由向量数量积的运算性质可得关于的不等式，然后求出的范围；
根据题意，求出的坐标，得到的表达式，结合二次函数的性质，求出取值范围．
 

18.【答案】解：因为半圆的直径，由题易知：又、
又，，则，则．
所以，，所以．
设与夹角为，则，
又因为，
所以，
即与的夹角为．
设，
由知，，
则，，
所以，
又因为，
所以当时，有最小值为，
此时点的坐标为． 

【解析】由平面向量数量积运算，结合平面向量的夹角公式求解即可；
设点的坐标，再结合平面向量数量积运算即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了向量的坐标运算，属中档题．
 

19.【答案】解：由，可得，
所以或舍去，所以，
因为，所以，
在中，由正弦定理可得
解得．
由，得，，
因为，，所以，
由余弦定理，
可得，解得或舍去，
所以，
所以． 

【解析】由，可得，求出，，再利用正弦定理求得．
由和三角形的面积公式求出，再利用余弦定理可得，再求面积即可．
本题考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题．
 

20.【答案】解：根据题意可知四边形为正方形，
设为底面中心，则为该锥体的高，
又易知，，，
正四棱锥的体积为，
又侧面等腰三角形的高为，
正四棱锥的表面积为；
，，
，
，
，，
即． 

【解析】根据锥体的体积公式，表面积公式，计算即可求解；
根据题意，化归转化，即可求解．
本题考查正四棱锥的体积与表面积的求解，三棱锥的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
 

21.【答案】解：由题意可知，下底面面积为，
上底面的面积，又台体的高为，
所以正六棱台的体积
设搅棒在上的点为，则，搅棒与水面的交点为，在平面中，过点作，交于点，过点作，交于点，
为正六棱台，，，，

为等腰梯形，画出平面的平面图，
，，，，
，
由勾股定理得：，
，，，
根据正弦定理得：，，
，
，
．
搅棒没入水中部分的长度为． 

【解析】求解下底面面积，上底面的面积，结合台体的高，求解正六棱台的体积．
设搅棒在上的点为，搅棒与水面的交点为，在平面中，过点作，交于点，过点作，交于点，画出平面的平面图，求解，，结合正弦定理求解，，然后转化求解即可．
本题考查棱台的体积的求法，空间点、线、面距离的求法，正弦定理的应用，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：在中，因为的面积，所以，
则解得，
所以，
则，所以，
两边平方得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
由求解得；
设圆与，分别切于，，
则，，，
则≌，≌，
则，，
由，可得，
由，
可得，则，
则；
；；

，
当且仅当时等号成，则的最小值． 

【解析】由已知可得，，进而由余弦定理可得，可求；
设圆与，分别切于，，由已知可得，利用，可求木栈道的最小值．
本题考查解三角形在生活中的应用，考查余弦定理，考查运算求解能力，考查三角恒等变换，属中档题．