高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课时练习

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\l "_Tc14003" 【题型1 求二面角】 PAGEREF _Tc14003 \h 2
\l "_Tc16519" 【题型2 由二面角大小求线段长度或距离】 PAGEREF _Tc16519 \h 3
\l "_Tc28802" 【题型3 由二面角大小求异面直线所成角】 PAGEREF _Tc28802 \h 4
\l "_Tc9949" 【题型4 面面垂直的判定】 PAGEREF _Tc9949 \h 7
\l "_Tc12384" 【题型5 面面垂直性质定理的应用】 PAGEREF _Tc12384 \h 8
\l "_Tc24372" 【题型6 空间垂直的转化】 PAGEREF _Tc24372 \h 9
\l "_Tc6677" 【题型7 点、线、面的距离问题】 PAGEREF _Tc6677 \h 11
\l "_Tc22282" 【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】 PAGEREF _Tc22282 \h 12
【知识点1 二面角】
1．二面角
(1) 二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的表示
①棱为AB，面分别为，的二面角记作二面角-AB-，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角
-l-，如图(1).
②若在，内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).

(3)二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言
③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
(4)二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是.所以二面角的平面角的范围是.
【题型1 求二面角】
【例1】（2023下·陕西咸阳·高一校考阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形ABC,DBC，若点A到平面BCD的距离为62，则二面角A−BC−D的大小为（ ）

A．π4B．π6C．π3D．π2
【变式1-1】（2023上·江苏镇江·高三统考期中）棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为α，两相邻侧面所成的二面角为大小为β，则（ ）
A．α<π4B．β>2π3C．α<β<2αD．β=2α
【变式1-2】（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）在四面体ABCD中，已知△ABD为等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，斜边AB=4，CD=27，则二面角C−AB−D的大小为（ ）
A．5π6B．2π3C．π3D．π4
【变式1-3】（2023上·湖南常德·高二校考阶段练习）如图1，在菱形ABCD中，AB=433，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使点A，C之间的距离为22，如图2，则二面角B−AC−D的余弦值为（ ）

A．15B．14C．13D．64
【题型2 由二面角大小求线段长度或距离】
【例2】（2023上·陕西·高三校联考期中）如图，二面角C−AB−D的平面角的大小为π3，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=AD=2，则CD=（ ）
A．22B．6C．5D．2
【变式2-1】（2023上·上海金山·高二校考期中）已知二面角α−l−β为60∘，点P、Q分别在α、β内且PQ⊥l，P到β的距离为3，Q到α的距离为32, 则PQ两点之间的距离为 （ ）
A．3B．1C．2D．2
【变式2-2】（2023上·山东泰安·高二校考阶段练习）如图，已知大小为60°的二面角α−l−β棱上有两点A，B，AC⊂α,AC⊥l，BD⊂β,BD⊥l，若AC=3,BD=3,CD=7，则AB的长度（ ）
A．22B．40C．210D．22
【变式2-3】（2023下·甘肃庆阳·高一校考期末）在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，沿对角线AC将矩形折成一个直二面角B−AC−D，则点B与点D之间的距离为（ ）
A．3B．5C．102D．52
【题型3 由二面角大小求异面直线所成角】
【例3】（2023下·四川绵阳·高一统考期末）如图，在三棱锥P−ABC中，△ABC和△ABP均为正三角形，AB=4，二面角P−AB−C的大小为60∘，则异面直线PB与AC所成角的余弦值是（ ）

A．−18B．18C．−14D．14
【变式3-1】（2023上·吉林长春·高三校考阶段练习）如图，已知在矩形ABCD和矩形ABEF中，AB=2，AD=AF=1，且二面角C−AB−F为60∘，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为（ ）
A．14B．35C．310D．710
【变式3-2】（2023·浙江·校考模拟预测）如图，在三棱锥P−ABC中，PB=PC=AB=AC=2,BC=23，二面角A−BC−P的平面角θ∈0,π2，AM=2MP，AG=GC，则直线BG与直线BM的所成最大角的正切值为（ ）
A．3B．33C．7D．77
【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形ABCD中，AB=BD=DA=2,BC=CD=2．现将△ABD沿BD折起，当二面角A−BD−C处于π6,5π6过程中，直线AD与BC所成角的余弦值取值范围是（ ）
A．−528,28B．28,528C．0,28D．0,528
【知识点2 平面与平面垂直】
1．面面垂直的定义及判定定理
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂
直，记作⊥.
(2)两个平面互相垂直的画法
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理
①自然语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.
2．平面与平面垂直的性质定理
(1)平面与平面垂直的性质定理
①自然语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
②图形语言
③符号语言
.
(2)性质定理的作用
①证明线面垂直、线线垂直；
②构造面的垂线.
3．直线、平面位置关系中的相关结论及其转化
(1)判定直线与直线垂直的方法
①定义法：两条直线所成的角为，则这两条直线互相垂直.
②利用直线与平面垂直的性质来判定.
③若一条直线垂直于两平行直线中的一条，则该直线也垂直于另一条.
(2)判定直线与平面垂直的方法
①定义法：一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则该直线与这个平面垂直.
②利用直线与平面垂直的判定定理来判定.
③利用平面与平面垂直的性质定理来判定.
④如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，即a∥b，a⊥b⊥.
⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么该直线也垂直于另一个平面，即∥，a⊥
a⊥.
(3)平面与平面垂直的其他性质与结论
①如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
②如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.
③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.
④如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
⑤三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.
(4)线、面垂直位置关系的相互转化
(5)平行关系与垂直关系的相互转化

【题型4 面面垂直的判定】
【例4】（2023上·上海·高二期中）已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60∘，PD⊥平面ABCD，点E为AB中点．证明：平面PED⊥平面PAB．
【变式4-1】（2023下·河南洛阳·高一河南省偃师高级中学校考阶段练习）在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD．

(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；
(2)求证：平面PCD⊥平面PAD．
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，且PO=3,AB=4,∠BAC=30°， M是BC的中点．求证：平面PBC⊥平面POM；

【变式4-3】（2023上·四川成都·高三校考阶段练习）如图，在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD⊥BD ，点E,F分别是AB,BD的中点．
(1)求证：平面EFC⊥平面BCD；
(2)求证：若平面ABD⊥平面BCD，且AD=BD=BC=1，求三棱锥B−ADC的体积．
【题型5 面面垂直性质定理的应用】
【例5】（2023·广东·校联考二模）如图，在四面体ABCD中，AB=AC,BC⊥BD，平面ABC⊥平面BCD,O为线段BC的中点，则下列判断错误的是（ ）

A．AC⊥BDB．BD⊥平面ABC
C．AB⊥CDD．AO⊥平面BCD
【变式5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）等边△ABC的边长为2，D，E分别为AB，AC的中点，将△ADE沿DE折起，使点A到达点A′的位置.若平面A′DE⊥平面BCED，则线段A′B的长为（ ）.
A．32B．7C．102D．152
【变式5-2】（2023·全国·模拟预测）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上的动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK=t，则t的取值范围是（ ）
A．0,14B．14,12
C．12,1D．1,54
【变式5-3】（2023上·辽宁大连·高二校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠C=90∘，D、E分别是线段AB、AC上异于端点的动点，且DE//BC，现将△ADE沿直线DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，∠A′DB的大小变化是（ ）

A．由小变大B．由大变小C．先变小后变大D．大小不变
【题型6 空间垂直的转化】
【例6】（2023上·上海崇明·高二上海市崇明中学校考期中）在正方体ABCD−A1B1C1D1中．求证：
(1)直线DB1⊥平面ACD1；
(2)平面A1BC1⊥平面BB1D1D．
【变式6-1】（2023下·广西南宁·高一校联考期末）如图1，在矩形ABCD中，AE=12AB=14AD=a，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1−BCDE.

(1)证明：BE⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，若a=1，求三棱锥O−A1CD的体积.
【变式6-2】（2023下·北京密云·高一统考期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E为AD的中点．

(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)在线段PC上是否存在点M，使得DM ∥平面PEB?请说明理由．
【变式6-3】（2023下·全国·高三校联考阶段练习）如图，在五面体ABCDE中，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点F，△ABC为等边三角形，AB⊥AD,BC⊥CD，AE=CE=433，AB=2.
(1)证明：AC⊥平面BDE；
(2)若AB⊥CE，求五面体的体积.
【题型7 点、线、面的距离问题】
【例7】（2023上·天津北辰·高二统考期末）在四棱锥P−ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2BC=4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（ ）
A．25B．23C．2D．1
【变式7-1】（2023上·全国·高二期末）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2，则点C1到平面AB1C的距离为（ ）
A．52B．102C．255D．2105
【变式7-2】（2023下·高二课时练习）正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，点E，F分别为CC1，DD1的中点，且已知A1E与BF所成角的大小为60°，则直线A1E与平面BCF之间的距离为（ ）
A．22B．2C．263D．63
【变式7-3】（2023·广东·统考二模）半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体ABCD−EFGH就是一个半正多面体，其中四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面ABCD与平面EFGH之间的距离为（ ）

A．2B．48C．112D．102
【题型8 平行关系与垂直关系的综合应用】
【例8】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为正方形，已知PD⊥平面ABCD，且PD=AD，E为PC中点．
(1)证明：PA//平面BDE；
(2)证明：平面PCD⊥平面PBC．
【变式8-1】（2023上·上海·高二专题练习）如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，AP//DE.
(1)求证：AB //平面CDE；
(2)若AP=BP=AB，平面PAB⊥平面ABCD.若F为PB中点，求证：AF⊥PC.
【变式8-2】（2023上·上海·高二专题练习）如图，在三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．已知PA＝AB，D,E分别为PB,BC的中点．
(1)求证：AD⊥平面PBC；
(2)若点F在线段AC上，且满足AD//平面PEF，求AFFC的值．
【变式8-3】（2023上·上海·高二阶段练习）已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，AD=2BC=22，PA=3PD=3．

(1)求证：BE//平面PDC；
(2)求证：AB⊥平面PBD；
(3)求三棱锥B−DEP的体积．