第14讲 专题03 等腰（边）三角形的判定与性质（30题）-【同步精品】2024年八上数学同步精品讲义（人教版）

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专题第03讲 等腰（边）三角形的判定与性质一．解答题（共30小题）1．（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．【分析】（1）根据角平分线定义得到∠DAF＝∠CAF，根据平行线的性质得到∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，于是得到结论；（2）根据三角形的内角和得到∠BAC＝100°，由三角形的外角的性质得到∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，根据角平分线定义得到ACE＝70°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AF平分∠DAC，∴∠DAF＝∠CAF，∵AF∥BC，∴∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：∵AB＝AC，∠B＝40°，∴∠ACB＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°，∴∠ACE＝∠BAC+∠B＝140°，∵CG平分∠ACE，∴ACE＝70°，∵AF∥BC，∴∠AGC＝180°﹣∠BCG＝180°﹣40°﹣70°＝70°．2．（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）△AEF是等腰三角形，理由：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∴∠AEF＝∠AFE，∴△AEF是等腰三角形；（2）∵△ABC的周长为18，BC＝6，∴AB+AC＝18﹣6＝12，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝ED，同理DF＝CF，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12．3．（2023春•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．【分析】（1）由角平分线求出∠ABF的度数，再利用外角的性质即可；（2）证出△ABD≌△CBD，得出△ABC是等边三角形即可解决问题．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝35°，∵AF⊥AB，∴∠BAF＝90°，∴∠AFE＝125°．（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝CDB＝90°，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠ABF＝30°，∴AF＝4，在Rt△ADF中，DF＝2．4．（2023春•淄博期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E，（1）试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；（2）当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．【分析】（1）根据已知条件得出∠C+∠E＝90°，∠B+∠BDF＝90，再根据∠B＝∠C得出∠BDF＝∠E，最后根据∠BDF＝∠ADE，得出∠E＝∠ADE，即可证出AD＝AE．（2）作法同（1）完全相同．【解答】解：（1）AD＝AE；理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DF⊥BC，∴∠BDF+∠B＝90°，∠C+∠E＝90°，∴∠E＝∠BDF，∵∠BDF＝∠EDA，∴∠E＝∠EDA，∴AE＝AD；（2）成立；∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DF⊥BC，∴∠BDF+∠B＝90°，∠C+∠FEC＝90°，∴∠FEC＝∠BDF，∵∠FEC＝∠AED，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD．5．（2023春•郫都区期末）如图，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，DE∥BN交BC于点E．（解答过程要求写出每步推导的理由）（1）求∠BDC的度数；（2）若AB＝AC，求证：AE⊥BC．【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CBN+∠BCM＝180°，再根据角平分线的定义可得∠NBD＝∠DBE＝∠NBC，∠ECD＝∠DCM＝∠BCM，然后再利用等式的性质可得∠DBC+∠ECD＝90°，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得△BED和△CED是等腰三角形，从而可得BE＝DE，CE＝DE，进而可得BE＝CE，然后根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答．【解答】（1）解：∵BN∥AM（已知），∴∠CBN+∠BCM＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵CD、BD分别是∠BCM、∠CBN的角平分线（已知），∴∠NBD＝∠DBE＝∠NBC，∠ECD＝∠DCM＝∠BCM（角平分线的定义），∴∠DBC+∠ECD＝（∠NBC+∠BCM）＝90°（等式的性质），∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠ECD）＝90°（三角形内角和定理）；（2）证明：∵DE∥BN（已知），∴∠NBD＝∠BDE（两直线平行，内错角相等），∵∠NBD＝∠DBE（已证），∴∠BDE＝∠DBE（等量代换），∴EB＝ED（等角对等边），∵AM∥BN（已知），∴DE∥AM（平行于同一条直线的两条直线平行），∴∠EDC＝∠DCM（两直线平行，内错角相等），∵∠DCM＝∠ECD（已证），∴∠EDC＝∠ECD（等量代换）∴EC＝ED（等角对等边），∴EB＝EC（等量代换），∵AB＝AC（已知）∴AE⊥BC（等腰三角形的三线合一）．6．（2023春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，若AB＝6，BD＝2，求CD的长．解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，∵ED＝BD，AD⊥BC，∴AB＝AE（ 　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等　）．∴　∠ABE　＝∠AEB（ 　等边对等角　）．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C．∵∠AEB+∠AEC＝180°（ 　平角定义　），∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（ 　三角形内角和等于180°　），∴∠AEB＝∠EAC+∠C．∴　∠C　＝∠EAC．∴　EA　＝　EC　（ 　等角对等边　）．∴AB＝CE（ 　等量代换　）．∵AB＝6，BD＝2，∴CE＝6，ED＝2．∴CD＝CE+ED＝6+2＝8．【分析】在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，先根据线段垂直平分线的性质可得AB＝AE，从而可得∠ABE＝∠AEB，进而可得∠AEB＝2∠C．然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得∠AEB＝∠EAC+∠C，从而可得∠C＝∠EAC，进而可得EA＝EC，再利用等量代换可得AB＝CE＝6，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，∵ED＝BD，AD⊥BC，∴AB＝AE（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等），∴∠ABE＝∠AEB（等边对等角）．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C．∵∠AEB+∠AEC＝180°（平角定义），∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（三角形内角和等于180°），∴∠AEB＝∠EAC+∠C．∴∠C＝∠EAC．∴EA＝EC（等角对等边）．∴AB＝CE（等量代换）．∵AB＝6，BD＝2，∴CE＝6，ED＝2．∴CD＝CE+ED＝6+2＝8，故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；∠ABE；等边对等角；平角定义；三角形内角和等于180°；∠C；EA；EC；等角对等边；等量代换．7．（2023春•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，再利用三角形的外角性质可得∠BDC＝∠A+∠ACD，从而可得∠BDC＝∠ACB，然后根据等量代换可得∠ABC＝∠BDC．再根据等角对等边可得CD＝CB，即可解答；（2）①根据垂直定义可得∠BEC＝90°，从而可得∠CBE+∠ACB＝90°，然后设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，利用（1）的结论可得∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，最后利用三角形内角和定理可得∠BCD＝2α，即可解答；②根据三角形的外角性质可得∠BFD＝3α，然后分三种情况：当BD＝BF时；当DB＝DF时；当FB＝FD时；分别进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC＝∠A+∠ACD，∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，∴∠BDC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BDC．∴CD＝CB；（2）①∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠ACB＝90°，设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，∴∠BCD＝2∠CBE；②∵∠BFD是△CBF的一个外角，∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，分三种情况：当BD＝BF时，∴∠BDC＝∠BFD＝3α，∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，∴90°﹣α＝3α，∴α＝22.5°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；当DB＝DF时，∴∠DBE＝∠BFD＝3α，∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，∴90°﹣2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；当FB＝FD时，∴∠DBE＝∠BDF，∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD，综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．8．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．【分析】（1）利用平行线的性质得出∠1＝∠3，进而利用等腰三角形的性质得出AC＝AD即可；（2）由（1）知∠1＝∠2＝∠3，根据已知条件得到∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠ABC＝40°，根据平行线的选择得到∠ADC+∠ACD＝180°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°．9．（2023春•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC延长线上，点E在边AC上，且DE＝BE＝AE，延长线段DE交边AB于点F．（1）说明△AEF是等腰三角形的理由；（2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得：∠A＝∠AEF，从而可得结论；（2）设∠A＝x，∠D＝y，当△BEF是等腰三角形时，存在两种情况：①当∠BFE＝∠BEF时，2x＝2y，②当∠BEF＝∠ABE时，x＝2y，根据三角形内角和定理列方程可解答．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D，∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE，∠ACB＝∠D+∠CED，∴∠ABE＝∠CED，∵AE＝BE，∴∠A＝∠ABE，∵∠AEF＝∠CED，∴∠A＝∠AEF，∴AF＝EF，∴△AEF是等腰三角形；（2）设∠A＝x，∠D＝y，∴∠ABE＝x，∠BFE＝∠A+∠AEF＝2x，∠BEF＝∠D+∠DBE＝2y，∴∠BFE≠∠ABE，∴当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况：①当∠BFE＝∠BEF时，2x＝2y，∴x＝y，△AEF中，2x+2y+x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°；②当∠BEF＝∠ABE时，x＝2y，∵2x+2y+x＝180°，∴4x＝180°，∴x＝45°，∴∠A＝45°，综上，∠A的度数为36°或45°．10．（2022秋•祁阳县期末）（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）【分析】（1）按要求画图（作AB的中垂线或作BC的中垂线）即可；（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形，一共有4种情况，分别画图即可；（3）根据（1）（2）中的图形总结即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）设分割线为AD，相应用的角度如图所示：图1的最大角＝39°+78°＝117°，图2的最大角＝24°+180°﹣2×48°＝108°，图3的最大角＝24°+66°＝90°，图4的最大角＝84°，故△ABC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：①该三角形是直角三角形；②该三角形有一个角是最小角的2倍；③该三角形有一个角是其中一个角的3倍．11．（2022秋•阳谷县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．（1）求证：△OBC是等腰三角形．（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【分析】（1）AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，可得∠OEB＝∠ODC＝90°；∠BOE＝∠COD，根据内角和定理，可得∠OBE＝∠OCD，∠OBC＝∠OCB，进而可证△OBC是等腰三角形；（2）欲证明O在∠BAC的平分线上，只需推知OE＝OD即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AC与AB边上的高BD、CE相交于点O，∴∠OEB＝∠ODC＝90°，∵∠BOE＝∠COD，∠OBE＝180°﹣（∠OEB+∠BOE），∠OCD＝180°﹣（∠ODC+∠COD），∴∠OBE＝∠OCD，∵∠OBC＝∠ABC﹣∠OBE，∠OCB＝∠ACB﹣∠OCD，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形；（2）解：在△BEO与△CDO中，，∴△BEO≌△CDO（AAS），∴OE＝OD，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴O在∠BAC的平分线上．12．（2022秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．【分析】（1）由AB＝AC，可知∠B＝∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90，然后余角的性质可推出∠F＝∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F＝∠FDA，于是得到结论；（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵∠F＝30°，BD＝4，∴BE＝BD＝2，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AD+BD＝6，∴EC＝BC﹣BE＝4．13．（2022秋•开福区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的长．【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可；（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可．【解答】（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD，∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC，即△CDE是等腰三角形；（2）解：∵DE∥BC，∠ABC＝30°，∴∠ADE＝∠ABC＝30°，又∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，由（1）可知，∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝30°，∵BF＝DF，∴∠B＝∠BDF＝30°，∴∠DFC＝30°+30°＝60°，在Rt△DFC中，∠FDC＝90°，∠FCD＝30°，∴，又∵DF＝BF，BC＝12，∴．14．（2022秋•沙依巴克区校级期末）如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．【分析】（1）证明△ABC≌△ADC，即可得出BC＝DC；（2）在等腰三角形BCD中先求出∠CBD＝∠CDB＝25°，即可求出∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝75°．【解答】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SAS），∴BC＝DC，∴△BCD是等腰三角形；（2）∵BC＝DC，∠BCD＝130°，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣130°）＝25°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝50°+25°＝75°．15．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．【解答】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形．解：（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③当∠ADO＝∠OAD时，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．16．（2023春•榆阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：（1）△ADC是等边三角形；（2）点E在线段CD的垂直平分线上．【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据DE是AB的垂直平分线，可得，即可证明△ADC是等边三角形；（2）根据垂直平分线的性质可得AE＝BE，进而可得AE平分∠BAC，根据角平分线的性质可得DE＝DC，根据等边三角形的性质可得AD＝AC，即可得证．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，，∵DE是AB的垂直平分线，∴，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形；（2）证明：DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，DE⊥AB，∴∠EAB＝∠B＝30°，则∠EAC＝∠BAC﹣∠EAB＝30°，∴∠BAE＝∠CAE，∴AE平分∠BAC，∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝DC，∵△ADC是等边三角形，∴AD＝AC，∴点E在线段CD的垂直平分线上．17．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．（1）求证：△ADB是等边三角形．（2）求证：AE⊥DB．【分析】（1）直接根据等边三角形的判定定理可得结论；（2）由平行线的性质可得∠BEC＝∠ADB＝60，根据等边三角形的判定与性质可得CE＝BE＝CB，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案．【解答】证明：（1）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，∵∠ADB＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝30°，∵DC⊥AB，∴∠DCB＝∠DCA＝90°，∴∠B＝∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOB＝∠B＝∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形；（2）∵CE∥DA，∴∠BEC＝∠ADB＝60，∴∠CEB＝∠CBE＝∠ECB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝BE＝CB，∵∠BDC＝30°，∠DCB＝90°，∴BC＝BD，∴CE＝BD，∴E是BD的中点，∴AE是边BD的中线，∵△ADB是等边三角形，∴AE⊥BD．18．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．【解答】解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，＝∠ADC+60°+∠BED，＝∠CED+60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM＝AD，BN＝BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．19．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE　＝　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，由三角形ABC为等边三角形，得到三角形AEF为等边三角形，进而得到AE＝EF＝AF，BE＝FC，再由ED＝EC，以及等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到DB＝EF，等量代换即可得证；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝20．（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．【分析】（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到△ACN≌△MCB，结论得证；（2）由（1）中的全等可得∠CAN＝∠CMB，进而得出∠MCF＝∠ACE，由ASA得出△CAE≌△CMF，即CE＝CF，又ECF＝60°，所以△CEF为等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，∴AC＝MC，BC＝NC，∠ACM＝∠NCB＝60°，∴∠ACM+∠MCN＝∠NCB+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB，在△ACN和△MCB中，∵，∴△ACN≌△MCB（SAS），∴AN＝BM．（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠CAN＝∠CMB，又∵∠MCF＝180°﹣∠ACM﹣∠NCB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠MCF＝∠ACE，在△CAE和△CMF中，∵，∴△CAE≌△CMF（ASA），∴CE＝CF，∴△CEF为等腰三角形，又∵∠ECF＝60°，∴△CEF为等边三角形．21．（2022秋•南充期末）如图，在等边△ABC中，AC＝12cm，点M以2cm/s的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以3cm/s的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为ts．（1）在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？（2）在点M，N运动过程中，△BMN的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间t；若不能，请说明理由．【分析】（1）由等边三角形的判定，当BM＝BN时，△BMN是等边三角形，由此即可解决问题；（2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）由题意得：BM＝2t，BN＝12﹣3t．则当BM＝BN时，△BMN是等边三角形．∴2t＝12﹣3t．解得：t＝．∴经过s时△BMN为等边三角形；（2）分两种情况：①如图1，当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BNM＝30°．∴．∴．∴．②如图2，当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30°．∴．∴．∴t＝3．∴在点M，N运动过程中，当运动时间或t＝3s时，△BMN为直角三角形．22．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．（1）求证：△ACD为等边三角形；（2）求∠BAC的度数．【分析】（1）根据＝∠C＝60°计算出∠ADC＝60°，然后求出∠C＝60°，利用等边三角形的判定从而得证；（2）根据＝∠C＝60°°，然后求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°，∵AE⊥BC，，∴∠AEC＝90°∴∠C+∠CAE＝90°．∵∠CAE＝30°，∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADC＝∠C＝60°，∴AD＝AC，∴△ACD为等边三角形；（2）由（1）得：∠C＝60°，∵△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝40°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°．23．（2022春•林甸县期末）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）根据题意得出EC＝CD＝DB，进而可证得△ABD≌△ACE，从而可判断出结论．（2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，从而证得△ADF≌△EDC，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，∴∠ACE＝∠BAC＝∠ABD＝60°，AB＝AC，∵BD＝CD，∴AD⊥BC∵∠ADE＝60°，∴∠EDC＝30°，∴∠DOC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝90°，∴∠DEC＝∠DOC﹣∠ACE＝30°，∴∠EDC＝∠DEC，∴EC＝CD＝DB，∴△ABD≌△ACE．∴AD＝AE，且∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形；（2）在AC上取点F，使CF＝CD，连接DF，∵∠ACB＝60°，∴△DCF是等边三角形，∵∠ADF+∠FDE＝∠EDC+∠FDE＝60°，∴∠ADF＝∠EDC，∵∠DAF+∠ADE＝∠DEC+∠ACE，∴∠DAF＝∠DEC，∴△ADF≌△EDC（AAS），∴AD＝ED，又∵∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形．24．（2021秋•随县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，再由AD＝AB，即可得出结论；（2）由△ABD是等边三角形，得出BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，证出∠BDE＝∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE＝AF．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形；（2）证明：∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BD＝AD∵∠EDF＝60°，∴∠ABD＝∠EDF，∴∠ABD﹣∠ADE＝∠EDF﹣∠ADE，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE与△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF．25．（2021秋•白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∵CE∥AB，∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，∴△DEF是等边三角形；（2）连接AC交BD于点O，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC是BD的垂直平分线，即AC⊥BD，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，∴AE＝CE＝8，∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE＝4，∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．26．（2021秋•阎良区期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．27．（2022春•汝州市期末）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为 　60°　．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．【分析】（1）∠A是顶角，则∠B是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；∠B是顶角，则∠A是底角，则根据等腰三角形的两个底角相等，以及三角形的内角和定理即可求解；∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，根据等腰三角形的两个底角相等即可求解；（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）当∠A＝80°为顶角时，∠B＝＝50°；当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°；（2）因为有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所以∠B＝60°，故答案为：60°．（3）分两种情况：设∠A＝x°，①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B＝（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0°＜∠A＜90°且x≠60°时，∠B有三个不同的度数．28．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB＝30°，∠ABC＝60°，根据AE＝EB＝BD，可得∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，根据等角对等边即可证得结论；（2）根据平行线的性质证得∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，即可证得结论；（3）先求得BE＝FC，然后证得△DBE≌△EFC即可；【解答】证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB＝BC＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，∵E是AB中点，∴AE＝BE，∵AE＝BD∴BE＝BD，∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∠EDB＝∠DEB＝∠ACB＝30°，∴∠EDB＝∠ECB，∴EC＝ED；（2）如图2，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠C＝60°，∴△AEF为等边三角形；（3）EC＝ED；理由：∵∠AEF＝∠ABC＝60°，∴∠EFC＝∠DBE＝120°，∵AB＝AC，AE＝AF，∴AB﹣AE＝AC﹣AF，即BE＝FC，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴ED＝EC．29．（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有 　5　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是 　BE+CF＝EF　，△AEF的周长是 　20　（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC＝10”其余条件不变，则图中共有 　2　个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；（2）根据角平分线的定义可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后求出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，再根据等角对等边可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；（3）由（2）知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系．【解答】解：（1）BE+CF＝EF．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．故答案为：5；BE+CF＝EF；20；（2）BE+CF＝EF，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．可得△AEF的周长为18．（3）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF．30．（2021秋•大荔县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．【分析】（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；（2）延长ED使得DW＝DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案；（3）利用等边三角形的性质得出∠H＝∠2，进而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，BC＝．∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°．∴DA＝DB．∵DE⊥AB于点E．∴AE＝BE＝．∴BC＝BE．∴△EBC是等边三角形；（2）结论：AD＝DG+DM．证明：如图2所示：延长ED使得DW＝DM，连接MW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，又∵DM＝DW，∴△WDM是等边三角形，∴MW＝DM，在△WGM和△DBM中，∵∴△WGM≌△DBM，∴BD＝WG＝DG+DM，∴AD＝DG+DM．（3）结论：AD＝DG﹣DN．证明：延长BD至H，使得DH＝DN．由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．