数学九年级下册6.7用相似三角形解决问题精品随堂练习题

6.7用相似三角形解决问题苏科版初中数学九年级下册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度如图，点为沙坑底面所在圆的圆心，为其顶点，甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，当他位于时，其视线恰好经过沙坑坑沿圆周上一点看到坑底甲同学的视线起点与点，点三点共线，为了求得圆锥形坑的深度圆锥的高，该同学列出了如下表达式，其中不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，，表示足球门边框不考虑球门的高度的两个端点，点表示射门点，连接，，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门垂直，为垂足，点在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为：，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，某测量工作人员站在地面点处利用标杆测量一旗杆的高度．测量人员眼睛处点与标杆顶端处点，旗杆顶端处点在同一直线上，点，，也在同一条直线上．已知此人眼睛到地面距离米，标杆高米，且米，米，则旗杆的高度为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

6. 如图，为了估算河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点，，，，使得，与共线，，与共线，且直线与河岸垂直，直线，均与直线垂直．经测量，得到，，的长度，设的长为，则下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，点恰好落在点处，与交于点，连接交于点，交于点，下列结论不正确的是(    )

A.  B. 是等边三角形
C.  D.

8. 学校教学楼前面有一根高是米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是米，与此同时，在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是米，则此大树的高度是 (    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度如图，在距离教学楼为米的点处竖立一个长度为米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点、直杆顶点和教学楼顶点三点共线测得人与直杆的距离为米，人眼高度为米，则教学楼的高度为米．(    )

A.  B.  C.  D.

11. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸提示：丈尺，尺寸，则竹竿的长为(    )

A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺

12. 如图，有一块三角形余料，它的面积为，边，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则加工成的正方形零件的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，小雅同学在利用标杆测量建筑物的高度时，测得标杆高，又知：：，则建筑物的高是______．

14. 据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是          ．

15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板的斜边与地面保持平行，并使边与旗杆顶点在同一直线上．测得米，米，目测点到地面的距离米，到旗杆的水平距离米．按此方法，请计算旗杆的高度为______米．

16. 如图，为估算某鱼塘的宽的长，在陆地上取点，，，使得，，在同一条直线上，，，在同一条直线上，且，若测得的长为，则的长为______

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

17. 月日上午，庆祝中国共产主义青年团成立周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在处竖立一根标杆，地面上的点、标杆顶端和点在一条直线上，米，米，米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在点时点、、在一条直线上，米，米，，已知，，，点、、、在同一水平直线上，点在上，求旗帜的宽度．

18. 在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的几何原本，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题圆幂定理切割线定理内容如下：
    切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
    比例中项的定义：如果、、三个量成连比例即：：，则叫做和的比例中项
    为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
    已知：如图，是圆外一点，是圆的切线，直线为圆的割线．
    求证：
    证明：
    如图，已知，，则的长度是______．

19. 小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中、、、、五点在同一直线上，、、三点在同一直线上，且，已知小明的身高为米，求旗杆的高．

20. 如图，花丛中有一路灯杆，在灯光下，大华在点处的影长米，他沿方向行走到达点，米，这时大华的影长米若大华的身高为米，求路灯杆的高度．

21. 如图是夹文件用的铁塑料夹子在常态下的侧面示意图，，表示铁夹的两个面，是轴，于点，已知，，已知文件夹是轴对称图形，求图中，两点的距离
     

22. 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九章“勾股”，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．如图，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长里，南北向城墙长里，各城墙正中均开一城门．走出东门里处有棵大树，问：走出南门多少步恰好能望见这棵树？”注：里步

23. 如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，眼睛处看到标杆顶，树顶在同一条直线上人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上已知米，米，米，求树高．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：延长到，连接，

由题知，，，
∽，
，，，
故A、、三项结论正确不符合题意，选项结论错误，符合题意，
故选：．
延长到，连接，证∽得出比例关系，作出判断即可．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是相似三角形的应用的有关知识，根据题意当最大时，，然后利用相似三角形的性质进行求解即可．
【解答】
解：，，
，
当最大时就是带球线路上的最佳射门角，
，
，
，
．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：由题意知：，
则，，
∽，
，
，
米，
故选：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查相似三角形的应用．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．
【解答】
解：设投影三角板的对应边长为，
三角板与投影三角板相似，
：：，
解得，
经检验是原方程的解，
即投影三角板的对应边长为．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：作交于点，如图所示：
，，交于点，
，
，，，，
，，
，，，，
，，
，
，
解得：，

答：电视塔的高是米，
故选：．
作交于点，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形．利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得：∽，
则，
故，
故选：．
直接利用相似三角形的应用，正确得出∽，进而得出比例式即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
如图，首先运用勾股定理求出的长度，进而求出，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明为等边三角形；运用射影定理求出线段、之间的数量关系，进而证明选项B、、成立，选项A不成立
该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；
解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
【解答】
解：如图，四边形为矩形，
；由勾股定理得：
，而，，
，，
；由翻折变换的性质得：
，，
，，，
，，，
为等边三角形，
故选项B、成立，选项A不成立；
由射影定理得：，
，，
；由题意得：
，
，
故选项D正确；
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】
解：设树高为米，
根据题意得，，
解得：，
故选：．
  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
作于点，则四边形为矩形，米，米，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到”，求出从而可得到的长．
【解答】
解：作于点，则四边形为矩形，米，米，

根据题意得，即，
解得米，
所以米，
即旗杆的高度为．  

10.【答案】 

【解析】解：过点作的平行线，交与，与，

由已知得：，
∽，
，即，
解得：米，
米；
故旗杆的高度是米；

过点作的平行线，交与，与，由题意得出，，证出∽，得出对应边成比例，求出，即可得出结果；

本题考查了相似三角形的应用、相似三角形的判定与性质；由题意证出三角形相似得出对应边成比例是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【解答】
解：设竹竿的长度为尺，
竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，影长五寸尺，
，
解得尺四丈五尺．
即竹竿的长为四丈五尺．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质和相似三角形的应用，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键．
作边上的高交于点，根据面积为，边得到，然后设正方形的边长为，则，通过证明∽利用相似比可得比例式，然后根据比例性质求出即可；
【解答】
解：作边上的高交于点，

面积为，边，
，
设正方形的边长为，则，
，
，
∽，
，即，
解得．
故选：．  

13.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
：：，
：：，
：：，
，
，
故答案为：．
先证明∽，根据相似三角形的性质可得：：，根据已知条件即可求出的值．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
∽，
则，即，
解得：，
故AB米，
即旗杆的高度为米；
故答案为：．
根据题意证出∽，进而利用相似三角形的性质得出的长，即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的应用；由三角形相似得出对应边成比例是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为：．
首先根据两边对应成比例且夹角相等可得∽，再根据对应边成比例可得答案．
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
 

17.【答案】解：如图，延长交于，则，，

，，
，
∽，
，即，
，
同理得：∽，
，
，
，
米．
答：旗帜的宽度是米． 

【解析】如图，延长交于，则，，证明∽和∽，可得和的值，最后由线段的和差可得结论．
本题考查解直角三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】求证：；
证明：如图，连接，连接并延长交于点，连接，，

是的切线，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
由可知：，
，，
，
负值舍．
故答案为：．
按照题设要求，写出“求证”，作辅助线，构建相似三角形，然后证明∽，即可求解；
将数值代入中的结论计算可得答案．
本题是新定义问题，主要考查了切线的性质、新定义和三角形相似、命题的知识等，正确理解题意是本题解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
∽，
，即，
，
同理得∽，
，即，
，
米，
答：旗杆的高是米． 

【解析】先证明∽，列比例式可得的长，再证明∽，可得的长，最后由线段的差可得结论．
本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：，
∽．
，
即
，
∽．
，即
由，得，
解得．
．
解得．
故路灯杆的高度为米． 

【解析】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
根据相似三角形的判定，由得∽，利用相似比有，同理可得，然后解关于和的方程组求出即可．
 

21.【答案】解：如图，连接，与的延长线交于点，

夹子是轴对称图形，对称轴是，、为一组对称点，
，．
在、中，
，是公共角，
∽，
，
又，
，
． 

【解析】本题利用了相似三角形的性质求解，难易程度适中．
根据题意，易得∽，得，由勾股定理得出的值代入比例式即可．
 

22.【答案】解：由题意得，，

里，里，里，
∽ ，
，即，
解得里步，
走出南门步恰好能望见这棵树．

【解析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意写出、、的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
 

23.【答案】解：过作交于点，交于点，如下图所示：

由已知得，，，，
，，
四边形为矩形，
米，米，米，
米，
，，
  ，
∽，
，
，
解得，
米．
答：树高为米． 

【解析】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．过作交于点，交于点，可证明四边形为长方形，可得的长；可证明∽，故可求得的长，所以树高的长即可知．