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数学必修 第一册1.2 集合间的基本关系优秀当堂达标检测题
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这是一份数学必修 第一册1.2 集合间的基本关系优秀当堂达标检测题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022秋•东城区校级月考）集合M＝{x|x2﹣1＝0}，集合N＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则集合M∪N的子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
2．（2022秋•渝中区校级月考）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B＝{x|x∈A且∈N}，则集合B的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
3．（2022秋•长乐区校级月考）已知集合M＝{x∈Z||x|＜5}，则下列式子中正确的是（ ）
A．2.5∈MB．0⊆MC．{0}⊆MD．{0}∈M
4．（2022秋•河南月考）若M⊆{x∈N|x≤4}，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为（ ）
A．16B．20C．24D．32
5．（2022秋•望城区校级月考）已知集合，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•海安市校级月考）已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．±1
7．（2022秋•雨花台区校级月考）集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．0＜a＜4
C．a＜0或a≥4D．或0＜a＜4
8．（2021春•南京月考）已知A，B，C⊆{1，2，3…，2020，2021}，A⊆C，B⊆C，则有序集合组{A，B，C}有几组（ ）
A．22021B．32021C．42021D．52021
9．（2021秋•奉贤区校级月考）设Q是有理数集，集合X＝{x|x＝a+b，a，b∈Q，x≠0}，在下列集合中：
①{2x|x∈X}；
②{|x∈X}；
③{|x∈X}；
④{x2|x∈X}．
与X相同的集合有（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③
10．（2021秋•河南月考）定义：[A]表示集合A中元素的个数，A⊗B＝．已知集合M＝{1，2}，集合A＝{x|x⊆M}，集合B＝{x|x（x2﹣1）（x2﹣ax+4）＝0}，若A⊗B＝1，则a的取值范围是（ ）
A．{a|﹣4＜a＜5}B．{a|a≠±4}
C．{a|﹣5＜a＜4}D．{a|a≠±4且a≠±5}
二、填空题。
11．（2022秋•雨花台区校级月考）已知集合A，满足x∈A，则．若集合A只有2个子集，则x＝ ．
12．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知集合A，B，U，满足A⊆U，B⊆U，且A∪B＝U时，则称集合对（A，B）为集合U的最优子集对．若U＝{1，2，3，4}，则集合U的最优子集对的对数为 ．
13．（2022秋•武清区校级月考）集合A＝{x|x＜﹣1或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 ．
14．（2022秋•金溪县校级月考）若集合{a，，1}＝{a2，a+b，0}，则a2021+b2021＝ ．
15．（2021秋•湖北期中）若集合Un＝{1，2，3，⋯，n}，n≥2，n∈N*，A，B⊆Un，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对（A，B）为“兄弟集合对”．当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有 对；当n≥3时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有n的表达式作答）．
16．（2021秋•黄浦区校级期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}；
与集合M相等的集合序号是 ．
三、解答题。
17．（2022秋•洛阳月考）已知集合A＝{a﹣3，2a2+5a，0}，且﹣3∈A．
（1）求实数a的取值的集合M；
（2）写出（1）中集合M的所有子集．
18．（2022秋•沈北新区校级月考）已知集合A＝{2，3}，B＝{x|x2+ax+b＝0}．
（1）若A＝B，求实数a，b的值；
（2）若A∩B＝{3}且A∪B＝A，求实数a，b的值．
19．（2022秋•安化县校级月考）若集合P满足P∩{4，6}＝{6}，P∩{8，10}＝{10}，且P⊆{1，3，4，6，8，10}，求集合P可能有几种情况？请分别列举出来．
20．（2022秋•南山区月考）已知集合Y＝{b|b＝2t+1，t∈Z}，Z＝{c|c＝4m±1，m∈Z}，求证：Y＝Z．
21．（2022秋•渝中区校级月考）A＝{x|x2﹣4x+4﹣a2≤0}，B＝{x|≥2}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若A⊆∁RB，求a的取值范围．
22．（2022秋•南岗区校级月考）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A且u≠v}且为集合A的生成集．
（1）当A＝{1，2，3，4}时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．
23．（2022秋•东城区校级月考）定义：若任意m，n∈A（m，n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B＝{x|x＝，m，n∈A}称为集合A的生成集：
（Ⅰ）求集合A＝{3，4}的生成集B；
（Ⅱ）若集合A＝{a，2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
（Ⅲ）若集合﹣1≤A≤1，A的生成集为B，求证A＝B．
24．（2022•朝阳区二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
25．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{1，2，3，⋯，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．
（1）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；
（2）当时n＝1010，若集合S具有性质P，
①判断集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②求集合中S元素个数的最大值．
专题1.2 集合间的基本关系（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•东城区校级月考）集合M＝{x|x2﹣1＝0}，集合N＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则集合M∪N的子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】B。
【解答】解：M＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，N＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
则M∪N＝{﹣1，1，2}，
故集合M∪N的子集个数为23＝8．
故选：B．
2．（2022秋•渝中区校级月考）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B＝{x|x∈A且∈N}，则集合B的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B。
【解答】解：依题意B＝{2，3，4}，所以集合B的子集的个数为23＝8．
故选：B．
3．（2022秋•长乐区校级月考）已知集合M＝{x∈Z||x|＜5}，则下列式子中正确的是（ ）
A．2.5∈MB．0⊆MC．{0}⊆MD．{0}∈M
【答案】C。
【解答】解：集合M＝{x∈Z||x|＜5}，则M＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，
故{0}⊆M，0∈M，2.5∉M，
故选：C．
4．（2022秋•河南月考）若M⊆{x∈N|x≤4}，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为（ ）
A．16B．20C．24D．32
【答案】C。
【解答】解：集合{x∈N|x≤4}＝{0，1，2，3，4}，其中质数有2，3，
因为集合{0，1，2，3，4}的子集个数为25＝32，而集合{0，1，4}的子集个数为23＝8，
所以集合{0，1，2，3，4}的子集中，一个质数也没有的子集有8个，
所以至少含有一个质数的子集为32﹣8＝24个．
故选：C．
5．（2022秋•望城区校级月考）已知集合，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：集合＝{x|}＝{x|﹣1＜x≤2}，
因为A⊆B，则，解得，
即实数a的范围为{a|}，
故选：B．
6．（2022秋•海安市校级月考）已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．±1
【答案】C。
【解答】解：由已知可得a≠0，则b＝0，
所以集合转化为{a，0，1}＝{a2，a，0}，且a≠1，
则a2＝1，解得a＝﹣1或1（舍去），
故a＝﹣1，b＝0，
则a2021+b2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故选：C．
7．（2022秋•雨花台区校级月考）集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．0＜a＜4
C．a＜0或a≥4D．或0＜a＜4
【答案】B。
【解答】解：因为集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，
则当A＝∅时，Δ＝a²﹣4a＜0，即0＜a＜4，
当A＝{1}时，，无解，
故a的取值范围为0＜a＜4，
故选：B．
8．（2021春•南京月考）已知A，B，C⊆{1，2，3…，2020，2021}，A⊆C，B⊆C，则有序集合组{A，B，C}有几组（ ）
A．22021B．32021C．42021D．52021
【答案】D。
【解答】解：当集合C中有2021个元素时，不同的有序集合组（A，B，C）有 C•22021•22021个，
当集合C中有2020个元素时，不同的有序集合组（A，B，C）有C•22020•22020个，
•••
当集合C中有0个元素时，不同的有序集合组（A，B，C）有 C•20•20个，
∴总数为：C•22021•22021+C•22020•22020+•••+C•20•20＝C•42021+C•42020+•••+C＝（1+4）2021＝52021．
故选：D．
9．（2021秋•奉贤区校级月考）设Q是有理数集，集合X＝{x|x＝a+b，a，b∈Q，x≠0}，在下列集合中：
①{2x|x∈X}；
②{|x∈X}；
③{|x∈X}；
④{x2|x∈X}．
与X相同的集合有（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③
【答案】D。
【解答】解：对∀x∈X＝{x|x＝a+b，a，b∈Q，x≠0}，
∃a，b∈Q，使x＝a+b，且x≠0，则x＝2（+），
∵∈Q，∈Q，+∈X，x∈{2x|x∈X}，即X⊆{2x|x∈X}；
对∀x∈{2x|x∈X}，∃a，b∈Q，使x＝2（a+b），且x≠0，
x＝2a+2b，∵2a∈Q，2b∈Q，x≠0，∴x∈X，即{2x|x∈X}⊆X；
故{2x|x∈X}＝X．故①正确；
＝＝b+，
同理可证{|x∈X}＝X，故②正确；
＝＝﹣，
同理可证{|x∈X}＝X，故③正确；
x2＝（a+b）2＝a2+2b2+2ab，
则﹣1∈X，﹣1∉{x2|x∈X}，故④错误；
故选：D．
10．（2021秋•河南月考）定义：[A]表示集合A中元素的个数，A⊗B＝．已知集合M＝{1，2}，集合A＝{x|x⊆M}，集合B＝{x|x（x2﹣1）（x2﹣ax+4）＝0}，若A⊗B＝1，则a的取值范围是（ ）
A．{a|﹣4＜a＜5}B．{a|a≠±4}
C．{a|﹣5＜a＜4}D．{a|a≠±4且a≠±5}
【答案】D。
【解答】解：∵M＝{1，2}，
∴A＝{x|x⊆M}＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}，
∴[A]＝4，
又∵A⊗B＝1，
∴[B]＝3或[B]＝5，
∵方程x（x2﹣1）＝0的解为﹣1，0，1；
方程x2﹣ax+4＝0可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，
∴[B]＝3或[B]＝4或[B]＝5，
故只需要排除[B]＝4，
若[B]＝4，
①当Δ＝a2﹣16＝0，即a＝±4时，
B＝{﹣1，0，1，2}或B＝{﹣1，0，1，﹣2}，成立，
②若﹣1是方程x2﹣ax+4＝0的根，则a＝﹣5，
B＝{﹣1，0，1，﹣4}，成立，
③若1是方程x2﹣ax+4＝0的根，则a＝5，
B＝{﹣1，0，1，4}，成立，
0不可能是方程x2﹣ax+4＝0的根，
综上所述，
当且仅当a＝±4或a＝±5时，[B]＝4，
故a的取值范围是{a|a≠±4且a≠±5}，
故选：D．
二、填空题。
11．（2022秋•雨花台区校级月考）已知集合A，满足x∈A，则．若集合A只有2个子集，则x＝ 3或﹣1 ．
【答案】3或﹣1。
【解答】解：若集合A只有2个子集，则集合A中只有一个元素，
则x＝，解得x＝3或﹣1，
故答案为：3或﹣1．
12．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知集合A，B，U，满足A⊆U，B⊆U，且A∪B＝U时，则称集合对（A，B）为集合U的最优子集对．若U＝{1，2，3，4}，则集合U的最优子集对的对数为 81 ．
【答案】81。
【解答】解：当A＝∅，B＝U，共1对；
当A＝{1}，B＝{2，3，4}或B＝{1，2，3，4}，共2对，同理，当A＝{2}，A＝{3}，A＝{4}时，各2对，共4×2＝8对；
当A＝{1，2}，B中一定有3和4，共4对，同理，当A＝{1，3}，A＝{1，4}•••，A＝{3，4}，各4对，共×4＝24对；
当A＝{1，2，3}，B中一定有4，共8对，同理，当A＝{1，2，4}•••，A＝{2，3，4}，各8对，共32对；
当A＝{1，2，3，4}，B⊆{1，2，3，4}，共16对；∴共81对，
故答案为：81．
13．（2022秋•武清区校级月考）集合A＝{x|x＜﹣1或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 [﹣，1） ．
【答案】[﹣，1）。
【解答】解：因为B⊆A，
当B＝∅时，a＝0满足题意，
当B≠∅时，①a＞0时，集合B＝{x|x≤}，
则只需﹣＜﹣1，解得0＜a＜1，
②当a＜0时，集合B＝{x|x}，则只需﹣，解得﹣，
综上，实数a的范围为[﹣，1），
故答案为：[﹣，1）．
14．（2022秋•金溪县校级月考）若集合{a，，1}＝{a2，a+b，0}，则a2021+b2021＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1。
【解答】解：由已知可得a≠0，则b＝0，
所以集合转化为{a，0，1}＝{a2，a，0}，且a≠1，
则a2＝1，解得a＝﹣1或1（舍去），
故a＝﹣1，b＝0，
则a2021+b2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（2021秋•湖北期中）若集合Un＝{1，2，3，⋯，n}，n≥2，n∈N*，A，B⊆Un，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对（A，B）为“兄弟集合对”．当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有 14 对；当n≥3时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有n的表达式作答）．
【答案】14；×4n﹣2n+。
【解答】解：当n＝3时，Un＝{1，2，3}，
A中的最大元素为2，则B是{1}的非空子集，有21﹣1＝1个，此时A有2个；
A中的最大元素为3，则B是{1，2}的非空子集，有22﹣1＝3个，此时A有4个；
共有这样的“兄弟集合对”4×3+2×1＝14个，
当n≥3时，Un＝{1，2，3，⋯，n}，
当A的最大元素为n，此时A有2n﹣1个，B是＝{1，2，3，⋯，n﹣1}的非空子集，有2n﹣1﹣1个；
当A的最大元素为n﹣1，A有2n﹣2个，B是＝{1，2，3，⋯，n﹣2}的非空子集，有2n﹣2﹣1个；
•••
当A的最大元素为3，A有22个，B是＝{1，2}的非空子集，有22﹣1个；
当A的最大元素为2，A有21个，B是＝{1}的非空子集，有21﹣1个；
故2n﹣1（2n﹣1﹣1）+2n﹣2（2n﹣2﹣1）+2n﹣3（2n﹣3﹣1）+•••+22（22﹣1）+21（21﹣1）
＝22n﹣2﹣2n﹣1+22n﹣4﹣2n﹣2+•••+22×2﹣22+21×2﹣21
＝4n﹣1+4n﹣2+4n﹣3+•••+42+41﹣（21+22+23+•••+2n﹣1）
＝
＝×4n﹣2n+．
故答案为：14；×4n﹣2n+．
16．（2021秋•黄浦区校级期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}；
与集合M相等的集合序号是 ①②④ ．
【答案】①②④。
【解答】解：①是有理数，2b也是有理数，故与集合M相等；
②，
因为都是有理数，符合集合M的形式，故与集合M相等；
③，则x1+x2＝0∉M；
④令，则，，
因为ac+2bd，ad+bc都是有理数，符合集合M的形式，与集合M相等；
故答案为：①②④．
三、解答题。
17．（2022秋•洛阳月考）已知集合A＝{a﹣3，2a2+5a，0}，且﹣3∈A．
（1）求实数a的取值的集合M；
（2）写出（1）中集合M的所有子集．
【解答】解：（1）∵﹣3∈A，则﹣3＝a﹣3或﹣3＝2a2+5a，
∴a＝0，或a＝﹣1，或a＝﹣，
当a＝0时，2a2+5a＝0，集合A不满足互异性，∴a＝0（舍去），
当a＝﹣1时，A＝{﹣4，﹣3，0}；
当a＝﹣时，A＝{﹣，﹣3，0}，
故a的取值集合M＝{﹣1，﹣}，
（2）由（1）知M＝{﹣，﹣1}，
∴M的子集为∅，{﹣，{﹣1}，{﹣，﹣1}．
18．（2022秋•沈北新区校级月考）已知集合A＝{2，3}，B＝{x|x2+ax+b＝0}．
（1）若A＝B，求实数a，b的值；
（2）若A∩B＝{3}且A∪B＝A，求实数a，b的值．
【解答】解：（1）依题意，B＝{x|x2+ax+b＝0}＝{2，3}，
即x2+ax+b＝0恰好两根x1＝2，x2＝3，根据韦达定理：，解得a＝﹣5，b＝6；
（2）A∪B＝A可得B⊆A，又A∩B＝{3}，A＝{2，3}，只可能B＝{3}，于是x2+ax+b＝0只有唯一解x＝3，故，解得a＝﹣6，b＝9．
19．（2022秋•安化县校级月考）若集合P满足P∩{4，6}＝{6}，P∩{8，10}＝{10}，且P⊆{1，3，4，6，8，10}，求集合P可能有几种情况？请分别列举出来．
【解答】解：因为P∩{4，6}＝{6}，P∩{8，10}＝{10}，
所以6∈P，10∈P，4∉P，8∉P，
因为P⊆{1，3，4，6，8，10}，
所以P＝{6，10}，{6，10，1}，{6，10，3}，{6，10，1，3}共4种情况．
20．（2022秋•南山区月考）已知集合Y＝{b|b＝2t+1，t∈Z}，Z＝{c|c＝4m±1，m∈Z}，求证：Y＝Z．
【解答】证明：∵b＝2t+1，t∈Z，
∴t＝2m，m∈Z时，b＝4m+1，m∈Z；t＝2m﹣1，m∈Z时，b＝4m﹣1，m∈Z，
∴Y＝{b|b＝4m±1，m∈Z}，
又Z＝{c|c＝4m±1，m∈Z}，
∴Y＝Z．
21．（2022秋•渝中区校级月考）A＝{x|x2﹣4x+4﹣a2≤0}，B＝{x|≥2}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若A⊆∁RB，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝4时，A＝{x|x2﹣4x+4﹣a2≤0}＝{x|﹣2≤x≤6}，B＝{x|≥2}＝{x|x≤﹣1或x＞6}，
则A∩B＝{x|﹣2≤x≤﹣1}；
（2）因为∁RB＝{x|﹣1＜x≤6}，且A⊆∁RB，又A＝{x|[x﹣（2﹣a）][x﹣（2+a）]≤0}，
当a＝0时，A＝{x|x2﹣4x+4﹣a2≤0}＝{2}，符合题意，
当a＜0时，即A＝{x|2+a≤x≤2﹣a}，则，即﹣3＜a＜0，
当a＞0时，即A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，则，即0＜a＜3，
综上，a的取值范围为（﹣3.3）．
22．（2022秋•南岗区校级月考）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A且u≠v}且为集合A的生成集．
（1）当A＝{1，2，3，4}时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．
【解答】解：（1）A（1，2，3，4}，∴B＝{2，3，4，6，8，12}．
（2）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，且0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
∴B中元素个数大于等于7个，
又A＝{21，22，23，24，25}，B＝{23，24，25，26，27，28，29}，
此时，B中元素个数等于7个，
∴造成集B中元素个数的最小值为7．
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，
不妨设0＜a＜b＜c＜d，则集合A的生成集B＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，
则必有ab＝2，cd＝16，其4个正实数的乘积abcd＝32，
也有ac＝3，bd＝10，其4个正实数的乘积abcd＝30，矛盾，
∴假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}．
23．（2022秋•东城区校级月考）定义：若任意m，n∈A（m，n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B＝{x|x＝，m，n∈A}称为集合A的生成集：
（Ⅰ）求集合A＝{3，4}的生成集B；
（Ⅱ）若集合A＝{a，2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
（Ⅲ）若集合﹣1≤A≤1，A的生成集为B，求证A＝B．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝n＝3时，x＝＝，
当m＝n＝4时，x＝＝，
当m＝3，n＝4或m＝4，n＝3时，x＝＝，
∴B＝{，，}．
（Ⅱ）当m＝n＝2时，x＝＝，
当m＝2，n＝a或m＝a，n＝2时，x＝，
B的子集个数为4个，则B中有2个元素，
∴或＝或，
解得a＝±1或a＝（a＝2舍去），
∴a＝±1或a＝．
（Ⅲ）证明：∀m，n∈（﹣1，1）＝A，
＝＞0，
＜0，
∴﹣1＜＜1，∴B＝（﹣1，1），∴B⊆A，
∵A＝（﹣1，1），∴A⊆B，∴A＝B．
24．（2022•朝阳区二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（I）由题意T（α）＝（2，2，1，1），T2（α）＝（0，1，0，1），T3（α）＝（1，1，1，1），T4（α）＝（0，0，0，0），
T（β）＝（2，2，0，0），T2（β）＝（0，2，0，2），T3（β）＝（2，2，2，2），T4（β）＝（0，0，0，0），
（Ⅱ）由T2（α）＝（1，1，1，1）且xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4），|x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝1，
同理，x2＝0或1时，||x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝|x1﹣x3|＝1，
x3＝0或1时，||x2﹣x3|﹣|x3﹣x4||＝|x2﹣x4|＝1，
x4＝0或1时，||x3﹣x4|﹣|x4﹣x1||＝|x1﹣x3|＝1，
所以（1）等价于，则x1≠x3，x2≠x4，
当x1＝0，x2＝0，则α为（0，0，1，1）满足；
当x1＝0，x2＝1，则α为（0，1，1，0）满足，
当x1＝1，x2＝0，则α为（1，0，0，1）满足，
当x1＝1，x2＝1，则α为（1，1，0，0）满足，
综上，α的所有可能结果（1，0，0，1）、（0，1，1，0）、（1，1，0，0）、（0，0，1，1）．
（Ⅲ）存在正整数n使Tn（α）＝（0，0，0，0）且{n∈N*|n≥6}，理由如下：
由α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3），则T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），
所以T2（α）＝（|x1+x3﹣2x2|，x2﹣x4，|x1+x3﹣2x4|，x2﹣x4），
若a＝|x1+x3﹣2x2|，b＝|x1+x3﹣2x4|，
所以T3（α）＝（|x2﹣x4﹣a|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣a|），
若c＝|x2﹣x4﹣a|﹣|x2﹣x4﹣b||，则T4（α）＝（c，0，c，0），T5（α）＝（c，c，c，c），T6（α）＝（0，0，0，0），
所以，对α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有T6（α）＝（0，0，0，0），
当n≥7时，Tn（α）＝（0，0，0，0）恒成立，
综上，n所有取值为{，n∈N*|n≥6使Tn（α）＝（0，0，0，0）成立．
25．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{1，2，3，⋯，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．
（1）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；
（2）当时n＝1010，若集合S具有性质P，
①判断集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②求集合中S元素个数的最大值．
【解答】解：（1）当n＝10时，集合A＝{1，2，•••，19.20}，B＝{x∈A|x＞9}＝{10，11，12，•••，19，20}不具有性质P，
因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素b1＝10与b2＝10+m，使得么|b1﹣b2|＝m成立，
集合C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈*N}具有性质P，
因为可取m＝1＜10，．对于该集合中任一元素，
c1＝3k1﹣1，c2＝3k2﹣1，（k1，k2∈N*），都有|c1﹣c2|＝3|k1﹣k2|≠1，
（2）当n＝1010时，集合A＝{1，2，3，⋯，2019，2020}，m≤1010（m∈N*），
①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P．
首先因为T＝{2021﹣x|x∈S}，任取t＝2021﹣x0∈T，其中x0∈S．
因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，⋯，2020}．
从而1≤2021﹣x0≤2020，即t∈A，所以T⊆A．
由S具有性质P，可知存在不大于1010的正整数m，
使得对s中的任意一对元素s1、s2，都有|s1﹣s2|≠m．
对于上述正整数m，从集合T＝{2021﹣x|x∈S}中任取一对元素t1＝2021﹣x1，t2＝2021﹣x2，其中x1，x2∈S，则有|t1﹣t2|＝|s1﹣s2|≠m．
所以，集合T＝{2021﹣x|x∈S}具有性质P；
②设集合S有k个元素，由（1）可知，若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P．
任给x∈S，1≤x≤2020，则x与2021﹣x中必有一个不超过1010．
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010．
不妨设S中有个元素b1、b2、⋯、bt不超过1010．
由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1010．
使得对S中任意两个元素s1、s2，都有|s1﹣s2|≠m．
所以一定有b1+m、b2+m、⋯，bt+m∉S．
又bi+m≤1000+1000＝2000，故b1+m、b2+m、⋯、b1+m∈A．
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此，所以，得k≤1346．
当S＝{1，2，⋯，672，673，⋯1347，⋯，2019，2020}时，取m＝673，则易知对集合S中的任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠673，即集合S具有性质P．
而此时集合S中有1346个元素，因此，集合S元素个数的最大值为1346
1．（2022秋•东城区校级月考）集合M＝{x|x2﹣1＝0}，集合N＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则集合M∪N的子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
2．（2022秋•渝中区校级月考）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B＝{x|x∈A且∈N}，则集合B的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
3．（2022秋•长乐区校级月考）已知集合M＝{x∈Z||x|＜5}，则下列式子中正确的是（ ）
A．2.5∈MB．0⊆MC．{0}⊆MD．{0}∈M
4．（2022秋•河南月考）若M⊆{x∈N|x≤4}，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为（ ）
A．16B．20C．24D．32
5．（2022秋•望城区校级月考）已知集合，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋•海安市校级月考）已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．±1
7．（2022秋•雨花台区校级月考）集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．0＜a＜4
C．a＜0或a≥4D．或0＜a＜4
8．（2021春•南京月考）已知A，B，C⊆{1，2，3…，2020，2021}，A⊆C，B⊆C，则有序集合组{A，B，C}有几组（ ）
A．22021B．32021C．42021D．52021
9．（2021秋•奉贤区校级月考）设Q是有理数集，集合X＝{x|x＝a+b，a，b∈Q，x≠0}，在下列集合中：
①{2x|x∈X}；
②{|x∈X}；
③{|x∈X}；
④{x2|x∈X}．
与X相同的集合有（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③
10．（2021秋•河南月考）定义：[A]表示集合A中元素的个数，A⊗B＝．已知集合M＝{1，2}，集合A＝{x|x⊆M}，集合B＝{x|x（x2﹣1）（x2﹣ax+4）＝0}，若A⊗B＝1，则a的取值范围是（ ）
A．{a|﹣4＜a＜5}B．{a|a≠±4}
C．{a|﹣5＜a＜4}D．{a|a≠±4且a≠±5}
二、填空题。
11．（2022秋•雨花台区校级月考）已知集合A，满足x∈A，则．若集合A只有2个子集，则x＝ ．
12．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知集合A，B，U，满足A⊆U，B⊆U，且A∪B＝U时，则称集合对（A，B）为集合U的最优子集对．若U＝{1，2，3，4}，则集合U的最优子集对的对数为 ．
13．（2022秋•武清区校级月考）集合A＝{x|x＜﹣1或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 ．
14．（2022秋•金溪县校级月考）若集合{a，，1}＝{a2，a+b，0}，则a2021+b2021＝ ．
15．（2021秋•湖北期中）若集合Un＝{1，2，3，⋯，n}，n≥2，n∈N*，A，B⊆Un，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对（A，B）为“兄弟集合对”．当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有 对；当n≥3时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有n的表达式作答）．
16．（2021秋•黄浦区校级期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}；
与集合M相等的集合序号是 ．
三、解答题。
17．（2022秋•洛阳月考）已知集合A＝{a﹣3，2a2+5a，0}，且﹣3∈A．
（1）求实数a的取值的集合M；
（2）写出（1）中集合M的所有子集．
18．（2022秋•沈北新区校级月考）已知集合A＝{2，3}，B＝{x|x2+ax+b＝0}．
（1）若A＝B，求实数a，b的值；
（2）若A∩B＝{3}且A∪B＝A，求实数a，b的值．
19．（2022秋•安化县校级月考）若集合P满足P∩{4，6}＝{6}，P∩{8，10}＝{10}，且P⊆{1，3，4，6，8，10}，求集合P可能有几种情况？请分别列举出来．
20．（2022秋•南山区月考）已知集合Y＝{b|b＝2t+1，t∈Z}，Z＝{c|c＝4m±1，m∈Z}，求证：Y＝Z．
21．（2022秋•渝中区校级月考）A＝{x|x2﹣4x+4﹣a2≤0}，B＝{x|≥2}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若A⊆∁RB，求a的取值范围．
22．（2022秋•南岗区校级月考）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A且u≠v}且为集合A的生成集．
（1）当A＝{1，2，3，4}时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．
23．（2022秋•东城区校级月考）定义：若任意m，n∈A（m，n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B＝{x|x＝，m，n∈A}称为集合A的生成集：
（Ⅰ）求集合A＝{3，4}的生成集B；
（Ⅱ）若集合A＝{a，2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
（Ⅲ）若集合﹣1≤A≤1，A的生成集为B，求证A＝B．
24．（2022•朝阳区二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
25．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{1，2，3，⋯，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．
（1）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；
（2）当时n＝1010，若集合S具有性质P，
①判断集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②求集合中S元素个数的最大值．
专题1.2 集合间的基本关系（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•东城区校级月考）集合M＝{x|x2﹣1＝0}，集合N＝{x|x2﹣3x+2＝0}，则集合M∪N的子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】B。
【解答】解：M＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，N＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，
则M∪N＝{﹣1，1，2}，
故集合M∪N的子集个数为23＝8．
故选：B．
2．（2022秋•渝中区校级月考）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，集合B＝{x|x∈A且∈N}，则集合B的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B。
【解答】解：依题意B＝{2，3，4}，所以集合B的子集的个数为23＝8．
故选：B．
3．（2022秋•长乐区校级月考）已知集合M＝{x∈Z||x|＜5}，则下列式子中正确的是（ ）
A．2.5∈MB．0⊆MC．{0}⊆MD．{0}∈M
【答案】C。
【解答】解：集合M＝{x∈Z||x|＜5}，则M＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，
故{0}⊆M，0∈M，2.5∉M，
故选：C．
4．（2022秋•河南月考）若M⊆{x∈N|x≤4}，且M中至少含有一个质数，则满足要求的M的个数为（ ）
A．16B．20C．24D．32
【答案】C。
【解答】解：集合{x∈N|x≤4}＝{0，1，2，3，4}，其中质数有2，3，
因为集合{0，1，2，3，4}的子集个数为25＝32，而集合{0，1，4}的子集个数为23＝8，
所以集合{0，1，2，3，4}的子集中，一个质数也没有的子集有8个，
所以至少含有一个质数的子集为32﹣8＝24个．
故选：C．
5．（2022秋•望城区校级月考）已知集合，B＝{x|a﹣2＜x＜2a+1}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：集合＝{x|}＝{x|﹣1＜x≤2}，
因为A⊆B，则，解得，
即实数a的范围为{a|}，
故选：B．
6．（2022秋•海安市校级月考）已知a，b∈R，若，则a2021+b2021的值为（ ）
A．1B．0C．﹣1D．±1
【答案】C。
【解答】解：由已知可得a≠0，则b＝0，
所以集合转化为{a，0，1}＝{a2，a，0}，且a≠1，
则a2＝1，解得a＝﹣1或1（舍去），
故a＝﹣1，b＝0，
则a2021+b2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故选：C．
7．（2022秋•雨花台区校级月考）集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．0＜a＜4
C．a＜0或a≥4D．或0＜a＜4
【答案】B。
【解答】解：因为集合A＝{x|x2+ax+a＝0}⊆{1}，
则当A＝∅时，Δ＝a²﹣4a＜0，即0＜a＜4，
当A＝{1}时，，无解，
故a的取值范围为0＜a＜4，
故选：B．
8．（2021春•南京月考）已知A，B，C⊆{1，2，3…，2020，2021}，A⊆C，B⊆C，则有序集合组{A，B，C}有几组（ ）
A．22021B．32021C．42021D．52021
【答案】D。
【解答】解：当集合C中有2021个元素时，不同的有序集合组（A，B，C）有 C•22021•22021个，
当集合C中有2020个元素时，不同的有序集合组（A，B，C）有C•22020•22020个，
•••
当集合C中有0个元素时，不同的有序集合组（A，B，C）有 C•20•20个，
∴总数为：C•22021•22021+C•22020•22020+•••+C•20•20＝C•42021+C•42020+•••+C＝（1+4）2021＝52021．
故选：D．
9．（2021秋•奉贤区校级月考）设Q是有理数集，集合X＝{x|x＝a+b，a，b∈Q，x≠0}，在下列集合中：
①{2x|x∈X}；
②{|x∈X}；
③{|x∈X}；
④{x2|x∈X}．
与X相同的集合有（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③
【答案】D。
【解答】解：对∀x∈X＝{x|x＝a+b，a，b∈Q，x≠0}，
∃a，b∈Q，使x＝a+b，且x≠0，则x＝2（+），
∵∈Q，∈Q，+∈X，x∈{2x|x∈X}，即X⊆{2x|x∈X}；
对∀x∈{2x|x∈X}，∃a，b∈Q，使x＝2（a+b），且x≠0，
x＝2a+2b，∵2a∈Q，2b∈Q，x≠0，∴x∈X，即{2x|x∈X}⊆X；
故{2x|x∈X}＝X．故①正确；
＝＝b+，
同理可证{|x∈X}＝X，故②正确；
＝＝﹣，
同理可证{|x∈X}＝X，故③正确；
x2＝（a+b）2＝a2+2b2+2ab，
则﹣1∈X，﹣1∉{x2|x∈X}，故④错误；
故选：D．
10．（2021秋•河南月考）定义：[A]表示集合A中元素的个数，A⊗B＝．已知集合M＝{1，2}，集合A＝{x|x⊆M}，集合B＝{x|x（x2﹣1）（x2﹣ax+4）＝0}，若A⊗B＝1，则a的取值范围是（ ）
A．{a|﹣4＜a＜5}B．{a|a≠±4}
C．{a|﹣5＜a＜4}D．{a|a≠±4且a≠±5}
【答案】D。
【解答】解：∵M＝{1，2}，
∴A＝{x|x⊆M}＝{∅，{1}，{2}，{1，2}}，
∴[A]＝4，
又∵A⊗B＝1，
∴[B]＝3或[B]＝5，
∵方程x（x2﹣1）＝0的解为﹣1，0，1；
方程x2﹣ax+4＝0可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解，
∴[B]＝3或[B]＝4或[B]＝5，
故只需要排除[B]＝4，
若[B]＝4，
①当Δ＝a2﹣16＝0，即a＝±4时，
B＝{﹣1，0，1，2}或B＝{﹣1，0，1，﹣2}，成立，
②若﹣1是方程x2﹣ax+4＝0的根，则a＝﹣5，
B＝{﹣1，0，1，﹣4}，成立，
③若1是方程x2﹣ax+4＝0的根，则a＝5，
B＝{﹣1，0，1，4}，成立，
0不可能是方程x2﹣ax+4＝0的根，
综上所述，
当且仅当a＝±4或a＝±5时，[B]＝4，
故a的取值范围是{a|a≠±4且a≠±5}，
故选：D．
二、填空题。
11．（2022秋•雨花台区校级月考）已知集合A，满足x∈A，则．若集合A只有2个子集，则x＝ 3或﹣1 ．
【答案】3或﹣1。
【解答】解：若集合A只有2个子集，则集合A中只有一个元素，
则x＝，解得x＝3或﹣1，
故答案为：3或﹣1．
12．（2022秋•鼓楼区校级月考）已知集合A，B，U，满足A⊆U，B⊆U，且A∪B＝U时，则称集合对（A，B）为集合U的最优子集对．若U＝{1，2，3，4}，则集合U的最优子集对的对数为 81 ．
【答案】81。
【解答】解：当A＝∅，B＝U，共1对；
当A＝{1}，B＝{2，3，4}或B＝{1，2，3，4}，共2对，同理，当A＝{2}，A＝{3}，A＝{4}时，各2对，共4×2＝8对；
当A＝{1，2}，B中一定有3和4，共4对，同理，当A＝{1，3}，A＝{1，4}•••，A＝{3，4}，各4对，共×4＝24对；
当A＝{1，2，3}，B中一定有4，共8对，同理，当A＝{1，2，4}•••，A＝{2，3，4}，各8对，共32对；
当A＝{1，2，3，4}，B⊆{1，2，3，4}，共16对；∴共81对，
故答案为：81．
13．（2022秋•武清区校级月考）集合A＝{x|x＜﹣1或x≥3}，B＝{x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是 [﹣，1） ．
【答案】[﹣，1）。
【解答】解：因为B⊆A，
当B＝∅时，a＝0满足题意，
当B≠∅时，①a＞0时，集合B＝{x|x≤}，
则只需﹣＜﹣1，解得0＜a＜1，
②当a＜0时，集合B＝{x|x}，则只需﹣，解得﹣，
综上，实数a的范围为[﹣，1），
故答案为：[﹣，1）．
14．（2022秋•金溪县校级月考）若集合{a，，1}＝{a2，a+b，0}，则a2021+b2021＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1。
【解答】解：由已知可得a≠0，则b＝0，
所以集合转化为{a，0，1}＝{a2，a，0}，且a≠1，
则a2＝1，解得a＝﹣1或1（舍去），
故a＝﹣1，b＝0，
则a2021+b2021＝（﹣1）2021＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（2021秋•湖北期中）若集合Un＝{1，2，3，⋯，n}，n≥2，n∈N*，A，B⊆Un，且满足集合A中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对（A，B）为“兄弟集合对”．当n＝3时，这样的“兄弟集合对”有 14 对；当n≥3时，这样的“兄弟集合对”有 对（用含有n的表达式作答）．
【答案】14；×4n﹣2n+。
【解答】解：当n＝3时，Un＝{1，2，3}，
A中的最大元素为2，则B是{1}的非空子集，有21﹣1＝1个，此时A有2个；
A中的最大元素为3，则B是{1，2}的非空子集，有22﹣1＝3个，此时A有4个；
共有这样的“兄弟集合对”4×3+2×1＝14个，
当n≥3时，Un＝{1，2，3，⋯，n}，
当A的最大元素为n，此时A有2n﹣1个，B是＝{1，2，3，⋯，n﹣1}的非空子集，有2n﹣1﹣1个；
当A的最大元素为n﹣1，A有2n﹣2个，B是＝{1，2，3，⋯，n﹣2}的非空子集，有2n﹣2﹣1个；
•••
当A的最大元素为3，A有22个，B是＝{1，2}的非空子集，有22﹣1个；
当A的最大元素为2，A有21个，B是＝{1}的非空子集，有21﹣1个；
故2n﹣1（2n﹣1﹣1）+2n﹣2（2n﹣2﹣1）+2n﹣3（2n﹣3﹣1）+•••+22（22﹣1）+21（21﹣1）
＝22n﹣2﹣2n﹣1+22n﹣4﹣2n﹣2+•••+22×2﹣22+21×2﹣21
＝4n﹣1+4n﹣2+4n﹣3+•••+42+41﹣（21+22+23+•••+2n﹣1）
＝
＝×4n﹣2n+．
故答案为：14；×4n﹣2n+．
16．（2021秋•黄浦区校级期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中：
①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}；
与集合M相等的集合序号是 ①②④ ．
【答案】①②④。
【解答】解：①是有理数，2b也是有理数，故与集合M相等；
②，
因为都是有理数，符合集合M的形式，故与集合M相等；
③，则x1+x2＝0∉M；
④令，则，，
因为ac+2bd，ad+bc都是有理数，符合集合M的形式，与集合M相等；
故答案为：①②④．
三、解答题。
17．（2022秋•洛阳月考）已知集合A＝{a﹣3，2a2+5a，0}，且﹣3∈A．
（1）求实数a的取值的集合M；
（2）写出（1）中集合M的所有子集．
【解答】解：（1）∵﹣3∈A，则﹣3＝a﹣3或﹣3＝2a2+5a，
∴a＝0，或a＝﹣1，或a＝﹣，
当a＝0时，2a2+5a＝0，集合A不满足互异性，∴a＝0（舍去），
当a＝﹣1时，A＝{﹣4，﹣3，0}；
当a＝﹣时，A＝{﹣，﹣3，0}，
故a的取值集合M＝{﹣1，﹣}，
（2）由（1）知M＝{﹣，﹣1}，
∴M的子集为∅，{﹣，{﹣1}，{﹣，﹣1}．
18．（2022秋•沈北新区校级月考）已知集合A＝{2，3}，B＝{x|x2+ax+b＝0}．
（1）若A＝B，求实数a，b的值；
（2）若A∩B＝{3}且A∪B＝A，求实数a，b的值．
【解答】解：（1）依题意，B＝{x|x2+ax+b＝0}＝{2，3}，
即x2+ax+b＝0恰好两根x1＝2，x2＝3，根据韦达定理：，解得a＝﹣5，b＝6；
（2）A∪B＝A可得B⊆A，又A∩B＝{3}，A＝{2，3}，只可能B＝{3}，于是x2+ax+b＝0只有唯一解x＝3，故，解得a＝﹣6，b＝9．
19．（2022秋•安化县校级月考）若集合P满足P∩{4，6}＝{6}，P∩{8，10}＝{10}，且P⊆{1，3，4，6，8，10}，求集合P可能有几种情况？请分别列举出来．
【解答】解：因为P∩{4，6}＝{6}，P∩{8，10}＝{10}，
所以6∈P，10∈P，4∉P，8∉P，
因为P⊆{1，3，4，6，8，10}，
所以P＝{6，10}，{6，10，1}，{6，10，3}，{6，10，1，3}共4种情况．
20．（2022秋•南山区月考）已知集合Y＝{b|b＝2t+1，t∈Z}，Z＝{c|c＝4m±1，m∈Z}，求证：Y＝Z．
【解答】证明：∵b＝2t+1，t∈Z，
∴t＝2m，m∈Z时，b＝4m+1，m∈Z；t＝2m﹣1，m∈Z时，b＝4m﹣1，m∈Z，
∴Y＝{b|b＝4m±1，m∈Z}，
又Z＝{c|c＝4m±1，m∈Z}，
∴Y＝Z．
21．（2022秋•渝中区校级月考）A＝{x|x2﹣4x+4﹣a2≤0}，B＝{x|≥2}．
（1）当a＝4时，求A∩B；
（2）若A⊆∁RB，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝4时，A＝{x|x2﹣4x+4﹣a2≤0}＝{x|﹣2≤x≤6}，B＝{x|≥2}＝{x|x≤﹣1或x＞6}，
则A∩B＝{x|﹣2≤x≤﹣1}；
（2）因为∁RB＝{x|﹣1＜x≤6}，且A⊆∁RB，又A＝{x|[x﹣（2﹣a）][x﹣（2+a）]≤0}，
当a＝0时，A＝{x|x2﹣4x+4﹣a2≤0}＝{2}，符合题意，
当a＜0时，即A＝{x|2+a≤x≤2﹣a}，则，即﹣3＜a＜0，
当a＞0时，即A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，则，即0＜a＜3，
综上，a的取值范围为（﹣3.3）．
22．（2022秋•南岗区校级月考）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A且u≠v}且为集合A的生成集．
（1）当A＝{1，2，3，4}时，写出集合A的生成集B；
（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；
（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．
【解答】解：（1）A（1，2，3，4}，∴B＝{2，3，4，6，8，12}．
（2）设A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，且0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
∴B中元素个数大于等于7个，
又A＝{21，22，23，24，25}，B＝{23，24，25，26，27，28，29}，
此时，B中元素个数等于7个，
∴造成集B中元素个数的最小值为7．
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，
不妨设0＜a＜b＜c＜d，则集合A的生成集B＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，
则必有ab＝2，cd＝16，其4个正实数的乘积abcd＝32，
也有ac＝3，bd＝10，其4个正实数的乘积abcd＝30，矛盾，
∴假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}．
23．（2022秋•东城区校级月考）定义：若任意m，n∈A（m，n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B＝{x|x＝，m，n∈A}称为集合A的生成集：
（Ⅰ）求集合A＝{3，4}的生成集B；
（Ⅱ）若集合A＝{a，2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
（Ⅲ）若集合﹣1≤A≤1，A的生成集为B，求证A＝B．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝n＝3时，x＝＝，
当m＝n＝4时，x＝＝，
当m＝3，n＝4或m＝4，n＝3时，x＝＝，
∴B＝{，，}．
（Ⅱ）当m＝n＝2时，x＝＝，
当m＝2，n＝a或m＝a，n＝2时，x＝，
B的子集个数为4个，则B中有2个元素，
∴或＝或，
解得a＝±1或a＝（a＝2舍去），
∴a＝±1或a＝．
（Ⅲ）证明：∀m，n∈（﹣1，1）＝A，
＝＞0，
＜0，
∴﹣1＜＜1，∴B＝（﹣1，1），∴B⊆A，
∵A＝（﹣1，1），∴A⊆B，∴A＝B．
24．（2022•朝阳区二模）已知集合A＝{α|α＝（x1，x2，x3，x4），xi∈N，i＝1，2，3，4}．对集合A中的任意元素α＝（x1，x2，x3，x4），定义T（α）＝（|x1﹣x2|，|x2﹣x3|，|x3﹣x4|，|x4﹣x1|），当正整数n≥2时，定义Tn（α）＝T（Tn﹣1（α））（约定T1（α）＝T（α））．
（Ⅰ）若α＝（2，0，2，1），β＝（2，0，2，2），求T4（α）和T4（β）；
（Ⅱ）若α＝（x1，x2，x3，x4）满足xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4）且T2（α）＝（1，1，1，1），求α的所有可能结果；
（Ⅲ）是否存在正整数n使得对任意α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有Tn（α）＝（0，0，0，0）？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（I）由题意T（α）＝（2，2，1，1），T2（α）＝（0，1，0，1），T3（α）＝（1，1，1，1），T4（α）＝（0，0，0，0），
T（β）＝（2，2，0，0），T2（β）＝（0，2，0，2），T3（β）＝（2，2，2，2），T4（β）＝（0，0，0，0），
（Ⅱ）由T2（α）＝（1，1，1，1）且xi∈{0，1}（i＝1，2，3，4），|x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝1，
同理，x2＝0或1时，||x1﹣x2|﹣|x2﹣x3||＝|x1﹣x3|＝1，
x3＝0或1时，||x2﹣x3|﹣|x3﹣x4||＝|x2﹣x4|＝1，
x4＝0或1时，||x3﹣x4|﹣|x4﹣x1||＝|x1﹣x3|＝1，
所以（1）等价于，则x1≠x3，x2≠x4，
当x1＝0，x2＝0，则α为（0，0，1，1）满足；
当x1＝0，x2＝1，则α为（0，1，1，0）满足，
当x1＝1，x2＝0，则α为（1，0，0，1）满足，
当x1＝1，x2＝1，则α为（1，1，0，0）满足，
综上，α的所有可能结果（1，0，0，1）、（0，1，1，0）、（1，1，0，0）、（0，0，1，1）．
（Ⅲ）存在正整数n使Tn（α）＝（0，0，0，0）且{n∈N*|n≥6}，理由如下：
由α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3），则T（α）＝（x1﹣x2，x2﹣x3，x4﹣x3，x1﹣x4），
所以T2（α）＝（|x1+x3﹣2x2|，x2﹣x4，|x1+x3﹣2x4|，x2﹣x4），
若a＝|x1+x3﹣2x2|，b＝|x1+x3﹣2x4|，
所以T3（α）＝（|x2﹣x4﹣a|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣b|，|x2﹣x4﹣a|），
若c＝|x2﹣x4﹣a|﹣|x2﹣x4﹣b||，则T4（α）＝（c，0，c，0），T5（α）＝（c，c，c，c），T6（α）＝（0，0，0，0），
所以，对α＝（x1，x2，x3，x4）∈A（x1≥x2≥x4≥x3）都有T6（α）＝（0，0，0，0），
当n≥7时，Tn（α）＝（0，0，0，0）恒成立，
综上，n所有取值为{，n∈N*|n≥6使Tn（α）＝（0，0，0，0）成立．
25．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{1，2，3，⋯，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P．
（1）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由；
（2）当时n＝1010，若集合S具有性质P，
①判断集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由；
②求集合中S元素个数的最大值．
【解答】解：（1）当n＝10时，集合A＝{1，2，•••，19.20}，B＝{x∈A|x＞9}＝{10，11，12，•••，19，20}不具有性质P，
因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素b1＝10与b2＝10+m，使得么|b1﹣b2|＝m成立，
集合C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈*N}具有性质P，
因为可取m＝1＜10，．对于该集合中任一元素，
c1＝3k1﹣1，c2＝3k2﹣1，（k1，k2∈N*），都有|c1﹣c2|＝3|k1﹣k2|≠1，
（2）当n＝1010时，集合A＝{1，2，3，⋯，2019，2020}，m≤1010（m∈N*），
①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P．
首先因为T＝{2021﹣x|x∈S}，任取t＝2021﹣x0∈T，其中x0∈S．
因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，⋯，2020}．
从而1≤2021﹣x0≤2020，即t∈A，所以T⊆A．
由S具有性质P，可知存在不大于1010的正整数m，
使得对s中的任意一对元素s1、s2，都有|s1﹣s2|≠m．
对于上述正整数m，从集合T＝{2021﹣x|x∈S}中任取一对元素t1＝2021﹣x1，t2＝2021﹣x2，其中x1，x2∈S，则有|t1﹣t2|＝|s1﹣s2|≠m．
所以，集合T＝{2021﹣x|x∈S}具有性质P；
②设集合S有k个元素，由（1）可知，若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P．
任给x∈S，1≤x≤2020，则x与2021﹣x中必有一个不超过1010．
所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010．
不妨设S中有个元素b1、b2、⋯、bt不超过1010．
由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1010．
使得对S中任意两个元素s1、s2，都有|s1﹣s2|≠m．
所以一定有b1+m、b2+m、⋯，bt+m∉S．
又bi+m≤1000+1000＝2000，故b1+m、b2+m、⋯、b1+m∈A．
即集合A中至少有t个元素不在子集S中，
因此，所以，得k≤1346．
当S＝{1，2，⋯，672，673，⋯1347，⋯，2019，2020}时，取m＝673，则易知对集合S中的任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠673，即集合S具有性质P．
而此时集合S中有1346个元素，因此，集合S元素个数的最大值为1346
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