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初中数学一轮复习【讲通练透】专题19 相似三角形（练透） （全国通用）
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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题19 相似三角形
一、单选题
1．（2021·北京市第十三中学九年级期中）如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（ ）
A．3：2B．2：5C．2：3D．3：5
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定与性质即可得出结果．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AD：AB＝2：3；
故选：C．
2．（2021·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD的面积．
【详解】
解：∵在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，
∴CD∥AB，CD=AB=2BE
∴△DOC∽△BOE，
∴=2，
∵S△EOB=1，
∴S△BOC=2，S△DOC=4，
∴S△BCD=6，
∴S△DAB=6，
∴四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5，
故选：B．
3．（2021·全国九年级专题练习）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例性质计算出BC，从而求出CE即可．
【详解】
解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
∴BC=，
∴CE=BE-BC=12-=，
故选C．
4．（2021·全国九年级专题练习）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．＝2，＝4，＝3，＝6B．＝，＝，＝1，＝
C．＝6，＝4，＝10，＝5D．＝，＝2，＝，＝2
【答案】C
【分析】
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】
解：A、2×6=3×4，能成比例；
B、，能成比例；
C、4×10≠5×6，不能成比例；
D、，能成比例．
故选：C．
5．（2021·四川省成都市石室联合中学）如图，在中，点和点分别在边，上，且，若，，，则的长为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】
证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选D．
6．（2021·全国九年级课时练习）将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折痕为．已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（ ）
A．2B．或2C．D．或2
【答案】B
【分析】
分两种情况：若或若，再根据相似三角形的性质解题
【详解】
∵沿折叠后点C和点D重合，
∴，
设，则，
以点B、D、F为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①若，则，即，解得；
②若，则，即，解得．
综上，的长为或2，
故选：B．
7．（2021·全国九年级课时练习）已知线段a、b、c、d满足，把它改写成比例式，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据比例的基本性质：外项之积等于内项之积，对选项一一分析，选出正确答案即可．
【详解】
解：A、a：d＝c：b⇒ab＝cd，故正确；
B、a：b＝c：d⇒ad＝bc，故错误；
C、d：a＝b：c⇒dc＝ab，故正确；
D、a：c＝d：b⇒ab＝cd，故正确．
故选：B．
8．（2021·全国九年级课时练习）下列结论不正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似B．所有的正三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似
【答案】A
【分析】
根据相似图形的判定判断即可；
【详解】
所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意；
因为正三角形的每个角都等于满足两个角对应相等，
所有的正三角形都相似，故B正确；
因为等腰直角三角形的三个角分别为 满足两个角对应相等，
所有的等腰直角三角形都相似，故C正确；
因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等，
所有的正八边形都相似，故D正确；
故选A．
9．（2021·全国）如果，那么的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据比例的性质即可得到结论．
【详解】
∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝－．
故选B．
10．（2021·沙坪坝·重庆一中）下列命题正确的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形B．任意两个菱形一定相似
C．的平方根是D．、、能作为直角三角形的三边长
【答案】A
【分析】
根据位似图形，相似图形的定义可判断A、B，根据平方根的定义和勾股定理的逆定理，可判断C、D．
【详解】
解：A. 位似图形一定是相似图形，故原命题正确，符合题意；
B. 任意两个菱形不一定相似，故原命题错误，不符合题意；
C. 的平方根是±，故原命题错误，不符合题意；
D. 、、不能作为直角三角形的三边长，故原命题错误，不符合题意，
故选A．
二、填空题
11．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如果2x＝3y，那么___．
【答案】
【分析】
直接利用已知得出x=y，进而代入得出答案．
【详解】
解：∵2x=3y，
∴x=y，
∴．
故答案为：．
12．（2021·全国九年级专题练习）ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，ADE是ABC缩小后的图形，若DE把ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=_____
【答案】
【分析】
如图根据BC∥DE，可以得到△ADE∽△ABC，则 ，由此即可求解．
【详解】
解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC的面积分成相等的两部分，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（2021·全国）如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为________，可证明△AOB∽△DOC．
【答案】∠AOB＝∠DOC
【分析】
根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．
【详解】
解：∵，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．
故答案为：∠AOB＝∠DOC．
14．（2021·全国九年级专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则__．
【答案】
【分析】
根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得．
【详解】
因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以，即EF＝，
所以
故答案为：
15．（2021·合肥市第四十五中学九年级）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．
（1）HE：AH＝______；
（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．
【答案】1：4 5：12
【分析】
（1）根据翻折的性质得到∠GHE＝∠BHE＝90°，再根据∠HEB＝∠BEA，从而证明△HEB∽△BEA，得出，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；
（2）由S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF ＝x + m，CF＝2 x﹣m，，由勾股定理求出m即可．
【详解】
解：（1）∵AE为对称轴，
∴△AEG≌△AEB，BG⊥AE，
∴∠GHE＝∠BHE＝90°，
又∵∠HEB＝∠BEA，
∴△HEB∽△BEA，
∴，
在正方形ABCD中，设边长为2x，
∵点E是BC的中点，则BE＝x，AB＝2x，
∴AE＝，
∴HE＝，
∴AH＝AE﹣HE＝，
∴HE：AH＝＝1：4．
故答案为：1：4；
（2）设正方形ABCD的边长为2x，则S正方形ABCD＝4x2，
∵S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），CE＝BE＝GE＝x，
设FG＝DF＝m，
则EF＝x + m，CF＝2 x﹣m，
在△EFC中，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴（m+x）2＝（2 x﹣m）2+ x2，
解得：m＝，
∴CE＝2 x﹣m＝，
∴S△CFE＝×CE×CF＝×，
∴S△AFE＝×（4 x2﹣）＝，
∴S△AFE：S正方形ABCD＝＝5：12．
故答案为：5：12．
三、解答题
16．（2021·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB∽△AEC．
【答案】见解析．
【分析】
由题知，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，即可证明．
【详解】
∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，
∴，
∴△ADB∽△AEC．
17．（2021·广西贺州市·九年级期中）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：
（1）求BD的长度；
（2）求DE的长度．
【答案】（1）2；（2）6
【分析】
（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；
（2）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵AE=2CE，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∵AB=6，
∴BD=2；
（2）∵EF∥AB，
∴，
∵BC=9，
∴BF=6，
又∵DE∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE=BF=6．
18．（2021·全国九年级专题练习）已知：如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
【答案】或
【分析】
由AB⊥BC，BD⊥CD得到∠ABC=∠BDC=90°，再利用勾股定理计算出，根据直角三角形相似的判定方法，当，Rt△ABC∽Rt△BDC；当时然后分别利用比例性质可表示出BD与a和b的关系．
【详解】
解：∵AC＝a，BC＝b，∠ABC＝∠CDB＝90°，
∴AB＝，
①当时，
即时，Rt△ABC∽Rt△BDC；
②当时，
即时，Rt△ABC∽Rt△CDB，．
19．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上一点，E是BC上一点，AC＝6，BC＝8，BD＝4，BE＝5．求证：DE⊥AB．
【答案】见解析
【分析】
利用勾股定理可求得AB＝10，则有，，结合∠B＝∠B，可证得△BDE∽△BCA，从而有∠BDE＝∠C＝90°，即可得证．
【详解】
证明：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵BD＝4，BE＝5，
∴，，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BDE＝∠C＝90°，
即DE⊥AB．
20．（2021·全国九年级专题练习）如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求古塔的高度．
【答案】（1）相似，见解析；（2）16m
【分析】
（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．
【详解】
解：（1）△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴∠ACB=∠AED=90°.
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE；
（2）由(1)得△ABC∽△ADE,
∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴，
∴DE=16m，
即古塔的高度为16m．
21．（2021·全国九年级专题练习）在锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，求AC边上的高．
【答案】6
【分析】
由已知条件得到∠CEB＝∠ADB＝90°，推出△ADB∽△CEB，根据相似三角形的性质得到BD：AB＝BE：BC，证得△BDE∽△BAC，得到S△BDE：S△ABC＝（DE：AC）2，于是求得AC＝6，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】
过点B做BF⊥AC,垂足为点F，
∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ADB∽Rt△CEB,
∴，即，
且∠B=∠B，
∴△EBD∽△CBA,
∴,
∴,
又∵DE=2，
∴AC=6，
∴
．
22．（2021·湖南师大附中博才实验中学）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）CG=3
【分析】
（1）根据正方形的性质得到∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；
（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB=∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，推出∠BCF=∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
又AD=CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG=CG；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB=∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，即∠BCF=∠BAG，
∴∠EAG=∠F，
又∠EGA=∠AGF，
∴△AEG∽△FAG，
∴，即GA2=GE•GF，
∴GA=3或GA=-3（舍去），
根据（1）中的结论AG=CG，
∴CG=3．
23．（2021·浙江杭州·翠苑中学九年级）如图，在矩形中，是上一点，，作．
（1）求证：；
（2）连结，若与相似，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质得出，求出，，求出，，再根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出，，根据平行线的性质得出，设，根据等腰三角形的性质求出，根据相似三角形的性质得出两种情况：①，根据得出，求出，再解直角三角形求出和，再求出答案即可；②，设，求出，，求出，再得出答案即可．
【详解】
解：（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
；
（2）四边形是矩形，
，，
，
设，
，
，
当与相似时，有两种情况：
①，
，
，
解得：，
即，
，
，由勾股定理得：，
，
；
②，
设，
，
则，
在中，，
即，
解得：，
即，
此时点和点重合，不存在，舍去；
∴．
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题19 相似三角形
一、单选题
1．（2021·北京市第十三中学九年级期中）如图，点D，E分别在△ABC 的AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD：AB＝2：3，那么DE：BC等于（ ）
A．3：2B．2：5C．2：3D．3：5
【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定与性质即可得出结果．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC＝AD：AB＝2：3；
故选：C．
2．（2021·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，CE和BD交于点O，若S△EOB＝1，则四边形AEOD的面积为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】
根据平行四边形的性质和相似的判定和性质，可以得到△BOC和△COD的面积，从而可以得到△BCD的面积，再根据△ABD和△BCD的面积一样，即可得到四边形AEOD的面积．
【详解】
解：∵在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，
∴CD∥AB，CD=AB=2BE
∴△DOC∽△BOE，
∴=2，
∵S△EOB=1，
∴S△BOC=2，S△DOC=4，
∴S△BCD=6，
∴S△DAB=6，
∴四边形AEOD的面积为：S△DAB-S△EOB=6-1=5，
故选：B．
3．（2021·全国九年级专题练习）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例性质计算出BC，从而求出CE即可．
【详解】
解：∵AB∥CD∥EF，
∴，即，
∴BC=，
∴CE=BE-BC=12-=，
故选C．
4．（2021·全国九年级专题练习）下列四条线段中，不能成比例的是（ ）
A．＝2，＝4，＝3，＝6B．＝，＝，＝1，＝
C．＝6，＝4，＝10，＝5D．＝，＝2，＝，＝2
【答案】C
【分析】
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】
解：A、2×6=3×4，能成比例；
B、，能成比例；
C、4×10≠5×6，不能成比例；
D、，能成比例．
故选：C．
5．（2021·四川省成都市石室联合中学）如图，在中，点和点分别在边，上，且，若，，，则的长为（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】D
【分析】
证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
故选D．
6．（2021·全国九年级课时练习）将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点C落在边上的点D，折痕为．已知，若以点B、D、F为顶点的三角形与相似，那么的长度是（ ）
A．2B．或2C．D．或2
【答案】B
【分析】
分两种情况：若或若，再根据相似三角形的性质解题
【详解】
∵沿折叠后点C和点D重合，
∴，
设，则，
以点B、D、F为顶点的三角形与相似，分两种情况：
①若，则，即，解得；
②若，则，即，解得．
综上，的长为或2，
故选：B．
7．（2021·全国九年级课时练习）已知线段a、b、c、d满足，把它改写成比例式，错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据比例的基本性质：外项之积等于内项之积，对选项一一分析，选出正确答案即可．
【详解】
解：A、a：d＝c：b⇒ab＝cd，故正确；
B、a：b＝c：d⇒ad＝bc，故错误；
C、d：a＝b：c⇒dc＝ab，故正确；
D、a：c＝d：b⇒ab＝cd，故正确．
故选：B．
8．（2021·全国九年级课时练习）下列结论不正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似B．所有的正三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似D．所有的正八边形都相似
【答案】A
【分析】
根据相似图形的判定判断即可；
【详解】
所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意；
因为正三角形的每个角都等于满足两个角对应相等，
所有的正三角形都相似，故B正确；
因为等腰直角三角形的三个角分别为 满足两个角对应相等，
所有的等腰直角三角形都相似，故C正确；
因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等，
所有的正八边形都相似，故D正确；
故选A．
9．（2021·全国）如果，那么的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据比例的性质即可得到结论．
【详解】
∵＝，
∴可设a＝2k，b＝3k，
∴＝＝－．
故选B．
10．（2021·沙坪坝·重庆一中）下列命题正确的是（ ）
A．位似图形一定是相似图形B．任意两个菱形一定相似
C．的平方根是D．、、能作为直角三角形的三边长
【答案】A
【分析】
根据位似图形，相似图形的定义可判断A、B，根据平方根的定义和勾股定理的逆定理，可判断C、D．
【详解】
解：A. 位似图形一定是相似图形，故原命题正确，符合题意；
B. 任意两个菱形不一定相似，故原命题错误，不符合题意；
C. 的平方根是±，故原命题错误，不符合题意；
D. 、、不能作为直角三角形的三边长，故原命题错误，不符合题意，
故选A．
二、填空题
11．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如果2x＝3y，那么___．
【答案】
【分析】
直接利用已知得出x=y，进而代入得出答案．
【详解】
解：∵2x=3y，
∴x=y，
∴．
故答案为：．
12．（2021·全国九年级专题练习）ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，ADE是ABC缩小后的图形，若DE把ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=_____
【答案】
【分析】
如图根据BC∥DE，可以得到△ADE∽△ABC，则 ，由此即可求解．
【详解】
解：∵BC∥DE，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE把△ABC的面积分成相等的两部分，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（2021·全国）如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知，又因为________，可证明△AOB∽△DOC．
【答案】∠AOB＝∠DOC
【分析】
根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．
【详解】
解：∵，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．
故答案为：∠AOB＝∠DOC．
14．（2021·全国九年级专题练习）如图：梯形ADFE相似于梯形EFCB，若AD＝3，BC＝4，则__．
【答案】
【分析】
根据相似的性质，列出比例式，根据已知条件即可求得．
【详解】
因为梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以，即EF＝，
所以
故答案为：
15．（2021·合肥市第四十五中学九年级）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．
（1）HE：AH＝______；
（2）S△AFE：S正方形ABCD＝______．
【答案】1：4 5：12
【分析】
（1）根据翻折的性质得到∠GHE＝∠BHE＝90°，再根据∠HEB＝∠BEA，从而证明△HEB∽△BEA，得出，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；
（2）由S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2x，FG＝DF＝m，则EF ＝x + m，CF＝2 x﹣m，，由勾股定理求出m即可．
【详解】
解：（1）∵AE为对称轴，
∴△AEG≌△AEB，BG⊥AE，
∴∠GHE＝∠BHE＝90°，
又∵∠HEB＝∠BEA，
∴△HEB∽△BEA，
∴，
在正方形ABCD中，设边长为2x，
∵点E是BC的中点，则BE＝x，AB＝2x，
∴AE＝，
∴HE＝，
∴AH＝AE﹣HE＝，
∴HE：AH＝＝1：4．
故答案为：1：4；
（2）设正方形ABCD的边长为2x，则S正方形ABCD＝4x2，
∵S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），CE＝BE＝GE＝x，
设FG＝DF＝m，
则EF＝x + m，CF＝2 x﹣m，
在△EFC中，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴（m+x）2＝（2 x﹣m）2+ x2，
解得：m＝，
∴CE＝2 x﹣m＝，
∴S△CFE＝×CE×CF＝×，
∴S△AFE＝×（4 x2﹣）＝，
∴S△AFE：S正方形ABCD＝＝5：12．
故答案为：5：12．
三、解答题
16．（2021·辽宁鞍山市·九年级期末）如图，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，连接BD，CE．求证：△ADB∽△AEC．
【答案】见解析．
【分析】
由题知，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，可得到AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，即可证明．
【详解】
∵将△ABC绕点A旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠CAE＝∠BAD，
∴，
∴△ADB∽△AEC．
17．（2021·广西贺州市·九年级期中）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AE＝2CE，AB＝6，BC＝9．求：
（1）求BD的长度；
（2）求DE的长度．
【答案】（1）2；（2）6
【分析】
（1）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果；
（2）由平行线分线段成比例得出比例式，即可得出结果．
【详解】
解：（1）∵AE=2CE，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∵AB=6，
∴BD=2；
（2）∵EF∥AB，
∴，
∵BC=9，
∴BF=6，
又∵DE∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE=BF=6．
18．（2021·全国九年级专题练习）已知：如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
【答案】或
【分析】
由AB⊥BC，BD⊥CD得到∠ABC=∠BDC=90°，再利用勾股定理计算出，根据直角三角形相似的判定方法，当，Rt△ABC∽Rt△BDC；当时然后分别利用比例性质可表示出BD与a和b的关系．
【详解】
解：∵AC＝a，BC＝b，∠ABC＝∠CDB＝90°，
∴AB＝，
①当时，
即时，Rt△ABC∽Rt△BDC；
②当时，
即时，Rt△ABC∽Rt△CDB，．
19．（2020·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上一点，E是BC上一点，AC＝6，BC＝8，BD＝4，BE＝5．求证：DE⊥AB．
【答案】见解析
【分析】
利用勾股定理可求得AB＝10，则有，，结合∠B＝∠B，可证得△BDE∽△BCA，从而有∠BDE＝∠C＝90°，即可得证．
【详解】
证明：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝，
∵BD＝4，BE＝5，
∴，，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BCA，
∴∠BDE＝∠C＝90°，
即DE⊥AB．
20．（2021·全国九年级专题练习）如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求古塔的高度．
【答案】（1）相似，见解析；（2）16m
【分析】
（1）根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质求得相应线段的长即可．
【详解】
解：（1）△ABC∽△ADE．
∵BC⊥AE，DE⊥AE，
∴∠ACB=∠AED=90°.
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADE；
（2）由(1)得△ABC∽△ADE,
∴
∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，
∴，
∴DE=16m，
即古塔的高度为16m．
21．（2021·全国九年级专题练习）在锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE＝2，求AC边上的高．
【答案】6
【分析】
由已知条件得到∠CEB＝∠ADB＝90°，推出△ADB∽△CEB，根据相似三角形的性质得到BD：AB＝BE：BC，证得△BDE∽△BAC，得到S△BDE：S△ABC＝（DE：AC）2，于是求得AC＝6，然后根据三角形的面积公式即可得到结果．
【详解】
过点B做BF⊥AC,垂足为点F，
∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，
∴∠ADB=∠CEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴Rt△ADB∽Rt△CEB,
∴，即，
且∠B=∠B，
∴△EBD∽△CBA,
∴,
∴,
又∵DE=2，
∴AC=6，
∴
．
22．（2021·湖南师大附中博才实验中学）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）CG=3
【分析】
（1）根据正方形的性质得到∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；
（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB=∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，推出∠BCF=∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】
解：（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，
又AD=CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG=CG；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CB，
∴∠FCB=∠F，
由（1）可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAB-∠DAG=∠DCB-∠DCG，即∠BCF=∠BAG，
∴∠EAG=∠F，
又∠EGA=∠AGF，
∴△AEG∽△FAG，
∴，即GA2=GE•GF，
∴GA=3或GA=-3（舍去），
根据（1）中的结论AG=CG，
∴CG=3．
23．（2021·浙江杭州·翠苑中学九年级）如图，在矩形中，是上一点，，作．
（1）求证：；
（2）连结，若与相似，求．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质得出，求出，，求出，，再根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据矩形的性质得出，，根据平行线的性质得出，设，根据等腰三角形的性质求出，根据相似三角形的性质得出两种情况：①，根据得出，求出，再解直角三角形求出和，再求出答案即可；②，设，求出，，求出，再得出答案即可．
【详解】
解：（1）证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
；
（2）四边形是矩形，
，，
，
设，
，
，
当与相似时，有两种情况：
①，
，
，
解得：，
即，
，
，由勾股定理得：，
，
；
②，
设，
，
则，
在中，，
即，
解得：，
即，
此时点和点重合，不存在，舍去；
∴．
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