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初中数学一轮复习【讲通练透】专题05 因式分解（练透） （全国通用）
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这是一份初中数学一轮复习【讲通练透】专题05 因式分解（练透） （全国通用），文件包含专题05因式分解练透教师版doc、专题05因式分解练透学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题05 因式分解
一、单选题
1．（2021·广西）代数式4m2﹣n2因式分解的结果是（ ）
A．（2m﹣n） （2m＋n）B．4 （m﹣n） （m＋n）
C．（4m﹣n） （m＋n）D．（m﹣2n） （m＋2n）
【答案】A
【分析】
直接根据平方差公式分解因式得出答案；
【详解】
，
故选：A．
2．（2021·湖南九年级一模）分解因式：（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用提取公因式、平方差公式对代数式进行因式分解即可．
【详解】
解：
故答案为B．
3．（2021·河北九年级三模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义以及整式的乘法的定义判断即可，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【详解】
解：①从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
②，从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②是因式分解．
故选：D．
4．（2021·河北九年级一模）对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：①，此项错误；
②，此项正确；
③，此项错误；
④，此项正确．
故选D．
5．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式．
【详解】
解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确，
故选D．
6．（2021·湖南岳阳·九年级一模）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式不能分解．
故选：A．
7．（2020·广西贺州·中考真题）多项式因式分解为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
确定公因式，然后用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】
解：，
．
故选：C．
8．（2021·合肥实验学校）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解
【详解】
A.结果不是几个整式积的形式，故A不符合题意；
B. 结果不是几个整式积的形式，故B不符合题意；
C. ，因式分解不彻底，故C不符合题意；
D. ，是因式分解，故D符合题意，
故选：D．
9．（2021·安徽九年级三模）下列四个选项中为多项式的因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
把多项式分解因式，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵=，
∴是的因式，
故选A．
10．（2021·山东）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解后再进行判断即可．
【详解】
解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题
11．（2021·江苏苏州市振华中学校九年级月考）分解因式：__________．
【答案】
【分析】
先提公因式b，再利用完全平方公式分解．
【详解】
解：
故答案为：．
12．（2021·山东济宁学院附属中学九年级期末）分解因式：3a2﹣12b2＝________________．
【答案】3（a+2b）（a﹣2b）
【分析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：3a2﹣12b2
＝3（a2﹣4b2）
＝3（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：3（a+2b）（a﹣2b）．
13．（2021·广东深圳市南山外国语学校九年级二模）因式分解：________．
【答案】
【分析】
（1）首先提取公因式a，进而利用平方差公式进行分解即可；
【详解】
解：（1）原式=；
故正确答案为：
14．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）因式分解：________．
【答案】
【分析】
先提取y，然后利用平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：，
故答案为：．
15．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【答案】
【分析】
先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】
解：
设
比较系数得，，
解得，
故答案为：．
三、解答题
16．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）因式分解：
（1）9a2-1；
（2）2ax2-8ax+8a．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式2a，再利用完全平方公式分解．
【详解】
解：（1）
=；
（2）
=
=
17．（2021·深圳市南山区荔香学校）分解因式
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）直接提取公因式a即可；
（2）直接利用平方差公式，完全平方公式分解因式即可．
【详解】
（1）
（2）
18．（2021·重庆）计算：（1）； （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据完全平方公式可进行求解；
（2）先算括号内，然后再进行分式的除法运算即可．
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】
本题主要考查分式的运算、因式分解及完全平方公式，熟练掌握分式的运算、因式分解及完全平方公式是解题的关键．
19．（2021·浙江九年级专题练习）分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3．
【答案】2ab（a﹣b）2
【分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：原式＝2ab（a2﹣2ab+b2）
＝2ab（a﹣b）2
20．（2021·山东九年级期末）将下列多项式进行因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可；
（2）先化简，再利用平方差公式分解因式，即可．
【详解】
解：（1）原式
；
原式
．
21．（2021·河北九年级一模）用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0
（1）解题步骤正确的顺序是 ；
（2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12
【答案】（1）②④①③；（2）x1＝﹣5，x2＝3
【分析】
（1）先移项，再利用十字相乘法将等式左边因式分解，继而得出两个一元一次方程，解之即可得出答案；
（2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵x2﹣5x＝6，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x＋1）（x﹣6）＝0，
则x＋1＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
故答案为：②④①③；
（2）∵（x＋3）（x﹣1）＝12，
∴x2＋2x﹣15＝0，
则（x＋5）（x﹣3）＝0，
∴x＋5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝3.
22．（2021·全国九年级专题练习）分解因式：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
23．（2021·全国九年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
【答案】（1）①，②，③；（2）7
【分析】
（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
【详解】
解：（1）①
；
②
；
③；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题05 因式分解
一、单选题
1．（2021·广西）代数式4m2﹣n2因式分解的结果是（ ）
A．（2m﹣n） （2m＋n）B．4 （m﹣n） （m＋n）
C．（4m﹣n） （m＋n）D．（m﹣2n） （m＋2n）
【答案】A
【分析】
直接根据平方差公式分解因式得出答案；
【详解】
，
故选：A．
2．（2021·湖南九年级一模）分解因式：（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用提取公因式、平方差公式对代数式进行因式分解即可．
【详解】
解：
故答案为B．
3．（2021·河北九年级三模）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义以及整式的乘法的定义判断即可，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
【详解】
解：①从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
②，从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②是因式分解．
故选：D．
4．（2021·河北九年级一模）对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．②④
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：①，此项错误；
②，此项正确；
③，此项错误；
④，此项正确．
故选D．
5．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式．
【详解】
解：A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项错误；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项正确，
故选D．
6．（2021·湖南岳阳·九年级一模）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式不能分解．
故选：A．
7．（2020·广西贺州·中考真题）多项式因式分解为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
确定公因式，然后用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】
解：，
．
故选：C．
8．（2021·合肥实验学校）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【分析】
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解
【详解】
A.结果不是几个整式积的形式，故A不符合题意；
B. 结果不是几个整式积的形式，故B不符合题意；
C. ，因式分解不彻底，故C不符合题意；
D. ，是因式分解，故D符合题意，
故选：D．
9．（2021·安徽九年级三模）下列四个选项中为多项式的因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
把多项式分解因式，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵=，
∴是的因式，
故选A．
10．（2021·山东）下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解后再进行判断即可．
【详解】
解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题
11．（2021·江苏苏州市振华中学校九年级月考）分解因式：__________．
【答案】
【分析】
先提公因式b，再利用完全平方公式分解．
【详解】
解：
故答案为：．
12．（2021·山东济宁学院附属中学九年级期末）分解因式：3a2﹣12b2＝________________．
【答案】3（a+2b）（a﹣2b）
【分析】
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】
解：3a2﹣12b2
＝3（a2﹣4b2）
＝3（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：3（a+2b）（a﹣2b）．
13．（2021·广东深圳市南山外国语学校九年级二模）因式分解：________．
【答案】
【分析】
（1）首先提取公因式a，进而利用平方差公式进行分解即可；
【详解】
解：（1）原式=；
故正确答案为：
14．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）因式分解：________．
【答案】
【分析】
先提取y，然后利用平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：，
故答案为：．
15．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）阅读下面材料：
分解因式：．
因为，
设．
比较系数得，．解得．
所以．
解答下面问题：在有理数范围内，分解因式________．
【答案】
【分析】
先用十字相乘法分解因式得到，再设，比较系数得到，解方程组即可求解．
【详解】
解：
设
比较系数得，，
解得，
故答案为：．
三、解答题
16．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）因式分解：
（1）9a2-1；
（2）2ax2-8ax+8a．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据平方差公式分解因式即可；
（2）先提公因式2a，再利用完全平方公式分解．
【详解】
解：（1）
=；
（2）
=
=
17．（2021·深圳市南山区荔香学校）分解因式
（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）直接提取公因式a即可；
（2）直接利用平方差公式，完全平方公式分解因式即可．
【详解】
（1）
（2）
18．（2021·重庆）计算：（1）； （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据完全平方公式可进行求解；
（2）先算括号内，然后再进行分式的除法运算即可．
【详解】
解：（1）原式=；
（2）原式=．
【点睛】
本题主要考查分式的运算、因式分解及完全平方公式，熟练掌握分式的运算、因式分解及完全平方公式是解题的关键．
19．（2021·浙江九年级专题练习）分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3．
【答案】2ab（a﹣b）2
【分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：原式＝2ab（a2﹣2ab+b2）
＝2ab（a﹣b）2
20．（2021·山东九年级期末）将下列多项式进行因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可；
（2）先化简，再利用平方差公式分解因式，即可．
【详解】
解：（1）原式
；
原式
．
21．（2021·河北九年级一模）用因式分解法解一元二次方程x2﹣5x＝6，下列是排乱的解题过程：
①x＋1＝0或x﹣6＝0，②x2﹣5x﹣6＝0，③x1＝﹣1，x2＝6，④（x＋1）（x﹣6）＝0
（1）解题步骤正确的顺序是 ；
（2）请用因式分解法解方程：（x＋3）（x﹣1）＝12
【答案】（1）②④①③；（2）x1＝﹣5，x2＝3
【分析】
（1）先移项，再利用十字相乘法将等式左边因式分解，继而得出两个一元一次方程，解之即可得出答案；
（2）先整理为一般式，再利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）∵x2﹣5x＝6，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x＋1）（x﹣6）＝0，
则x＋1＝0或x﹣6＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝6，
故答案为：②④①③；
（2）∵（x＋3）（x﹣1）＝12，
∴x2＋2x﹣15＝0，
则（x＋5）（x﹣3）＝0，
∴x＋5＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣5，x2＝3.
22．（2021·全国九年级专题练习）分解因式：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）原式变形后，提取公因式即可；
（2）原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
23．（2021·全国九年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如：
③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
观察得出：两个因式分别为与
例如：
分析：
解：原式
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）
②（拆项法）
③________．
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
【答案】（1）①，②，③；（2）7
【分析】
（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案．
【详解】
解：（1）①
；
②
；
③；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
∴的周长为7．
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