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初中数学一轮复习【讲通练透】专题24 求几何图形的面积（练透） （全国通用）
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这是一份初中数学一轮复习【讲通练透】专题24 求几何图形的面积（练透） （全国通用），文件包含专题24求几何图形的面积练透-讲通练透2022初中数学一轮全国通用教师版doc、专题24求几何图形的面积练透-讲通练透2022初中数学一轮全国通用学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题24 求几何图形的面积
一、单选题
1．（2021·廊坊市第四中学八年级月考）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（ ）
A．7B．C．7D．
【答案】B
【分析】
根据题意可知，两小正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为和，所以两个长方形的面积和为
【详解】
解：两小正方形的面积分别是2和5，
两小正方形的边长分别是和，
两个长方形的面积和为：；
故选B．
2．（2021·全国）在中，、分别是、边上的中点，的面积为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据中位线将三角形面积分为两部分可知：△ABC的面积是的面积的4倍，依此即可求解．
【详解】
解：∵、分别是、边上的中点，
∴，
∴
∴
∴
故选B
3．（2021·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，在中，，是的角平分线，DE∥AB交于点，为上一点，连结、，已知，，则的面积（ ）
A．12B．7.5C．8D．6
【答案】B
【分析】
在中，依据勾股定理求出，由“是的角平分线，”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得，由等底等高的三角形面积相等可知，和的面积相等，即可求解．
【详解】
解：∵在中，，，，
∴,
∵是的角平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴和的面积相等，
∴的面积=，
故选B．
4．（2021·广州市真光中学八年级期中）如图，在中，已知点、，分别为、、的中点，且，则阴影部分面积（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，同理得到S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，则S△BEC＝6，然后再由点F为EC的中点得到S△BEF＝S△BEC＝3．
【详解】
解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，
∵点E为AD的中点，
∴S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，
∴S△EBC＝S△EBD＋S△EDC＝6，
∵点F为EC的中点，
∴S△BEF＝S△BEC＝3，
即阴影部分的面积为3cm2．
故选：C．
5．（2021·四川德阳五中）从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（ ）
A．56cm2B．64cm2C．81cm2D．100cm2
【答案】B
【分析】
设原来正方形的边长为xcm，利用剩余部门的面积＝原来正方形的面积﹣截去的小长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入x2中即可求出原来正方形的面积．
【详解】
解：设原来正方形的边长为xcm，
依题意得：x2﹣2x＝48，
解得：x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴x2＝8×8＝64．
故选：B．
6．（2021·三明市列东中学）如图，的面积为14，平分，且于点，则的面积是（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】B
【分析】
延长BD交AC于点E，证明△ADB≌△ADE，得到BD=ED，，推出，由此得到答案．
【详解】
解：延长BD交AC于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD=ED，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．（2021·全国）在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用扇形面积公式求解即可．
【详解】
解：由题意得扇形的面积是．
故选C．
8．（2021·山东济宁·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（ ）
A．4B．4C．3D．3
【答案】A
【分析】
证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解．
【详解】
解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2，
∴AH＝，
S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×4×2＝4，
故选：A．
9．（2021·长沙市北雅中学八年级期中）菱形的两条对角线长分别为和，则此菱形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据，
故选：C．
10．（2021·全国九年级课时练习）如图，中，，且，则被分成的三部分面积之比（ ）
A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．1∶3∶5D．
【答案】C
【分析】
由已知证得△ADE∽△AFG∽△ABC，其相似比分别是1：2：3，则面积的比是1：4：9，可求S1：S2：S3＝1：3：5．
【详解】
解：根据，得到，
∵，
∴，
即、、的相似比是1∶2∶3，
∴、、的面积比是1∶4∶9，
设的面积是a，则的面积是，的面积是，
则，
∴．
故选：C
二、填空题
11．（2021·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则面积是_______．
【答案】6
【分析】
连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=BD，进而证明△BDC是直角三角形，据此解题即可．
【详解】
解：连接BD，
、分别是、的中点，
则EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝2，
∴BD＝4，
在△BCD中，BC＝5，CD＝3，
∴，
∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，
∴，
故答案为：6．
12．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积是_______．
【答案】120
【分析】
由中，，，，求得，的长，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，继而求得答案．
【详解】
解：中，，，
，，
，
，
是直角三角形，即，
．
故答案为：120．
13．（2021·哈尔滨市萧红中学八年级月考）菱形的对角线长分别是10、16，则它的面积是_______．
【答案】80
【分析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别为10和16，
∴其面积为：×10×16=80．
故答案为：80．
14．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级开学考试）将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是_____cm2．
【答案】18
【分析】
由于BCDE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【详解】
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，
∴AC=6cm．
由题意可知BCED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=6cm．
故S△ACF=×6×6=18（cm2）．
故答案为：18．
15．（2021·沭阳县修远中学八年级期末）如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________．
【答案】S1=S2
【分析】
由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果．
【详解】
解：∵四边形为矩形，
∴．
又∵，，
∴四边形和四边形都是矩形．
∵，，四边形为矩形，
∴四边形和四边形也是矩形，
∴，，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
16．（2021·上海市卢湾中学期末）如图所示，，．
（1）已知，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；（结果可保留）
（2）填空：已知阴影甲的面积为6平方厘米，则阴影乙的面积为__________平方厘米．
【答案】（1），；（2）6
【分析】
（1）根据扇形面积公式即可求出结果；
（2）观察图形可得阴影甲的面积=阴影乙的面积，进而可得结果．
【详解】
解：（1）根据题意得：
，
；
（2）观察图形可知：
阴影甲的面积＝阴影乙的面积＝6平方厘米，
故答案为：6．
17．（2021·安徽合肥市·八年级期中）已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为10cm²．
【分析】
（1）先算CD²，BC²，BD²，发现三者之间的等量关系，再结合勾股定理的逆定理判断垂直；
（2）先设AD=x，然后用含有x的式子表示AC，再结合勾股定理列出方程求x，最后求面积．
【详解】
（1）证明：∵BC=2cm，CD=4cm，BD=2cm，
∴CD2=16，BC2=20，BD2=4，
∴CD2+BD2=BC2，
∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AD=x，则AB=x+2，
∵△ABC为等腰三角形，且AB=AC，
∴AC=x+2，
在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴x2+42=（x+2）2，
解得：x=3，
∴AB=5，
∴S△ABC=×AB×CD=×5×4=10（cm²）．
18．（2021·安徽合肥市五十中学西校）如图，四边形中，，，，．
（1）求的度数．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）连接，根据，，得出为等边三角形，求得，然后根据勾股定理逆定理判断△BDC是直角三角形，，从而求得的度数．
（2）根据四边形的面积等于△ABC和△ACD的和即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接，
，
为等边三角形
，
，
，
（2）如图，过点作
为等边三角形
在中，
．
19．（2021·南昌市心远中学）如图，在和中，．
求的面积；
试判断的形状，并证明你结论．
【答案】（1）（2）直角三角形；理由见解析
【分析】
（1）过点C作于E，设，在和中，
，，列出方程组，解方程求得的值，运用三角形面积公式计算即可；
（2）过点D作于F，先证明，求出的长，运用勾股定理得出的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1）过点C作于E，
设，在和中，
，，
则，解得，
∴；
（2）为直角三角形，理由如下：
过点D作于F，
∵，
∴,
在三角形和中，
,
∴，
∴，，
∴,
则，
在中，
， ，
∴，
∴为直角三角形．
20．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4．
（1）证明：APN∽ABC；
（2）求矩形PQMN的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S矩形PQMN= 48．
【分析】
（1）由PN∥BC即可得出结论；
（2）设PQ=3x，则PN=4x，利用PN∥BC，可得到，代入可求得x，再计算矩形PQMN的面积即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC；
（2）解：∵PQ：PN=3：4，
∴设PQ=3x，则PN=4x，
∵四边形PQMN为矩形，
∴ED=PQ=3x，AE=AD-DE=10-3x，
又PN∥BC，
∵△APN∽△ABC，
∴，
即，
解得x=2，
∴PQ=6，PN=8，
∴S矩形PQMN=PQ•PN=6×8=48．
21．（2021·天津南开翔宇学校）如图，四边形中，，，，，求四边形的面积．
【答案】16
【分析】
延长AB和DC线交于点O，可得OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，根据列方程求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积，最后作差即可．
【详解】
延长和线交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得，，，，
设，则，
∵，，
∴，解得：，
∴，，
，
∴四边形的面积
．
故填16．
22．（2021·珠海市紫荆中学桃园校区八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，点E、F分别为AC、BC上的点，且∠EDF＝90°．
（1）求证：ED＝DF；
（2）若BC＝4，求四边形EDFC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）首先证明，，根据全等三角形的判定易得到，继而可得出结论．
（2）根据全等可得，进而得到，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．
【详解】
证明：（1）是等腰直角三角形，
，
为中点，
，平分，．
，
，
，，
，
在和中，
∵，
，
．
（2），
，
，
是的中点，
．
．
23．（2021·山东邹城市·）如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为6，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是中边的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形的面积．
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题24 求几何图形的面积
一、单选题
1．（2021·廊坊市第四中学八年级月考）如图，正方形被分成两个小正方形和两个长方形，如果两小正方形的面积分别是2和5，那么两个长方形的面积和为（ ）
A．7B．C．7D．
【答案】B
【分析】
根据题意可知，两小正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为和，所以两个长方形的面积和为
【详解】
解：两小正方形的面积分别是2和5，
两小正方形的边长分别是和，
两个长方形的面积和为：；
故选B．
2．（2021·全国）在中，、分别是、边上的中点，的面积为，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据中位线将三角形面积分为两部分可知：△ABC的面积是的面积的4倍，依此即可求解．
【详解】
解：∵、分别是、边上的中点，
∴，
∴
∴
∴
故选B
3．（2021·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，在中，，是的角平分线，DE∥AB交于点，为上一点，连结、，已知，，则的面积（ ）
A．12B．7.5C．8D．6
【答案】B
【分析】
在中，依据勾股定理求出，由“是的角平分线，”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得，由等底等高的三角形面积相等可知，和的面积相等，即可求解．
【详解】
解：∵在中，，，，
∴,
∵是的角平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴和的面积相等，
∴的面积=，
故选B．
4．（2021·广州市真光中学八年级期中）如图，在中，已知点、，分别为、、的中点，且，则阴影部分面积（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根据三角形面积公式由点D为BC的中点得到S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，同理得到S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，则S△BEC＝6，然后再由点F为EC的中点得到S△BEF＝S△BEC＝3．
【详解】
解：∵点D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝6，
∵点E为AD的中点，
∴S△EBD＝S△EDC＝S△ABD＝3，
∴S△EBC＝S△EBD＋S△EDC＝6，
∵点F为EC的中点，
∴S△BEF＝S△BEC＝3，
即阴影部分的面积为3cm2．
故选：C．
5．（2021·四川德阳五中）从一块正方形铁皮上截去2cm宽的一个长方形，余下的面积是48cm2，则原来正方形的面积为（ ）
A．56cm2B．64cm2C．81cm2D．100cm2
【答案】B
【分析】
设原来正方形的边长为xcm，利用剩余部门的面积＝原来正方形的面积﹣截去的小长方形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入x2中即可求出原来正方形的面积．
【详解】
解：设原来正方形的边长为xcm，
依题意得：x2﹣2x＝48，
解得：x1＝8，x2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴x2＝8×8＝64．
故选：B．
6．（2021·三明市列东中学）如图，的面积为14，平分，且于点，则的面积是（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】B
【分析】
延长BD交AC于点E，证明△ADB≌△ADE，得到BD=ED，，推出，由此得到答案．
【详解】
解：延长BD交AC于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD=ED，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7．（2021·全国）在圆心角为的扇形中，半径，则扇形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用扇形面积公式求解即可．
【详解】
解：由题意得扇形的面积是．
故选C．
8．（2021·山东济宁·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是（ ）
A．4B．4C．3D．3
【答案】A
【分析】
证△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解．
【详解】
解：连接AC，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD为等边三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE＝S△ACF，
故S四边形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
过A作AH⊥BC于H，则BH＝BC＝2，
∴AH＝，
S四边形AECF＝S△ABC＝BC•AH＝×4×2＝4，
故选：A．
9．（2021·长沙市北雅中学八年级期中）菱形的两条对角线长分别为和，则此菱形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．
【详解】
解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，
根据，
故选：C．
10．（2021·全国九年级课时练习）如图，中，，且，则被分成的三部分面积之比（ ）
A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．1∶3∶5D．
【答案】C
【分析】
由已知证得△ADE∽△AFG∽△ABC，其相似比分别是1：2：3，则面积的比是1：4：9，可求S1：S2：S3＝1：3：5．
【详解】
解：根据，得到，
∵，
∴，
即、、的相似比是1∶2∶3，
∴、、的面积比是1∶4∶9，
设的面积是a，则的面积是，的面积是，
则，
∴．
故选：C
二、填空题
11．（2021·哈尔滨德强学校八年级期中）如图，在四边形中，、分别是、的中点，若，，，则面积是_______．
【答案】6
【分析】
连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=BD，进而证明△BDC是直角三角形，据此解题即可．
【详解】
解：连接BD，
、分别是、的中点，
则EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝2，
∴BD＝4，
在△BCD中，BC＝5，CD＝3，
∴，
∴△BCD是以D点为直角顶点的直角三角形，
∴，
故答案为：6．
12．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）如图，在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积是_______．
【答案】120
【分析】
由中，，，，求得，的长，利用勾股定理的逆定理即可证得是直角三角形，继而求得答案．
【详解】
解：中，，，
，，
，
，
是直角三角形，即，
．
故答案为：120．
13．（2021·哈尔滨市萧红中学八年级月考）菱形的对角线长分别是10、16，则它的面积是_______．
【答案】80
【分析】
根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得其面积．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别为10和16，
∴其面积为：×10×16=80．
故答案为：80．
14．（2021·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学八年级开学考试）将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝12cm，则阴影部分的面积是_____cm2．
【答案】18
【分析】
由于BCDE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
【详解】
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=12cm，
∴AC=6cm．
由题意可知BCED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=6cm．
故S△ACF=×6×6=18（cm2）．
故答案为：18．
15．（2021·沭阳县修远中学八年级期末）如图，点在矩形的对角线上，且不与点重合，过点分别作边的平行线，交两组对边于点和．四边形和四边形都是矩形并且面积分别为S1，S2，则S1，S2之间的关系为__________．
【答案】S1=S2
【分析】
由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果．
【详解】
解：∵四边形为矩形，
∴．
又∵，，
∴四边形和四边形都是矩形．
∵，，四边形为矩形，
∴四边形和四边形也是矩形，
∴，，，
∴，
故答案为：．
三、解答题
16．（2021·上海市卢湾中学期末）如图所示，，．
（1）已知，求以为直径的半圆面积及扇形的面积；（结果可保留）
（2）填空：已知阴影甲的面积为6平方厘米，则阴影乙的面积为__________平方厘米．
【答案】（1），；（2）6
【分析】
（1）根据扇形面积公式即可求出结果；
（2）观察图形可得阴影甲的面积=阴影乙的面积，进而可得结果．
【详解】
解：（1）根据题意得：
，
；
（2）观察图形可知：
阴影甲的面积＝阴影乙的面积＝6平方厘米，
故答案为：6．
17．（2021·安徽合肥市·八年级期中）已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为10cm²．
【分析】
（1）先算CD²，BC²，BD²，发现三者之间的等量关系，再结合勾股定理的逆定理判断垂直；
（2）先设AD=x，然后用含有x的式子表示AC，再结合勾股定理列出方程求x，最后求面积．
【详解】
（1）证明：∵BC=2cm，CD=4cm，BD=2cm，
∴CD2=16，BC2=20，BD2=4，
∴CD2+BD2=BC2，
∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AD=x，则AB=x+2，
∵△ABC为等腰三角形，且AB=AC，
∴AC=x+2，
在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2，
∴x2+42=（x+2）2，
解得：x=3，
∴AB=5，
∴S△ABC=×AB×CD=×5×4=10（cm²）．
18．（2021·安徽合肥市五十中学西校）如图，四边形中，，，，．
（1）求的度数．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）连接，根据，，得出为等边三角形，求得，然后根据勾股定理逆定理判断△BDC是直角三角形，，从而求得的度数．
（2）根据四边形的面积等于△ABC和△ACD的和即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接，
，
为等边三角形
，
，
，
（2）如图，过点作
为等边三角形
在中，
．
19．（2021·南昌市心远中学）如图，在和中，．
求的面积；
试判断的形状，并证明你结论．
【答案】（1）（2）直角三角形；理由见解析
【分析】
（1）过点C作于E，设，在和中，
，，列出方程组，解方程求得的值，运用三角形面积公式计算即可；
（2）过点D作于F，先证明，求出的长，运用勾股定理得出的长度，即可得出结论．
【详解】
解：（1）过点C作于E，
设，在和中，
，，
则，解得，
∴；
（2）为直角三角形，理由如下：
过点D作于F，
∵，
∴,
在三角形和中，
,
∴，
∴，，
∴,
则，
在中，
， ，
∴，
∴为直角三角形．
20．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）如图，在ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，Q、M在BC上，AD交PN于点E．设BC＝20，AD＝10，PQ：PN＝3：4．
（1）证明：APN∽ABC；
（2）求矩形PQMN的面积．
【答案】（1）见解析；（2）S矩形PQMN= 48．
【分析】
（1）由PN∥BC即可得出结论；
（2）设PQ=3x，则PN=4x，利用PN∥BC，可得到，代入可求得x，再计算矩形PQMN的面积即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC；
（2）解：∵PQ：PN=3：4，
∴设PQ=3x，则PN=4x，
∵四边形PQMN为矩形，
∴ED=PQ=3x，AE=AD-DE=10-3x，
又PN∥BC，
∵△APN∽△ABC，
∴，
即，
解得x=2，
∴PQ=6，PN=8，
∴S矩形PQMN=PQ•PN=6×8=48．
21．（2021·天津南开翔宇学校）如图，四边形中，，，，，求四边形的面积．
【答案】16
【分析】
延长AB和DC线交于点O，可得OB=BC，OD=OA，OA=AD，BC=OC，设BC=OC=x，则BO=x，根据列方程求出x，再分别求出△AOD和△BOC的面积，最后作差即可．
【详解】
延长和线交于点，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理可得，，，，
设，则，
∵，，
∴，解得：，
∴，，
，
∴四边形的面积
．
故填16．
22．（2021·珠海市紫荆中学桃园校区八年级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，点E、F分别为AC、BC上的点，且∠EDF＝90°．
（1）求证：ED＝DF；
（2）若BC＝4，求四边形EDFC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）首先证明，，根据全等三角形的判定易得到，继而可得出结论．
（2）根据全等可得，进而得到，然后再利用三角形的中线平分三角形的面积可得答案．
【详解】
证明：（1）是等腰直角三角形，
，
为中点，
，平分，．
，
，
，，
，
在和中，
∵，
，
．
（2），
，
，
是的中点，
．
．
23．（2021·山东邹城市·）如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若是等边三角形，且边长为6，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）四边形的面积．
【分析】
（1）利用平行四边形的性质先证明，可得再证明四边形是平行四边形，从而可得结论；
（2）先求解，，再利用勾股定理求解，从而可得答案.
【详解】
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是中边的中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形为矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形的面积．
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