初中数学一轮复习【讲通练透】专题13 一元一次不等式（组）及其应用（练透） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题13 一元一次不等式（组）及其应用
一、单选题
1．（2021·珠海市九洲中学九年级三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质1，可判断A、B；根据不等式的性质2、3，可判断C、D．
【详解】
解：A、不等式的两条边都加2，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、不等式的两边都减2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故C不符合题意；
D、不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D正确；
故选：D．
2．（2021·浙江杭州·翠苑中学九年级二模）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】
根据不等式的性质求解判断即可．
【详解】
解：A．若，则，故说法符合题意；
B．若，则，故说法不符合题意；
C．若，不一定大于，故说法不符合题意；
D．若，当时，则，故说法不符合题意；
故选：A．
3．（2021·深圳市南山区荔香学校九年级开学考试）关于的不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据不等式的性质即可判断求解．
【详解】
解：∵不等式的解集为，
∴，
∴m<−1，
故选D．
4．（2021·重庆市天星桥中学九年级开学考试）已知关于x的不等式组有且只有3个非负整数解，且关于x的分式方程+a=2有整数解，则所有满足条件的整数a的值的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】
根据关于的不等式组有且只有3个非负整数解，求得，再根据关于的分式方程有整数解，求得且，进而解决此题．
【详解】
解：解，得．
解，解．
关于的不等式组有且只有3个非负整数解，
．
．
，
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
的系数化为1，得．
关于的分式方程有整数解，
且为整数．
．
又且为整数，
．
故选：D．
5．（2021·老河口市教学研究室九年级月考）不等式组的整数解有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
先解出不等式组的解集，再取整数解即可．
【详解】
解：由题意可得：，解得，
，解得，
∴不等式组的解集为：，
其整数解有：0、1、2共3个，
故选：C．
6．（2021·山东日照·）若不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式，得：，
且不等式组的解集为，
，
故选：C．
7．（2021·珠海市紫荆中学九年级一模）不等式组的解集是（ ）
A．﹣1＜x≤2B．﹣2≤x＜1C．x＜﹣1或x≥2D．2≤x＜﹣1
【答案】A
【分析】
分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可而得到答案．
【详解】
解：，
解不等式，得；
解不等式，得；
∴不等式组的解集为：；
故选：A．
8．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（ ）
A．6≤m≤9B．6＜m＜9C．6＜m≤9D．6≤m＜9
【答案】D
【分析】
首先根据不等式的基本性质求出x的取值范围，再由x的负整数解列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．
【详解】
3x+m≥0，
，
不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，
两个负整数根为-1和-2，
，
6≤m<9，
故选：D．
9．（2020·重庆梁平·）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．2D．1
【答案】A
【分析】
先求解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a≤3，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣4且a≠2，进而得到满足条件的整数a的值之和．
【详解】
解：解不等式组，
可得：＜x≤3，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤＜0，
∴﹣4＜a≤3，
解分式方程有非负数解，
可得y＝，
又∵分式方程有非负数解，
∴y≥0，且y≠3，
即≥0，≠3，
解得a≥﹣4且a≠2，
∴﹣4＜a≤3且a≠2，
∴满足条件的整数a的值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是﹣2．
故选：A．
10．（2021·北京市第十二中学九年级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A．每场比赛的第一名得分a为4
B．甲至少有一场比赛获得第二名
C．乙在四场比赛中没有获得过第二名
D．丙至少有一场比赛获得第三名
【答案】C
【分析】
根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．
【详解】
解：∵甲最后得分为16分，
∴a＞4，
接下来以乙为主要研究对象，
①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，
则3b＝8﹣a＜4，而b为正整数，
则b＝1，又c为正整数，a＞b＞c，
此时不合题意；
②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，
则a+2b+c＝8，
则2b+c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，
不符合题意；
③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，
则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，
由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，
此时没有符合该不等式的解，不符合题意；
④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，
则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，
则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，
乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，
丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，
此时符合题意．
综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．
故选：C．
二、填空题
11．（2021·湖北黄石八中九年级模拟预测）不等式组的整数解为______________．
【答案】x=3
【分析】
分别求解①②不等式得到，在该取值范围内选取整数解即可.
【详解】
解：
解①得x<4
解②得
∴
∴x=3
故答案为：3
12．（2021·全国九年级课时练习）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每30分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口30分钟内一共通过的小客车数量记录如下：
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每30分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是________．
【答案】D
【分析】
根据表中数据两两相比较即可得到结论．
【详解】
解：∵360-240=120，260-240=20，330-260=70，330-300=30,360-300=60，
∴A收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于B收费出口通过的数量；E收费出口通过的数量大于C收费出口通过的数量；D收费出口通过的数量大于A收费出口通过的数量；B收费出口通过的数量大于E收费出口通过的数量；
∴D>B>E>C，D>A，
∴每30分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是D．
故答案为：D．
13．（2021·辽宁沈阳·中考真题）不等式组的解集是__________．
【答案】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
14．（2021·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）不等式组：的解集为______．
【答案】-1＜x≤2
【分析】
分别求出两个不等式的解，再取它们的公共部分，即可求解．
【详解】
解：，
由①得：，解得：，
由②得：，解得：x≤2，
∴不等式组的解为：-1＜x≤2．
故答案是：-1＜x≤2．
15．（2021·临沂第九中学九年级月考）不等式 的解集为_____．
【答案】
【分析】
根据解不等式的步骤逐步计算即可．
【详解】
去分母得：
去括号得：
移项、合并同类项得：
系数化1得：
故答案为．
三、解答题
16．（2021·福建厦门双十中学思明分校九年级二模）解不等式组：
【答案】x＞2
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解：，
由①得x＞1，
由②得x＞2，
∴原不等式组的解集是x＞2．
17．（2021·山东济南·中考真题）解不等式组：并写出它的所有整数解．
【答案】；
【分析】
分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整数解即可．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
它的所有整数解为：
18．（2021·福建省福州第十九中学九年级月考）解不等式组
【答案】x＞3
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】
解：，
∵解不等式①得：x＞-2，
解不等式②得：x＞3，
∴不等式组的解集为x＞3．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（2021·全国九年级课时练习）某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如表：（单位：分）
（1）求甲的平均成绩；
（2）若公司将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按的比确定每人的总成绩．
①计算甲的总成绩；
②若乙的总成绩超过甲的总成绩，则乙的表达能力成绩x超过多少分？
【答案】（1）84；（2）①85.5；②乙的表达能力成绩x超过82.5分．
【分析】
（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）①根据加权平均数的定义求解即可；②先用x表示出乙的加权总成绩，然后根据题意列出不等式求解即可．
【详解】
解：（1）甲的平均成绩为：（分）；
（2）①甲的总成绩为：（分）；
②乙的总成绩为：（分），
由题意知，解得．
答：乙的表达能力成绩x超过82.5分．
20．（2021·福建省福州延安中学九年级月考）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
【答案】−2≤x＜1；数轴见解析
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
解：，
解①得x＜1，
解②得x≥−2，
∴原不等式组的解集为−2≤x＜1，
在数轴上表示：
．
21．（2021·四川绵阳·中考真题）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400 件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买、两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．
（1）该工艺厂购买类原木根数可以有哪些？
（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买、两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）50、51、52、53、54、55；（2）50根，100根，最大利润为76000
【分析】
（1）设工艺厂购买类原木根， 类原木（150-x），根类原木可制作甲种工艺品4件+（150-x）根类原木可制作甲种工艺品2(150-x）)件不少于400，根类原木可制作乙种工艺品2件+（150-x）根类原木可制作乙种工艺品6（150-x）件不少于680列不等式组，求出范围即可；
（2）设获得利润为元，根据每件甲利润乘以甲件数+每件乙利润乘以乙件数列出函数，根据函数性质即可求解．
【详解】
解：（1）设工艺厂购买类原木根， 类原木（150-x）根
由题意可得，
可解得，
∵为整数，
∴，51，52，53，54，55．
答：该工艺厂购买A类原木根数可以是：50、51、52、53、54、55．
（2）设获得利润为元，
由题意，，
即．
∵，
∴随的增大而减小，
∴时，取得最大值76000．
∴购买A类原木根数50根，购买B类原木根数100根，取得最大值76000元．
22．（2021·哈尔滨市第十七中学校九年级二模）毕业考试结束后，班主任罗老师预购进甲乙两种奖品奖励学生，若购进甲种奖品3件和乙种奖品2件共需要40元；若购进甲种奖品2件和乙种奖品3件共需要55元．
（1）求购进甲、乙两种奖品每件分别需要多少元？
（2）班主任罗老师决定购进甲、乙两种奖品共20件，且用于购买这20件奖品的资金不超过160元，则最多能购进乙种奖品多少件？
【答案】（1）购进每件甲种奖品需要2元，每件乙种奖品需要17元；（2）8件
【分析】
（1）设购进每件甲种奖品需要x元，每件乙种奖品需要y元，根据“若购进甲种奖品3件和乙种奖品2件共需要40元；若购进甲种奖品2件和乙种奖品3件共需要55元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设能购进乙种奖品m件，则购进甲种奖品（20-m）件，根据总价=单价×数量，结合购买这20件奖品的资金不超过160元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设购进每件甲种奖品需要x元，每件乙种奖品需要y元，
依题意得：，
解得：，
答：购进每件甲种奖品需要2元，每件乙种奖品需要17元．
（2）设能购进乙种奖品m件，则购进甲种奖品（20-m）件，
依题意得：2（20-m）+17m≤160，
解得：m≤8．
答：最多能购进乙种奖品8件．
23．（2021·日照港中学九年级一模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场．某车行经营的型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．
（1）今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）
（2）该车行计划新进一批型车和新款型车共60辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？，两种型号车的进货和销售价格如下表：
【答案】（1今年A型车每辆售价为1600元；（2）当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
【分析】
（1）设今年A款车的每辆售价x元，则去年每辆售价为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60-a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值即可
【详解】
（1）解：设今年A型车每辆售价x元，则去年每辆售价元，由题意得：
，
解得，
经检验符合题意且是所列方程的根，
答：今年A型车每辆售价为1600元．
（2）解：设车行新进A型车a辆，则B型车为辆，获利y元，由题意得：，
即，
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，
∴，
∴，
由a与y的关系可知：，y值随a的增大而减小，
∴当时，y值最大，
∴（辆），
答：当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
收费出口编号
A，B
B，C
C，D
D，E
E，A
通过小客车数（辆）
360
240
260
330
300
应聘者
阅读能力
思维能力
表达能力
甲
93
86
73
乙
95
81
x
型车
型车
进货价格（元）
1100
1400
销售价格（元）
今年的销售价格
2000