初中数学一轮复习【讲通练透】专题12 韦达定理及其应用（讲通） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题12 韦达定理及其应用
1、会运用根与系数关系解题。
2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力。
一、根的判别式
1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 ，显然只有当时，才能直接开平方得：．
注：一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实
2、一元二次方程的判别式：，
（1）当时，方程有两个不相等的实数根，；
（2）当时，方程有两个相等的实数根，；
（3）当时，方程无实数解。
3、一元二次方程根与系数关系的推导：
对于一元二次方程其中，设其根为，由求根公式，有，
4、常见的形式：
（1）
例1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法判断
【答案】C
【分析】
把a=1，b=0，c=-7代入△=，然后计算△，最后根据计算结果判断方程的根的情况即可．
【详解】
解：∵ a=1，b=0，c=-7，
∴ △==，
∴ 方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
二、韦达定理
如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．
例2．设一元二次方程的两根为，由求根公式可推出，我们把这个命题叫做韦达定理．设是方程的两根，请根据韦达定理求下列各式的值：
（1）________，________；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）5；3；（2）；（3）35；（4）410
【分析】
（1）根据韦达定理得出α+β=5，αβ=3．
（2）将变形为，再代入数值计算即可；
（3）根据一元二次方程的解的定义得出α2-5α+3=0，即α2=5α-3，则2α2-3αβ+10β变形为10（α+β）-3αβ-6，再代入数值计算即可．
（4）根据已知得到α+β=5，，，再代入中逐步变形，即可计算．
【详解】
解：（1）∵α，β是方程x2-5x+3=0的两根，
∴α+β=5，αβ=3．
故答案为：5；3；
（2）
=
=；
（3）∵α方程x2-5x+3=0的根，
∴α2-5α+3=0，即α2=5α-3，
∴2α2-3αβ+10β=10α-6-3αβ+10β=10（α+β）-3αβ-6=10×5-3×3-6=35．
（4）∵α，β是方程x2-5x+3=0的两根，
∴，α+β=5，
∴，，
∴
=
=
=
=
=410
1．（2021·兰州市外国语学校九年级期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 （ ）
A．m≥2B．m<2C．m≥0D．m<0
【答案】B
【分析】
根据根的判别式，可知Δ＞0，据此即可求出m的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
Δ＝，
解得：m<2，
故选：B
2．（2021·全国九年级课时练习）若一元二次方程的两根是m，n，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
根据根与系数的关系可得出m+n=4，mn=-3，此题得解．
【详解】
解：∵一元二次方程x2-4x-3=0的两根是m，n，
∴m+n=4，mn=-3．
故选：D．
3．（2020·沭阳县怀文中学九年级月考）若方程x2＋4x＋a＝0无实根，化简等于（ ）
A．4﹣aB．a﹣4C．﹣（a＋4）D．无法确定
【答案】B
【分析】
由一元二次方程无实根得到Δ＝42﹣4a＜0，继而解得a＞4，再由完全平方公式因式分解，化简二次根式，结合绝对值的性质解题．
【详解】
解：∵方程x2＋4x＋a＝0无实根，
∴Δ＝42﹣4a＜0，
∴a＞4，
＝＝|4﹣a |，
∵a＞4，
∴|4﹣a |＝a﹣4，
故选：B．
4．（2021·全国九年级课时练习）已知一元二次方程的两根为，则（ ）
A．0B．1C．2D．
【答案】A
【分析】
根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，，将其代入中即可求出结论．
【详解】
解：∵方程的两根是、，
∴，即，
∴原式．
故选A.
5．（2021·全国九年级课时练习）设是一元二次方程的两根，则（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】A
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】
解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
故选：A．
6．（2021·陕西交大附中分校）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】C
【分析】
一元二次方程的二次项系数不能为0，且当时，有两个实数根，计算即可得到参数取值范围．
【详解】
解：∵是一元二次方程
∴
∴
又∵一元二次方程有两个实数根
∴
即：

∴满足题意的的取值范围是：且
故选：C
7．（2020·广州市第七中学九年级期中）若关于x的方程的两根为和4，则____________．
【答案】
【分析】
利用根与系数的关系求解即可．
【详解】
解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
8．（2021·广东九年级期末）已知矩形的长和宽是方程的两个实数根，则矩形的面积为___________．
【答案】20
【分析】
设方程的两个实数根为，根据根与系数的关系即可求解．
【详解】
解：设方程的两个实数根为，
根据根与系数的关系可得，
所以矩形的面积为
故答案为20
9．（2021·全国九年级课时练习）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可．
【详解】
解：（1）∵，
且，
∴；
（2）∵，
且，
∴；
（3）方程化为，
∵，
且，
∴；
（4）方程化为，∵，且，
∴．
10．（2021·山东济宁学院附属中学九年级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）m=-2
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得x1+x2=m+2，x1x2=2m，代入x1+x2-x1x2=4，解方程即可求解．
【详解】
（1）证明：∵Δ=[-(m+2)]2-4×2m=(m-2)2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2=m+2，x1x2=2m，
∵x1+x2-x1x2=4，
∴m+2-2m=4．
解得m=-2．