初中数学苏科版八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形练习

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1．（2022春·江苏南通·八年级统考期中）已知，点是正方形所在平面上一点，直线与直线相交于点．直线与直线相交于点，且．

(1)如图，当点在正方形内部，且时，求证：；
(2)如图，当点在正方形外部，依题意补全图；用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
2．（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
(1)如图1，若∠BAD＝90°，求证：四边形ABCD是正方形；
(2)在（1）的条件下，延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
(3)如图2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
3．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．
(2)探究证明：
①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
5．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
6．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）点 E．F 分别为正方形 ABCD 边 AD．AB 上的点，连接 CE，DF 交于点 P．
(1)如图 1，若 DE=AF，则线段 DF 与 CE 具有怎样的数量和位置关系？说明理由．
(2)如图 2，若 E 为 AD 中点，F 为 AB 中点，求证 BP=BC．
(3)若将正方形 ABCD 折叠，使得 A 点的对应点 A'落在 BC 边上，折痕 MN 分别交 AB，CD 于 M，N．若正方形的的边长为 6，线段 A'B=2，则 DN 的长为 ．
7．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）已知：在正方形ABCD中，，点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），，连接AE，过点B作，垂足为G，交AD于点F．
(1)如图1，若．
①求BF的长；
②求四边形DEGF的面积．
(2)如图2，过点E作AE的垂线，交AD的延长线于点G，交BC于点H，求的长（用含t的代数式表示）．
8．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．
(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；
(2)请思考并解决小明提出的两个问题：
问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；
问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？
9．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市景范中学校校考期中）如图1，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，并将AE绕点E顺时针旋转90°，得到EG，过点G作于点F，于点H．
(1)①判断：四边形CFGH的形状为____________；②证明你的结论；
(2)如图2，连接AG，交DC于I，连接EI，若，，求正方形ABCD的边长；
(3)如图3，连接BD，与AE、AG交于P、Q两点，试探索BP、PQ、QD之间的数量关系，并直接写出结论：________________．
10．（2022春·江苏无锡·八年级无锡市太湖格致中学校考期中）如图1，点P是矩形ABCD边CD上的一个动点，连接AP，以AP为边向外作正方形APEF，连接ED、FD．设DP＝x，，y与x的函数图像如图2所示．
(1)AB＝______，BC＝______；
(2)试问是否发生改变？如果改变，请求出W关于x的函数表达式；若不改变，请求出W的值；
(3)当△DEF为等腰三角形时，求出x的值．
11．（2022春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）已知正方形，E，F为平面内两点．
(1)如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．求证：；
(2)如图2，当点E在正方形外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
(3)如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，与交于G点．若，，求正方形的面积．
12．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，已知正方形BEFG，点C在BE的延长线上，点A在GB的延长线上，且AB＝BC，过点C作AB的平行线，过点A作BC的平行线，两条平行线相交于点D．
(1)证明：四边形ABCD是正方形；
(2)当正方形BEFG绕点B顺时针（或逆时针）旋转一定角度，得到图2，使得点G在射线DB上，连接BD和DF，点Q是线段DF的中点，连接CQ和QE，猜想线段CQ和线段QE的关系，并说明理由；
(3)将正方形BEFG绕点B旋转一周时，当∠CGB等于45°时，直线AE交CG于点H，探究线段CH、EG、AH的长度关系．
13．（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）问题情境：如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易证：CE＝DF．（不需要写出证明过程）
问题探究：在“问题情境”的基础上请研究．
(1)如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点（不与点B、C重合），垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．判断线段AE与MN之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，CQ（图中未连），判断线段EQ与CQ之间的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下延长EQ交边AD于点F．则∠AEF= °；
(4)拓展提高：如图3，若该正方形ABCD边长为8，将正方形沿着直线MN翻折，使得BC的对应边B′C′恰好经过点A，过点A作AG⊥MN，垂足分别为G，若AG＝5，请直接写出AC′的长 ．
14．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）△ABC中，，，点D为直线BC上一动点（（点D不与B，C重合）），以AD为边的AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为______；（将结论直接写在横线上）
(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于G，连接GE．若已知，，请直接写出GE的长．
15．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图①，已知正方形，把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与正方形的一个顶点重合，当直角的一边与相交于点，另一边与的延长线相交于点时．
（1）证明：；
（2）如图②，作的平分线交于点，连接．证明：．
16．（2022春·江苏扬州·八年级统考期中）在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G．
(1)如图1，求证：AE⊥BF；
(2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值．