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苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(三)和分式及分式方程有关的压轴大题(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册常考点微专题提分精练难点特训(三)和分式及分式方程有关的压轴大题(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了阅读下列材料等内容，欢迎下载使用。
1．（2019秋·江苏南通·八年级校考期末）某公司为增加员工收入，提高效益，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（）较去年翻一番，求今年该公司产品的利润率．
2．（2017春·江苏南通·八年级统考期末）某物流公司要把3000吨货物从M市运到W市．（每日的运输量为固定值）
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数y（单位：吨）与运输时间x（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）因受到沿线道路改扩建工程影响，实际每天的运输量比原计划少20%，以致推迟1天完成运输任务，求原计划完成运输任务的天数．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
(1)【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
(2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝ ；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像．
5．（2022秋·江苏·八年级期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
(1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________；
(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝_______；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；
(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）．
6．（2021秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
（1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是）
（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值．
7．（2020秋·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考阶段练习）对于两个不等的非零实数，若分式的值为0，则或，又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，，应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解中较大的一个为_______．
（2）关于的方程的两个解分别为（），若与互为倒数，则=______，=_______．
（3）关于的方程的两个解分别为（），求的值．
8．（2022·全国·九年级专题练习）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
（3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
9．（2021秋·江苏南通·八年级南通市新桥中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系中的点，若点P′的坐标为(a+，ka+b)(其中为常数，且)，则称点P′为点的“之雅礼点”．例如：的“之雅礼点”为P′（，），即P′（3，6）．
(1)①点的“之雅礼点”P′的坐标为_______．
②若点的“之雅礼点”P′的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之雅礼点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则的值为_______；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
11．（2021春·江苏·八年级统考期末）以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
12．（2017秋·江苏盐城·八年级校考期末）甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）在（1）、（2）的结论下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．
甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；
乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．
请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
13．（2021春·江苏·八年级专题练习）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
难点特训（三）和分式及分式方程有关的压轴大题
1．（2019秋·江苏南通·八年级校考期末）某公司为增加员工收入，提高效益，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（）较去年翻一番，求今年该公司产品的利润率．
【答案】今年该公司产品的利润率．
【分析】设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据利润率计算公式列出方程，求出a和b的数量关系，进而求出产品的利润率．
【详解】解：设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据题意，
,
整理得：，
解得：，
∴今年的利润率为．
答：今年该公司产品的利润率．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解答本题的关键是正确设出产品的出厂价和成本价，并表示今年的出厂价和成本，利用今年的利润率较去年翻一番列出方程．
2．（2017春·江苏南通·八年级统考期末）某物流公司要把3000吨货物从M市运到W市．（每日的运输量为固定值）
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数y（单位：吨）与运输时间x（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）因受到沿线道路改扩建工程影响，实际每天的运输量比原计划少20%，以致推迟1天完成运输任务，求原计划完成运输任务的天数．
【答案】（1） （2）4天
【详解】试题分析：（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数解析式，注意实际问题的取值范围；
（2）根据“实际每天比原计划每天少运20％，则推迟1天完成任务”列分式方程即可求解.
试题解析：（1）∵每天运量×天数＝总运量，∴xy＝3000，
∴y＝（x＞0）
（2）设原计划x天完成，根据题意得：
（1﹣20%）＝，
解得：x＝4
经检验：x＝4是原方程的根，
答：原计划4天完成．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；
(2)且；
(3)或．
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴，即
又∵
∴，即
∴且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
(1)【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
(2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝ ；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像．
【答案】(1)①90；②105
(2)①50；②；图像见解析
【分析】（1）①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；
（2）①当第二次相遇地点刚好在点B时，设出来两个机器人的速度，根据题意列出方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结果．
（1）
解：①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150-30=120，
设机器人的甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，
而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，，
解得m=90，
∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度；
②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150-35=115，
设机器人的甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，
而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，，
解得m=105，
∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为105个单位长度；
（2）
解：①当第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
解得x=50，
经检验：x=50是分式方程的根，
即：a=50；
②当时，点P(50，150)在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y=3x，
当时，即当，此时，第二次相遇地点时机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
∴，
即函数解析式为，
函数图像如图：
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2022秋·江苏·八年级期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
(1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________；
(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝_______；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；
(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）．
【答案】(1)60，80
(2)①；②，补全函数图像见解析，标出N（50，50）
(3)0＜x≤8或32≤x≤48
【分析】（1）①根据题意可得相遇点与点B之间的距离为80个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为b，由所用时间相等得出，求出甲从相遇点到B所用的时间为，乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为，根据题意列出方程求解即可得；
②解法与①方法类似，求解即可；
（2）①当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意得出方程求解可得；
②当时，点在线段OM上，设直线的解析式为，将点M代入可确定此段的函数解析式；当时，，即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，设设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意列出相应方程化简即可确定第二段函数解析式，然后描出特殊点，作出图象即可；
（3）甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况，结合图象进行分析，然后列出方程得出z与x的函数解析式，然后代入不等式求解即可得．
【详解】（1）解：①∵相遇点与点A相距20个单位长度，
∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度，
设甲的速度为v，乙的速度为b，
则，
∴，
∴甲从相遇点到B所用的时间为：，
乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：，
∵，
∴甲与乙第二次相遇时，乙从第一次相遇点到点A，返回到点B，再返回向A时与甲第二次相遇，此时相遇点距离点A为y个单位长度，
根据题意可得：
，
解得：；
②∵相遇点与点A相距40个单位长度，
∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度，
设甲的速度为v，乙的速度为b，
则，
∴，
∴甲从相遇点到B所用的时间为：，
乙从相遇点到点A所用的时间为：，
乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：，
∵，
∴甲从相遇点到A，然后返回，乙从相遇点到B，然后返回途中，第二次迎面相遇，设相遇点距离点A为y个单位长度，
根据题意可得：
，
解得：；
故答案为：60；80；
（2）解：①结合图象可得：当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，
则乙的速度为：，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴，
故答案为：；
②当时，点在线段OM上，
设直线的解析式为，将点M代入可得：
，
解得：，
∴当时，；
当时，，
即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，
设设甲的速度为v，则乙的速度为：，
根据题意可得：，
化简得：，
当时，，
∴经过点，描点，连接即可得出函数图象，
综上可得：，
函数图象如图所示：
（3）解：甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况：
①如图所示：
由题意可得：
，
化简得：，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离不超过40个单位长度，
且，
解得：；
②如图所示：
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴，
解得：，
③如图所示：
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴，
解得：，
综合①②③可得：相遇点与A点之间的距离x的取值范围为：或，
故答案为：或．
【点睛】题目主要考查一次函数、分式方程及不等式的应用，求解一次函数解析式，作函数图象等，理解题意，作出相应图形，列出方程及不等式是解题关键．
6．（2021秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
（1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是）
（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值．
【答案】（1）有；没有；不是；（2）当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；（3）k=
【分析】（1）根据求出①②两个方程的解，然后根据“暖根”的定义和“同源方程”的定义即可得出结论；
（2）联立方程组，变形整理后对m的值分类讨论，分别求出方程的解即可；
（3）分别求出两个方程的解，然后由题意可得和都为整数，且≠0且≠-1，设=（n为整数且n≠0），根据方程的解为整数求出n的值，即可求出k的值．
【详解】解：（1）
解得：
∴方程①有“暖根”；
解得：
经检验，是增根，原方程无解，
∴方程②没有“暖根”；
根据“同源方程”的定义，它们不是“同源方程”
故答案为：有；没有；不是；
（2）是，
联立
①－②，得
整理，得
当=0且=0时，方程有无数个解
即，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；
当时，即时，
将代入②，得
y=
此时公共解为
综上：当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；
（3）①
整理，得
当k=2时，此方程无解，即无“暖根”；
当k≠2时，解得：；
②
整理，得
当k=1时，此方程无解，即无“暖根”；
当k≠1时，解得：；
由题意可得和都为整数，且≠0且≠-1
设=（n为整数且n≠0），此时=-1＋n为整数
则k=2－
∴==为整数
∴n－1=1或-1
解得n=2或0（不符合前提，舍去）
∴k=2－=，此时≠0且≠-1
综上：k=．
【点睛】此题考查的是一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，掌握相关概念及各个方程的解法是解题关键．
7．（2020秋·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考阶段练习）对于两个不等的非零实数，若分式的值为0，则或，又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，，应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解中较大的一个为_______．
（2）关于的方程的两个解分别为（），若与互为倒数，则=______，=_______．
（3）关于的方程的两个解分别为（），求的值．
【答案】（1）4；（2）；2；（3）
【分析】
（1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）方程变形得：，
根据题意得：，，
则方程较大的一个解为4，
故答案为：4；
（2）方程变形得：，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为，
则，；
故答案为：；2；
（3）方程整理得：，
得或，
可得，，
则原式．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
8．（2022·全国·九年级专题练习）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
（3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
【答案】（1）甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；（2）购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；（3）当8＜m＜10时，购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；当10＜m＜12时，购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；当m＝10时，不管x取何值，W＝250
【分析】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据“用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同”可列方程求解；
（2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具，可列出不等式组求解，解不等式组求出x的取值范围；设总利润为W元，再根据“利润＝售价﹣成本”，求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可；
（3）根据题意求出利润W与x之间的函数关系式，再结合8＜m＜12分类讨论即可．
【详解】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据题意得：
，
解得a＝25，
经检验，a＝25是原方程的解并满足题意，
当a=25时，40−a=40−25=15，
所以甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；
（2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据题意得：
，
解得25≤x≤45；
设总利润为W元，根据题意得：W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）＝10x+250，
∵10＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝45时，利润最大，此时50−x=5，
故购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
（3）由题意可得，W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）﹣mx＝（10﹣m）x+250；
∵8＜m＜12，
①当8＜m＜10时，10﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，即购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
②当10＜m＜12时，10﹣m＜0，
∴W随x的增大而减小，即购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；
③当m＝10时，不管x取何值，W＝250．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合问题，考查了解分式方程、解一元一次不等式组及一次函数的性质，对于方程和不等式，关键是找到等量关系，对于求最值，关键是掌握一次函数的性质．
9．（2021秋·江苏南通·八年级南通市新桥中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系中的点，若点P′的坐标为(a+，ka+b)(其中为常数，且)，则称点P′为点的“之雅礼点”．例如：的“之雅礼点”为P′（，），即P′（3，6）．
(1)①点的“之雅礼点”P′的坐标为_______．
②若点的“之雅礼点”P′的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之雅礼点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则的值为_______；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)或或
【分析】（1）①根据点为点的“之雅礼点”的定义计算；
②根据点为点的“之雅礼点”的定义列出算式，求出、的值，计算即可；
（2）根据轴的正半轴上点的特征、点为点的“之雅礼点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
(1)
解：解：①当，，时，，，
点的“3之雅礼点” 的坐标为，
故答案为：；
②点的“之雅礼点” 的坐标为，
，，
解得，，，
当时，，
符合条件的点的坐标可以是，
故答案为：；
(2)
解：点在轴的正半轴上，
，．
点的坐标为，
点的“之雅礼点”为点，
点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：；
(3)
解：当时，去分母整理得：，
原方程无解，
①，即，
②，即，则；
当时，去分母整理得：，
原方程无解，
①，
②，则；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，解题的关键是掌握点为点的“之雅礼点”的定义、分式方程的解法．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；（3）①w＝；②购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元
【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是元，元，根据“用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同”列出分式方程即可；
（2）根据配套问题，设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含的代数式表示；
（3）①根据“总费用不超过1800元”列不等式解答即可；②当时，，进而可得关于的函数关系式．
【详解】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是元，元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
（2）设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套，
根据题意，得，
则，
答：购买水银体温计盒能和口罩刚好配套；
（3）①由题意得：，
，
，此时，；
若，
则，
综上所述：；
②若该校九年级有900名学生，
需要购买口罩：（支，
水银体温计：（支，
此时（盒，（盒，
则（元．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
【点睛】本题考查分式方程，一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
11．（2021春·江苏·八年级统考期末）以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值．
12．（2017秋·江苏盐城·八年级校考期末）甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）在（1）、（2）的结论下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．
甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；
乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．
请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
【答案】（1）1元；（2）商品在乙商场的原价为1元；（3）乙商场两次提价后价格较多
【分析】（1）灵活利用利润公式：售价-进价=利润，直接填空即可；
（2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，即可列方程求解；
（3）分别求出甲、乙两商场提价后的代数式，比较大小即可求解
【详解】（1）设该商品在甲商场的原价为x元，
x (1+15%)=1.15，解得：x=1，
故答案是：1；
（2）设该商品在乙商场的原价为元，则 ．
解得．
经检验：满足方程，符合实际．
答：该商品在乙商场的原价为1元；
（3）由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为：．
乙商场两次提价后的价格为：（1+=．
．
故乙商场两次提价后价格较多．
13．（2021春·江苏·八年级专题练习）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
【答案】（1）一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元；（2）80≤m≤125；（3）m＝80时，最大利润为(18 300－80a)元．
【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；
（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；
（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．
【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．
由题意：，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解．
答：一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元．
（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．
由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，∴v=10m+17500（80≤m≤125）；
（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500：
①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．
②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．
③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元，∴当0＜a＜10时，最大利润为（18750﹣125a）元；当a=10时，最大利润为17500元；当a＞10时，最大利润为（18300﹣80a）元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
1．（2019秋·江苏南通·八年级校考期末）某公司为增加员工收入，提高效益，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（）较去年翻一番，求今年该公司产品的利润率．
2．（2017春·江苏南通·八年级统考期末）某物流公司要把3000吨货物从M市运到W市．（每日的运输量为固定值）
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数y（单位：吨）与运输时间x（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）因受到沿线道路改扩建工程影响，实际每天的运输量比原计划少20%，以致推迟1天完成运输任务，求原计划完成运输任务的天数．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
(1)【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
(2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝ ；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像．
5．（2022秋·江苏·八年级期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
(1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________；
(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝_______；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；
(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）．
6．（2021秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
（1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是）
（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值．
7．（2020秋·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考阶段练习）对于两个不等的非零实数，若分式的值为0，则或，又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，，应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解中较大的一个为_______．
（2）关于的方程的两个解分别为（），若与互为倒数，则=______，=_______．
（3）关于的方程的两个解分别为（），求的值．
8．（2022·全国·九年级专题练习）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
（3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
9．（2021秋·江苏南通·八年级南通市新桥中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系中的点，若点P′的坐标为(a+，ka+b)(其中为常数，且)，则称点P′为点的“之雅礼点”．例如：的“之雅礼点”为P′（，），即P′（3，6）．
(1)①点的“之雅礼点”P′的坐标为_______．
②若点的“之雅礼点”P′的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之雅礼点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则的值为_______；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
11．（2021春·江苏·八年级统考期末）以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
12．（2017秋·江苏盐城·八年级校考期末）甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）在（1）、（2）的结论下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．
甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；
乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．
请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
13．（2021春·江苏·八年级专题练习）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
难点特训（三）和分式及分式方程有关的压轴大题
1．（2019秋·江苏南通·八年级校考期末）某公司为增加员工收入，提高效益，今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（）较去年翻一番，求今年该公司产品的利润率．
【答案】今年该公司产品的利润率．
【分析】设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据利润率计算公式列出方程，求出a和b的数量关系，进而求出产品的利润率．
【详解】解：设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据题意，
,
整理得：，
解得：，
∴今年的利润率为．
答：今年该公司产品的利润率．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解答本题的关键是正确设出产品的出厂价和成本价，并表示今年的出厂价和成本，利用今年的利润率较去年翻一番列出方程．
2．（2017春·江苏南通·八年级统考期末）某物流公司要把3000吨货物从M市运到W市．（每日的运输量为固定值）
（1）从运输开始，每天运输的货物吨数y（单位：吨）与运输时间x（单位：天）之间有怎样的函数关系式？
（2）因受到沿线道路改扩建工程影响，实际每天的运输量比原计划少20%，以致推迟1天完成运输任务，求原计划完成运输任务的天数．
【答案】（1） （2）4天
【详解】试题分析：（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数解析式，注意实际问题的取值范围；
（2）根据“实际每天比原计划每天少运20％，则推迟1天完成任务”列分式方程即可求解.
试题解析：（1）∵每天运量×天数＝总运量，∴xy＝3000，
∴y＝（x＞0）
（2）设原计划x天完成，根据题意得：
（1﹣20%）＝，
解得：x＝4
经检验：x＝4是原方程的根，
答：原计划4天完成．
3．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须保证才行．
(1)请回答： 的说法是正确的，正确的理由是 ．
完成下列问题：
(2)已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围；
(3)若关于的方程无解，求的值．
【答案】(1)小聪，分式的分母不能为0；
(2)且；
(3)或．
【分析】（1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对；
（2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数即可求出的取值范围；
（3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围．
【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0
∴小聪说得对，分式的分母不能为0．
（2）解：原方程可化为
去分母得：
解得：
∵解为非负数
∴，即
又∵
∴，即
∴且
（3）解：去分母得：
解得：
∵原方程无解
∴或者
①当时，得：
②当时，，得：
综上：当或时原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程以及根据分式方程的解确定参数范围，重点要掌握解分式方程的步骤：去分母化成整式方程；再解整式方程；验根．理解当分式方程无解时包含整式方程无解和有曾根两种情况．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）我校科技兴趣小组利用机器人开展研究活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
(1)【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为 个单位长度．
(2)【发现】设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝ ；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像．
【答案】(1)①90；②105
(2)①50；②；图像见解析
【分析】（1）①设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；②设此时相遇点距点A为m个单位，根据题意列方程即可得到结论；
（2）①当第二次相遇地点刚好在点B时，设出来两个机器人的速度，根据题意列出方程即可得到结论；②设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，根据题意列函数解析式即可得到结果．
（1）
解：①∵相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150-30=120，
设机器人的甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，
而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，，
解得m=90，
∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为90个单位长度；
②∵相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，
∴相遇地点与点B之间的距离为150-35=115，
设机器人的甲的速度为v，
∴机器人乙的速度为，
∴机器人甲从相遇点到点B所用的时间为，
机器人乙从相遇地点到点A再返回到点B所用时间为，
而，
∴设机器人甲与机器人乙第二次相遇时，机器人乙从第一次相遇地点到点A，返回到点B，再返回向A时和机器人甲第二次迎面相遇，
设此时相遇点距点A为m个单位，
根据题意得，，
解得m=105，
∴他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为105个单位长度；
（2）
解：①当第二次相遇地点刚好在点B时，设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
解得x=50，
经检验：x=50是分式方程的根，
即：a=50；
②当时，点P(50，150)在线段OP上，
∴线段OP的表达式为y=3x，
当时，即当，此时，第二次相遇地点时机器人甲在到点B返回向点A时，
设机器人甲的速度为v，则机器人乙的速度为，
根据题意知，，
∴，
即函数解析式为，
函数图像如图：
．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，两点间的距离，分式方程的应用，一元一次方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
5．（2022秋·江苏·八年级期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验．如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．
兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度．
(1)请直接写出：当x＝20时，y的值为_________；当x＝40时，y的值为________；
(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）
①请直接写出：a＝_______；
②分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；
(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度．若z不超过40，则x的取值范围是_______（直接写出结果）．
【答案】(1)60，80
(2)①；②，补全函数图像见解析，标出N（50，50）
(3)0＜x≤8或32≤x≤48
【分析】（1）①根据题意可得相遇点与点B之间的距离为80个单位长度，设甲的速度为v，乙的速度为b，由所用时间相等得出，求出甲从相遇点到B所用的时间为，乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为，根据题意列出方程求解即可得；
②解法与①方法类似，求解即可；
（2）①当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意得出方程求解可得；
②当时，点在线段OM上，设直线的解析式为，将点M代入可确定此段的函数解析式；当时，，即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，设设甲的速度为v，则乙的速度为：，根据题意列出相应方程化简即可确定第二段函数解析式，然后描出特殊点，作出图象即可；
（3）甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况，结合图象进行分析，然后列出方程得出z与x的函数解析式，然后代入不等式求解即可得．
【详解】（1）解：①∵相遇点与点A相距20个单位长度，
∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度，
设甲的速度为v，乙的速度为b，
则，
∴，
∴甲从相遇点到B所用的时间为：，
乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：，
∵，
∴甲与乙第二次相遇时，乙从第一次相遇点到点A，返回到点B，再返回向A时与甲第二次相遇，此时相遇点距离点A为y个单位长度，
根据题意可得：
，
解得：；
②∵相遇点与点A相距40个单位长度，
∴相遇点与点B之间的距离为：个单位长度，
设甲的速度为v，乙的速度为b，
则，
∴，
∴甲从相遇点到B所用的时间为：，
乙从相遇点到点A所用的时间为：，
乙从相遇点到点A再返回点B所用的时间为：，
∵，
∴甲从相遇点到A，然后返回，乙从相遇点到B，然后返回途中，第二次迎面相遇，设相遇点距离点A为y个单位长度，
根据题意可得：
，
解得：；
故答案为：60；80；
（2）解：①结合图象可得：当第二次相遇点刚好在点B时，设甲的速度为v，
则乙的速度为：，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴，
故答案为：；
②当时，点在线段OM上，
设直线的解析式为，将点M代入可得：
，
解得：，
∴当时，；
当时，，
即当时，此时第二次相遇点是甲在到点B返回向点A时，
设设甲的速度为v，则乙的速度为：，
根据题意可得：，
化简得：，
当时，，
∴经过点，描点，连接即可得出函数图象，
综上可得：，
函数图象如图所示：
（3）解：甲乙第三次迎面相遇时，共有3种情况：
①如图所示：
由题意可得：
，
化简得：，
∵第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离不超过40个单位长度，
且，
解得：；
②如图所示：
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴，
解得：，
③如图所示：
根据题意可得：，
化简得：，
∵，
∴，
解得：，
综合①②③可得：相遇点与A点之间的距离x的取值范围为：或，
故答案为：或．
【点睛】题目主要考查一次函数、分式方程及不等式的应用，求解一次函数解析式，作函数图象等，理解题意，作出相应图形，列出方程及不等式是解题关键．
6．（2021秋·河南信阳·八年级河南省淮滨县第一中学校考期末）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术》对方程一词给出的注释我们有如下两个约定：（Ⅰ）方程的整数解称之为“暖根”：（Ⅱ）若两个方程存在一个相同的解，则称这两个方程为“同源方程”．
（1）已知一元一次方程①与分式方程②：方程①有“暖根”吗？ 填（有或没有）；方程②有“暖根”吗？ 填（有或没有）；它们是“同源方程”吗？ 填（是或不是）
（2）已知关于x，y二元一次方程：和（其中m，n为常数）它们是“同源方程”吗？如果是，请写出它们的公共解：如果不是，请说明理由；
（3）已知关于x的方程：和（其中k为常数）分别都有“暖根”，求k的值．
【答案】（1）有；没有；不是；（2）当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；（3）k=
【分析】（1）根据求出①②两个方程的解，然后根据“暖根”的定义和“同源方程”的定义即可得出结论；
（2）联立方程组，变形整理后对m的值分类讨论，分别求出方程的解即可；
（3）分别求出两个方程的解，然后由题意可得和都为整数，且≠0且≠-1，设=（n为整数且n≠0），根据方程的解为整数求出n的值，即可求出k的值．
【详解】解：（1）
解得：
∴方程①有“暖根”；
解得：
经检验，是增根，原方程无解，
∴方程②没有“暖根”；
根据“同源方程”的定义，它们不是“同源方程”
故答案为：有；没有；不是；
（2）是，
联立
①－②，得
整理，得
当=0且=0时，方程有无数个解
即，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；
当时，即时，
将代入②，得
y=
此时公共解为
综上：当，n=6时，有无数个公共解，公共解满足；当时，公共解为；
（3）①
整理，得
当k=2时，此方程无解，即无“暖根”；
当k≠2时，解得：；
②
整理，得
当k=1时，此方程无解，即无“暖根”；
当k≠1时，解得：；
由题意可得和都为整数，且≠0且≠-1
设=（n为整数且n≠0），此时=-1＋n为整数
则k=2－
∴==为整数
∴n－1=1或-1
解得n=2或0（不符合前提，舍去）
∴k=2－=，此时≠0且≠-1
综上：k=．
【点睛】此题考查的是一元一次方程、二元一次方程和分式方程的应用，掌握相关概念及各个方程的解法是解题关键．
7．（2020秋·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考阶段练习）对于两个不等的非零实数，若分式的值为0，则或，又因为，所以关于的方程有两个解，分别为，，应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解中较大的一个为_______．
（2）关于的方程的两个解分别为（），若与互为倒数，则=______，=_______．
（3）关于的方程的两个解分别为（），求的值．
【答案】（1）4；（2）；2；（3）
【分析】
（1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）方程变形得：，
根据题意得：，，
则方程较大的一个解为4，
故答案为：4；
（2）方程变形得：，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为，
则，；
故答案为：；2；
（3）方程整理得：，
得或，
可得，，
则原式．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
8．（2022·全国·九年级专题练习）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，若甲玩具售价40元，乙玩具售价20元，当玩具售完后，要使利润最大，应怎样进货？
（3）在（2）的条件下，每卖一件甲玩具就捐款给希望小学m元（8＜m＜12），当玩具售完后，要使利润最大，对甲玩具应怎样进货？
【答案】（1）甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；（2）购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；（3）当8＜m＜10时，购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；当10＜m＜12时，购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；当m＝10时，不管x取何值，W＝250
【分析】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据“用150元购进甲种玩具的件数与用90元购进乙种玩具的件数相同”可列方程求解；
（2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据甲种玩具的件数不少于乙种玩具的件数，商场用不超过1200元的资金购进甲、乙两种玩具，可列出不等式组求解，解不等式组求出x的取值范围；设总利润为W元，再根据“利润＝售价﹣成本”，求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可；
（3）根据题意求出利润W与x之间的函数关系式，再结合8＜m＜12分类讨论即可．
【详解】（1）设甲种玩具进价a元/件，则乙种玩具进价为（40﹣a）元/件，根据题意得：
，
解得a＝25，
经检验，a＝25是原方程的解并满足题意，
当a=25时，40−a=40−25=15，
所以甲种玩具进价25元/件，乙种玩具进价为15元/件；
（2）设购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（50﹣x）件，根据题意得：
，
解得25≤x≤45；
设总利润为W元，根据题意得：W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）＝10x+250，
∵10＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝45时，利润最大，此时50−x=5，
故购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
（3）由题意可得，W＝（40﹣25）x+（20﹣15）×（50﹣x）﹣mx＝（10﹣m）x+250；
∵8＜m＜12，
①当8＜m＜10时，10﹣m＞0，
∴W随x的增大而增大，即购进甲种玩具45件，购进乙种玩具5件利润最大；
②当10＜m＜12时，10﹣m＜0，
∴W随x的增大而减小，即购进甲种玩具25件，购进乙种玩具25件利润最大；
③当m＝10时，不管x取何值，W＝250．
【点睛】本题是方程、不等式及函数的综合问题，考查了解分式方程、解一元一次不等式组及一次函数的性质，对于方程和不等式，关键是找到等量关系，对于求最值，关键是掌握一次函数的性质．
9．（2021秋·江苏南通·八年级南通市新桥中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系中的点，若点P′的坐标为(a+，ka+b)(其中为常数，且)，则称点P′为点的“之雅礼点”．例如：的“之雅礼点”为P′（，），即P′（3，6）．
(1)①点的“之雅礼点”P′的坐标为_______．
②若点的“之雅礼点”P′的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标______．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之雅礼点”为P′点，且△OPP′为等腰直角三角形，则的值为_______；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)或或
【分析】（1）①根据点为点的“之雅礼点”的定义计算；
②根据点为点的“之雅礼点”的定义列出算式，求出、的值，计算即可；
（2）根据轴的正半轴上点的特征、点为点的“之雅礼点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
(1)
解：解：①当，，时，，，
点的“3之雅礼点” 的坐标为，
故答案为：；
②点的“之雅礼点” 的坐标为，
，，
解得，，，
当时，，
符合条件的点的坐标可以是，
故答案为：；
(2)
解：点在轴的正半轴上，
，．
点的坐标为，
点的“之雅礼点”为点，
点的坐标为，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
．
故答案为：；
(3)
解：当时，去分母整理得：，
原方程无解，
①，即，
②，即，则；
当时，去分母整理得：，
原方程无解，
①，
②，则；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，解题的关键是掌握点为点的“之雅礼点”的定义、分式方程的解法．
10．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我县某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付总费用w元；
①当总费用不超过1800元时，求m的取值范围；并求w关于m的函数关系式．
②若该校有900名学生，按（2）中的配套方案购买，求所需总费用为多少元？
【答案】（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；（2）购买水银体温计5m盒能和口罩刚好配套；（3）①w＝；②购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元
【分析】（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是元，元，根据“用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同”列出分式方程即可；
（2）根据配套问题，设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套，根据口罩的数量等于水银体温计数量的2倍列出方程即可用含的代数式表示；
（3）①根据“总费用不超过1800元”列不等式解答即可；②当时，，进而可得关于的函数关系式．
【详解】解：（1）设每盒口罩和每盒水银体温计的价格分别是元，元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
答：每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元、50元；
（2）设购买水银体温计盒能和口罩刚好配套，
根据题意，得，
则，
答：购买水银体温计盒能和口罩刚好配套；
（3）①由题意得：，
，
，此时，；
若，
则，
综上所述：；
②若该校九年级有900名学生，
需要购买口罩：（支，
水银体温计：（支，
此时（盒，（盒，
则（元．
答：购买口罩和水银体温计各18盒、90盒，所需总费用为6840元．
【点睛】本题考查分式方程，一次函数的应用；能够根据题意列出准确的分式方程，求费用的最大值转化为求一次函数的最大值是解题的关键．
11．（2021春·江苏·八年级统考期末）以诗育德，以诗启智，以诗怡情，以诗塑美，万州区某中学开展诗歌创作比赛，积极营造诗韵书香学生生活．年级决定购买两种笔记本奖励在此次创作比赛中的优秀学生，已知种笔记本的单价比种笔记本的单价便宜元，已知用元购买种笔记本的数量是用元购买种笔记本的数量的倍．
求种笔记本的单价；
根据需要，年级组准备购买两种笔记本共本，其中购买种笔记本的数量不超过种笔记本的二倍．设购买种笔记本本，所需经费为元，试写出与的函数关系式，并请你根据函数关系式求所需的最少经费．
【答案】（1）种笔记本的单价为6元．（2）所需经费最少为702元．
【分析】设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．根据题意列出分式方程，求解即可；
由知种笔记本的单价为元，得到：，由于，所以W随的增大而减小．再根据A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍，得到，解之可得m的取值范围，最后取值代入可得．
【详解】解： 设种笔记本的单价为元，则种笔记本的单价为元．
解得；
经检验：是原方程的解，且符合题意．
答：种笔记本的单价为元．
由知种笔记本的单价为元，
又∵
∴W随的增大而减小．
又∵A种笔记本的数量不超过B种笔记本数量的2倍
∴；
解得：；
∵m为正整数
∴当时，取得最小值，最小值为702元．
答：所需最少经费为702元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及其解法；一元一次不等式的应用及其解法；其中将分式方程化为整式方程并求出其解以后，必须进行检验以判断是否为增根，如为增根则必须舍去；一元一次不等式在得到解集之后也要根据题目当中的已知条件进得取值．
12．（2017秋·江苏盐城·八年级校考期末）甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价15%后的售价为1.15元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场将该商品提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）在（1）、（2）的结论下，甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．
甲商场：第一次提价的百分率是a，第二次提价的百分率是b；
乙商场：两次提价的百分率都是（a＞0，b＞0，a≠b）．
请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
【答案】（1）1元；（2）商品在乙商场的原价为1元；（3）乙商场两次提价后价格较多
【分析】（1）灵活利用利润公式：售价-进价=利润，直接填空即可；
（2）设该商品在乙商场的原价为x元，根据提价20%后，用6元钱购买该商品的件数比没提价前少买1件，即可列方程求解；
（3）分别求出甲、乙两商场提价后的代数式，比较大小即可求解
【详解】（1）设该商品在甲商场的原价为x元，
x (1+15%)=1.15，解得：x=1，
故答案是：1；
（2）设该商品在乙商场的原价为元，则 ．
解得．
经检验：满足方程，符合实际．
答：该商品在乙商场的原价为1元；
（3）由于原价均为1元，则甲商场两次提价后的价格为：．
乙商场两次提价后的价格为：（1+=．
．
故乙商场两次提价后价格较多．
13．（2021春·江苏·八年级专题练习）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16 000元采购A型商品的件数是用7 500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
(1)求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
(2)若该欧洲客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间的函数解析式，并写出m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益．
【答案】（1）一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元；（2）80≤m≤125；（3）m＝80时，最大利润为(18 300－80a)元．
【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；
（2）根据总利润=两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；
（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题．
【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．
由题意：，解得x=150，经检验x=150是分式方程的解．
答：一件B型商品的进价为150元，一件A型商品的进价为160元．
（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．
由题意：v=80m+70（250﹣m）=10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125，∴v=10m+17500（80≤m≤125）；
（3）设利润为w元．则w=（80﹣a）m+70（250﹣m）=（10﹣a）m+17500：
①当10﹣a＞0时，w随m的增大而增大，所以m=125时，最大利润为（18750﹣125a）元．
②当10﹣a=0时，最大利润为17500元．
③当10﹣a＜0时，w随m的增大而减小，所以m=80时，最大利润为（18300﹣80a）元，∴当0＜a＜10时，最大利润为（18750﹣125a）元；当a=10时，最大利润为17500元；当a＞10时，最大利润为（18300﹣80a）元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，属于中考常考题型．
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