期中押题预测卷01（考试范围：第7-9章）-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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【范围：第7-9章 考试时间：100分钟 分值：140分】
一、单选题(共18分)
1．(本题3分)苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性．苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处．如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是（ ）
A．矩形B．正八边形C．平行四边形D．等腰三角形
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、矩形是轴对称图形，不符合题意；
B、正八边形是轴对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．
2．(本题3分)为了解某学校初中学生的身高情况，分别做了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．在七年级各班随机抽样调查10名学生的身高
B．在八年级3班和4班共调查100名学生的身高
C．在九年级男生中抽样调查100名学生的身高
D．在全校各班随机抽样调查5名男生和5名女生的身高
【答案】D
【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】解：由题意知最具代表性的是在全校各班随机抽样调查5名男生和5名女生的身高，
而在七、八、九年级各班随机抽样都过于片面，不具备代表性，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了抽样调查的可靠性，正确理解抽样调查的意义是解题关键．
3．(本题3分)已知四边形是平行四边形，下列条件中能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∴选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
4．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标是，则顶点B、C的坐标是（ ）
A． ，B． ，
C． ，D． ，
【答案】A
【分析】根据A的坐标是可得，，利用勾股定理求得，即可得到答案；
【详解】解：过点A作于D，
∵A的坐标是，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，轴，
∴，，
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理，菱形性质及平面内点坐标表示，解题的关键是根据勾股定理求出边长．
5．(本题3分)如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】B
【分析】首先利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵E、F、G、H分别是的中点，
∴，，
∴四边形EFGH的周长，
又∵，
∴四边形的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
6．(本题3分)如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（ ）
A．50B．50C．100D．100
【答案】B
【分析】根据题意过D作DN⊥BF于N，连接DI，进而结合全等三角形的判定与性质得出S1+S2+S3+S4+S5＝Rt△ABC的面积×4进行分析计算即可.
【详解】解：在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，
∴BC＝AB＝5，AC＝＝5，
过D作DN⊥BF于N，连接DI，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
同理，Rt△MND≌Rt△OCB，
∴MD＝OB，∠DMN＝∠BOC，
∴EM＝DO，
∴DN＝BC＝CI，
∵DN∥CI，
∴四边形DNCI是平行四边形，
∵∠NCI＝90°，
∴四边形DNCI是矩形，
∴∠DIC＝90°，
∴D、I、H三点共线，
∵∠F＝∠DIO＝90°，∠EMF＝∠DMN＝∠BOC＝∠DOI，
∴△FME≌△DOI（AAS），
∵图中S2＝SRt△DOI，S△BOC＝S△MND，
∴S2+S4＝SRt△ABC．S3＝S△ABC，
在Rt△AGE和Rt△ABC中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△ACB（HL），
同理，Rt△DNB≌Rt△BHD，
∴S1+S2+S3+S4+S5
＝S1+S3+（S2+S4）+S5
＝Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积
＝Rt△ABC的面积×4
＝5×5÷2×4
＝50．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和全等三角形的判定，解题的关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题(共30分)
7．(本题3分)有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟． 刚把两人洗完， 就听到两个小家伙在床上 笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为______．
【答案】
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．
【详解】解：此事件发生的概率．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
8．(本题3分)为了了解某校九年级1200学生的体重情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序．①收集数据；②设计调查问卷；③用样本估计总体；④整理数据；⑤分析数据．则正确的排序为_____________．（填序号）
【答案】②①④⑤③
【分析】根据已知统计调查的一般过程进而得出答案．
【详解】解：解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序为：
②设计调查问卷，①收集数据，④整理数据，⑤分析数据，③用样本估计总体．
故答案为：②①④⑤③．
【点睛】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确进行数据的调查步骤是解题关键．
9．(本题3分)下列事件，①通常加热到 100℃，水沸腾；②在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于 180°．其中是不可能事件的是____（只填写序号即可）
【答案】②
【分析】根据不可能事件的定义进行求解即可：在一定条件下，不可能发生的事件是不可能事件．
【详解】解：①通常加热到 100℃，水沸腾，是必然事件，不符合题意；
②在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°是不可能事件，符合题意；
故答案为：②
【点睛】本题主要考查了事件的分类，熟知不可能事件的定义是解题的关键．
10．(本题3分)如图，已知线段，点C在线段上，且是边长为4的等边三角形，以为边的右侧作矩形，连接，点M是的中点，连接，则线段的最小值为_______________．
【答案】6
【分析】连接，证明，求出，根据点到直线的垂直距离最短即可解得．
【详解】∵为等边三角形，
∴，，
∵四边形是矩形，点M是的中点，
∴DM＝CM，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即直线的位置是固定的，
∴当时，有最小值，此时．
【点睛】此题考查了点到直线的距离，解题的关键是证明三角形全等得出的位置是固定的．
11．(本题3分)如图，在中，点D、E分别是、的中点，点F在上，且，若，则的长为___________．
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，计算即可．
【详解】解：∵D、E分别为、的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵E为的中点，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12．(本题3分)如图，在中，，把绕边的中点旋转后得，若直角顶点恰好落在边上，且边交边于点，若，，则的长为__．
【答案】
【分析】由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，，可得，可得，进而求出的长，由等腰三角形的判定可求的长，根据求解即可得．
【详解】解：，，，
，
点是的中点，
，
将绕着中点旋转一定角度得到，
，，，，，
，
，，
，
，即，
解得，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确求出的长是解题的关键．
13．(本题3分)如图，在中，M是边上的中点，平分，于点N，若，，则__________．
【答案】
【分析】延长，交于点，证明，得到，进而得到为的中点，利用三角形中位线定理，求出，利用，求出的长即可．
【详解】解：延长，交于点，
∵平分，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵M是边上的中点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．通过添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
14．(本题3分)一个正方形的对角线长为2，则其面积为_____．
【答案】2
【分析】方法一：根据正方形边长求出面积；方法二根据正方形是特殊的菱形，所以正方形面积等于对角线乘积的一半．
【详解】解：方法一：四边形是正方形，
，，
由勾股定理得，，
．
方法二：因为正方形的对角线长为2，
所以面积为：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质．
15．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点A1的坐标为______．
【答案】（4，3）
【分析】由旋转的性质得OA1=OA=5，由勾股定理求出A1C=4，即可得出A1的坐标为（4，3）．
【详解】解：由旋转的性质得：OA1=OA=5，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，
∴A1C==4，
∴A1的坐标为（4，3）．
故答案为：（4，3）．
【点睛】此题考查了矩形的性质、旋转的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
16．(本题3分)如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），点A在x轴正半轴上，连接，．将线段绕原点O逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好在y轴正半轴上，点的坐标为 _____．
【答案】
【分析】如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T．解直角三角形求出，，再利用面积法求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接，过点作轴于点H，过点B作于点T，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
三、解答题(共92分)
17．(本题8分)如图，已知三个顶点的坐标分别为、、．
(1)画出关于原点成中心对称的三角形；
(2)画出将绕原点逆时针旋转的三角形；
(3)以为对角线的平行四边形的顶点的坐标为_______．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据中心对称的性质可画出△A′B′C′；
（2）根据旋转的性质画出△A″B″C″；
（3）根据平行四边形的性质和平移的性质可得点D的坐标．
（1）
解：如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）
解：如（1）图所示，△A″B″C″即为所求；
（3）
解：如图，由A（-3，-1）、B（-3，4）、C（-5，-2）得D（-1，5）．
故答案为：（1，5）．
【点睛】本题考查了旋转变换，平行四边形的性质，熟练掌握旋转变换以及平行四边形的性质是解题的关键．
18．(本题8分)如图，D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC内的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．
(1)求证：四边形DGFE是平行四边形；
(2)若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？并说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)OA＝BC，理由见解析
【分析】（1）首先利用三角形中位线的性质得出DEBC，DE＝BC，GFBC，GF＝BC，从而得出DEGF，DE＝GF，即可证得四边形DGFE是平行四边形；
（2）由四边形DGFE是菱形，可得DG＝GF，再根据三角形中位线的性质可得DG＝OA，GF＝BC，从而得出OA＝BC．
【详解】（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．
∴DEBC，DE＝BC．
∵点G、F分别是OB、OC的中点，
∴GFBC，GF＝BC．
∴DEGF，DE＝GF．
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：OA＝BC，理由如下：
连接OA．
∵四边形DEFG是菱形，
∴DG＝GF，
∵D是AB的中点，点G、F分别是OB、OC的中点，
∴DG＝OA，GF＝BC，
∴OA＝BC．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记相关的定理和性质是解题的关键．
19．(本题8分)在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了用估计绕中红球的数量，八（）学生在数学实验分组做摸球试验：每将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
(1)按表格数据格式，表中的_______，________；
(2)请估计：当次数很大时，摸到到白球的频率将会接近_________（精确到；
(3)请推算：摸到红球的概率是_________（精确到；
(4)根据（3）中结果，试估算：这个不透明的口袋中红球的数量的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据频率频数样本总数分别求得、的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；
（3）摸到红球的概率为；
（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可；
【详解】（1），；
故答案为：，；
（2）当次数很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为： ；
（3）摸到红球的概率是；
故答案为： ；
（4）设红球有个，根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解，
故答案为： ．
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为．
20．(本题8分)垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．（注：A为厨余垃圾，B 为可回收垃圾，C 为其它垃圾，D 为有害垃圾）
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，一共有 吨的生活垃圾；
(2)求这次抽样调查中可回收垃圾的吨数.
(3)扇形统计图中，B 所对应的百分比是 ，D 所对应的圆心角度数是 °；
(4)假设该城市每月产生的生活垃圾为 400 吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨？
【答案】(1)50
(2)这次抽样调查中可回收垃圾为12吨
(3)24%；43.2
(4)每月产生的有害垃圾有48吨
【分析】（1）根据A类垃圾的吨数和所占的百分比，可以求得本次调查的垃圾吨数；
（2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以得到B类垃圾的吨数；
（3）根据统计图中的数据，可以得到扇形统计图中，B所对应的百分比和D所对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据，可以得到每月产生的有害垃圾有多少吨．
【详解】（1）解：24÷48%＝50（吨），
即在这次抽样调查中，一共有50吨的生活垃圾．
故答案为：50．
（2）解：B类垃圾为：50-24-8-6＝12（吨），
答：这次抽样调查中可回收垃圾为12吨．
（3）解：扇形统计图中，B所对应的百分比是：×100%＝24%，
D所对应的圆心角度数是：360°×＝43.2°，
故答案为：24%，43.2．
（4）解：400×＝48（吨），
答：每月产生的有害垃圾有48吨．
【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．(本题8分)如图，将一张长方形纸片ABCD折叠，使C、A两点重合，点D的对应点为点G，折痕为EF，点E在BC上，点F在AD上．
(1)请你画出图形并标好字母，求证：四边形AECF是菱形；
(2)已知AB＝4，BC＝8，求线段FD的长．
【答案】(1)见解析
(2)线段FD的长为3．
【分析】（1）由折叠性质得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，由矩形性质得出AE=CE=CF=AF，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
（1）
解：画出图形如图所示：
证明：由折叠性质得AE=CE，AF=FC，∠AEF=∠CEF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴∠AFE=∠CEF，
∵∠AEF=∠FEC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵CE=AF，
∴AE=CF，
∵AF=FC，
∴AE=CE=CF=AF，
∴四边形AECF为菱形；
（2）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，CD=AB=4，∠D=90°，
∵AF=CF=AD-DF，CD2+DF2=CF2，
∴42+DF2=（8-DF）2，
∴DF=3，
故线段FD的长为3．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，正确地作出图形是解题的关键．
22．(本题10分)已知：四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．
(1)求证：△ADE≌△ABF；
(2)填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到；
(3)若BC＝5，DE＝2，求△AEF的面积．
【答案】(1)见解析
(2)A；90
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠BAE=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
（3）先利用勾股定理可计算出AE=，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABF，
又DE＝BF，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠BAF+∠EAB=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
故答案为：A、90；
（3）解∵四边形ABCD是正方形，BC=5，
∴AD=BC=5，
在Rt△ADE中，DE=2，AD=5，
∴AE=，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，
∴△ABF≌△ADE，
∴AE=AF=，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=AE2=×=．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质以及勾股定理等知识点，解决本题的关键是明确△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，即△ABF≌△ADE．
23．(本题10分)已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，且AG＝AB、CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．试探究当∠BCD＝ °时，四边形ACDF是矩形，证明你的结论．
【答案】当∠BCD＝120°时，四边形ACDF是矩形，证明见解析．
【分析】根据平行四边形的性质证△AGF≌△DGC，根据全等三角形的性质可证AB＝AF，四边形ACDF是平行四边形，进而证得AD＝CF，根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可．
【详解】当∠BCD＝120°时，四边形ACDF是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFC＝∠DCG，
∵点G为AD的中点，
∴GA＝GD，
又∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC（ASA），
∴AF＝CD，
又AB∥CD，AB＝CD，
∴AB＝AF，四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝60°，
∵AB＝AG＝AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG＝GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG＝CG，
∵AG＝GD，
∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
故答案为：120．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．(本题10分)已知四边形ABCD是平行四边形，BD为对角线，分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，点P为AB上任意一点，请仅用无刻度的直尺在CD上找出另一点Q，使AP＝CQ；
(2)如图②，点P为BD上任意一点，请仅用无刻度的直尺在BD上找出一点Q，使BP＝DQ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AC交BD于点O，作直线OP交CD于点Q，点Q即为所求作．
（2）连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q即为所求作．
【详解】（1）根据平行四边形的性质可得，
如图①，点Q即为所求作．
（2）连接AC，连接AP延长至BC于E，连接EO延长至AD于F，连接CF交BD于点Q，
则如图②，点Q即为所求作．
【点睛】本题考查了作图和平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
25．(本题10分)如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
(1)求征：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得出，即可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形对角线的性质可知，，，用勾股定理即可求出的长度,即可求解．
【详解】（1）证明，∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是菱形，，，
∴，，
∵，
∴中，，
∵四边形是矩形，
∴,
即．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定定理是解题的关键．
26．(本题12分)综合与实践
情景再现
我们动手操作：把正方形ABCD，从对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰三角形与正方形ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．
如图①把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，
（1）问题呈现
我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示
①点P是一动点，若AB=3，PA=1，当点P位于_ __时，线段PB的值最小；若AB=3，PA=5，当点P位于__ _时，线段PB有最大值．PB的最大值和最小值分别是______．
②直接写出线段AE与DB的关系是_ ________．
（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③所示，点E在直线BC上，FM⊥CD交直线CD于M．
①当点E在BC上时，通过观察、思考易证：AD=MF+CE；
②当点E在BC的延长线时，如图④所示；
当点E在CB的延长线上时，如图⑤所示，
线段AD、MF、CE具有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图④或图⑤证明你的猜想．
问题拓展
（3）连接EM，当=8，=50，其他条件不变，直接写出线段CE的长_______．
【答案】（1）①AB，BA延长线，最大值是8，最小值是2；；②AE=BD，AE⊥BD；
（2）选择图④，则AD+CE=MF.见详解；
（3）1或7.
【分析】（1）①P为一动点，PA=1，则点P在以A为圆心，以1为半径圆上，画图的解；同理PA=5，则点P在以A为圆心，以5为半径圆上，问题得解；②△ACE≌△DCB，问题得解；
（2）类比①；通过添加辅助线FG⊥BE，交BE延长线于G，证明△ABE≌△EGF，进行线段转移，得出结论；
（3）已知=8，通过三角形面积公式，求出CF=4，△AEF为等腰直角三角形，=50，得出EF=5，勾股定理得EG=3，计算得出结果.
【详解】解：（1）①AB；BA延长线；最大值是8，最小值是2；
②AE=BD，AE⊥BD；
证明：如图，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，
即：∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=BD，∠AEC=∠DBC，
∵∠BFC+∠DBC=90°，∠BFC=∠EFD,
∴∠AEC+∠EFD=90°
∴AE⊥BD
（2）②答：选择图④，则AD+CE=MF.
证明：如图，作FG⊥BE，交BE延长线于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠MCG=∠G==90°，AD=AB=BC，
∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠GEF=90°，
∴∠BAE=∠GEF，
∴△ABE≌△EGF，
∴AB=EG
∵ AB=BC，
∴EG=BC，
∴EG+CE=BC+CE，
即：CG=BC+CE=AD+CE.
∵∠G=∠MCG=90°，FM⊥CD，
∴四边形CMFG为矩形，
∴MF=CG，
∴AD+CE=MF
（3）∵CG=BC+CE=FG，四边形CMFG为矩形，
∴四边形CMFG为正方形，
∵，
∴
∴FG=4
∵=50，△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=5,
∴在直角△EFG中，EG=3，
∴CE=CG-EG=4-3=1或CE=CG+EG=4+3=7 .
【点睛】（1）P为动点，PA为定值，则点P在以A为圆心，PA长为半径圆上，此题为隐圆，通过圆求线段的最大（小）值是初中几何常见的一个模型；两条线段的位置关系一般从位置和数量两方面分析；
（2）三条线段的关系一般为两短之和等于最长或者三条线段构成勾股关系，此题类比①，易得出结论；见等腰直角三角形构造全等是几何中一种常见辅助线构图；
（3）注意分类思想运用.
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率