期末难点特训（四）和分式的计算有关的难题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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1．已知两个多项式，，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①若A+B=10，则；
②，则x需要满足的条件是；
③，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数()，且为整数，则1，2，4，5．
上面说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用可求出，故①错误；对分情况讨论可知②正确；若，则或，利用根的判别式可知，时，方程无解，故③正确；由为整数，可得是整数，可求出，2，4，5，故④正确．
【详解】解：∵，，
∴①当时，则，解得：，故①错误；
②当，则，
当时，，解得：；
当，，解得：；
当，，解得：（舍去）；
综上所述：，故②正确；
③若，则或，
当时，，，无解；
当时，，，无解；
∴，关于x的方程无实数根；故③正确；
④∵，
若为整数，则是整数，
∵x为正整数()，解得：，2，4，5，故④正确；
∴正确的有②③④
故选：C
【点睛】本题考查分式的化简，含绝对值的一元一次方程的求解，根的判别式，能够正确解方程是解题的关键．
2．已知a1、a2、a3、an，… (n为正整数)满足an+1＝，则下列说法：
①a1a2a3＝1；
②a5＝a20；
③若a1＝﹣，则＝912m+586n；
④若a1＝x，y＝pa1a3﹣ (p为非零常数)，当x的值取m2和2m﹣2时，y的值相同；
则p的最小值为﹣3；其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由所给的式子分别求出，，a4＝a1，从而确定式子的循环规律，并得到a1a2a3＝﹣1；再进行判断即可．
【详解】解：①，，
∴a1a2a3＝﹣1，故①不正确；
②，
∴每3个结果循环一次，
∵20÷3＝6…2，5÷3＝1…2，
∴a5＝a20，故②正确；
③∵a1＝﹣，
∴a2＝，a3＝3，
∴a1+a2+a3＝，
∴a1m+a2m+⋯+a864m+a865n+a866n+⋯+a1421n
＝m(a1+a2+⋯+a864)+n(a865+⋯+a1421)
＝m(×288)+n(×186﹣3)
＝912m+586n，故③正确；
④y＝pa1a3﹣＝pa1a3﹣＝p×﹣，
∵a1＝x，
∴a2＝，
∴y＝p(x﹣1)﹣x2，
∵当x的值取m2和2m﹣2时，y的值相同，
∴p(m2﹣1)﹣m4＝p(2m﹣2﹣1)﹣(2m﹣2)2，
解得p＝(m+1)2﹣3，
∴当m＝﹣1时，p有最小值为﹣3，故④正确；
综上分析可知，②③④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过所给的式子，探索出式子的循环规律，并得到a1a2a3＝﹣1是解题的关键．
3．已知，则分式__________．
【答案】
【分析】首先把两边同时乘以，可得 ，进而可得，然后再利用代入法求值即可．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．
4．新定义：任意两数m，n，按规定得到一个新数y，称所得新数y为数m，n的“愉悦数”．则当，，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x的值是______．
【答案】2
【分析】根据“愉悦数”的定义，将m、n代入得到一个关于x的方程，然后再求解即可．
【详解】解：当，，且m，n的“愉悦数”＞0
化简得：＞0
∵x是正整数
∴x-1＞0
即：
解得：
∵x是正整数
∴x=2．
故答案是2．
【点睛】本题主要考查运用二次函数解不等式、分式的混合运算等知识点，正确运用二次函数解不等式成为解答本题的关键．
5．11月份以来，重庆疫情形势不容乐观，山城人民众志成城，抗击疫情．某物流公司为保证居民正常生活，将派大中小三种车型为甲、乙两个小区配送物资．大中小三种车型每辆车每趟配送的物资数量比为，每种车型每小时跑的趟数之比为．经两个小区的物业反馈发现乙小区的总物资数量是甲小区总物资数量的1.1倍，所有工人用9小时给甲小区送完物资后，计划将其中2辆大车和3辆中型车换成小车，发现给乙小区配送完物资也是9小时，因时间紧迫，实际运送物资时公司又额外派了若干辆大车（派送大车不超过20辆），最终乙小区完成的时间也是整数，则额外派送的大车是___________辆．
【答案】
【分析】首先根据题干条件，设派大车a辆，中型车b辆，小车c辆，每辆小车配送物资x吨，大车每小时跑的次数为y次，然后列出等量关系，整理计算；最后用列举法找出符合题意的值．
【详解】解：设大车a辆，中型车b辆，小车c辆，每辆小车配送物资x吨，大车每小时跑的次数为y次，
则：
整理得：，
即甲地需物资为：
设增加大车n辆，则每小时运送物资为
即为整数，整理得为整数，
∵
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查方程的应用和整数解问题，利用方程找到数量关系是解题的关键．
6．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：
①，②；③；④，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可．
【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴①③正确，②不正确；
∵
，
∴④不正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键．
7．已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，且1﹣ab2≠0，求的值．
【答案】﹣8
【分析】观察已知a2+2a﹣1=0，b4﹣2b2﹣1=0，可以发现，看成关于x的方程x2+2x﹣1=0的两根，利用根与系数关系和方程解得定义可得到，b4=2b2+1，然后代入所求的代数式化简即可．
【详解】解：∵b4﹣2b2﹣1=0，
∴b≠0
∴两边除以（﹣b4）得：
∵1﹣ab2≠0，
∴，
又∵a2+2a﹣1=0，
∴把，看成关于x的方程x2+2x﹣1=0的两根，
∴，b4=2b2+1，
∴a=﹣b2
∴
=
=
=﹣8．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是求出a与b2的关系，然后把代数式化简成为常数即可求值．
8．已知，，，求的值．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得，
，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简．
9．已知：，．
(1)当时，判断与0的关系，并说明理由；
(2)设时，若是正整数，求的正整数值．
【答案】(1)当时，
(2)若是正整数，的正整数值是12或15．
【分析】（1）先求出的值，再根据当时，，，即可得出；
（2）先求出的值，再根据和都是正整数，得出的取值，进一步得到的取值，然后分类讨论，即可得到的正整数值．
【详解】（1）当时，，
理由如下：
∵，，
∴，
，
，
，
∵，
∴，，
∴
（2）∵，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵和都是正整数，
∴是正整数，
∴可取4，8，
当时，，，
∴，
当时，，，
∴，
综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15．
【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的正整数值是解题的关键．
10． 两港之间的距离为千米．
(1)若从港口到 港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快千米时， 顺流所用时间比逆流少用小时，求水流的速度；
(2)若轮船在静水中的速度为千米时，水流速度为千米时，该船从 港顺流航行到 港，再从 港逆流航行返回到 港所用的时间为；若轮船从港航行到 港再返回到 港 均为静水航行，且所用时间为，请比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)水流的速度为千米/时
(2)，理由见解析
【分析】（1）设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，利用时间差列出分式方程，解方程即可求解．
（2）根据题意，分别表示出与，根据分式的减法计算，即可求解．
【详解】（1）解：设水流的速度为千米/时，则轮船在静水中的速度为千米时，根据题意得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：水流的速度为千米/时；
（2）解：依题意，
∵，，
∴
即．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式减法的应用，根据题意列出方程与代数式是解题的关键．
11．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：
（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，
①用数学关系式可以表示为 ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，
①用数学关系式可以表示为 ；
A． B． C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
【答案】（1）①A；②见解析；（2）①A；②见解析
【分析】（1）①根据题意直接进行选择即可；②利用作差法进行证明即可；
（2）①用数学关系式可以表示为；②利用完全平方式及不等式进行证明即可
【详解】（1）①由题意可知用数学关系式可以表示为：，
故选：A；
②证明：＝＝＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴成立．
（2）①A
②证明：＝＝
＝＝，
∵≥0，
∴≥，
∴成立
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是写出相应的式子，会用作差比较法比较两个式子的大小．
12．已知 ，k为正实数．
（1）当k＝3时，求x2的值；
（2）当k＝时，求x﹣的值；
（3）小安设计一个填空题并给出答案，但被老师打了两个“×”小安没看懂老师为什么指出两个错误？如果你看懂了，请向小安解释一下．
【答案】（1）5；（2）±；（3）见解析
【分析】（1）根据代入可得结果；
（2）先根据，计算的值，再由即可求解；
（3）由可知题目错误，由错误题目求解可以得出结果错误．
【详解】解：（1）当时，，
；
（2）当时，，
，
；
（3）由题可知x>0，∴，
∵
不能等于，
即使当时，，
的值也不对；
题干错误，答案错误，故老师指出了两个错误．
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用．将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．
13．定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如分式与互为“3阶分式”.
（1）分式与 互为“5阶分式”；
（2）设正数互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”；
（3）若分式与互为“1阶分式”（其中为正数），求的值.
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据分式的加法，设所求分式为A，然后进行通分求解即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；
（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解.
【详解】（1）依题意，所求分式为A，即：，
∴；
（2）∵正数互为倒数
∴，即
∴
∴分式与互为“2阶分式”；
（3）由题意得，等式两边同乘
化简得：
即：
∴，即
∴或0
∵为正数
∴.
【点睛】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键.
14．阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：．
解决问题：
（1）下列分式中属于真分式的是（ ）
A． B． C． D．
（2）将假分式分别化为带分式；
（3）若假分式的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x的值．
【答案】（1）C；
（2），；
（3）x可能的整数值为0，-2，-4，-6.
【分析】（1）根据真分式的定义，即可选出正确答案；
（2）利用题中的方法把分子分别变形为和，然后写成带分式即可；
（3）先把分式化为带分式，然后利用有理数的整除性求解．
【详解】（1）A.分子的次数为2，分母的次数为1，所以错误；
B. 分子的次数为1，分母的次数为1，故错误；
C. 分子的次数为0，分母的次数为1，故正确；
D. 分子的次数为2，分母的次数为2，故错误；
所以选C；
（2），
，
（3）
∵该分式的值为整数，
∴ 的值为整数，
所以x+3可取得整数值为±3，±1，
x可能的整数值为0，-2，-4，-6.
【点睛】本题主要考查分式的性质，要结合分式的基本性质依照题目中的案例，会对分式进行适当的变形.（1）根据真分式的定义判断即可；（2）可借助平方差公式，先给x2减1再加1，将它凑成平方差公式x2-1=（x+1）（x-1）；（3）需将假分式等量变形成带分式，然后对取整.
15．观察下列等式：
第一个等式：a1＝；
第二个等式：a2＝；
第三个等式：a3＝；
第四个等式：a4＝．
按上述规律，回答问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ ；
（2）计算：a1+a2+a3++a9．（要求计算出最后结果）
【答案】（1），；（2）.
【详解】试题分析：（1）分析已经给出的等式特点，直接写出an即可；（2）先计算出a1+a2+a3++an的和，再将n=9代入即可.
试题解析：
（1）an==－；
（2）a1+a2+a3++an=－+－+－+…+－=－，
a1+a2+a3++a9=－=.
点睛：本题首先根据题目中已知的等式找出规律，写出an，求和的时候采用裂项相消的方法.
16．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k；
(2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t．
①求G所代表的代数式；
②求x的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值．
【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
(2)①；②
(3)的值为：或．
【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果；
（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案；
（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴


．
∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”；
（2）①∵，，
∴

∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”，
∴，
∴；
②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数，
∴或，
∴（舍去）；
（3）由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∵方程无解，
∴或方程有增根，
解得：，
当，方程有增根，
∴，
解得：，
综上：的值为：或．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键．
17．阅读理解：
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：
根据上述材料完成下列问题：
(1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）；
(2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
(3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ．
【答案】(1)减小，减小
(2)当时，无限接近于2
(3)
【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可；
（2）根据材料由即可求解；
（3）由，配合即可求解．
【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小；
∵当时，随着的增大，的值也随之减小，
∴随着的增大，的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵
∵当时，的值无限接近于0，
∴当时，无限接近于2；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
18．如果一个自然数M各个数位均不为0，且能分解成，其中A和B都是两位数，且A十位比B的十位数字大1，A和B的个位数字之和为9，则称M为“九九归一数”，把M分解成的过程称为“九九归一分解”．
例如：∵，，，∴368是“九九归一数”；
∵，，，∴1632不是“九九归一数”．
(1)判断378和297是否是“九九归一数”？并说明理由；
(2)把一个“九九归一数”M进行“九九归一数分解”，即为，A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差记．且能被5整除，求出所有满足条件的自然数M．
【答案】(1)378是“九九归一数”，297不是“九九归一数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据“九九归一数”的定义，进行判断即可；
（2）设，则：，进而求出和，利用能被5整除，进行求解即可．
【详解】（1）解：378是“九九归一数”； 297不是“九九归一数”；理由如下：
∵，，，
∴378是“九九归一数”；
∵，，，
∴297不是“九九归一数”；
（2）解：设，则：，
∴，，
∴，
∵能被5整除，
∴是5的倍数，
∵为小于的正整数，
∴当，时，，符合题意；此时：，；
当，时：，符合题意；此时：，；
当，时：，符合题意；此时：，；
当，时：，符合题意；此时：，；
综上，满足题意的条件的自然数为：．
【点睛】本题考查有理数的运算，整式的运算以及分式的运算．理解并掌握“九九归一数”，以及“九九归一分解”是解题的关键．
19．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 （填写序号即可）；
(2)若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 ；
(3)在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式，
小娟：原式，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
【答案】(1)②
(2)或5
(3)我欣赏小娟的做法，见解析
【分析】（1）根据和谐分式的定义判断即可得出答案；
（2）根据完全平方公式和十字相乘法即可得出答案；
（3）小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母，完成化简即可．
【详解】（1）解：①分子或分母都不可以因式分解，不符合题意；
②分母可以因式分解，且这个分式不可约分，符合题意；
③这个分式可以约分，不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：将分母变成完全平方公式得：，此时；
将分母变形成，此时；
故答案为：或5；
（3）我欣赏小娟的做法，
原式
，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
（3）解：我欣赏小娟的做法，
原式
，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握在分式的混合运算中，能因式分解的多项式要分解因式，便于约分．
20．小明在一次数学活动中发现，可以用一刀将下图所示的直角三角形ABC裁剪为两部分，然后将这两部分拼成一个矩形．
(1)请你直接在图1上画出小明的方法，并简要说明画法；
(2)在小明研究的基础上，小亮又发现对任意三角形而言只要两刀将其裁剪后，也可以拼成一个矩形，并且裁剪的方法不同，所拼成的矩形也不同．
①请你在图2中画出两种不同的裁剪拼接方法；
②若三角形三边BC、AC、AB分别为，试说明当所拼成矩形一边分别为BC、AC、AB边时，哪一种拼法的周长最大？
(3)能否将一个任意四边形裁剪后拼成一个矩形？若能，最少裁几刀？画图说明即可．
【答案】(1)画图见解析
(2)①画图见解析；②以BC为边时，拼法的周长最大．
(3)最小裁剪3刀，画图见解析．
【分析】（1）如图，沿直角三角形ABC的中位线DF裁剪即可，理由：延长DF至Q，使DF=QF，连接CQ，证明 可得四边形是矩形即可．
（2）①第一种方法：如图， F为垂足，则中位线DE，线段AF为裁剪线． 第二种方法：如图，D，E分别为中点， 垂足为 则DL，EK为裁剪线．②设的面积为S，再分别表示三种情况下的矩形的周长，再作差比较大小即可．
（3）如图，取四边形的四边中点O，M，N，P，连接ON，过M作 过P作 垂足分别为Q，R，则ON，MQ，PR为裁剪线，再拼接即可．
(1)
解：如图，沿直角三角形ABC的中位线DF裁剪即可，
理由：延长DF至Q，使DF=QF，连接CQ，
为的中点，
而

而

为的中位线，

∴四边形是平行四边形，而
∴四边形是矩形．
(2)
①第一种方法：如图， F为垂足，则中位线DE，线段AF为裁剪线．
第二种方法：如图，D，E分别为中点，
垂足为
则DL，EK为裁剪线．
②如图，矩形以BC为边时，其中 延长AF交BC于K，则，
由

而
即为BC上的高的长度，

同理：矩形以AC为边时，周长为 矩形以AB为边时，周长为：
，
即
即 而

同理
∴以BC为边时，拼法的周长最大．
(3)
能，如图，
∴最小裁剪3刀．
【点睛】本题考查的是动手实际操作，矩形的性质与判定，三角形的中位线的性质，全等三角形的判定与性质，对学生的要求较高，解题的关键是利用三角形的中位线的性质找到裁剪的思路．
…
0
1
2
3
4
…
…
无意义
1
…