第一次月考押题培优卷（2）（考试范围：第7-9章）-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

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一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列调查，适合用普查方式的是（ ）
A．了解一批电视机显像管的使用寿命B．了解某河段被污染的程度
C．了解你们班同学的视力情况D．了解人体血液的成分
【答案】C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解： A．了解一批电视机显像管的使用寿命，适合使用抽样调查，故该选项不符合题意；
B．了解某河段被污染的程度，适合使用抽样调查，故该选项不符合题意；
C．了解你们班同学的视力情况，适合使用全面调查，即普查，故该选项符合题意；
D．了解人体血液的成分，适合使用抽样调查，故该选项不符合题意．
故选： C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．如图，将绕点A按逆时针方向旋转110°得到，连接，若 ，则的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
【答案】A
【分析】由旋转的性质可得，，由此即可求出，由平行线的性质求出即可得到答案．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．四条边都相等B．对角线相等
C．对角线互相垂直且平分D．对角线平分一组对角
【答案】B
【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、菱形的四条边都相等，故本选项不符合题意；
B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直且平分，故本选项不符合题意；
D、菱形的对角线平分一组对角，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
4．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，而在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进一步对各个图形加以判断即可.
【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项符合题意；
C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的判断，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．如图，点O为矩形的对称中心，动点P从点A出发沿向点B移动，移动到点B停止，延长交于点Q，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
C．平行四边形—矩形—菱形—矩形D．平行四边形—菱形—平行四边形
【答案】B
【分析】根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形APCQ的形状变化情况，这个四边形首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B重合时是矩形．
【详解】解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化一次为：平行四边形—菱形—平行四边形—矩形
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2
【答案】B
【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．
【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积=×8×6=24cm2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．为了宣传某学校初二年级学生中的优秀典型，学校团委组成了宣讲团，成员为初二年级六个班的宣传委员，包括2名男生和4名女生，利用每天的早广播时间随机抽取一名宣讲团成员作为广播员，开展主题宣传活动．
（1）“随机抽取1人，初二（1）班的宣传委员恰好被抽中”是________事件；
A．不可能 B．必然 C．随机
（2）广播员恰好是男生的可能性是___________．
【答案】 C
【分析】（1）根据事件的分类进行解答即可；
（2）根据总共有6人，男生有2人，即可得到答案．
【详解】解：（1）“随机抽取1人，初二（1）班的宣传委员恰好被抽中”是随机事件，
故选： C
（2）总共有6人，男生有2人，
∴广播员恰好是男生的可能性是，
故答案为：
【点睛】此题考查了随机事件和可能性大小的判断，熟练掌握事件的相关知识是解题的关键．
8．一个圆形转盘分成3个区域，分别涂上红色、绿色、黄色．小明转动到红色的频数为20，频率为40%，则小明共转动转盘_________次．
【答案】50
【分析】根据频率＝频数÷总次数，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
20÷40%＝50，
∴小明共转动转盘50次，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD，请你添加一个适当的条件_______，使ABCD成为菱形（只需添加一个即可）
【答案】OA=OC（答案不唯一）．
【详解】解：添加条件OA=OC即可；
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形ABCD对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：OA=OC（答案不唯一）
10．在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，它属于________事件里的________事件（填“随机”或“必然”或“不可能”或“可能”）
【答案】 随机 可能
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答．
【详解】解：在一个不透明袋子里装有4个黄球和2个红球，这些球除颜色外完全相同．从袋中任意摸出2个球都是红球，则这个事件是随机事件中的可能事件，
故答案为：随机，可能．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
11．如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是__________．
【答案】
【分析】根据题意得滑冰项目图案的有速度滑冰和花样滑冰，即可得．
【详解】解：∵有5张形状、大小、材质均相同的卡片，滑冰项目图案的有速度滑冰和花样滑冰，
∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑冰项目的可能性是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性的计算方法．
12．某社区开展“节约每一滴水”活动，为了解开展活动的一个月以来节约用水的情况，从该小区的1000个家庭中选出20个家庭统计了解一个月的节水情况，见下表∶
请你估计这1000个家庭一个月节约用水的总量大约是________m3．
【答案】325
【分析】先计算这20个家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数1000即可解答．
【详解】解∶20个家庭一个月平均节约用水是∶
因此这1000个家庭一个月节约用水的总量大约是∶
故答案为：325．
【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数．
13．如图，菱形中，点O为对角线的交点，E、F、G、H 是菱形的各边中点，若，，则四边形 的面积为______．
【答案】12
【分析】利用三角形中位线定理，可以证明四边形EFGH和四边形MFNO是平行四边形，同时得到四边形EFGH的边长，再证明四边形MFNO是矩形，∠MFN是直角，则四边形EFGH是矩形，即可求得面积．
【详解】解：如图，设EF交BD于点M，FG交AC于点N，

∵ E、F、G、H 是菱形的各边中点，
∴EHBD，FGBD，EFAC，GHAC，EH＝FG＝BD＝4，GH＝EF＝AC＝3
∴EHFG，EFGH，FMON，FNOM
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
∴∠MON＝90°
∴四边形EFGH是矩形
∴四边形的面积＝EF×FG＝12
故答案为：12
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的性质、矩形的判定方法等知识，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键．
14．如图，菱形的边长为4，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，，面积的最小值为______
【答案】
【分析】连接，首先证明，得到，，然后证明是等边三角形，当时面积最小，根据勾股定理求出，上的高为，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】连接，
∵菱形边长为4，，
∴与为正三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴当时，的面积最小，
∵
∴
∴
∴，
∴同理可得边上的高为，
∴面积的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三角形．
15．如图，中，，，D为边上一动点，E为平面内一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，长的范围是______．
【答案】
【分析】分两种情况讨论，当BC为边时，DE=BC=8． 当BC为对角线时，首先根据已知得出DE最小时D的位置，进而利用三角形面积求出DF的长，进而得出答案．
【详解】解：当BC为边时，DE=BC=8．
当BC为对角线时，
如图所示：取的中点F，过点F作FH⊥AB于点H， 连接AF，
∵AB=AC=5，BC=8，BF=CF=4，
∴，
∴AF=，
∵S△AFB=AF×BF=FH×AB，
∴FH=
∵四边形CDBE是平行四边形，
当D运动到与H点重合时，此时FH最小，

∴DE=．
∴DE的最小值为：．
D不能与B重合，此时平行四边形不存在，

综上：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形面积和勾股定理等知识，根据已知得出D的位置是解题关键．
16．如图，E为矩形边延长线上一点，且，交于F，若，则______°．
【答案】
【分析】根据等边对等角的性质可得，然后根据矩形对角线相等且互相平分，进而求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解.
【详解】连接AC，在矩形ABCD中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的性质，主要利用了矩形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共68分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在一次轿车展销会中，某经销商推出了四种型号的轿车共辆参展与销售，各型号轿车的展销情况绘制在图1和图2两幅尚不完整的统计图售出辆数中．已知，型号轿车销售的成交率为．（）
(1)参加展销的型号轿车有______辆．
(2)将图2的统计图补充完整．
(3)计算型号轿车的成交率．
【答案】(1)
(2)补充统计图见详解
(3)
【分析】（1）根据图1算出型号轿车数的百分比，四种型号的轿车共辆，由此即可求解；
（2）根据参加展销的型号轿车的百分比计算出型号轿车的数量，再根据型号轿车销售的成交率为，计算出售出轿车数，由此即可求解；
（3）根据参加展销的型号轿车的百分比计算出型号轿车的数量，再根据型号轿车售出的数量是辆，由此可计算出成交率．
【详解】（1）解：四种型号的轿车共辆，型号轿车数的百分比是，
∴参加展销的型号轿车有辆，
故答案为：．
（2）解：参加展销的型号轿车有辆，型号轿车销售的成交率为，且，
∴售出辆数（辆），补全条形统计图如下，
（3）解：参加展销的型号轿车有辆，型号轿车销售的数量为辆，
∴成交率为．
【点睛】本题主要考查饼图与条形统计图的综合，理解图示中的数量关系，相关量的计算公式是解题的关键．
18．在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．
(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是 事件；（填随机、必然、不可能）
(2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量；
(3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加两个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由；继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案．若不能，请说明理由．
【答案】(1)随机
(2)袋中共有24个球，估计袋中白球大约有6个；
(3)可以使概率还原，方案不唯一：如再增加1个红球，5个白球
【分析】（1）根据随机事件的定义，结合题目问题情境进行判断即可；
（2）求出“获三等奖”的概率即可估计白球的数量；
（3）根据概率的定义，加入2个黄球，球的总数为26个，而红球3个，因此概率发生变化；再根据添加红球和其它颜色的球，使红球的概率为即可．
【详解】（1）解：袋子中装有红色、黄色、白色、黑色四种颜色的小球，摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，而黑色表示谢谢参与，
所以小明中奖是随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：由题意得，获得三等奖的概率为=，
24×=6（个），
答：袋中共有24个球，估计袋中白球大约有6个；
（3）解：（2）中的24个中有红球24×=3个，黄球24×=6个，白球6个，黑球24×=9个；
再加入2个黄球，球的总数为26个，而红球还是3个，因此红球的概率为，
>，
所以抽中一等奖的概率降低了；
抽中一等奖的概率可以还原为，
设加入x个红球，y个其它颜色的球，由于红球的概率为，所以有，
，
即7x-y=2，
因为x、y均为整数，
所以当x=1时，y=5，（答案不唯一）
所以设计方案为：继续添加1个红球，5个其它颜色的球，能使摸到红球的概率还原为．
【点睛】本题考查概率的公式，随机事件、必然事件、不可能事件，掌握概率的计算方法，理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是正确解答的前提．
19．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝10，点P是边BC上的动点．现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与边AD、AB分别交于点E、F．
(1)若BP＝4，求BF的长；
(2)要使折痕始终与边AD、AB有交点，则BP的取值范围是______．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据折叠的性质，矩形的性质，可得，AF＝PF、，在中，勾股定理即可求解．
（2）BP最小时，E、D重合，由折叠的性质知：AE=PE，在Rt△PEC中，利用勾股定理可求得PC的长，进而可求得BP的值，即BP的最小值；BP最大时，F、B重合，根据折叠的性质即可得到AB=BP=8，即BP的最大值为8；根据上述两种情况即可得到BP的取值范围．
（1）
由题意得，AF＝PF、，
∵，
∴．
∵在中，，BP＝4，
∴．
∴．
（2）
解：分两种情况：
如图，当E、D重合时，BP的值最小；
根据折叠的性质知：AE=PE=10，
∵在Rt△PEC中，PE=10，EC=8，
∴PC=6，
∴BP=10-6=4；
当F、B重合时，BP的值最大；
根据折叠的性质，即可得到AB=BP=8，
即BP的最大值为8．
综上所述，BP的取值范围是．
故答案为∶．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．平面直角坐标系xOy 的原点 O 在格点上， x轴、y轴都在格线上． 线段 AB 的两个端点也在格点上．
(1)若将线段AB绕点O逆时针旋转90°得到线段，试在图中画出线段．
(2)若线段与线段关于y轴对称，请画出线段．
(3)若点P是此平面直角坐标系内的一点，当点P四边围成的四边形为平行四边形时，请你直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见继续
(2)见解析
(3)（-4，-1）或（4，-1）或（0，5）
【分析】（1）本题根据旋转分别画出点A点B的对应点，连接对应点即可；
（2）根据要求画出点关于y轴对称点即可；
（3）本题考查的是已知三点求平行四边形，连接， 分别过点、作对边的平行线，三条平行线的交点即为点P的位置．
（1）
解：如图所示，线段即为所求；
（2）
解：如图所示，线段即为所求；
（3）
解：如图所示，点P的坐标为（-4，-1）或（4，-1）或（0，5）；
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，作图——旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
21．如图，在平面直角坐标系中，四边形是梯形，，是的中点，，点坐标是，所在直线的函数关系式为，点是边上一个动点．
(1)当_________________时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．
(2)在（1）的条件下，点P在边上运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．
【答案】(1)1或11
(2)当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由见解析
【分析】（1）先求出点D的坐标，进而求出，再根据线段中点的定义求出，再分当四边形是平行四边形，当四边形是平行四边形时两种情况根据平行四边形的性质求解即可；
（2）根据（1）所求，求出两种情况下邻边是否相等即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，点坐标是，
∴点D的纵坐标为4，
又∵点D在直线上，且当时，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵，点E是的中点，
∴，
当四边形是平行四边形，
∴，
∴；
当四边形是平行四边形时，
∴，
∴；
∴当或时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，
故答案为：1或11；
（2）解：当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵点C是直线与x轴的交点，
∴点C的坐标为，
∵，
∴点B的坐标为，
当时，点P的坐标为，则，则此时以点、、、为顶点的四边形不是菱形；
当时，点P的坐标为，则，则此时以点、、、为顶点的四边形是菱形；
综上所述，当时，以点、、、为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
22．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长与的延长线交于F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若平分，，，求的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)
【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明；
（2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在与中，

∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴为等边三角形，
∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
∴的面积是：
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质得到是等边三角形．
23．如图，，，垂足为点，点是的中点．
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形三线合一可得，点是线段的中点，故是的中位线，由中位线的性质即可得证．
【详解】证明：，，
，点是线段的中点．
又点是的中点，
是的中位线，
．
．
．
【点睛】本题考查了等腰三角形判定和性质，等腰三角形三线合一，中位线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．如图，已知平行四边形ABCD，根据所学知识，利用直尺和圆规在平行四边形内作一个菱形．
(1)小明的作图中，用到的作图依据有___________．（填序号）
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
(2)请再用两种不同的方法作图．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)①③
(2)见解析
【分析】（1）由作图，根据平行四边形和菱形的判定方法即可得解；
（2）连接AC，作AC的中垂线交CD、AB于G、H，则四边形AHCG是菱形；分别作∠DAB与∠ADC的平分线AF、DE，分别交DC于点F，交AB于点E，则四边形AEFD是菱形．
（1）
解：小明的作图中，用到的作图依据有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：①③；
（2）
解：如图，四边形AGCH和AEFD即为所求．
．
【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、尺规基本作图，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
25．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，相交于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求平行四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明领边相等即可得到答案；
（2）作于点，根据，先求出，再根据即可得出答案．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴
∴
∵∠BAD的平分线于点
∴
∴
∴
同理可得
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形
（2）解：作于，如图所示
∵四边形ABEF是菱形，，
∴，，
∴
∵
∴即
解得：
∴
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用面积法求出高是解题的关键．
26．数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．
(2)探究证明：
①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
【答案】(1)
(2)①见解析 ②见解析
【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；
（2）①延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形．从而证明，得到△DEG是等腰直角三角形，得到 ，故可求解；
②作，并截取，连接AG，证明△DEG是等腰直角三角形，得到 ， 再证明，，，再得到四边形AGEF为平行四边形，则 AF＝EG．故可求解．
（1）
，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，
∵AB2＝AE2＋BE2，
∴AB2＝2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2＝2DE2，
∴；
故答案为：．
（2）
①如下图，延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，．
∵，，
∴四边形AFGD为平行四边形．
∴AF＝DG，AD＝FG．
∴FG＝CD．
∵，AB＝BC，
∴．
∴
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴△DEG是等腰直角三角形
∴，
∴．
∴．
②如图，作，并截取，连接AG、GE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，CD＝AD．
∴
同理，．
∵，
∴．
又∵DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，AG＝EC．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴四边形AGEF为平行四边形
．∴AF＝EG．
∴．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．
节水量/m3
0.2
0.25
0.3
0.4
0.5
家庭数/户
2
4
6
7
1