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人教版 (2019)选择性必修 第二册第二章 电磁感应2 法拉第电磁感应定律优质学案设计
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这是一份人教版 (2019)选择性必修 第二册第二章 电磁感应2 法拉第电磁感应定律优质学案设计，共16页。
一、电磁感应定律
我们可以通过实验探究电磁感应现象中感应电流大小的决定因素和遵循的物理规律。
如图所示，将条形磁体从同一高度插入线圈的实验中。
(1)快速插入和缓慢插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(2)分别用同种规格的一根磁体和并列的两根磁体以相同速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(3)如果在条形磁体插入线圈的过程中，将线圈与电流表断开，线圈两端的电动势是否随着电流一起消失？
(4)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于什么？
答案 (1)磁通量的变化量ΔΦ相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大。
(2)用并列的两根磁体快速插入时磁通量的变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大。
(3)如果电路没有闭合，电动势依然存在。
(4)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于eq \f(ΔΦ,Δt)的大小。
1．感应电动势
在电磁感应现象中产生的电动势叫作感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源。
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
(2)公式：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，其中n为线圈的匝数。
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯(Wb)，感应电动势的单位是伏(V)。
注意：公式只表示感应电动势的大小。至于感应电流的方向，可由楞次定律判定。
3．公式E＝neq \f(ΔΦ,Δt)求解的是一个回路中某段时间内的平均电动势，只有在磁通量随时间均匀变化时，瞬时值才等于平均值。
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流。( × )
(2)线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。( × )
(3)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越小，线圈中产生的感应电动势一定越小。( × )
(4)线圈中磁通量变化得越快，线圈中产生的感应电动势一定越大。( √ )
例1 (2023·陕西渭南蓝光中学高二月考)如图甲所示，一单匝圆形线圈垂直放入磁场中，磁场为垂直于线圈平面向里的匀强磁场，穿过圆形线圈的磁通量Φ随时间t的变化关系如图乙所示，不计导线电阻，求：
(1)2 s内线圈内磁通量的变化量ΔΦ；
(2)线圈中产生的感应电动势E1；
(3)若其他条件不变，线圈的匝数变为100匝，线圈中产生的感应电动势E2。
答案 (1)0.4 Wb (2)0.2 V (3)20 V
解析 (1)2 s内线圈内磁通量的变化量
ΔΦ＝Φ2－Φ1＝0.5 Wb－0.1 Wb＝0.4 Wb
(2)根据法拉第电磁感应定律可得线圈中产生的感应电动势为
E1＝n1eq \f(ΔΦ,Δt)＝1×eq \f(0.4,2) V＝0.2 V
(3)线圈的匝数变为100匝，线圈中产生的感应电动势为
E2＝n2eq \f(ΔΦ,Δt)＝100×eq \f(0.4,2) V＝20 V。
例2 (2022·东莞市七校高二下期中)n匝线圈放在如图所示变化的磁场，线圈的面积为S。则下列说法正确的是( )
A．0～1 s内线圈的感应电动势在均匀增大
B．1～2 s内感应电流最大
C．0.5 s末与2.5 s末线圈的感应电流方向相反
D．第4 s末的感应电动势为0
答案 C
解析 由法拉第电磁感应定律可得0～1 s内线圈的感应电动势为E＝neq \f(ΔB,Δt)S，大小不变，故A错误；1～2 s内磁感应强度不变，穿过线圈的磁通量不变，所以感应电流为零，故B错误；结合题图，根据楞次定律0.5 s末和2.5 s末线圈的感应电流方向相反，故C正确；第4 s末磁感应强度为0，但磁通量的变化率不为0，则感应电动势不为0，故D错误。
针对训练 1 (2023·包头市第四中学高二月考)穿过同一闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像分别如图中的①～④所示，下列关于回路中感应电动势的说法正确的是( )
A．图①回路产生恒定不变的感应电动势
B．图②回路产生的感应电动势一直在变大
C．图③回路0～t1时间内产生的感应电动势大于t1～t2时间内产生的感应电动势
D．图④回路产生的感应电动势先变大再变小
答案 C
解析 根据法拉第电磁感应定律可知感应电动势与磁通量的变化率成正比，即E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，结合数学知识可知：穿过闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率k＝eq \f(ΔΦ,Δt)；题图①中磁通量Φ不变，无感应电动势；题图②中磁通量Φ随时间t均匀增大，图像的斜率k不变，即产生的感应电动势不变；题图③中回路在0～t1时间内磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率为k1，在t1～t2时间内磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率为k2，从图像中发现：k1大于k2的绝对值，所以在0～t1时间内产生的感应电动势大于在t1～t2时间内产生的感应电动势；题图④中磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率的绝对值先变小后变大，所以感应电动势先变小后变大。故选C。
磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)的比较：
二、导体棒切割磁感线时的感应电动势
1.如图所示，把平行导轨放在磁感应强度为B的匀强磁场中，通过一电阻相连，所在平面跟磁感线垂直。导体棒MN放在导轨上，两导轨间距为l，MN以速度v向右匀速运动。试根据法拉第电磁感应定律求产生的感应电动势。
推导：
(1)在Δt时间内，由原来的位置MN移到M1N1，这个过程中闭合电路的面积变化量是ΔS＝lvΔt。
(2)穿过闭合电路的磁通量的变化量则是ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt。
(3)根据法拉第电磁感应定律E＝eq \f(ΔΦ,Δt)求得感应电动势E＝Blv。
2.如果导线的运动方向与导线本身是垂直的，但与磁感线方向有一个夹角θ，将速度v分解为两个分量；垂直于磁感线的分量v1＝vsin θ和平行于磁感线的分量v2＝vcs θ，则导线产生的感应电动势为E＝Blv1＝Blvsin θ。
1．如图，导体棒CD在匀强磁场中运动。自由电荷会随着导体棒运动，并因此受到洛伦兹力。
(1)导体棒中自由电荷相对于纸面的运动大致沿什么方向？(为了方便，可以认为导体棒中的自由电荷是正电荷。)
(2)导体棒一直运动下去，自由电荷是否总会沿着导体棒运动？为什么？导体棒哪端的电势比较高？
(以上讨论不必考虑自由电荷的热运动。)
答案 (1)导体棒中自由电荷(正电荷)随导体棒向右运动，由左手定则可判断正电荷受到沿棒向上的洛伦兹力作用。因此，正电荷一边向上运动，一边随导体棒向右匀速运动，所以正电荷相对于纸面的运动是斜向右上方的。
(2)不会。当导体棒中的自由电荷受到的洛伦兹力与静电力平衡时不再定向移动，因为正电荷会聚集在C端，所以C端电势高。
2．在上述过程中，洛伦兹力做功吗？
答案 自由电荷参与了两个方向的运动，随着导体棒向右运动的速度vx和沿着导体棒向上运动的速度vy，相应的有沿着棒方向的洛伦兹力Fy和垂直棒方向的洛伦兹力Fx。如图所示，自由电荷合速度的方向指向右上方。洛伦兹合力方向与自由电荷的合速度垂直，洛伦兹力不做功。洛伦兹力不做功，不提供能量，只是起传递能量的作用。
1．由于导体运动而产生的电动势叫作动生电动势。
2．导线垂直于磁场方向运动，B、l、v两两垂直时，感应电动势E＝Blv。
3．导线运动的方向与磁感线方向夹角为θ时，感应电动势E＝Blvsin_θ。
4．若导线是弯折的，或l与v不垂直时，E＝Blv中的l应为导线两端点在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度。
图甲中的有效切割长度为：l＝eq \x\t(cd)sin θ；
图乙中的有效切割长度为：l＝eq \x\t(MN)；
图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，l＝eq \r(2)R；沿v2的方向运动时，l＝R。
例3 如图所示，两根平行光滑金属导轨MN和PQ放置在水平面内，其间距L＝0.2 m，磁感应强度大小B＝0.5 T的匀强磁场垂直导轨平面向下，两导轨之间连接的电阻R＝4.8 Ω，在导轨上有一金属棒ab，其接入电路的电阻r＝1.2 Ω，金属棒与导轨垂直且接触良好，在ab棒上施加水平拉力使其以速度v＝12 m/s向右匀速运动，设金属导轨足够长。求：
(1)金属棒ab产生的感应电动势大小；
(2)水平拉力的大小F；
(3)金属棒a、b两点间的电势差。
答案 (1)1.2 V (2)0.02 N (3)0.96 V
解析 (1)设金属棒中产生的感应电动势大小为E，
则E＝BLv
代入数值得E＝1.2 V。
(2)设流过电阻R的电流大小为I，
则I＝eq \f(E,R＋r)
代入数值得I＝0.2 A
因棒匀速运动，则拉力等于安培力，有
F＝F安＝BIL＝0.02 N。
(3)a、b两点间的电势差为Uab＝IR
代入数值得Uab＝0.96 V。
针对训练 2 如图所示，MN、PQ为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒ab斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，ab＝L。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨间夹角为60°，以速度v水平向右匀速运动，不计导轨和金属棒的电阻，则流过金属棒的电流为( )
A.eq \f(BLv,R) B.eq \f(\r(3)BLv,2R)
C.eq \f(BLv,2R) D.eq \f(\r(3)BLv,3R)
答案 B
解析 金属棒切割磁感线的有效长度为L·sin 60°＝eq \f(\r(3),2)L，故感应电动势E＝Bv·eq \f(\r(3)L,2)，通过金属棒的电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(\r(3)BLv,2R)，B正确。
例4 如图所示，长为L的铜杆OA以O为轴在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，磁场的磁感应强度为B，杆两端的电势差为________，O点的电势________(填“大于”或“小于”)A点的电势。
答案 eq \f(1,2)BωL2 大于
解析 如图，设经过时间Δt，铜杆扫过的面积为ΔS，转过的角度为Δθ，则Δθ＝ω·Δt，转过的弧长为Δθ·L＝ωLΔt
则杆扫过的面积ΔS＝eq \f(ωLΔt·L,2)
由法拉第电磁感应定律得：E＝eq \f(BΔS,Δt)＝eq \f(BL2ω,2)。
由右手定则可知感应电流的方向为由A到O，OA切割磁感线，相当于电源，则O为电源的正极，A为电源的负极，O点的电势大于A点的电势。
导体棒转动切割磁感线时转轴位置问题
针对训练 3 如图所示，半径为r的金属圆盘在垂直于盘面的匀强磁场(磁感应强度为B)中，绕O轴以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，则通过电阻R的电流的方向和大小是(金属圆盘的电阻不计)( )
A．由c到d，I＝eq \f(Br2ω,R) B．由d到c，I＝eq \f(Br2ω,R)
C．由c到d，I＝eq \f(Br2ω,2R) D．由d到c，I＝eq \f(Br2ω,2R)
答案 D
解析 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E＝Br·eq \f(1,2)rω＝eq \f(1,2)Br2ω，由欧姆定律得通过电阻R的电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(\f(1,2)Br2ω,R)＝eq \f(Br2ω,2R)。圆盘相当于电源，由右手定则可知圆盘中的电流方向为由边缘指向圆心，所以通过电阻R的电流方向为由d到c，选项D正确。
法拉第电磁感应定律的三个表达式的比较
课时对点练
考点一 法拉第电磁感应定律的理解和基本应用
1．(多选)关于感应电动势，下列说法正确的是( )
A．穿过回路的磁通量越大，回路中的感应电动势一定越大
B．穿过回路的磁通量变化量与线圈的匝数无关，回路中的感应电动势与线圈的匝数有关
C．穿过回路的磁通量的变化率为零，回路中的感应电动势一定为零
D．某一时刻穿过回路的磁通量为零，回路中的感应电动势一定为零
答案 BC
2.(多选)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t变化的图像如图所示，图线为正弦曲线的一部分，则( )
A．在t＝0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B．在t＝1×10－2 s时刻，感应电动势最大
C．在t＝2×10－2 s时刻，感应电动势为零
D．在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
答案 BC
解析 由法拉第电磁感应定律知E＝eq \f(ΔΦ,Δt)，故t＝0及t＝2×10－2 s时刻，E＝0，A项错误，C项正确；t＝1×10－2 s时，E最大，B项正确；0～2×10－2 s时间内，ΔΦ≠0，则E≠0，D项错误。
3．如图甲所示，一线圈匝数为100，横截面积为0.01 m2，匀强磁场与线圈轴线成30°角向右穿过线圈。若在2 s时间内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，则该段时间内线圈两端a、b之间的电势差Uab为( )
A．－eq \r(3) V B．2 V
C.eq \r(3) V D．从0均匀变化到2 V
答案 A
解析 与线圈轴线成30°角向右穿过线圈的磁感应强度均匀增加，故产生恒定的感应电动势，根据法拉第电磁感应定律，有
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)Scs 30°
由题图乙可知eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(6－2,2) Wb/s＝2 Wb/s
代入数据得E＝eq \r(3) V
根据楞次定律知a点的电势低于b点的电势，则Uab＝－eq \r(3) V，故A正确。
考点二 导线切割磁感线时的感应电动势
4.如图所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′。则eq \f(E′,E)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2)
答案 B
解析 设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L，产生的感应电动势E＝BLv；弯折后，金属棒切割磁感线的有效长度为L′＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)L，故产生的感应电动势E′＝BL′v＝B·eq \f(\r(2),2)Lv＝eq \f(\r(2),2)E，所以eq \f(E′,E)＝eq \f(\r(2),2)，B正确。
5.如图所示，平行导轨间距为d，其左端接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于平行金属导轨所在平面向上。一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计。当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v在导轨上滑行时，通过电阻R的电流大小是( )
A.eq \f(Bdv,R) B.eq \f(Bdvsin θ,R)
C.eq \f(Bdvcs θ,R) D.eq \f(Bdv,Rsin θ)
答案 D
解析 金属棒MN垂直于磁场放置，运动速度v与棒垂直，且v⊥B，即已构成两两相互垂直的关系，MN接入导轨间的有效长度为l＝eq \f(d,sin θ)，所以E＝Blv＝eq \f(Bdv,sin θ)，I＝eq \f(E,R)＝eq \f(Bdv,Rsin θ)，故选项D正确。
6．(多选)(2023·山西省忻州中学高二期末)如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v 向右匀速进入磁场，直径CD段导线始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是( )
A．感应电流方向不变
B．CD段直导线始终不受安培力
C．感应电动势最大值E＝Bav
D．感应电动势平均值eq \x\t(E)＝πBav
答案 AC
解析 闭合回路进入磁场的过程中，穿过闭合回路的磁通量一直在变大，由楞次定律可知，感应电流的方向不变，A正确；从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，穿过闭合回路的磁通量一直在变大，故回路中始终存在感应电流，CD段与磁场方向垂直，所以CD段直导线始终受安培力，B错误；从D点到达边界开始到C点进入磁场的过程可以理解为部分电路切割磁感线的运动，在切割的过程中，切割的有效长度先增大后减小，最大有效长度等于半圆的半径，即最大感应电动势为E＝Bav，C正确；根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势的平均值为eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(B·\f(πa2,2),\f(2a,v))＝eq \f(πBav,4)，D错误。
考点三 转动切割时的感应电动势
7．(2023·河北省石家庄实验中学高二月考)如图所示，半径为L的金属圆环固定，圆环内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，长为L、电阻为r的导体棒OA，一端固定在通过圆环中心的O点，另一端与圆环接触良好。在圆环和O点之间接有阻值为R的电阻，不计金属圆环的电阻。当导体棒以角速度ω绕O点逆时针匀速转动时，下列说法错误的是( )
A．O点的电势高于A点的电势
B．导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为BL2ω
C．OA两点间电势差大小为eq \f(BL2ωR,2R＋r)
D．增大导体棒转动的角速度，电路中的电流增大
答案 B
解析 根据右手定则，导体棒OA中的电流从A流向O，导体棒是电源，电流从低电势流向高电势，即O点的电势高于A点的电势，A正确；导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为eq \f(1,2)BL2ω，B错误；根据U＝eq \f(R,R＋r)E，求得U＝eq \f(BL2ωR,2R＋r)，OA两点间电势差大小为eq \f(BL2ωR,2R＋r)，则增大导体棒转动的角速度，电路中的电流增大，C、D正确。
8．(2022·威海市高二下期末)如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，一导体棒ab绕O点在垂直于磁场的平面内匀速转动，角速度为ω，Oa＝ab＝L，导体棒产生的感应电动势大小为( )
A．BL2ω B.eq \f(BL2ω,2)
C.eq \f(3BL2ω,2) D.eq \f(5BL2ω,2)
答案 C
解析 根据题意，由公式v＝ωr可得，导体棒上a点的线速度大小为va＝ωL，导体棒上b点的线速度大小为vb＝ω·2L，则导体棒产生的感应电动势大小为E＝BLeq \x\t(v)＝BLeq \f(va＋vb,2)＝eq \f(3,2)BL2ω，故选C。
9．(2023·洛阳市宜阳县第一中学月考)一接有电压表的矩形线圈abcd在匀强磁场中向右做匀速运动，如图所示，下列说法正确的是( )
A．线圈中有感应电流，有感应电动势
B．线圈中无感应电流，也无感应电动势
C．线圈中无感应电流，有感应电动势
D．线圈中无感应电流，但电压表有示数
答案 C
解析 矩形线圈abcd在匀强磁场中向右做匀速运动，由题图可知线圈的ad边和bc边在切割磁感线，根据法拉第电磁感应定律可得ad边和bc边产生的电动势大小均为E＝BLv，根据右手定则可知ad边和bc边产生的电动势方向相反，故线圈中的感应电流为零，故电压表没有示数，故选C。
10．(2022·陕西咸阳高二期末)如图所示，两块水平放置的金属板距离为d。用导线、开关K与一个n匝的线圈连接，线圈置于方向竖直向下的变化磁场B中，两板间有一个质量为m、电荷量为－q的油滴恰好处于静止状态，重力加速度为g，则线圈中的磁场B的变化情况和磁通量变化率分别是( )
A．正在增加，eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,q)
B．正在增加，eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,nq)
C．正在减弱，eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,q)
D．正在减弱，eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,nq)
答案 D
解析 油滴处于静止状态，重力与静电力平衡，所以静电力向上，又因为油滴带负电，所以上极板带正电，感应电流为顺时针方向(俯视)，根据右手螺旋定则可知，螺线圈内部感应电流产生的磁场的方向是竖直向下的，根据楞次定律的内容可知，原磁场与感应电流的磁场满足“增反减同”的规律，所以原磁场正在减弱；油滴受力平衡，qE＝mg，由匀强电场电势差和电场强度关系得E＝eq \f(U,d)，由法拉第电磁感应定律得U＝neq \f(ΔΦ,Δt)，联立解得eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,nq)，故选D。
11.如图所示，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动(俯视)时，a、b、c三点的电势分别为φa、φb、φc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是( )
A．φa＞φc，金属框中无电流
B．φb＞φc，金属框中电流方向沿abca
C．Ubc＝－eq \f(1,2)Bl2ω，金属框中无电流
D．Uac＝eq \f(1,2)Bl2ω，金属框中电流方向沿acba
答案 C
解析 金属框abc平面与磁场方向平行，转动过程中穿过金属框的磁通量始终为零，所以无感应电流产生，故B、D错误；转动过程中bc边和ac边均切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则判断φa<φc，φb<φc，故A错误；由eq \x\t(E)＝BLeq \x\t(v)得，Ubc＝－eq \f(1,2)Bl2ω，故C正确。
12.如图所示，匀强磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合，磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0。使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，线框中产生感应电流。现使线框保持图中所示位置静止，磁感应强度随时间线性变化。为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率eq \f(ΔB,Δt)的大小应为( )
A.eq \f(4ωB0,π) B.eq \f(2ωB0,π)
C.eq \f(ωB0,π) D.eq \f(ωB0,2π)
答案 C
解析 设半圆的半径为L，导线框的电阻为R，当线框以角速度ω匀速转动时产生的感应电动势E1＝eq \f(1,2)B0ωL2。当线框不动，而磁感应强度随时间变化时E2＝eq \f(1,2)πL2·eq \f(ΔB,Δt)，由eq \f(E1,R)＝eq \f(E2,R)得eq \f(1,2)B0ωL2＝eq \f(1,2)πL2·eq \f(ΔB,Δt)，即eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(ωB0,π)，故C正确。
13.如图所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，AB⊥ON，ON水平，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速向右滑动，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度大小为0.2 T。问：(结果可用根式表示)
(1)第3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？
(2)0～3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？
答案 (1)5eq \r(3) m 5eq \r(3) V
(2)eq \f(15\r(3),2) Wb eq \f(5,2) eq \r(3) V
解析 (1)第3 s末，夹在导轨间导体的长度为：
l＝vt·tan 30°＝5×3×eq \f(\r(3),3) m＝5eq \r(3) m
此时E＝Blv＝0.2×5eq \r(3)×5 V＝5eq \r(3) V。
(2)0～3 s内回路中磁通量的变化量
ΔΦ＝BΔS＝0.2×eq \f(1,2)×15×5eq \r(3) Wb＝eq \f(15\r(3),2) Wb
0～3 s内电路中产生的平均感应电动势为：
eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(\f(15\r(3),2),3) V＝eq \f(5,2) eq \r(3) V。
14．如图所示，将一根包有绝缘层的硬金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状，它通过两个小金属环a、b与长直金属杆导通，图中a、b间距离为L，导线弯曲成的正弦图形顶部和底部到杆的距离均是d。右边虚线范围内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于弯曲导线所在平面的匀强磁场，磁场区域的宽度为eq \f(3L,4)，现导线在外力作用下沿杆以恒定的速度v向右运动，t＝0时刻a环刚从O点进入磁场区域，则下列说法正确的是( )
A．在t＝eq \f(L,2v)时刻，回路中的感应电动势为Bdv
B．在t＝eq \f(3L,4v)时刻，回路中的感应电动势为2Bdv
C．在t＝eq \f(L,4v)时刻，回路中的感应电流第一次改变方向
D．在t＝eq \f(L,2v)时刻，回路中的感应电流第一次改变方向
答案 D
解析 当t＝eq \f(L,2v)时，回路切割磁感线的有效长度为0，故感应电动势为0，故A错误；当t＝eq \f(3L,4v)时，回路切割磁感线的有效长度为d，故感应电动势为Bdv，故B错误；t＝eq \f(L,2v)前电流方向为a→b，t＝eq \f(L,2v)后电流方向为b→a，则当t＝eq \f(L,2v)时，感应电流第一次改变方向，故C错误，D正确。磁通量Φ
磁通量的变化量ΔΦ
磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)
物理意义
某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数
在某一过程中，穿过某个面的磁通量变化的多少
穿过某个面的磁通量变化的快慢
当B、S互相垂直时的大小
Φ＝BS
ΔΦ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Φ2－Φ1,B·ΔS,S·ΔB))
eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(Φ2－Φ1,Δt),B·\f(ΔS,Δt),\f(ΔB,Δt)·S))
相对位置
转轴位置
端点
中点
任意位置
导体棒ab长为l，垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)，转动平面也垂直于磁场方向(转动角速度为ω)
Eab＝Bleq \x\t(v)＝Blv中＝eq \f(1,2)Bl2ω
Eab＝0
Eab＝eq \f(1,2)Bl12ω－eq \f(1,2)Bl22ω
情景图
研究对象
回路(不一定闭合)磁场变化或面积变化
一段直导线(或等效成直导线)切割磁感线
绕一端转动的一段导体棒
表达式
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)
E＝Blv
E＝eq \f(1,2)Bl2ω
一、电磁感应定律
我们可以通过实验探究电磁感应现象中感应电流大小的决定因素和遵循的物理规律。
如图所示，将条形磁体从同一高度插入线圈的实验中。
(1)快速插入和缓慢插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(2)分别用同种规格的一根磁体和并列的两根磁体以相同速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
(3)如果在条形磁体插入线圈的过程中，将线圈与电流表断开，线圈两端的电动势是否随着电流一起消失？
(4)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于什么？
答案 (1)磁通量的变化量ΔΦ相同，但磁通量变化的快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大。
(2)用并列的两根磁体快速插入时磁通量的变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大。
(3)如果电路没有闭合，电动势依然存在。
(4)在线圈匝数一定的情况下，感应电动势的大小取决于eq \f(ΔΦ,Δt)的大小。
1．感应电动势
在电磁感应现象中产生的电动势叫作感应电动势，产生感应电动势的那部分导体相当于电源。
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
(2)公式：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，其中n为线圈的匝数。
(3)在国际单位制中，磁通量的单位是韦伯(Wb)，感应电动势的单位是伏(V)。
注意：公式只表示感应电动势的大小。至于感应电流的方向，可由楞次定律判定。
3．公式E＝neq \f(ΔΦ,Δt)求解的是一个回路中某段时间内的平均电动势，只有在磁通量随时间均匀变化时，瞬时值才等于平均值。
(1)在电磁感应现象中，有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流。( × )
(2)线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。( × )
(3)线圈中磁通量的变化量ΔΦ越小，线圈中产生的感应电动势一定越小。( × )
(4)线圈中磁通量变化得越快，线圈中产生的感应电动势一定越大。( √ )
例1 (2023·陕西渭南蓝光中学高二月考)如图甲所示，一单匝圆形线圈垂直放入磁场中，磁场为垂直于线圈平面向里的匀强磁场，穿过圆形线圈的磁通量Φ随时间t的变化关系如图乙所示，不计导线电阻，求：
(1)2 s内线圈内磁通量的变化量ΔΦ；
(2)线圈中产生的感应电动势E1；
(3)若其他条件不变，线圈的匝数变为100匝，线圈中产生的感应电动势E2。
答案 (1)0.4 Wb (2)0.2 V (3)20 V
解析 (1)2 s内线圈内磁通量的变化量
ΔΦ＝Φ2－Φ1＝0.5 Wb－0.1 Wb＝0.4 Wb
(2)根据法拉第电磁感应定律可得线圈中产生的感应电动势为
E1＝n1eq \f(ΔΦ,Δt)＝1×eq \f(0.4,2) V＝0.2 V
(3)线圈的匝数变为100匝，线圈中产生的感应电动势为
E2＝n2eq \f(ΔΦ,Δt)＝100×eq \f(0.4,2) V＝20 V。
例2 (2022·东莞市七校高二下期中)n匝线圈放在如图所示变化的磁场，线圈的面积为S。则下列说法正确的是( )
A．0～1 s内线圈的感应电动势在均匀增大
B．1～2 s内感应电流最大
C．0.5 s末与2.5 s末线圈的感应电流方向相反
D．第4 s末的感应电动势为0
答案 C
解析 由法拉第电磁感应定律可得0～1 s内线圈的感应电动势为E＝neq \f(ΔB,Δt)S，大小不变，故A错误；1～2 s内磁感应强度不变，穿过线圈的磁通量不变，所以感应电流为零，故B错误；结合题图，根据楞次定律0.5 s末和2.5 s末线圈的感应电流方向相反，故C正确；第4 s末磁感应强度为0，但磁通量的变化率不为0，则感应电动势不为0，故D错误。
针对训练 1 (2023·包头市第四中学高二月考)穿过同一闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像分别如图中的①～④所示，下列关于回路中感应电动势的说法正确的是( )
A．图①回路产生恒定不变的感应电动势
B．图②回路产生的感应电动势一直在变大
C．图③回路0～t1时间内产生的感应电动势大于t1～t2时间内产生的感应电动势
D．图④回路产生的感应电动势先变大再变小
答案 C
解析 根据法拉第电磁感应定律可知感应电动势与磁通量的变化率成正比，即E＝neq \f(ΔΦ,Δt)，结合数学知识可知：穿过闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率k＝eq \f(ΔΦ,Δt)；题图①中磁通量Φ不变，无感应电动势；题图②中磁通量Φ随时间t均匀增大，图像的斜率k不变，即产生的感应电动势不变；题图③中回路在0～t1时间内磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率为k1，在t1～t2时间内磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率为k2，从图像中发现：k1大于k2的绝对值，所以在0～t1时间内产生的感应电动势大于在t1～t2时间内产生的感应电动势；题图④中磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率的绝对值先变小后变大，所以感应电动势先变小后变大。故选C。
磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ及磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)的比较：
二、导体棒切割磁感线时的感应电动势
1.如图所示，把平行导轨放在磁感应强度为B的匀强磁场中，通过一电阻相连，所在平面跟磁感线垂直。导体棒MN放在导轨上，两导轨间距为l，MN以速度v向右匀速运动。试根据法拉第电磁感应定律求产生的感应电动势。
推导：
(1)在Δt时间内，由原来的位置MN移到M1N1，这个过程中闭合电路的面积变化量是ΔS＝lvΔt。
(2)穿过闭合电路的磁通量的变化量则是ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt。
(3)根据法拉第电磁感应定律E＝eq \f(ΔΦ,Δt)求得感应电动势E＝Blv。
2.如果导线的运动方向与导线本身是垂直的，但与磁感线方向有一个夹角θ，将速度v分解为两个分量；垂直于磁感线的分量v1＝vsin θ和平行于磁感线的分量v2＝vcs θ，则导线产生的感应电动势为E＝Blv1＝Blvsin θ。
1．如图，导体棒CD在匀强磁场中运动。自由电荷会随着导体棒运动，并因此受到洛伦兹力。
(1)导体棒中自由电荷相对于纸面的运动大致沿什么方向？(为了方便，可以认为导体棒中的自由电荷是正电荷。)
(2)导体棒一直运动下去，自由电荷是否总会沿着导体棒运动？为什么？导体棒哪端的电势比较高？
(以上讨论不必考虑自由电荷的热运动。)
答案 (1)导体棒中自由电荷(正电荷)随导体棒向右运动，由左手定则可判断正电荷受到沿棒向上的洛伦兹力作用。因此，正电荷一边向上运动，一边随导体棒向右匀速运动，所以正电荷相对于纸面的运动是斜向右上方的。
(2)不会。当导体棒中的自由电荷受到的洛伦兹力与静电力平衡时不再定向移动，因为正电荷会聚集在C端，所以C端电势高。
2．在上述过程中，洛伦兹力做功吗？
答案 自由电荷参与了两个方向的运动，随着导体棒向右运动的速度vx和沿着导体棒向上运动的速度vy，相应的有沿着棒方向的洛伦兹力Fy和垂直棒方向的洛伦兹力Fx。如图所示，自由电荷合速度的方向指向右上方。洛伦兹合力方向与自由电荷的合速度垂直，洛伦兹力不做功。洛伦兹力不做功，不提供能量，只是起传递能量的作用。
1．由于导体运动而产生的电动势叫作动生电动势。
2．导线垂直于磁场方向运动，B、l、v两两垂直时，感应电动势E＝Blv。
3．导线运动的方向与磁感线方向夹角为θ时，感应电动势E＝Blvsin_θ。
4．若导线是弯折的，或l与v不垂直时，E＝Blv中的l应为导线两端点在与v垂直的方向上的投影长度，即有效切割长度。
图甲中的有效切割长度为：l＝eq \x\t(cd)sin θ；
图乙中的有效切割长度为：l＝eq \x\t(MN)；
图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，l＝eq \r(2)R；沿v2的方向运动时，l＝R。
例3 如图所示，两根平行光滑金属导轨MN和PQ放置在水平面内，其间距L＝0.2 m，磁感应强度大小B＝0.5 T的匀强磁场垂直导轨平面向下，两导轨之间连接的电阻R＝4.8 Ω，在导轨上有一金属棒ab，其接入电路的电阻r＝1.2 Ω，金属棒与导轨垂直且接触良好，在ab棒上施加水平拉力使其以速度v＝12 m/s向右匀速运动，设金属导轨足够长。求：
(1)金属棒ab产生的感应电动势大小；
(2)水平拉力的大小F；
(3)金属棒a、b两点间的电势差。
答案 (1)1.2 V (2)0.02 N (3)0.96 V
解析 (1)设金属棒中产生的感应电动势大小为E，
则E＝BLv
代入数值得E＝1.2 V。
(2)设流过电阻R的电流大小为I，
则I＝eq \f(E,R＋r)
代入数值得I＝0.2 A
因棒匀速运动，则拉力等于安培力，有
F＝F安＝BIL＝0.02 N。
(3)a、b两点间的电势差为Uab＝IR
代入数值得Uab＝0.96 V。
针对训练 2 如图所示，MN、PQ为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒ab斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，ab＝L。磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨间夹角为60°，以速度v水平向右匀速运动，不计导轨和金属棒的电阻，则流过金属棒的电流为( )
A.eq \f(BLv,R) B.eq \f(\r(3)BLv,2R)
C.eq \f(BLv,2R) D.eq \f(\r(3)BLv,3R)
答案 B
解析 金属棒切割磁感线的有效长度为L·sin 60°＝eq \f(\r(3),2)L，故感应电动势E＝Bv·eq \f(\r(3)L,2)，通过金属棒的电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(\r(3)BLv,2R)，B正确。
例4 如图所示，长为L的铜杆OA以O为轴在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，磁场的磁感应强度为B，杆两端的电势差为________，O点的电势________(填“大于”或“小于”)A点的电势。
答案 eq \f(1,2)BωL2 大于
解析 如图，设经过时间Δt，铜杆扫过的面积为ΔS，转过的角度为Δθ，则Δθ＝ω·Δt，转过的弧长为Δθ·L＝ωLΔt
则杆扫过的面积ΔS＝eq \f(ωLΔt·L,2)
由法拉第电磁感应定律得：E＝eq \f(BΔS,Δt)＝eq \f(BL2ω,2)。
由右手定则可知感应电流的方向为由A到O，OA切割磁感线，相当于电源，则O为电源的正极，A为电源的负极，O点的电势大于A点的电势。
导体棒转动切割磁感线时转轴位置问题
针对训练 3 如图所示，半径为r的金属圆盘在垂直于盘面的匀强磁场(磁感应强度为B)中，绕O轴以角速度ω沿逆时针方向匀速转动，则通过电阻R的电流的方向和大小是(金属圆盘的电阻不计)( )
A．由c到d，I＝eq \f(Br2ω,R) B．由d到c，I＝eq \f(Br2ω,R)
C．由c到d，I＝eq \f(Br2ω,2R) D．由d到c，I＝eq \f(Br2ω,2R)
答案 D
解析 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E＝Br·eq \f(1,2)rω＝eq \f(1,2)Br2ω，由欧姆定律得通过电阻R的电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(\f(1,2)Br2ω,R)＝eq \f(Br2ω,2R)。圆盘相当于电源，由右手定则可知圆盘中的电流方向为由边缘指向圆心，所以通过电阻R的电流方向为由d到c，选项D正确。
法拉第电磁感应定律的三个表达式的比较
课时对点练
考点一 法拉第电磁感应定律的理解和基本应用
1．(多选)关于感应电动势，下列说法正确的是( )
A．穿过回路的磁通量越大，回路中的感应电动势一定越大
B．穿过回路的磁通量变化量与线圈的匝数无关，回路中的感应电动势与线圈的匝数有关
C．穿过回路的磁通量的变化率为零，回路中的感应电动势一定为零
D．某一时刻穿过回路的磁通量为零，回路中的感应电动势一定为零
答案 BC
2.(多选)单匝线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动，穿过线圈的磁通量Φ随时间t变化的图像如图所示，图线为正弦曲线的一部分，则( )
A．在t＝0时刻，线圈中磁通量最大，感应电动势也最大
B．在t＝1×10－2 s时刻，感应电动势最大
C．在t＝2×10－2 s时刻，感应电动势为零
D．在0～2×10－2 s时间内，线圈中感应电动势的平均值为零
答案 BC
解析 由法拉第电磁感应定律知E＝eq \f(ΔΦ,Δt)，故t＝0及t＝2×10－2 s时刻，E＝0，A项错误，C项正确；t＝1×10－2 s时，E最大，B项正确；0～2×10－2 s时间内，ΔΦ≠0，则E≠0，D项错误。
3．如图甲所示，一线圈匝数为100，横截面积为0.01 m2，匀强磁场与线圈轴线成30°角向右穿过线圈。若在2 s时间内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示，则该段时间内线圈两端a、b之间的电势差Uab为( )
A．－eq \r(3) V B．2 V
C.eq \r(3) V D．从0均匀变化到2 V
答案 A
解析 与线圈轴线成30°角向右穿过线圈的磁感应强度均匀增加，故产生恒定的感应电动势，根据法拉第电磁感应定律，有
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)Scs 30°
由题图乙可知eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(6－2,2) Wb/s＝2 Wb/s
代入数据得E＝eq \r(3) V
根据楞次定律知a点的电势低于b点的电势，则Uab＝－eq \r(3) V，故A正确。
考点二 导线切割磁感线时的感应电动势
4.如图所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′。则eq \f(E′,E)等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2)
答案 B
解析 设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L，产生的感应电动势E＝BLv；弯折后，金属棒切割磁感线的有效长度为L′＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(L,2)))2)＝eq \f(\r(2),2)L，故产生的感应电动势E′＝BL′v＝B·eq \f(\r(2),2)Lv＝eq \f(\r(2),2)E，所以eq \f(E′,E)＝eq \f(\r(2),2)，B正确。
5.如图所示，平行导轨间距为d，其左端接一个电阻R，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于平行金属导轨所在平面向上。一根金属棒与导轨成θ角放置，金属棒与导轨的电阻均不计。当金属棒沿垂直于棒的方向以恒定的速度v在导轨上滑行时，通过电阻R的电流大小是( )
A.eq \f(Bdv,R) B.eq \f(Bdvsin θ,R)
C.eq \f(Bdvcs θ,R) D.eq \f(Bdv,Rsin θ)
答案 D
解析 金属棒MN垂直于磁场放置，运动速度v与棒垂直，且v⊥B，即已构成两两相互垂直的关系，MN接入导轨间的有效长度为l＝eq \f(d,sin θ)，所以E＝Blv＝eq \f(Bdv,sin θ)，I＝eq \f(E,R)＝eq \f(Bdv,Rsin θ)，故选项D正确。
6．(多选)(2023·山西省忻州中学高二期末)如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面。回路以速度v 向右匀速进入磁场，直径CD段导线始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是( )
A．感应电流方向不变
B．CD段直导线始终不受安培力
C．感应电动势最大值E＝Bav
D．感应电动势平均值eq \x\t(E)＝πBav
答案 AC
解析 闭合回路进入磁场的过程中，穿过闭合回路的磁通量一直在变大，由楞次定律可知，感应电流的方向不变，A正确；从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，穿过闭合回路的磁通量一直在变大，故回路中始终存在感应电流，CD段与磁场方向垂直，所以CD段直导线始终受安培力，B错误；从D点到达边界开始到C点进入磁场的过程可以理解为部分电路切割磁感线的运动，在切割的过程中，切割的有效长度先增大后减小，最大有效长度等于半圆的半径，即最大感应电动势为E＝Bav，C正确；根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势的平均值为eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(B·\f(πa2,2),\f(2a,v))＝eq \f(πBav,4)，D错误。
考点三 转动切割时的感应电动势
7．(2023·河北省石家庄实验中学高二月考)如图所示，半径为L的金属圆环固定，圆环内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，长为L、电阻为r的导体棒OA，一端固定在通过圆环中心的O点，另一端与圆环接触良好。在圆环和O点之间接有阻值为R的电阻，不计金属圆环的电阻。当导体棒以角速度ω绕O点逆时针匀速转动时，下列说法错误的是( )
A．O点的电势高于A点的电势
B．导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为BL2ω
C．OA两点间电势差大小为eq \f(BL2ωR,2R＋r)
D．增大导体棒转动的角速度，电路中的电流增大
答案 B
解析 根据右手定则，导体棒OA中的电流从A流向O，导体棒是电源，电流从低电势流向高电势，即O点的电势高于A点的电势，A正确；导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为eq \f(1,2)BL2ω，B错误；根据U＝eq \f(R,R＋r)E，求得U＝eq \f(BL2ωR,2R＋r)，OA两点间电势差大小为eq \f(BL2ωR,2R＋r)，则增大导体棒转动的角速度，电路中的电流增大，C、D正确。
8．(2022·威海市高二下期末)如图所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，一导体棒ab绕O点在垂直于磁场的平面内匀速转动，角速度为ω，Oa＝ab＝L，导体棒产生的感应电动势大小为( )
A．BL2ω B.eq \f(BL2ω,2)
C.eq \f(3BL2ω,2) D.eq \f(5BL2ω,2)
答案 C
解析 根据题意，由公式v＝ωr可得，导体棒上a点的线速度大小为va＝ωL，导体棒上b点的线速度大小为vb＝ω·2L，则导体棒产生的感应电动势大小为E＝BLeq \x\t(v)＝BLeq \f(va＋vb,2)＝eq \f(3,2)BL2ω，故选C。
9．(2023·洛阳市宜阳县第一中学月考)一接有电压表的矩形线圈abcd在匀强磁场中向右做匀速运动，如图所示，下列说法正确的是( )
A．线圈中有感应电流，有感应电动势
B．线圈中无感应电流，也无感应电动势
C．线圈中无感应电流，有感应电动势
D．线圈中无感应电流，但电压表有示数
答案 C
解析 矩形线圈abcd在匀强磁场中向右做匀速运动，由题图可知线圈的ad边和bc边在切割磁感线，根据法拉第电磁感应定律可得ad边和bc边产生的电动势大小均为E＝BLv，根据右手定则可知ad边和bc边产生的电动势方向相反，故线圈中的感应电流为零，故电压表没有示数，故选C。
10．(2022·陕西咸阳高二期末)如图所示，两块水平放置的金属板距离为d。用导线、开关K与一个n匝的线圈连接，线圈置于方向竖直向下的变化磁场B中，两板间有一个质量为m、电荷量为－q的油滴恰好处于静止状态，重力加速度为g，则线圈中的磁场B的变化情况和磁通量变化率分别是( )
A．正在增加，eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,q)
B．正在增加，eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,nq)
C．正在减弱，eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,q)
D．正在减弱，eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,nq)
答案 D
解析 油滴处于静止状态，重力与静电力平衡，所以静电力向上，又因为油滴带负电，所以上极板带正电，感应电流为顺时针方向(俯视)，根据右手螺旋定则可知，螺线圈内部感应电流产生的磁场的方向是竖直向下的，根据楞次定律的内容可知，原磁场与感应电流的磁场满足“增反减同”的规律，所以原磁场正在减弱；油滴受力平衡，qE＝mg，由匀强电场电势差和电场强度关系得E＝eq \f(U,d)，由法拉第电磁感应定律得U＝neq \f(ΔΦ,Δt)，联立解得eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(mgd,nq)，故选D。
11.如图所示，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动(俯视)时，a、b、c三点的电势分别为φa、φb、φc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是( )
A．φa＞φc，金属框中无电流
B．φb＞φc，金属框中电流方向沿abca
C．Ubc＝－eq \f(1,2)Bl2ω，金属框中无电流
D．Uac＝eq \f(1,2)Bl2ω，金属框中电流方向沿acba
答案 C
解析 金属框abc平面与磁场方向平行，转动过程中穿过金属框的磁通量始终为零，所以无感应电流产生，故B、D错误；转动过程中bc边和ac边均切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则判断φa<φc，φb<φc，故A错误；由eq \x\t(E)＝BLeq \x\t(v)得，Ubc＝－eq \f(1,2)Bl2ω，故C正确。
12.如图所示，匀强磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框，半圆直径与磁场边缘重合，磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里，磁感应强度大小为B0。使该线框从静止开始绕过圆心O、垂直于半圆面的轴以角速度ω匀速转动半周，线框中产生感应电流。现使线框保持图中所示位置静止，磁感应强度随时间线性变化。为了产生与线框转动半周过程中同样大小的电流，磁感应强度随时间的变化率eq \f(ΔB,Δt)的大小应为( )
A.eq \f(4ωB0,π) B.eq \f(2ωB0,π)
C.eq \f(ωB0,π) D.eq \f(ωB0,2π)
答案 C
解析 设半圆的半径为L，导线框的电阻为R，当线框以角速度ω匀速转动时产生的感应电动势E1＝eq \f(1,2)B0ωL2。当线框不动，而磁感应强度随时间变化时E2＝eq \f(1,2)πL2·eq \f(ΔB,Δt)，由eq \f(E1,R)＝eq \f(E2,R)得eq \f(1,2)B0ωL2＝eq \f(1,2)πL2·eq \f(ΔB,Δt)，即eq \f(ΔB,Δt)＝eq \f(ωB0,π)，故C正确。
13.如图所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，AB⊥ON，ON水平，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速向右滑动，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度大小为0.2 T。问：(结果可用根式表示)
(1)第3 s末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？
(2)0～3 s内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？
答案 (1)5eq \r(3) m 5eq \r(3) V
(2)eq \f(15\r(3),2) Wb eq \f(5,2) eq \r(3) V
解析 (1)第3 s末，夹在导轨间导体的长度为：
l＝vt·tan 30°＝5×3×eq \f(\r(3),3) m＝5eq \r(3) m
此时E＝Blv＝0.2×5eq \r(3)×5 V＝5eq \r(3) V。
(2)0～3 s内回路中磁通量的变化量
ΔΦ＝BΔS＝0.2×eq \f(1,2)×15×5eq \r(3) Wb＝eq \f(15\r(3),2) Wb
0～3 s内电路中产生的平均感应电动势为：
eq \x\t(E)＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(\f(15\r(3),2),3) V＝eq \f(5,2) eq \r(3) V。
14．如图所示，将一根包有绝缘层的硬金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状，它通过两个小金属环a、b与长直金属杆导通，图中a、b间距离为L，导线弯曲成的正弦图形顶部和底部到杆的距离均是d。右边虚线范围内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于弯曲导线所在平面的匀强磁场，磁场区域的宽度为eq \f(3L,4)，现导线在外力作用下沿杆以恒定的速度v向右运动，t＝0时刻a环刚从O点进入磁场区域，则下列说法正确的是( )
A．在t＝eq \f(L,2v)时刻，回路中的感应电动势为Bdv
B．在t＝eq \f(3L,4v)时刻，回路中的感应电动势为2Bdv
C．在t＝eq \f(L,4v)时刻，回路中的感应电流第一次改变方向
D．在t＝eq \f(L,2v)时刻，回路中的感应电流第一次改变方向
答案 D
解析 当t＝eq \f(L,2v)时，回路切割磁感线的有效长度为0，故感应电动势为0，故A错误；当t＝eq \f(3L,4v)时，回路切割磁感线的有效长度为d，故感应电动势为Bdv，故B错误；t＝eq \f(L,2v)前电流方向为a→b，t＝eq \f(L,2v)后电流方向为b→a，则当t＝eq \f(L,2v)时，感应电流第一次改变方向，故C错误，D正确。磁通量Φ
磁通量的变化量ΔΦ
磁通量的变化率eq \f(ΔΦ,Δt)
物理意义
某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数
在某一过程中，穿过某个面的磁通量变化的多少
穿过某个面的磁通量变化的快慢
当B、S互相垂直时的大小
Φ＝BS
ΔΦ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Φ2－Φ1,B·ΔS,S·ΔB))
eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(Φ2－Φ1,Δt),B·\f(ΔS,Δt),\f(ΔB,Δt)·S))
相对位置
转轴位置
端点
中点
任意位置
导体棒ab长为l，垂直于匀强磁场(磁感应强度为B)，转动平面也垂直于磁场方向(转动角速度为ω)
Eab＝Bleq \x\t(v)＝Blv中＝eq \f(1,2)Bl2ω
Eab＝0
Eab＝eq \f(1,2)Bl12ω－eq \f(1,2)Bl22ω
情景图
研究对象
回路(不一定闭合)磁场变化或面积变化
一段直导线(或等效成直导线)切割磁感线
绕一端转动的一段导体棒
表达式
E＝neq \f(ΔΦ,Δt)
E＝Blv
E＝eq \f(1,2)Bl2ω
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