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高中第二节 法拉第电磁感应定律学案
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这是一份高中第二节 法拉第电磁感应定律学案，共22页。
3．能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小。
4．能够运用E＝BLv或E＝BLv sin θ计算导体切割磁感线时的感应电动势。
知识点一 影响感应电动势大小的因素
1．猜想依据
感应电流的产生条件：穿过闭合电路的磁通量发生变化。
2．实验方法
通过改变所用条形磁铁的个数，改变螺线管中磁通量的变化量ΔΦ。
通过改变条形磁铁插入或拔出螺线管的快慢，改变螺线管中磁通量变化所用的时间Δt。
3．实验表明：感应电动势的大小跟磁通量变化的快慢，即磁通量的变化率有关，用ΔΦΔt表示。
知识点二 法拉第电磁感应定律
1．内容
电路中感应电动势的大小，与穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
2．公式
E＝nΔΦΔt，n为线圈匝数，ΔΦ是磁通量的变化量。
3．单位
在国际单位制中，ΔΦ的单位是韦伯，Δt的单位是秒，E的单位是伏特。
知识点三 导体棒切割磁感线时的感应电动势
1．磁场方向、导体棒与导体棒的运动方向三者两两相互垂直时，E＝BLv。
2．如图所示，导体棒与磁场方向垂直，导体棒的运动方向与导体棒本身垂直，但与磁场方向夹角为θ时，E＝BLv sin θ。
3．单位关系
1 V＝1 T·1 m·1 m/s。
1．思考判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)穿过某闭合线圈的磁通量的变化量越大，产生的感应电动势就越大。(×)
(2)穿过闭合电路的磁通量变化越快，闭合电路中产生的感应电动势就越大。(√)
(3)感应电动势的方向可用右手定则或楞次定律判断。(√)
(4)穿过闭合回路的磁通量最大时，其感应电动势一定最大。(×)
(5)导体棒在磁场中运动速度越大，产生的感应电动势一定越大。(×)
(6)在匀强磁场中，只要导体棒的运动方向与磁场方向垂直，其电动势即可用E＝BLv求解。(×)
2．如图所示，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为E1；若磁感应强度增大为2B，其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E2。通过电阻R的电流方向及E1与E2之比分别为( )
A．c→a，2∶1 B．a→c，2∶1
C．a→c，1∶2 D．c→a，1∶2
C [由右手定则判断可得，电阻R上的电流方向为a→c，由E＝BLv知E1＝BLv，E2＝2BLv，则E1∶E2＝1∶2，故选项C正确。]
3．下列各图中，相同的条形磁铁穿过相同的线圈时，线圈中产生的感应电动势最大的是( )
A B C D
D [感应电动势的大小为E＝nΔΦΔt＝nΔBSΔt，根据题设条件，相同的磁铁运动速度越大，穿过线圈所用时间越小，磁通量变化率就越大，产生的感应电动势就越大，故A项中线圈产生的感应电动势比B项中线圈产生的感应电动势大，C项线圈中磁通量一直为零，磁通量变化率为零，D项中线圈的磁通量变化率是A项中线圈的两倍，所以D项中线圈产生的感应电动势最大。]
(1)如图所示，在将条形磁铁从同一高度插入线圈的实验中。快速插入和缓慢插入磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
提示：磁通量变化相同，但磁通量变化快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大。
(2)如图所示的装置，由一块安装在列车车头底部的强磁铁和埋设在轨道下面的一组线圈及电学测量仪器组成(记录测量仪器未画出)。当列车经过线圈上方时，由于穿过线圈的磁通量发生变化，线圈中就会产生感应电动势。请思考：
如果已知强磁铁的磁感应强度B、线圈垂直列车运行方向的长度L、感应电动势E，能否测出列车的运行速度呢？
提示：由E＝BLv可以测出列车的运行速度。
对法拉第电磁感应定律的理解和应用
1．Φ、ΔΦ、ΔΦΔt的比较
2．理解公式E＝nΔΦΔt
(1)感应电动势E的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率ΔΦΔt，而与Φ的大小、ΔΦ的大小没有必然的关系，与电路的电阻R无关；感应电流的大小与感应电动势E和回路总电阻R有关。
(2)磁通量的变化率ΔΦΔt，是Φ-t图像上某点切线的斜率，可反映单匝线圈感应电动势的大小和方向。
(3)E＝nΔΦΔt只表示感应电动势的大小，不涉及其正负，计算时ΔΦ应取绝对值。感应电流的方向可以用楞次定律去判定。
(4)由E＝nΔΦΔt可求得平均感应电动势，通过闭合电路欧姆定律可求得电路中的平均电流I＝ER＝nΔΦΔt·R，通过电路中导体横截面的电荷量Q＝IΔt＝nΔΦR。
【典例1】 如图所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆环内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左向右匀速滑动，电路的固定电阻为R。其余电阻忽略不计。试求MN从圆环的左端滑动到右端的过程中电阻R上的电流的平均值及通过的电荷量。
[解析] 由于ΔΦ＝B·ΔS＝B·πr2，完成这一变化所用的时间Δt＝2rv，
故E＝ΔΦΔt＝πBrv2。
所以电阻R上的电流平均值为I＝ER＝πBrv2R。
通过R的电荷量为q＝I·Δt＝πr2BR。
[答案] πBrv2R πr2BR
应用E＝nΔΦΔt时应注意的三个问题
(1)此公式适用于求平均电动势。
(2)计算电动势大小时，ΔΦ取绝对值不涉及正负。
(3)用E＝nΔΦΔt所求的感应电动势为整个闭合电路的感应电动势，而不是回路中某部分导体两端的电动势。
[跟进训练]
1．(2022·陕西咸阳高二期末)如图所示，两块水平放置的金属板距离为d。用导线、开关K与一个n匝的线圈连接，线圈置于方向竖直向下的变化磁场B中，两板间有一个质量为m、电荷量为－q的油滴恰好处于静止状态，重力加速度为g，则线圈中的磁场B的变化情况和磁通量变化率分别是( )
A．正在增加，ΔΦΔt＝mgdq
B．正在增加，ΔΦΔt＝mgdnq
C．正在减弱，ΔΦΔt＝mgdq
D．正在减弱，ΔΦΔt＝mgdnq
D [油滴处于静止状态，重力与电场力平衡，所以电场力向上，又因为油滴带负电，所以上极板带正电，感应电流为顺时针方向，根据右手螺旋定则可知，螺线圈内部感应电流产生的磁场的方向是竖直向下的，根据楞次定律的内容可知，原磁场与感应电流的磁场满足“增反减同”的规律，所以原磁场正在减弱；油滴受力平衡qE＝mg，由匀强电场电势差和场强关系得E＝Ud，由法拉第电磁感应定律得U＝nΔΦΔt，联立解得ΔΦΔt＝mgdnq，故选D。]
考点2 导线切割磁感线时的感应电动势
1．平动切割
(1)计算公式：E＝BLv(B⊥v)。
(2)理解E＝BLv的“四性”。
①正交性：
B、L、v两两垂直时，E＝BLv；
B与v的夹角为θ时，E＝BLv sin θ；
B∥v时，E＝0。
②瞬时对应性：通常用来求导体运动速度为v时的瞬时电动势，若v为平均速度，则E为平均电动势。
③有效性：公式E＝BLv中L的有效长度如图所示，导体切割磁感线的情况应取与B和v垂直的等效直线长度，即等于a、b连线的长度。
④相对性：E＝BLv中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动，应注意速度间的相对关系。
2．公式E＝BLv sin θ与E＝nΔΦΔt的对比
【典例2】 如图所示，MN、PQ为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒ab斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨接触点之间的距离为L，金属棒与导轨间夹角为60°，以速度v水平向右匀速运动，不计导轨和金属棒的电阻，则流过金属棒中的电流为 ( )
A．I＝BLvR B．I＝3BLv2R
C．I＝BLv2R D．I＝3BLv3R
[思路点拨] ①先确定金属棒的有效长度。②由E＝BLv计算电动势的大小。③由I＝ER计算回路中电流的大小。
B [金属棒匀速运动，所以平均感应电动势的大小等于瞬时感应电动势的大小。题中金属棒的有效长度为3L2，故E＝Bv3L2。根据闭合电路欧姆定律得I＝3BLv2R，故B正确。]
在公式E＝BLv中，L是指导体棒的有效切割长度，即导体棒在垂直于速度v方向上的投影长度。
[跟进训练]
2．如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折弯，置于磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′，则E'E等于( )
A．12 B．22 C．1 D．2
B [若直金属棒的长为L，则弯成折线后，有效切割长度为22L。根据E＝BLv可知感应电动势的大小与有效切割长度成正比，故E'E＝22，B正确。]
1．下列几种说法中正确的是( )
A．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
B．线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
C．线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大
D．线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大
D [感应电动势的大小和磁通量的大小、磁通量变化量的大小以及磁场的强弱均无关系，它由磁通量的变化率决定，故选D。]
2．如图所示的情况中，金属导体产生的感应电动势为BLv的是( )
A．乙和丁 B．甲、乙、丁
C．甲、乙、丙、丁 D．只有乙
B [公式E＝BLv中的L指导体的有效切割长度，甲、乙、丁中的有效长度均为L，感应电动势E＝BLv，而丙的有效长度为L sin θ，感应电动势E＝BLv sin θ，故B项正确。]
3．(2022·河北卷)将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为S1，小圆面积均为S2，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小B＝B0＋kt，B0和k均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为( )
A．kS1 B．5kS2
C．k(S1－5S2) D．k(S1＋5S2)
D [由法拉第电磁感应定律可得大圆线圈产生的感应电动势E1＝ΔΦ1Δt＝ΔB·S1Δt＝kS1，每个小圆线圈产生的感应电动势E2＝ΔΦ2Δt＝ΔB·S2Δt＝kS2，由线圈的绕线方式和楞次定律可得大、小圆线圈产生的感应电动势方向相同，故线圈中总的感应电动势大小为E＝E1＋5E2＝k(S1＋5S2)。故D正确，A、B、C错误。]
4．面积S＝0.2 m2、n＝100匝的圆形线圈，处在如图所示的磁场内，磁感应强度随时间t变化的规律是B＝0.02t(T)，电阻R＝3 Ω，电容器的电容C＝30 μF，线圈电阻r＝1 Ω，求：
(1)通过R的电流方向和4 s内通过导线横截面的电荷量；
(2)电容器的电荷量。
[解析] (1)由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R的电流方向为b→a。
由法拉第电磁感应定律可得E＝nΔΦΔt＝nSΔBΔt＝100×0.2×0.02 V＝0.4 V，
由闭合电路欧姆定律得电路中的电流I＝ER+r＝0.43+1 A＝0.1 A，
4 s内通过导线横截面的电荷量q＝It＝0.4 C。
(2)UC＝UR＝IR＝0.1×3 V＝0.3 V，
Q＝CUC＝30×10-6×0.3 C＝9×10-6 C。
[答案] (1)方向由b→a 0.4 C (2)9×10-6 C
回归本节内容，自我完成以下问题：
1．电磁感应现象中，产生感应电动势的条件及影响感应电动势大小的因素分别是什么？
提示：(1)不管电路是否闭合，只要穿过电路的磁通量发生变化，电路中就会产生感应电动势。
(2)感应电动势的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率和线圈匝数，而与磁通量、磁通量变化的大小没有必然联系，与电路中的电阻无关。
2．导体棒运动速度越大，产生的感应电动势越大吗？
提示：导体棒切割磁感线时，当导体棒的运动方向与导体棒本身垂直时，产生的感应电动势的大小与垂直磁感线方向的速度大小有关。速度大，垂直磁感线方向的速度不一定大，所以，导体棒运动速度越大，产生的感应电动势不一定越大。
法拉第圆盘发电机
法拉第发现了电磁感应现象之后不久，他又利用电磁感应发明了世界上第一台发电机——法拉第圆盘发电机，如图甲所示。这台发电机的构造跟现代的发电机不同，在磁场中转动的不是线圈，而是一个紫铜做的圆盘。圆心处固定一个摇柄，圆盘的边缘和圆心处各与一个黄铜电刷紧贴，用导线把电刷与电流表连接起来，紫铜圆盘放置在蹄形磁铁的磁场中。当法拉第转动摇柄，使紫铜圆盘旋转起来时，电流表的指针偏向一边，这说明电路中产生了持续的电流。
法拉第圆盘发电机是怎样产生电流的呢？我们可以把圆盘看作是由无数根长度等于半径的紫铜辐条组成的，在转动圆盘时，每根辐条都做切割磁感线的运动。辐条和外电路中的电流表恰好构成闭合电路，电路中便有电流产生了。随着圆盘的不断旋转，总有某根辐条到达切割磁感线的位置，因此外电路中便有了持续不断的电流。
法拉第圆盘发电机虽然简单，有人说它像一只简陋可笑的儿童玩具，产生的电流甚至不能让一只小灯泡发光。但这是世界上第一台发电机，是它首先向人类揭开了机械能转化为电能的序幕。后来，人们在此基础上，将蹄形永久磁铁改为能产生强大磁场的电磁铁，用多股导线绕制的线框代替紫铜圆盘，电刷也进行了改进，就制成了功率较大的可供使用的发电机。
如图乙所示，把该金属圆盘看成由无数条半径组成，圆盘滚动时，相当于每条半径(如OA、OB、OC)都绕圆心O转动而切割磁感线。根据右手定则可以判断，A、B、C等在磁场中金属半圆边线上的各点电势较高，而圆心O的电势较低。因此，圆心处将积累大量的负电荷，而在磁场中的半圆边线上将积累有正电荷。金属圆盘一旦继续转动，部分在磁场中的金属边线必将跑至磁场外，而由于惯性，在该部分金属边线上仍旧带有正电荷，此时，圆心O处还是低电势，所以这些负电荷将沿半径方向流往边线而形成电流。
转动圆盘时，电流是怎么产生的？如乙图若圆盘带负电，电流方向怎样？
提示：每根辐条都做切割磁感线的运动。将沿半径方向流往边线而形成电流。
课时分层作业(五) 法拉第电磁感应定律
题组一 感应电动势的理解
1．关于感应电动势，下列说法中正确的是( )
A．电源电动势就是感应电动势
B．产生感应电动势的那部分导体相当于电源
C．在电磁感应现象中没有感应电流就一定没有感应电动势
D．电路中有电流就一定有感应电动势
B [电源电动势的来源很多，不一定是由于电磁感应产生的，所以A错误；在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，即使没有感应电流，也可以有感应电动势，B正确，C错误；电路中的电流可能是由化学电池或其他电池作为电源提供的，所以有电流不一定有感应电动势，D错误。]
2．将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是( )
A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
C [由法拉第电磁感应定律E＝nΔΦΔt知，感应电动势的大小与线圈匝数有关，选项A错误；感应电动势正比于ΔΦΔt，与磁通量的大小无直接关系，选项B错误，C正确；根据楞次定律知，感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，即“增反减同”，选项D错误。]
题组二 法拉第电磁感应定律的应用
3．面积为0.4 m2的5匝圆形线圈垂直磁场方向放置在匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝2＋0.5t(T)，则( )
A．线圈有扩张的趋势
B．线圈中磁通量的变化率为1 Wb/s
C．线圈中的感应电动势为1 V
D．t＝4 s时，线圈中的感应电动势为8 V
C [根据楞次定律知感应电流的磁场阻碍原磁通量的变化，由磁通量增大知线圈有收缩的趋势，故A错误；线圈在匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝2＋0.5t(T)，所以穿过线圈的磁通量变化率是ΔΦΔt＝ΔBΔtS＝0.5×0.4 Wb/s＝0.2 Wb/s，故B错误；线圈中感应电动势大小恒为E＝NΔBΔtS＝5×0.2 V＝1 V，故C正确，D错误。]
4．如图所示，半径为r的n匝线圈套在边长为L的正方形abcd之外，匀强磁场局限在正方形区域内且垂直穿过正方形，当磁感应强度以ΔBΔt的变化率均匀变化时，线圈中产生的感应电动势的大小为( )
A．πr2ΔBΔt B．L2ΔBΔt
C．nπr2ΔBΔt D．nL2ΔBΔt
D [根据法拉第电磁感应定律，线圈中产生的感应电动势的大小E＝nΔΦΔt＝nL2ΔBΔt。]
5．(多选)一个面积恒为S＝0.04 m2，匝数n＝100匝的线圈垂直放入匀强磁场中，已知磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示，则下列说法正确的是( )
A．在0～2 s内，穿过线圈的磁通量的变化率等于0.08 Wb/s
B．在0～2 s内，穿过线圈的磁通量的变化率等于0
C．在0～2 s内，线圈中产生的感应电动势等于8 V
D．在第3 s末线圈中产生的电动势为0
AC [0～2 s内，ΔΦΔt＝ΔBΔtS＝2--22×0.04 Wb/s＝0.08 Wb/s，A正确，B错误；E＝nΔΦΔt＝100×0.08 V＝8 V，C正确；第3 s末，尽管B＝0，但ΔΦΔt≠0，故E≠0，D错误。]
6．(2022·山东烟台高二期末)如图所示，同种材料、横截面积相同的圆形线圈A、B、C位于同一平面内，圆心均处于O处，半径之比为1∶2∶3，有一垂直线圈平面向里的圆形匀强磁场，圆心为O，磁场有明显的圆形边界，半径和线圈B的半径相同，磁感应强度B均匀增大，下列说法正确的是( )
A．线圈A、B、C产生顺时针方向的感应电流
B．线圈A、B、C产生感应电动势大小之比为1∶4∶9
C．线圈A、B、C产生感应电流大小之比为1∶2∶3
D．线圈A有收缩的趋势
D [根据楞次定律可知，线圈A、B、C均产生逆时针方向的感应电流，A错误；根据法拉第电磁感应定律E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtS，由于磁场的半径与线圈B的半径重合，因此EA∶EB∶EC＝πrA2:πrB2:πrB2＝1∶4∶4，B错误；根据R＝ρlS'，可知线圈A、B、C的电阻之比RA∶RB∶RC＝rA∶rB∶rC＝1∶2∶3，因此线圈A、B、C产生感应电流大小之比IA∶IB∶IC＝EARA∶EBRB∶ECRC＝1∶2∶43，C错误；由于“增缩减扩”可知线圈A有收缩的趋势，D正确。]
题组三 “切割类”感应电动势的计算
7．(多选)(2022·辽宁鞍山市鞍钢高级中学高二阶段练习)如图所示，半径为R的半圆形硬导体AB，在拉力F的作用下、以速度v在水平U形框架上匀速滑动，且彼此接触良好。匀强磁场的磁感应强度为B，U形框架中接有电阻R0，AB的电阻为r，其余电阻不计。则AB进入磁场的过程中( )
A．R0中电流的方向由上到下
B．感应电动势的平均值为πBRv
C．感应电动势的最大值为2BRv
D．感应电动势的最大值为πBRv
AC [根据法拉第电磁感应定律，AB导体相当于电源，上端为电源正极，故R0中电流自上而下，故A正确；平均电动势有E＝ΔΦΔt＝BΔSΔt＝BπR22Rv＝12πBRv，故B错误；根据感应电动势E＝Blv，感应电动势最大值应在有效长度l最大时，根据题意有lmax＝2R，Emax＝Blmaxv＝2BRv，故C正确，D错误。]
8．如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设运动的整个过程中棒的取向不变且不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将( )
A．越来越大 B．越来越小
C．保持不变 D．无法确定
C [E＝BLv sin θ＝BLvx；ab做平抛运动，水平速度保持不变，感应电动势保持不变。]
9．如图所示，水平放置的两平行金属导轨相距L＝0.50 m，左端接一电阻R＝0.20 Ω，磁感应强度B＝0.40 T的匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，导体棒ac(长为L)垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。当ac棒以v＝4.0 m/s的速度水平向右匀速滑动时，求：
(1)ac棒中感应电动势的大小；
(2)回路中感应电流的大小；
(3)维持ac棒做匀速运动的水平外力的大小。
[解析] (1)ac棒垂直切割磁感线，产生的感应电动势的大小为E＝BLv＝0.40×0.50×4.0 V＝0.80 V。
(2)回路中感应电流的大小为I＝ER＝ A＝4.0 A。
(3)ac棒受到的安培力大小为F安＝BIL＝0.40×4.0×0.50 N＝0.80 N，由左手定则知，安培力方向向左。
由于导体棒匀速运动，水平方向受力平衡，则F外＝F安＝0.80 N，方向水平向右。
[答案] (1)0.80 V (2)4.0 A (3)0.80 N
10．(2022·全国甲卷)三个用同样的不同长度的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则( )
A．I1I3>I2
C．I1＝I2>I3 D．I1＝I2＝I3
C [设圆线框的半径为r，则由题意可知正方形线框的边长为2r，正六边形线框的边长为r；所以圆线框的周长为C2＝2πr，面积为S2＝πr2，同理可知正方形线框的周长和面积分别为C1＝8r，S1＝4r2，正六边形线框的周长和面积分别为C3＝6r，S3＝12×6×r×32r＝33r22，三线框材料粗细相同，根据电阻定律R＝ρlS横截面，可知三个线框电阻之比为R1∶R2∶R3＝C1∶C2∶C3＝8∶2π∶6，根据法拉第电磁感应定律有I＝ER＝ΔBΔt·SR，可得电流之比为：I1∶I2∶I3＝2∶2∶3，即I1＝I2>I3，故选C。]
11．(多选)如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面，回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是( )
A．感应电流大小不变
B．CD段直导线始终不受安培力
C．感应电动势最大值Emax＝Bav
D．感应电动势平均值E＝14πBav
CD [在半圆形闭合回路进入磁场的过程中磁通量不断增加，始终存在感应电流，由左手定则可知CD边始终受到安培力作用，选项B错误；有效切割长度如图所示，所以进入过程中L先逐渐增大到a，然后再逐渐减小为0，由E＝BLv，可知最大值Emax＝Bav，最小值为0，故选项A错误，C正确；平均感应电动势为E＝ΔΦΔt＝12B·πa22av＝14πBav，选项D正确。]
12．(2022·全国乙卷)如图所示，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l＝0.40 m的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面向外的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为λ＝5.0×10-3 Ω/m；在t＝0到t＝3.0 s时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为B(t)＝0.3－0.1t(SI)。求
(1)t＝2.0 s时金属框所受安培力的大小；
(2)在t＝0到t＝2.0 s时间内金属框产生的焦耳热。
[解析] (1)安培力F＝BIL
t＝2.0 s时，B＝(0.3－0.1t)T＝0.1 T
又I＝ER，R＝4lλ
E＝ΔΦΔt＝SΔBΔt＝l22·ΔBΔt
L为等效长度，大小等于正方形对角线的长度L＝2l
联立得F＝225 N。
(2)0～2.0 s时间内金属框产生的焦耳热Q＝E2Rt
解得Q＝1.6×10-2 J。
[答案] (1)225 N (2)1.6×10-2 J
13．如图所示，设匀强磁场的磁感应强度B为0.10 T，切割磁感线的导线的长度L为40 cm，线框向左匀速运动的速度v为5.0 m/s，整个线框的电阻R为0.50 Ω，试求：
(1)感应电动势的大小；
(2)感应电流的大小；
(3)使线框向左匀速运动所需要的外力大小。
[解析] (1)依据E＝BLv可解得
E＝BLv＝0.10×40×10-2×5.0 V＝0.20 V。
(2)依据闭合电路欧姆定律可得
I＝ER＝ A＝0.40 A。
(3)依据安培力公式可求得
F＝BIL＝0.10×0.40×40×10-2 N＝1.6×10-2 N
依据平衡条件得使线框向左匀速运动所需要的外力大小为1.6×10-2 N。
[答案] (1)0.20 V (2)0.40 A (3)1.6×10-2 N
物理量
单位
物理意义
计算公式
磁通量Φ
Wb
表示某时刻或某位置时穿过某一面积的磁感线条数的多少
Φ＝B·S⊥
磁通量的变化量ΔΦ
Wb
表示在某一过程中穿过某一面积的磁通量变化的多少
ΔΦ＝Φ2－Φ1
磁通量
的变化率ΔΦΔt
Wb/s
表示穿过某一面积的磁通量变化的快慢
ΔΦΔt＝B·ΔSΔtΔBΔt·S
比较项目
E＝nΔΦΔt
E＝BLv sin θ
区
别
研究对象
整个闭合回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
适用范围
各种电磁感应现象
只适用于导体切割磁感线运动的情况
计算结果
Δt内的平均感应电动势
某一时刻的瞬时感应电动势
联系
E＝BLv sin θ是由E＝nΔΦΔt在一定条件下推导出来的，该公式可看作法拉第电磁感应定律的一个推论
3．能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小。
4．能够运用E＝BLv或E＝BLv sin θ计算导体切割磁感线时的感应电动势。
知识点一 影响感应电动势大小的因素
1．猜想依据
感应电流的产生条件：穿过闭合电路的磁通量发生变化。
2．实验方法
通过改变所用条形磁铁的个数，改变螺线管中磁通量的变化量ΔΦ。
通过改变条形磁铁插入或拔出螺线管的快慢，改变螺线管中磁通量变化所用的时间Δt。
3．实验表明：感应电动势的大小跟磁通量变化的快慢，即磁通量的变化率有关，用ΔΦΔt表示。
知识点二 法拉第电磁感应定律
1．内容
电路中感应电动势的大小，与穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
2．公式
E＝nΔΦΔt，n为线圈匝数，ΔΦ是磁通量的变化量。
3．单位
在国际单位制中，ΔΦ的单位是韦伯，Δt的单位是秒，E的单位是伏特。
知识点三 导体棒切割磁感线时的感应电动势
1．磁场方向、导体棒与导体棒的运动方向三者两两相互垂直时，E＝BLv。
2．如图所示，导体棒与磁场方向垂直，导体棒的运动方向与导体棒本身垂直，但与磁场方向夹角为θ时，E＝BLv sin θ。
3．单位关系
1 V＝1 T·1 m·1 m/s。
1．思考判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)穿过某闭合线圈的磁通量的变化量越大，产生的感应电动势就越大。(×)
(2)穿过闭合电路的磁通量变化越快，闭合电路中产生的感应电动势就越大。(√)
(3)感应电动势的方向可用右手定则或楞次定律判断。(√)
(4)穿过闭合回路的磁通量最大时，其感应电动势一定最大。(×)
(5)导体棒在磁场中运动速度越大，产生的感应电动势一定越大。(×)
(6)在匀强磁场中，只要导体棒的运动方向与磁场方向垂直，其电动势即可用E＝BLv求解。(×)
2．如图所示，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为E1；若磁感应强度增大为2B，其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E2。通过电阻R的电流方向及E1与E2之比分别为( )
A．c→a，2∶1 B．a→c，2∶1
C．a→c，1∶2 D．c→a，1∶2
C [由右手定则判断可得，电阻R上的电流方向为a→c，由E＝BLv知E1＝BLv，E2＝2BLv，则E1∶E2＝1∶2，故选项C正确。]
3．下列各图中，相同的条形磁铁穿过相同的线圈时，线圈中产生的感应电动势最大的是( )
A B C D
D [感应电动势的大小为E＝nΔΦΔt＝nΔBSΔt，根据题设条件，相同的磁铁运动速度越大，穿过线圈所用时间越小，磁通量变化率就越大，产生的感应电动势就越大，故A项中线圈产生的感应电动势比B项中线圈产生的感应电动势大，C项线圈中磁通量一直为零，磁通量变化率为零，D项中线圈的磁通量变化率是A项中线圈的两倍，所以D项中线圈产生的感应电动势最大。]
(1)如图所示，在将条形磁铁从同一高度插入线圈的实验中。快速插入和缓慢插入磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？
提示：磁通量变化相同，但磁通量变化快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大。
(2)如图所示的装置，由一块安装在列车车头底部的强磁铁和埋设在轨道下面的一组线圈及电学测量仪器组成(记录测量仪器未画出)。当列车经过线圈上方时，由于穿过线圈的磁通量发生变化，线圈中就会产生感应电动势。请思考：
如果已知强磁铁的磁感应强度B、线圈垂直列车运行方向的长度L、感应电动势E，能否测出列车的运行速度呢？
提示：由E＝BLv可以测出列车的运行速度。
对法拉第电磁感应定律的理解和应用
1．Φ、ΔΦ、ΔΦΔt的比较
2．理解公式E＝nΔΦΔt
(1)感应电动势E的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率ΔΦΔt，而与Φ的大小、ΔΦ的大小没有必然的关系，与电路的电阻R无关；感应电流的大小与感应电动势E和回路总电阻R有关。
(2)磁通量的变化率ΔΦΔt，是Φ-t图像上某点切线的斜率，可反映单匝线圈感应电动势的大小和方向。
(3)E＝nΔΦΔt只表示感应电动势的大小，不涉及其正负，计算时ΔΦ应取绝对值。感应电流的方向可以用楞次定律去判定。
(4)由E＝nΔΦΔt可求得平均感应电动势，通过闭合电路欧姆定律可求得电路中的平均电流I＝ER＝nΔΦΔt·R，通过电路中导体横截面的电荷量Q＝IΔt＝nΔΦR。
【典例1】 如图所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆环内有垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左向右匀速滑动，电路的固定电阻为R。其余电阻忽略不计。试求MN从圆环的左端滑动到右端的过程中电阻R上的电流的平均值及通过的电荷量。
[解析] 由于ΔΦ＝B·ΔS＝B·πr2，完成这一变化所用的时间Δt＝2rv，
故E＝ΔΦΔt＝πBrv2。
所以电阻R上的电流平均值为I＝ER＝πBrv2R。
通过R的电荷量为q＝I·Δt＝πr2BR。
[答案] πBrv2R πr2BR
应用E＝nΔΦΔt时应注意的三个问题
(1)此公式适用于求平均电动势。
(2)计算电动势大小时，ΔΦ取绝对值不涉及正负。
(3)用E＝nΔΦΔt所求的感应电动势为整个闭合电路的感应电动势，而不是回路中某部分导体两端的电动势。
[跟进训练]
1．(2022·陕西咸阳高二期末)如图所示，两块水平放置的金属板距离为d。用导线、开关K与一个n匝的线圈连接，线圈置于方向竖直向下的变化磁场B中，两板间有一个质量为m、电荷量为－q的油滴恰好处于静止状态，重力加速度为g，则线圈中的磁场B的变化情况和磁通量变化率分别是( )
A．正在增加，ΔΦΔt＝mgdq
B．正在增加，ΔΦΔt＝mgdnq
C．正在减弱，ΔΦΔt＝mgdq
D．正在减弱，ΔΦΔt＝mgdnq
D [油滴处于静止状态，重力与电场力平衡，所以电场力向上，又因为油滴带负电，所以上极板带正电，感应电流为顺时针方向，根据右手螺旋定则可知，螺线圈内部感应电流产生的磁场的方向是竖直向下的，根据楞次定律的内容可知，原磁场与感应电流的磁场满足“增反减同”的规律，所以原磁场正在减弱；油滴受力平衡qE＝mg，由匀强电场电势差和场强关系得E＝Ud，由法拉第电磁感应定律得U＝nΔΦΔt，联立解得ΔΦΔt＝mgdnq，故选D。]
考点2 导线切割磁感线时的感应电动势
1．平动切割
(1)计算公式：E＝BLv(B⊥v)。
(2)理解E＝BLv的“四性”。
①正交性：
B、L、v两两垂直时，E＝BLv；
B与v的夹角为θ时，E＝BLv sin θ；
B∥v时，E＝0。
②瞬时对应性：通常用来求导体运动速度为v时的瞬时电动势，若v为平均速度，则E为平均电动势。
③有效性：公式E＝BLv中L的有效长度如图所示，导体切割磁感线的情况应取与B和v垂直的等效直线长度，即等于a、b连线的长度。
④相对性：E＝BLv中的速度v是相对于磁场的速度，若磁场也运动，应注意速度间的相对关系。
2．公式E＝BLv sin θ与E＝nΔΦΔt的对比
【典例2】 如图所示，MN、PQ为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒ab斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨接触点之间的距离为L，金属棒与导轨间夹角为60°，以速度v水平向右匀速运动，不计导轨和金属棒的电阻，则流过金属棒中的电流为 ( )
A．I＝BLvR B．I＝3BLv2R
C．I＝BLv2R D．I＝3BLv3R
[思路点拨] ①先确定金属棒的有效长度。②由E＝BLv计算电动势的大小。③由I＝ER计算回路中电流的大小。
B [金属棒匀速运动，所以平均感应电动势的大小等于瞬时感应电动势的大小。题中金属棒的有效长度为3L2，故E＝Bv3L2。根据闭合电路欧姆定律得I＝3BLv2R，故B正确。]
在公式E＝BLv中，L是指导体棒的有效切割长度，即导体棒在垂直于速度v方向上的投影长度。
[跟进训练]
2．如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折弯，置于磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′，则E'E等于( )
A．12 B．22 C．1 D．2
B [若直金属棒的长为L，则弯成折线后，有效切割长度为22L。根据E＝BLv可知感应电动势的大小与有效切割长度成正比，故E'E＝22，B正确。]
1．下列几种说法中正确的是( )
A．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
B．线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大
C．线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大
D．线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大
D [感应电动势的大小和磁通量的大小、磁通量变化量的大小以及磁场的强弱均无关系，它由磁通量的变化率决定，故选D。]
2．如图所示的情况中，金属导体产生的感应电动势为BLv的是( )
A．乙和丁 B．甲、乙、丁
C．甲、乙、丙、丁 D．只有乙
B [公式E＝BLv中的L指导体的有效切割长度，甲、乙、丁中的有效长度均为L，感应电动势E＝BLv，而丙的有效长度为L sin θ，感应电动势E＝BLv sin θ，故B项正确。]
3．(2022·河北卷)将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为S1，小圆面积均为S2，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小B＝B0＋kt，B0和k均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为( )
A．kS1 B．5kS2
C．k(S1－5S2) D．k(S1＋5S2)
D [由法拉第电磁感应定律可得大圆线圈产生的感应电动势E1＝ΔΦ1Δt＝ΔB·S1Δt＝kS1，每个小圆线圈产生的感应电动势E2＝ΔΦ2Δt＝ΔB·S2Δt＝kS2，由线圈的绕线方式和楞次定律可得大、小圆线圈产生的感应电动势方向相同，故线圈中总的感应电动势大小为E＝E1＋5E2＝k(S1＋5S2)。故D正确，A、B、C错误。]
4．面积S＝0.2 m2、n＝100匝的圆形线圈，处在如图所示的磁场内，磁感应强度随时间t变化的规律是B＝0.02t(T)，电阻R＝3 Ω，电容器的电容C＝30 μF，线圈电阻r＝1 Ω，求：
(1)通过R的电流方向和4 s内通过导线横截面的电荷量；
(2)电容器的电荷量。
[解析] (1)由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R的电流方向为b→a。
由法拉第电磁感应定律可得E＝nΔΦΔt＝nSΔBΔt＝100×0.2×0.02 V＝0.4 V，
由闭合电路欧姆定律得电路中的电流I＝ER+r＝0.43+1 A＝0.1 A，
4 s内通过导线横截面的电荷量q＝It＝0.4 C。
(2)UC＝UR＝IR＝0.1×3 V＝0.3 V，
Q＝CUC＝30×10-6×0.3 C＝9×10-6 C。
[答案] (1)方向由b→a 0.4 C (2)9×10-6 C
回归本节内容，自我完成以下问题：
1．电磁感应现象中，产生感应电动势的条件及影响感应电动势大小的因素分别是什么？
提示：(1)不管电路是否闭合，只要穿过电路的磁通量发生变化，电路中就会产生感应电动势。
(2)感应电动势的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率和线圈匝数，而与磁通量、磁通量变化的大小没有必然联系，与电路中的电阻无关。
2．导体棒运动速度越大，产生的感应电动势越大吗？
提示：导体棒切割磁感线时，当导体棒的运动方向与导体棒本身垂直时，产生的感应电动势的大小与垂直磁感线方向的速度大小有关。速度大，垂直磁感线方向的速度不一定大，所以，导体棒运动速度越大，产生的感应电动势不一定越大。
法拉第圆盘发电机
法拉第发现了电磁感应现象之后不久，他又利用电磁感应发明了世界上第一台发电机——法拉第圆盘发电机，如图甲所示。这台发电机的构造跟现代的发电机不同，在磁场中转动的不是线圈，而是一个紫铜做的圆盘。圆心处固定一个摇柄，圆盘的边缘和圆心处各与一个黄铜电刷紧贴，用导线把电刷与电流表连接起来，紫铜圆盘放置在蹄形磁铁的磁场中。当法拉第转动摇柄，使紫铜圆盘旋转起来时，电流表的指针偏向一边，这说明电路中产生了持续的电流。
法拉第圆盘发电机是怎样产生电流的呢？我们可以把圆盘看作是由无数根长度等于半径的紫铜辐条组成的，在转动圆盘时，每根辐条都做切割磁感线的运动。辐条和外电路中的电流表恰好构成闭合电路，电路中便有电流产生了。随着圆盘的不断旋转，总有某根辐条到达切割磁感线的位置，因此外电路中便有了持续不断的电流。
法拉第圆盘发电机虽然简单，有人说它像一只简陋可笑的儿童玩具，产生的电流甚至不能让一只小灯泡发光。但这是世界上第一台发电机，是它首先向人类揭开了机械能转化为电能的序幕。后来，人们在此基础上，将蹄形永久磁铁改为能产生强大磁场的电磁铁，用多股导线绕制的线框代替紫铜圆盘，电刷也进行了改进，就制成了功率较大的可供使用的发电机。
如图乙所示，把该金属圆盘看成由无数条半径组成，圆盘滚动时，相当于每条半径(如OA、OB、OC)都绕圆心O转动而切割磁感线。根据右手定则可以判断，A、B、C等在磁场中金属半圆边线上的各点电势较高，而圆心O的电势较低。因此，圆心处将积累大量的负电荷，而在磁场中的半圆边线上将积累有正电荷。金属圆盘一旦继续转动，部分在磁场中的金属边线必将跑至磁场外，而由于惯性，在该部分金属边线上仍旧带有正电荷，此时，圆心O处还是低电势，所以这些负电荷将沿半径方向流往边线而形成电流。
转动圆盘时，电流是怎么产生的？如乙图若圆盘带负电，电流方向怎样？
提示：每根辐条都做切割磁感线的运动。将沿半径方向流往边线而形成电流。
课时分层作业(五) 法拉第电磁感应定律
题组一 感应电动势的理解
1．关于感应电动势，下列说法中正确的是( )
A．电源电动势就是感应电动势
B．产生感应电动势的那部分导体相当于电源
C．在电磁感应现象中没有感应电流就一定没有感应电动势
D．电路中有电流就一定有感应电动势
B [电源电动势的来源很多，不一定是由于电磁感应产生的，所以A错误；在电磁感应现象中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源，即使没有感应电流，也可以有感应电动势，B正确，C错误；电路中的电流可能是由化学电池或其他电池作为电源提供的，所以有电流不一定有感应电动势，D错误。]
2．将闭合多匝线圈置于仅随时间变化的磁场中，关于线圈中产生的感应电动势和感应电流，下列表述正确的是( )
A．感应电动势的大小与线圈的匝数无关
B．穿过线圈的磁通量越大，感应电动势越大
C．穿过线圈的磁通量变化越快，感应电动势越大
D．感应电流产生的磁场方向与原磁场方向始终相同
C [由法拉第电磁感应定律E＝nΔΦΔt知，感应电动势的大小与线圈匝数有关，选项A错误；感应电动势正比于ΔΦΔt，与磁通量的大小无直接关系，选项B错误，C正确；根据楞次定律知，感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，即“增反减同”，选项D错误。]
题组二 法拉第电磁感应定律的应用
3．面积为0.4 m2的5匝圆形线圈垂直磁场方向放置在匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝2＋0.5t(T)，则( )
A．线圈有扩张的趋势
B．线圈中磁通量的变化率为1 Wb/s
C．线圈中的感应电动势为1 V
D．t＝4 s时，线圈中的感应电动势为8 V
C [根据楞次定律知感应电流的磁场阻碍原磁通量的变化，由磁通量增大知线圈有收缩的趋势，故A错误；线圈在匀强磁场中，磁场的磁感应强度B＝2＋0.5t(T)，所以穿过线圈的磁通量变化率是ΔΦΔt＝ΔBΔtS＝0.5×0.4 Wb/s＝0.2 Wb/s，故B错误；线圈中感应电动势大小恒为E＝NΔBΔtS＝5×0.2 V＝1 V，故C正确，D错误。]
4．如图所示，半径为r的n匝线圈套在边长为L的正方形abcd之外，匀强磁场局限在正方形区域内且垂直穿过正方形，当磁感应强度以ΔBΔt的变化率均匀变化时，线圈中产生的感应电动势的大小为( )
A．πr2ΔBΔt B．L2ΔBΔt
C．nπr2ΔBΔt D．nL2ΔBΔt
D [根据法拉第电磁感应定律，线圈中产生的感应电动势的大小E＝nΔΦΔt＝nL2ΔBΔt。]
5．(多选)一个面积恒为S＝0.04 m2，匝数n＝100匝的线圈垂直放入匀强磁场中，已知磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示，则下列说法正确的是( )
A．在0～2 s内，穿过线圈的磁通量的变化率等于0.08 Wb/s
B．在0～2 s内，穿过线圈的磁通量的变化率等于0
C．在0～2 s内，线圈中产生的感应电动势等于8 V
D．在第3 s末线圈中产生的电动势为0
AC [0～2 s内，ΔΦΔt＝ΔBΔtS＝2--22×0.04 Wb/s＝0.08 Wb/s，A正确，B错误；E＝nΔΦΔt＝100×0.08 V＝8 V，C正确；第3 s末，尽管B＝0，但ΔΦΔt≠0，故E≠0，D错误。]
6．(2022·山东烟台高二期末)如图所示，同种材料、横截面积相同的圆形线圈A、B、C位于同一平面内，圆心均处于O处，半径之比为1∶2∶3，有一垂直线圈平面向里的圆形匀强磁场，圆心为O，磁场有明显的圆形边界，半径和线圈B的半径相同，磁感应强度B均匀增大，下列说法正确的是( )
A．线圈A、B、C产生顺时针方向的感应电流
B．线圈A、B、C产生感应电动势大小之比为1∶4∶9
C．线圈A、B、C产生感应电流大小之比为1∶2∶3
D．线圈A有收缩的趋势
D [根据楞次定律可知，线圈A、B、C均产生逆时针方向的感应电流，A错误；根据法拉第电磁感应定律E＝ΔΦΔt＝ΔBΔtS，由于磁场的半径与线圈B的半径重合，因此EA∶EB∶EC＝πrA2:πrB2:πrB2＝1∶4∶4，B错误；根据R＝ρlS'，可知线圈A、B、C的电阻之比RA∶RB∶RC＝rA∶rB∶rC＝1∶2∶3，因此线圈A、B、C产生感应电流大小之比IA∶IB∶IC＝EARA∶EBRB∶ECRC＝1∶2∶43，C错误；由于“增缩减扩”可知线圈A有收缩的趋势，D正确。]
题组三 “切割类”感应电动势的计算
7．(多选)(2022·辽宁鞍山市鞍钢高级中学高二阶段练习)如图所示，半径为R的半圆形硬导体AB，在拉力F的作用下、以速度v在水平U形框架上匀速滑动，且彼此接触良好。匀强磁场的磁感应强度为B，U形框架中接有电阻R0，AB的电阻为r，其余电阻不计。则AB进入磁场的过程中( )
A．R0中电流的方向由上到下
B．感应电动势的平均值为πBRv
C．感应电动势的最大值为2BRv
D．感应电动势的最大值为πBRv
AC [根据法拉第电磁感应定律，AB导体相当于电源，上端为电源正极，故R0中电流自上而下，故A正确；平均电动势有E＝ΔΦΔt＝BΔSΔt＝BπR22Rv＝12πBRv，故B错误；根据感应电动势E＝Blv，感应电动势最大值应在有效长度l最大时，根据题意有lmax＝2R，Emax＝Blmaxv＝2BRv，故C正确，D错误。]
8．如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，将一个水平放置的金属棒ab以水平初速度v0抛出，设运动的整个过程中棒的取向不变且不计空气阻力，则金属棒在运动过程中产生的感应电动势大小将( )
A．越来越大 B．越来越小
C．保持不变 D．无法确定
C [E＝BLv sin θ＝BLvx；ab做平抛运动，水平速度保持不变，感应电动势保持不变。]
9．如图所示，水平放置的两平行金属导轨相距L＝0.50 m，左端接一电阻R＝0.20 Ω，磁感应强度B＝0.40 T的匀强磁场方向垂直于导轨平面向下，导体棒ac(长为L)垂直放在导轨上，并能无摩擦地沿导轨滑动，导轨和导体棒的电阻均可忽略不计。当ac棒以v＝4.0 m/s的速度水平向右匀速滑动时，求：
(1)ac棒中感应电动势的大小；
(2)回路中感应电流的大小；
(3)维持ac棒做匀速运动的水平外力的大小。
[解析] (1)ac棒垂直切割磁感线，产生的感应电动势的大小为E＝BLv＝0.40×0.50×4.0 V＝0.80 V。
(2)回路中感应电流的大小为I＝ER＝ A＝4.0 A。
(3)ac棒受到的安培力大小为F安＝BIL＝0.40×4.0×0.50 N＝0.80 N，由左手定则知，安培力方向向左。
由于导体棒匀速运动，水平方向受力平衡，则F外＝F安＝0.80 N，方向水平向右。
[答案] (1)0.80 V (2)4.0 A (3)0.80 N
10．(2022·全国甲卷)三个用同样的不同长度的细导线做成的刚性闭合线框，正方形线框的边长与圆线框的直径相等，圆线框的半径与正六边形线框的边长相等，如图所示。把它们放入磁感应强度随时间线性变化的同一匀强磁场中，线框所在平面均与磁场方向垂直，正方形、圆形和正六边形线框中感应电流的大小分别为I1、I2和I3。则( )
A．I1
C．I1＝I2>I3 D．I1＝I2＝I3
C [设圆线框的半径为r，则由题意可知正方形线框的边长为2r，正六边形线框的边长为r；所以圆线框的周长为C2＝2πr，面积为S2＝πr2，同理可知正方形线框的周长和面积分别为C1＝8r，S1＝4r2，正六边形线框的周长和面积分别为C3＝6r，S3＝12×6×r×32r＝33r22，三线框材料粗细相同，根据电阻定律R＝ρlS横截面，可知三个线框电阻之比为R1∶R2∶R3＝C1∶C2∶C3＝8∶2π∶6，根据法拉第电磁感应定律有I＝ER＝ΔBΔt·SR，可得电流之比为：I1∶I2∶I3＝2∶2∶3，即I1＝I2>I3，故选C。]
11．(多选)如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面，回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是( )
A．感应电流大小不变
B．CD段直导线始终不受安培力
C．感应电动势最大值Emax＝Bav
D．感应电动势平均值E＝14πBav
CD [在半圆形闭合回路进入磁场的过程中磁通量不断增加，始终存在感应电流，由左手定则可知CD边始终受到安培力作用，选项B错误；有效切割长度如图所示，所以进入过程中L先逐渐增大到a，然后再逐渐减小为0，由E＝BLv，可知最大值Emax＝Bav，最小值为0，故选项A错误，C正确；平均感应电动势为E＝ΔΦΔt＝12B·πa22av＝14πBav，选项D正确。]
12．(2022·全国乙卷)如图所示，一不可伸长的细绳的上端固定，下端系在边长为l＝0.40 m的正方形金属框的一个顶点上。金属框的一条对角线水平，其下方有方向垂直于金属框所在平面向外的匀强磁场。已知构成金属框的导线单位长度的阻值为λ＝5.0×10-3 Ω/m；在t＝0到t＝3.0 s时间内，磁感应强度大小随时间t的变化关系为B(t)＝0.3－0.1t(SI)。求
(1)t＝2.0 s时金属框所受安培力的大小；
(2)在t＝0到t＝2.0 s时间内金属框产生的焦耳热。
[解析] (1)安培力F＝BIL
t＝2.0 s时，B＝(0.3－0.1t)T＝0.1 T
又I＝ER，R＝4lλ
E＝ΔΦΔt＝SΔBΔt＝l22·ΔBΔt
L为等效长度，大小等于正方形对角线的长度L＝2l
联立得F＝225 N。
(2)0～2.0 s时间内金属框产生的焦耳热Q＝E2Rt
解得Q＝1.6×10-2 J。
[答案] (1)225 N (2)1.6×10-2 J
13．如图所示，设匀强磁场的磁感应强度B为0.10 T，切割磁感线的导线的长度L为40 cm，线框向左匀速运动的速度v为5.0 m/s，整个线框的电阻R为0.50 Ω，试求：
(1)感应电动势的大小；
(2)感应电流的大小；
(3)使线框向左匀速运动所需要的外力大小。
[解析] (1)依据E＝BLv可解得
E＝BLv＝0.10×40×10-2×5.0 V＝0.20 V。
(2)依据闭合电路欧姆定律可得
I＝ER＝ A＝0.40 A。
(3)依据安培力公式可求得
F＝BIL＝0.10×0.40×40×10-2 N＝1.6×10-2 N
依据平衡条件得使线框向左匀速运动所需要的外力大小为1.6×10-2 N。
[答案] (1)0.20 V (2)0.40 A (3)1.6×10-2 N
物理量
单位
物理意义
计算公式
磁通量Φ
Wb
表示某时刻或某位置时穿过某一面积的磁感线条数的多少
Φ＝B·S⊥
磁通量的变化量ΔΦ
Wb
表示在某一过程中穿过某一面积的磁通量变化的多少
ΔΦ＝Φ2－Φ1
磁通量
的变化率ΔΦΔt
Wb/s
表示穿过某一面积的磁通量变化的快慢
ΔΦΔt＝B·ΔSΔtΔBΔt·S
比较项目
E＝nΔΦΔt
E＝BLv sin θ
区
别
研究对象
整个闭合回路
回路中做切割磁感线运动的那部分导体
适用范围
各种电磁感应现象
只适用于导体切割磁感线运动的情况
计算结果
Δt内的平均感应电动势
某一时刻的瞬时感应电动势
联系
E＝BLv sin θ是由E＝nΔΦΔt在一定条件下推导出来的，该公式可看作法拉第电磁感应定律的一个推论
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