2024年高中物理新教材同步学案 选择性必修第二册 第2章 专题强化7　电磁感应中的电路、电荷量问题（含解析）

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专题强化7　电磁感应中的电路、电荷量问题[学习目标]　1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和基本解题思路(重点)。2.掌握电磁感应现象中电荷量求解的基本思路和方法(重难点)。一、电磁感应中的电路问题如图所示，边长为L的正方形均匀导体框以速度v0匀速进入右侧的匀强磁场(磁感应强度大小为B)，导体框的总阻值为R，________(选填“ab边”或“da边”)相当于电源，电动势大小为_________。请作出等效电路图，Uab为等效电路中的_________(选填“电动势”“内电压”或“路端电压”)，大小为________。答案　ab边　BLv0　如图所示　路端电压　eq \f(3,4)BLv0处理电磁感应中电路问题的一般思路(1)明确“角色”：确定“电源”和外电路。哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路。(2)画等效电路图：分清内、外电路。(3)求感应电动势：用法拉第电磁感应定律E＝neq \f(ΔΦ,Δt)或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。(4)对闭合回路进行分析、计算：运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点，计算电流、电压、电功率、电热等物理量。例1　把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a、电阻等于R、粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触，当金属棒以恒定速度v向右运动经过环心O时，求：(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压UMN；(2)圆环和金属棒消耗的总热功率。答案　(1)eq \f(4Bav,3R)　方向从N流向M　eq \f(2,3)Bav(2)eq \f(8B2a2v2,3R)解析　(1)把切割磁感线的金属棒看成一个内阻为R、电动势为E的电源，两个半圆环看成两个并联电阻，且R1＝R2＝R，画出等效电路如图所示。等效电源电动势为E＝2Bav外电路的总电阻为R外＝eq \f(R1R2,R1＋R2)＝eq \f(1,2)R棒上电流大小为I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(2Bav,\f(1,2)R＋R)＝eq \f(4Bav,3R)由右手定则可知金属棒中电流方向为从N流向M。根据闭合电路欧姆定律知，棒两端的电压为路端电压，UMN＝IR外＝eq \f(2,3)Bav。(2)圆环和金属棒消耗的总热功率为P＝IE＝eq \f(8B2a2v2,3R)。例2　如图甲所示，线圈总电阻r＝0.5 Ω，匝数n＝10，其端点a、b与R＝1.5 Ω的电阻相连，线圈内磁通量变化规律如图乙所示。关于a、b两点电势φa、φb及两点电势差Uab，正确的是(　　)A．φa>φb，Uab＝1.5 VB．φa<φb，Uab＝－1.5 VC．φa<φb，Uab＝－0.5 VD．φa>φb，Uab＝0.5 V答案　A解析　由题图乙可知，线圈内的磁通量是增大的，根据楞次定律，感应电流产生的磁场与原磁场方向相反，即感应电流产生的磁场方向为垂直纸面向外，根据安培定则可知，线圈中感应电流的方向为逆时针方向。在回路中，线圈相当于电源，由于电流的方向是逆时针方向，所以a相当于电源的正极，b相当于电源的负极，所以a点的电势高于b点的电势。根据法拉第电磁感应定律得：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝10×eq \f(0.08,0.4) V＝2 V，I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(2,1.5＋0.5) A＝1 A。a、b两点的电势差等于电路中的路端电压，所以Uab＝IR＝1.5 V，故A正确。1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”。2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极。二、电磁感应中的电荷量问题闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt内通过某一截面的电荷量(感应电荷量)q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(\x\to(E),R总)·Δt＝neq \f(ΔΦ,Δt)·eq \f(1,R总)·Δt＝eq \f(nΔΦ,R总)。如图所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为v，通过金属圆环某一横截面的电荷量为q1，第二次速度为2v，通过金属圆环某一横截面的电荷量为q2，则q1∶q2＝_________。答案　1∶1例3　如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外。若此过程中流过两线框的电荷量分别为Qa、Qb，则Qa∶Qb为(　　)A．1∶4 B．1∶2C．1∶1 D．不能确定答案　B解析　设闭合线框的边长为L，则流过线框的电荷量为Q＝IΔt＝eq \f(E,R)Δt＝eq \f(ΔΦ,RΔt)Δt＝eq \f(B·ΔS,R)＝eq \f(BL2,R)，R＝ρeq \f(4L,S横)，则Q＝eq \f(BS横L,4ρ)，则eq \f(Qa,Qb)＝eq \f(La,Lb)＝eq \f(d,2d)＝eq \f(1,2)，故选B。线圈匝数一定时，通过某一截面的感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。针对训练　如图所示，一匝数为N，面积为S、总电阻为R的圆形线圈，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面。当线圈由原位置翻转180°，此过程中通过线圈导线横截面的电荷量为(　　)A.eq \f(NBS,R) B.eq \f(2NBS,R)C.eq \f(BS,R) D.eq \f(2BS,R)答案　B解析　由于开始时线圈平面与磁场方向垂直，把线圈翻转180°，有ΔΦ＝2BS，则通过线圈导线横截面的电荷量q＝Neq \f(ΔΦ,R)＝eq \f(2NBS,R)，选项B正确，A、C、D错误。例4　(2022·庆阳市高二期末)如图甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200匝，半径r1＝0.5 m，电阻r＝6 Ω，线圈与阻值R＝10 Ω的电阻相连。在线圈的中央有一个范围为半径r2＝0.4 m的有界匀强磁场，磁感应强度B按图乙所示规律变化。圆周率用π表示。(1)求t＝0时刻，通过线圈的磁通量Φ；(2)求理想电压表的示数U；(3)若撤去原磁场，在图中虚线的右侧空间沿相同方向加磁感应强度B′＝0.8 T的匀强磁场，现把整个装置向左完全移出匀强磁场区域，求这一过程中通过电阻R的电荷量q。答案　(1)1.6π×10－2 Wb　(2)20π V　(3)2.5π C解析　(1)t＝0时刻，通过线圈的磁通量Φ＝BS＝B·πr22，代入数据解得Φ＝1.6π×10－2 Wb(2)根据法拉第电磁感应定律得E＝neq \f(ΔB·S,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)·πr22，感应电流I＝eq \f(E,R＋r)则电压表的示数为U＝IR，代入数据解得U＝20π V(3)根据法拉第电磁感应定律得，平均感应电动势为eq \x\to(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)，则平均感应电流为eq \x\to(I)＝eq \f(\x\to(E),R＋r)，通过电阻R的电荷量为q＝eq \x\to(I)Δt＝neq \f(ΔΦ,R＋r)＝neq \f(B′·πr12,R＋r)，代入数据得q＝2.5π C。专题强化练考点一　电磁感应中的电路问题1.如图所示，一个匝数为n的正方形线圈，边长为d，电阻为r。将其两端a、b与阻值为R的电阻相连接，其他部分电阻不计。在线圈中存在垂直线圈平面向里的磁场区域，磁感应强度B随时间t均匀增加，eq \f(ΔB,Δt)＝k。则a、b两点间的电压为(　　)A．nd2k B.eq \f(Rnd2k,R＋r) C.eq \f(rnd2k,R＋r) D.eq \f(nd2,kR＋r)答案　B解析　根据法拉第电磁感应定律可得：E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S＝nkd2，则a、b两点间的电压为Uab＝eq \f(RE,R＋r)＝eq \f(Rnd2k,R＋r)，故选B。2．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差的绝对值最大的是(　　)答案　B解析　磁场中切割磁感线的边相当于电源，外电路可看成由三个相同电阻串联形成，A、C、D选项中a、b两点间电势差的绝对值为外电路中一个电阻两端的电压：U＝eq \f(1,4)E＝eq \f(Blv,4)，B选项中a、b两点间电势差的绝对值为路端电压：U′＝eq \f(3,4)E＝eq \f(3Blv,4)，所以a、b两点间电势差的绝对值最大的是B选项。3.(2022·苏州市陆慕高级中学高二阶段练习)如图，半径为L的半圆弧轨道PQS固定，电阻忽略不计，O为圆心。OM是可绕O转动的金属杆，M端位于PQS上，OM与轨道接触良好，OM金属杆的电阻值是OP金属杆电阻值的一半。空间存在如图所示的匀强磁场，磁感应强度的大小为B；现使OM从OS位置以恒定的角速度ω顺时针转到OQ位置，则该过程中(　　)A．回路中M点电势高于O点电势B．回路中电流方向沿M→O→P→QC．MO两点的电压UMO＝eq \f(2,3)BL2ωD．MO两点的电压UMO＝eq \f(1,2)BL2ω答案　A解析　由右手定则可知，OM杆相当于电源，M为正极，O为负极，回路中电流方向沿M→Q→P→O，回路中M点电势高于O点电势，选项A正确，B错误；感应电动势E＝BL·eq \f(ωL,2)＝eq \f(1,2)BL2ω，设MO电阻为R，则PO电阻为2R，MO两点的电压UMO＝eq \f(E,R＋2R)·2R＝eq \f(1,3)BL2ω，选项C、D错误。考点二　电磁感应中的电荷量问题4．如图甲所示，abcd为正方形导线框，线框处在磁场中，磁场垂直于线框平面，线框边长L＝0.5 m，电阻R＝1 Ω，磁感应强度B随时间t的变化如图乙所示，在0～0.5 s和1～2 s的时间内通过线框截面的电荷量分别为q1和q2。则q1∶q2为(　　)A．1∶1 B．2∶1C．1∶2 D．1∶4答案　C解析　法一　根据E＝eq \f(ΔΦ,Δt)＝eq \f(SΔB,Δt)可得0～0.5 s和1～2 s产生的感应电动势大小相等，根据闭合电路欧姆定律可得0～0.5 s和1～2 s通过线框的电流大小相等，据q＝It可得q1∶q2＝1∶2，故C正确。法二　电磁感应现象中通过电路导体横截面的电荷量公式q＝neq \f(ΔΦ,R)，当面积S不变时，可写为q＝neq \f(S·ΔB,R)，故q∝ΔB，所以eq \f(q1,q2)＝|eq \f(0－0.5,0.5－－0.5)|＝eq \f(1,2)，故C正确。5.(2023·玉溪市第三中学高二月考)如图所示，在竖直平面内有两根相互平行、电阻忽略不计的光滑金属导轨(足够长)，两平行金属导轨间的距离L＝0.4 m，在导轨间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，一根质量为m＝0.4 kg的金属棒ab垂直导轨放置其上，金属棒的电阻r＝1.0 Ω。整个装置处于垂直导轨所在平面的匀强磁场中，磁感应强度B＝5 T、方向垂直于导轨所在平面向里。现让金属棒ab沿导轨由静止开始运动，金属棒ab下滑高度为h＝1.2 m时恰好达到最大速度。重力加速度为g＝10 m/s2，求：(1)金属棒ab下滑能达到的最大速度；(2)金属棒ab由静止开始到达最大速度的过程中，通过电阻R的电荷量q。答案　(1)3 m/s　(2)0.8 C解析　(1)当a＝0时，速度达到最大，有mg＝BImL而最大电流为Im＝eq \f(BLvm,R＋r)联立可得vm＝eq \f(mgR＋r,B2L2)＝3 m/s(2)q＝eq \x\to(I)·Δt＝eq \f(\x\to(E),R＋r)·Δt平均电动势eq \x\to(E)＝neq \f(ΔΦ,Δt)联立可得q＝eq \f(BLh,R＋r)＝0.8 C。6.如图所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a，总电阻为R(断开拉直时的电阻)，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过圆环平面。圆环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为eq \f(R,2)的导体棒AC，A端与圆环接触良好，AC由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，C点的线速度为v，则这时AC两端的电压为(　　)A.eq \f(Bav,3) B.eq \f(Bav,6)C.eq \f(2Bav,3) D．Bav答案　A解析　导体棒AC摆到竖直位置时，AC切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·eq \f(1,2)v＝Bav。外电路电阻大小为eq \f(\f(R,2)·\f(R,2),\f(R,2)＋\f(R,2))＝eq \f(R,4)，由闭合电路欧姆定律有|UAC|＝eq \f(E,\f(R,2)＋\f(R,4))·eq \f(R,4)＝eq \f(1,3)Bav，故A正确。7．用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示。在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud。下列判断正确的是(　　)A．Ua0)，则下列说法正确的有(　　)A．a端电势比b端电势低B．t＝0时，通过螺线管的磁通量为nB0SC．0～t0内，通过R1的电荷量为eq \f(2nkt0S,3R)D．0～t0内，R1产生的热量为eq \f(n2k2t0S2,9R)答案　D解析　匀强磁场的磁感应强度随时间逐渐增大，由楞次定律可知感应电流在外电路中由a点流向b点，即a端电势比b端电势高，故A错误；根据磁通量的定义可知，t＝0时，通过螺线管的磁通量为Φ＝B0S，与线圈匝数无关，故B错误；由法拉第电磁感应定律可知，感应电动势为E＝neq \f(ΔΦ,Δt)＝neq \f(ΔB,Δt)S＝nkS，感应电流为I＝eq \f(E,R总)＝eq \f(2nkS,3R)，则通过R1的电流为I1＝eq \f(1,2)I＝eq \f(nkS,3R)，所以0～t0内，通过R1的电荷量为q＝I1t0＝eq \f(nkSt0,3R)，故C错误；由焦耳定律可知，在0～t0内，电阻R1产生的热量为Q＝I12Rt0＝eq \f(n2k2S2t0,9R)，故D正确。