人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积教学设计

简单几何体的体积

教 学

目 标

1．知识与技能：（1）掌握柱、锥、台体积计算公式（不要求记忆公式），理解公式所表示的意义。对比认识柱、锥、台的体积公式。（2）会运用公式解决一些实际问题。

2．过程与方法：学生在义务阶段已经学习了一些立体图形（长方体、圆柱等）的体积计算方法，本节课将在其基础之上，简单地提及祖暅原理，让学生明确课本中直接给出的公式的由来，从而加强学生对于公式的理解。通过比较棱台（圆台）与锥体、柱体的体积关系使学生更加深入地认识这些几何体的特点和它们之间的联系与区别。

3．情感、态度与价值观：本节课在学生已学知识的基础之上，从实际问题入手引发学生的求知需要，并引导学生在合作交流中探求新知，培养了学生的合作交流的意识。通过比较棱台（圆台）与锥体、柱体的体积关系，引导学生用联系的观点看问题，自主地整合知识建立良好的认知结构。

教学

重难点

1．柱、锥、台体体积公式。

2．如何有效准确地运用柱、锥、台体的体积公式解决问题。

教学

过程

教学内容

一、导入新课

师：同学们，这是老师的一个水杯（圆柱体），大家猜一下，它能装多少水呢？保健专家建议我们每天至少要喝2000毫升的水，那我拿这样的杯子得喝多少杯呢？

生：算出它的体积，然后用2000毫升除以它的体积就能知道了该喝几杯了……

师：很好！生活中这样需要计算出几何体体积的地方非常多。所以这节课我们将在之前学习的基础之上，深入学习这些几何体的体积计算方法。

二、探究新知

1．圆柱、棱柱体积的探究

新知获得

我们知道长方体的体积是它的底面积乘以高，类似地，棱柱和圆柱的体积。即，其中为柱体的底面积，为柱体的高。（这一块的知识点学生在义务教育阶段已知，比较容易理解）如果是圆柱，则，其中，为圆柱底面半径，为圆柱的高。

2．棱锥和圆锥的体积探究

（1）新知获得

师：在我们的课本里直接给出了锥体的体积公式：，其中为柱体的底面积，为柱体的高。同学们知道它的由来吗？ (引导学生展开讨论）

生：……（学生在这一块可能会根据小学知识运用等地同高的圆柱圆锥倒沙子来解释公式）师：数学是严密的，每一个定理、公式的得出都要历经严格的数学证明。这个公式以及上面的柱体体积公式的获得都是借助了“祖暅原理”：即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个面积相等，那么这两个几何体的体积是相等的。从而上述几何体的体积最终都是转化为长方体的体积求法，这也就是为什么体积公式中都有底面积乘以高。有兴趣的同学可以下去深入钻研一下。（附带参考资料）

（2）知识运用

例1：埃及胡夫金子塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥，如图1所示，金字塔高约146．6m，底面边长约230.4m。问：这座金字塔的侧面积和体积各是多少？

例2：如图2，一块正方形薄铁片的边长是22cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥桶，求它的容积。

（图1）                      （图2）

3．棱台和圆台体积探究

（1）新知获得

棱台和圆台都可以看成对应的锥体被一个平行于底面的平面截得的底面和截面之间的部分。所以它们的体积应该怎么算呢？（动态课件展示平面截棱台、圆台的情形）

不用推导直接给出台体体积计算公式：

如果是圆台，则，其中、分别为圆台上下底面的半径，为圆台的高。

（2） 知识运用

①如图2所示，若正三棱台的两底边长分别是2．8，斜高为3．

（1） 求三棱台体积；

（2）截得该三棱台的三棱锥体积。

（图3）

②圆台的两底面半径为A、B（a>b）。求这个圆台与截得它的圆锥体积的比。

4．思考交流

请同学回过头根据已得的公式和实物模型再展开讨论。思考下面两个问题：

（1）比较圆柱、圆锥和圆台体积公式联系与区别。

（2）比较直棱柱、正棱锥、正棱台的体积计算公式联系与区别。

5．课堂总结

这一节课我们主要学习了柱体、锥体和台体的体积计算方法。这些公式不需要记忆，但是同学们需要真正理解这些公式的意义，能够根据公式明确在求相应的几何体的体积时应该利用哪个公式、需要求得那些量来利用公式。