高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算习题，共5页。试卷主要包含了故选D，故选C，设a，b是两个不共线的向量等内容，欢迎下载使用。
A级——基础过关练
1．(多选)下列非零向量a，b中，一定共线的有( )
A．a＝2e，b＝－2eB．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2
C．a＝4e1－ eq \f(2,5)e2，b＝e1－ eq \f(1,10)e2D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2
【答案】ABC
【解析】对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线．
2．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的有( )
A．a与－λa的方向相反B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同D．|－λa|＝|λ|a
【答案】ABD
【解析】当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|＜1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误．故选ABD．
3．(2023年乌鲁木齐模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0B．k＝1
C．k＝2D．k＝ eq \f(1,2)
【答案】D
【解析】若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则存在实数λ，使m＝λn，∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＝－2λ，,k＝λ，))解得k＝ eq \f(1,2)．故选D．
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 eq \(AD,\s\up6(→))＝2 eq \(DB,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋λ eq \(CB,\s\up6(→))，则λ等于( )
A． eq \f(2,3)B． eq \f(1,3)
C．－ eq \f(1,3)D．－ eq \f(2,3)
【答案】A
【解析】(方法一)由 eq \(AD,\s\up6(→))＝2 eq \(DB,\s\up6(→))，可得 eq \(CD,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))＝2( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CD,\s\up6(→)))⇒ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up6(→))，所以λ＝ eq \f(2,3)．故选A．
(方法二) eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3)( eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3) eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(CB,\s\up6(→))，所以λ＝ eq \f(2,3)．故选A．
5．在四边形ABCD中，若 eq \(AB,\s\up6(→))＝3a， eq \(CD,\s\up6(→))＝－5a，且| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形B．菱形
C．等腰梯形D．非等腰梯形
【答案】C
【解析】由条件可知 eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(3,5) eq \(CD,\s\up6(→))，所以AB∥CD．又因为| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，所以四边形ABCD为等腰梯形．
6．在△ABC中，若 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(AP,\s\up6(→))，则 eq \(PB,\s\up6(→))等于( )
A．－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \(AC,\s\up6(→))B． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(3,2) eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))D．－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))
【答案】C
【解析】由 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(AP,\s\up6(→))，得 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))，所以 eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))．
7．(2023年重庆模拟)设a，b不共线， eq \(AB,\s\up6(→))＝a－nb， eq \(AC,\s\up6(→))＝ma＋b(n，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( )
A．m＝nB．mn－1＝0
C．mn＋1＝0D．m＋n＝0
【答案】C
【解析】∵A，B，C三点共线，∴ eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))共线．∵a，b不共线，∴ eq \(AB,\s\up6(→))≠0，∴存在λ，使 eq \(AC,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))，即ma＋b＝λa－nλb，∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝m，,－nλ＝1，))∴mn＋1＝0．故选C．
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝__________．
【答案】－4
【解析】因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．
9．已知点P在线段AB上，且| eq \(AB,\s\up6(→))|＝4| eq \(AP,\s\up6(→))|，设 eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(PB,\s\up6(→))，则实数λ＝__________．
【答案】 eq \f(1,3)
【解析】因为| eq \(AB,\s\up6(→))|＝4| eq \(AP,\s\up6(→))|，则 eq \(AP,\s\up6(→))的长度是 eq \(PB,\s\up6(→))的长度的 eq \f(1,3)，二者的方向相同，所以 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(PB,\s\up6(→))．
10．化简：
(1) eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；
(2)4(a－b)－3(a＋b)－b．
解：(1)原式＝ eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,2)b))－a－ eq \f(3,4)b＝a＋ eq \f(3,4)b－a－ eq \f(3,4)b＝0．
(2)原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．
B级——能力提升练
11．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的有( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(CD,\s\up6(→))＝b
【答案】AB
【解析】对于A，可解得a＝ eq \f(2,7)e，b＝－ eq \f(8,7)e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0，得a＝ eq \f(μ,λ)b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．
12．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则( )
A． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(HM,\s\up6(→))＋3 eq \(MO,\s\up6(→))B． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝3 eq \(HM,\s\up6(→))－3 eq \(MO,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(HM,\s\up6(→))＋4 eq \(MO,\s\up6(→))D． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(HM,\s\up6(→))－4 eq \(MO,\s\up6(→))
【答案】D
【解析】如图，Rt△ABC中，其中∠B为直角，则垂心H与B重合．∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点．又∵M为BC的中点，∴ eq \(AH,\s\up6(→))＝2 eq \(OM,\s\up6(→))．∵M为BC的中点，∴ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝2 eq \(AM,\s\up6(→))＝2( eq \(AH,\s\up6(→))＋ eq \(HM,\s\up6(→)))＝2(2 eq \(OM,\s\up6(→))＋ eq \(HM,\s\up6(→)))＝4 eq \(OM,\s\up6(→))＋2 eq \(HM,\s\up6(→))＝2 eq \(HM,\s\up6(→))－4 eq \(MO,\s\up6(→))．故选D．
13．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))，则△PBC与△ABC的面积之比是__________．
【答案】2∶3
【解析】因为 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＋ eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))，所以 eq \(PC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(PB,\s\up6(→))－ eq \(PA,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))＋ eq \(AP,\s\up6(→))＝2 eq \(AP,\s\up6(→))．所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点．所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3．
14．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若 eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m－n＝__________．
【答案】－2
【解析】直接利用向量共线定理，得 eq \(BC,\s\up6(→))＝3 eq \(DC,\s\up6(→))，则 eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋3 eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋3( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AD,\s\up6(→)))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋3 eq \(AC,\s\up6(→))－3 eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \(AD,\s\up6(→))．又因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AD,\s\up6(→))，所以m＝－ eq \f(1,2)，n＝ eq \f(3,2)，故m－n＝－ eq \f(1,2)－ eq \f(3,2)＝－2．
15．设 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))不共线，且 eq \(OC,\s\up6(→))＝a eq \(OA,\s\up6(→))＋b eq \(OB,\s\up6(→))(a，b∈R)．
(1)若a＝ eq \f(1,3)，b＝ eq \f(2,3)，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？请说明理由．
(1)证明：当a＝ eq \f(1,3)，b＝ eq \f(2,3)时， eq \(OC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))，所以 eq \f(2,3)( eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,3)( eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))，即2 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))．所以 eq \(BC,\s\up6(→))与 eq \(CA,\s\up6(→))共线．
又因为 eq \(BC,\s\up6(→))与 eq \(CA,\s\up6(→))有公共点C，所以A，B，C三点共线．
(2)解：a＋b为定值1．理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以 eq \(AC,\s\up6(→))∥ eq \(AB,\s\up6(→))．
不妨设 eq \(AC,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，所以 eq \(OC,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→))＝λ( eq \(OB,\s\up6(→))－ eq \(OA,\s\up6(→)))，即 eq \(OC,\s\up6(→))＝(1－λ) eq \(OA,\s\up6(→))＋λ eq \(OB,\s\up6(→))．
又因为 eq \(OC,\s\up6(→))＝a eq \(OA,\s\up6(→))＋b eq \(OB,\s\up6(→))，且 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))不共线，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1－λ，,b＝λ，))
所以a＋b＝1(定值)．