高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时一课一练

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1．(2023年太原模拟)已知△ABC的面积为2 eq \r(3)，AB＝2，∠B＝ eq \f(π,3)，则 eq \f(sin B,sin C)＝( )
A． eq \r(3)B．2 eq \r(3)
C． eq \f(\r(3),2)D．2
【答案】A
【解析】由于△ABC的面积为2 eq \r(3)，AB＝2，∠B＝ eq \f(π,3)，则 eq \f(1,2)AB·BC·sin B＝2 eq \r(3)，即 eq \f(1,2)×2BC× eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3)，解得BC＝4．由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs B＝4＋16－2×2×4× eq \f(1,2)＝12，解得AC＝2 eq \r(3)，则由正弦定理可得 eq \f(sin B,sin C)＝ eq \f(AC,AB)＝ eq \f(2\r(3),2)＝ eq \r(3)．故选A．
2．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．3 eq \r(3) mB．4 eq \r(3) m
C．8 mD．12 m
【答案】B
【解析】由题意知∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝120°．由正弦定理，得 eq \f(AB,sin C)＝ eq \f(AC,sin B)，即AB＝ eq \f(AC·sin C,sin B)＝ eq \f(4·sin 120°,sin 30°)＝4 eq \r(3)(m)．
3．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为( )
A．500米B．600米
C．700米D．800米
【答案】C
【解析】由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°．利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cs 120°，所以AB＝700米．故选C．
4．在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C的对边，若满足条件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有两个，则b的长度范围是( )
A．(0，2)B．(2，4)
C．(2 eq \r(3)，4)D．(4，＋∞)
【答案】C
【解析】因为满足条件c＝4，∠B＝60°的三角形的解有两个，所以c sin B＜b＜c，即2 eq \r(3)＜b＜4，即b的取值范围为(2 eq \r(3)，4)．故选C．
5．(2023年拉萨一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 eq \f(c,a)＝ eq \f(1＋cs C,2－cs A)，c＝4，C＝ eq \f(π,3)，则△ABC的面积为( )
A．2 eq \r(3)B．4 eq \r(3)
C．12D．16
【答案】B
【解析】∵ eq \f(c,a)＝ eq \f(1＋cs C,2－cs A)，∴根据正弦定理可得 eq \f(sin C,sin A)＝ eq \f(1＋cs C,2－cs A)．∴2sin C－cs A sin C＝sin A＋sin A cs C．∴2sin C＝sin A＋sin B．∵c＝4，∴根据正弦定理可得2c＝a＋b＝8．又∵C＝ eq \f(π,3)，∴cs C＝ eq \f(a2＋b2－16,2ab)＝ eq \f(1,2)．∴(a＋b)2－16＝3ab．∴48＝3ab．∴ab＝16．∴△ABC的面积为 eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)×16× eq \f(\r(3),2)＝4 eq \r(3)．故选B．
6．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 mB．30 m
C．40 mD．60 m
【答案】C
【解析】如图，设O为顶端在地面的射影．在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，由 eq \f(20,sin 30°)＝ eq \f(BD,sin 90°)，得BD＝40．在△ABD中，易知∠A＝30°，∠ADB＝60°－30°＝30°，∴△ABD为等腰三角形，即AB＝BD＝40 m．
7．(多选)(2023年苏州期中)在△ABC中，B＝ eq \f(π,3)，b＝2 eq \r(3)，c＝3，则下列说法正确的有( )
A．C有两解B．BC边上的高为 eq \f(3\r(3),2)
C．BC的长度为 eq \f(\r(21)＋3,2)D．△ABC的面积为 eq \f(3\r(21)±9,4)
【答案】BC
【解析】因为△ABC中，B＝ eq \f(π,3)，b＝2 eq \r(3)，c＝3，A中，因为c＜b，所以C＜B，所以角C唯一，即A不正确；B中，BC边上的高为c sin B＝3× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(3\r(3),2)，所以B正确；C中，由余弦定理可得AC2＝BC2＋AB2－2BC·AB cs B，即12＝BC2＋9－3BC，解得BC＝ eq \f(3＋\r(21),2)，所以C正确；D中，S△ABC＝ eq \f(1,2)BC·BA·sin B＝ eq \f(1,2)× eq \f(3＋\r(21),2)×3× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(9\r(3)＋9\r(7),8)，所以D不正确．故选BC．
8．(2023年徐州月考)在一座尖塔的正南方向地面某点A，测得塔顶的仰角为30°，又在此尖塔北偏东30°地面某点B，测得塔顶的仰角为45°，且A，B两点距离为7 m，在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔底O的距离为__________m．
【答案】 eq \f(\r(3),2)
【解析】如图，设尖塔高为OP，且OP＝m，则由题意可得∠AOB＝150°，∠PAO＝30°，∠PBO＝45°，∴OA＝ eq \r(3)m，OB＝m．在△AOB中，由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cs ∠AOB，∴49＝3m2＋m2－2 eq \r(3)m·m·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝7m2．∴m＝ eq \r(7)．∴OA＝ eq \r(21)，OB＝ eq \r(7)．在线段AB上的点C处测得塔顶的仰角为最大，
则C到O的距离最小，即OC为O到AB的距离，作OC⊥AB，C为垂足，则OC为所求．再根据S△ABO＝ eq \f(1,2)×OA×OB×sin 150°＝ eq \f(1,2)×AB×OC，可得 eq \f(1,2)× eq \r(21)× eq \r(7)× eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2)×7×OC，解得OC＝ eq \f(\r(3),2)．
9．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 eq \r(3) h，该船实际航程为__________km．
【答案】6
【解析】如图，在△ACD中，AC＝2 eq \r(3)，CD＝4 eq \r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2 eq \r(3)×4 eq \r(3)× eq \f(1,2)＝36．∴AD＝6，即该船实际航程为6 km．
10．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cs B＝ eq \f(4,5)，b＝2．
(1)当A＝ eq \f(π,6)时，求a的值；
(2)若△ABC的面积为3，求a＋c的值．
解：(1)因为cs B＝ eq \f(4,5)＞0，
所以B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．所以sin B＝ eq \f(3,5)．
由正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)，得 eq \f(a,sin \f(π,6))＝ eq \f(10,3)，
解得a＝ eq \f(5,3)．
(2)由△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)ac sin B，得 eq \f(1,2)ac× eq \f(3,5)＝3，得ac＝10．
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cs B，得4＝a2＋c2－ eq \f(8,5)ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20，
所以(a＋c)2－2ac＝20，即(a＋c)2＝40．
所以a＋c＝2 eq \r(10)．
B级——能力提升练
11．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 eq \r(2)米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为( )
A． eq \f(3\r(3),23)米/秒B． eq \f(5\r(3),23)米/秒
C． eq \f(7\r(3),23)米/秒D． eq \f(8\r(3),23)米/秒
【答案】B
【解析】如图，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°．由正弦定理知 eq \f(CE,sin ∠EAC)＝ eq \f(AC,sin ∠AEC)，∴AC＝ eq \f(10\r(2),sin 30°)×sin 45°＝20(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin ∠ACB＝20× eq \f(\r(3),2)＝10 eq \r(3)(米)．∵国歌长度约为46秒，∴升旗手升旗的速度应为 eq \f(10\r(3),46)＝ eq \f(5\r(3),23)(米/秒)．故选B．
12．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A sin B sin C＝ eq \f(1,8)，△ABC的面积为2，则( )
A．abc＝16 eq \r(2)B．若a＝ eq \r(2)，则A＝ eq \f(π,3)
C．△ABC外接圆的半径R＝2 eq \r(2)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin A)＋\f(1,sin B))) eq \s\up12(2)≥32sin C
【答案】ACD
【解析】由题可得 eq \f(1,2)ab sin C＝2，则sin C＝ eq \f(4,ab)，代入sin A sin B sin C＝ eq \f(1,8)，得 eq \f(4sin A sin B,ab)＝ eq \f(1,8)，即R2＝8，即R＝2 eq \r(2)，C正确；abc＝8R3sin A sin B sin C＝128 eq \r(2)× eq \f(1,8)＝16 eq \r(2)，A正确；若a＝ eq \r(2)，则sin A＝ eq \f(a,2R)＝ eq \f(\r(2),4\r(2))＝ eq \f(1,4)，此时A≠ eq \f(π,3)，B错误；因为sin A＞0，sin B＞0，所以(sin A＋sin B)2≥4sin A sin B，则 eq \f((sin A＋sin B)2,(sin A sin B)2)≥ eq \f(4,sin A sin B)，由sin A sin B sin C＝ eq \f(1,8)，得 eq \f(4,sin A sin B)＝32sin C，所以 eq \f((sin A＋sin B)2,(sin A sin B)2)≥32sin C，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,sin A)＋\f(1,sin B))) eq \s\up12(2)≥32sin C，D正确．
13．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B．灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°，与A相距3 eq \r(2)海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处，此时乙船与灯塔A之间的距离为__________海里，两艘轮船之间的距离为__________海里．
【答案】5 eq \r(13)
【解析】连接AC(图略)，由题意可知AB＝BC＝5，∠ABC＝60°，可得AC＝5，∠BAC＝60°．在△ACD中，∠CAD＝45°，根据余弦定理可得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cs ∠CAD＝25＋18－2×5×3 eq \r(2)× eq \f(\r(2),2)＝13．故乙船与灯塔A之间的距离为5海里，两艘轮船之间的距离为 eq \r(13)海里．
14．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距30 eq \r(2)海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cs θ的值为__________．
【答案】 eq \f(\r(17),17)
【解析】在△ABC中，AB＝30 eq \r(2)，AC＝20，∠BAC＝135°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 135°＝3 400，所以BC＝10 eq \r(34)．由正弦定理，得sin ∠ACB＝ eq \f(AB,BC)·sin ∠BAC＝ eq \f(3\r(34),34)．由∠BAC＝135°知∠ACB为锐角，故cs ∠ACB＝ eq \f(5\r(34),34)．故cs θ＝cs (∠ACB＋45°)＝cs ∠ACB cs 45°－sin ∠ACB sin 45°＝ eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(34),34)－\f(3\r(34),34)))＝ eq \f(\r(17),17)．
15．(2023年台州二模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin B＝b cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))，b cs C＝c cs B．
(1)求A的值；
(2)若D为边BC上的一个点，且满足cs ∠BAD＝ eq \f(4,5)，求△ABD与△ACD的面积之比．
解：(1)因为a sin B＝b cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))，
所以由正弦定理可得sin A sin B＝sin B cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))．
在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，显然sin B≠0，
所以sin A＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))．
所以cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6)))．
易得 eq \f(π,2)－A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，A－ eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，
所以 eq \f(π,2)－A＝A－ eq \f(π,6)或 eq \f(π,2)－A＋A－ eq \f(π,6)＝0(显然不成立)．
所以A＝ eq \f(π,3)．
(2)因为b cs C＝c cs B，
所以sin B cs C＝sin C cs B，即sin (B－C)＝0．
在△ABC中，B，C∈(0，π)，
所以B－C∈(－π，π)．
所以B＝C．所以b＝c．
因为cs ∠BAD＝ eq \f(4,5)，所以sin ∠BAD＝ eq \f(3,5)．
所以sin ∠CAD＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－∠BAD))＝ eq \f(4\r(3)－3,10)．
所以 eq \f(sin ∠BAD,sin ∠CAD)＝ eq \f(6,4\r(3)－3)＝ eq \f(8\r(3)＋6,13)．
所以由正弦定理得△ABD与△ACD的面积之比为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×AB×AD×sin ∠BAD))÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×AC×AD×sin ∠CAD))＝ eq \f(8\r(3)＋6,13)．