高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时练习

课后素养落实(七)　平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则可以表示为(　　)

A．2i＋3j　　　　 B．4i＋2j

C．2i－j   D．－2i＋j

C　[记O为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－j．]

2．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(　　)

A．(－2，－2)   B．(2,2)

C．(1,1)   D．(－1，－1)

A　[＝－＝(－2，－2)．故选A．]

3．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(　　)

A．A点的坐标是(－2,4)

B．B点的坐标是(－2,4)

C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)

D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)

D　[当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．]

4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)

A．第一、二象限　　　   B．第二、三象限

C．第三象限   D．第四象限

D　[因为x2＋x＋1＝＋＞0，

－(x2－x＋1)＝－＜0，

所以向量a对应的坐标位于第四象限．]

5．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为(　　)

A．(－7,0)   B．(7,6)

C．(6,7)   D．(7，－6)

D　[因为四边形ABCD为平行四边形，

所以＝．

设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)，

即 解得

因此D点坐标为(7，－6)．]

二、填空题

6．如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________．

(－3，－5)　[＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，

＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．]

7．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为________．

(1，－1)　[设P点坐标为(x，y)，||＝||．

当P在线段AB上时，＝．

∴(x－3，y＋4)＝(－1－x,2－y)，

∴ 解得

∴P点坐标为(1，－1)．

当P在线段AB延长线上时，＝－．

∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x,2－y)，

∴ 此时无解．

综上所述，点P的坐标为(1，－1)．]

8．作用于原点的两个力F1＝(1,1)，F2＝(2,3)，为使它们平衡，需加力F3＝________．

(－3，－4)　[因为F1＋F2＋F3＝0，

所以F3＝－F1－F2＝－(1,1)－(2,3)＝(－3，－4)．]

三、解答题

9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．

[解]　由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，

因为AB＝4，AD＝3，

所以＝4i＋3j，

所以＝(4,3)．

又＝＋＝－＋，

所以＝－4i＋3j，

所以＝(－4,3)．

10．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．

[解]　设点D的坐标为(x，y)，

(1)当平行四边形为ABCD时，＝，

∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，

∴ ∴

∴D(0，－1)．

(2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D(2，－3)．

(3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D(6,15)．

综上可见点D可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．

1．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m⊗n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a⊗b，那么向量b等于(　　)

A．   B．

C．   D．

A　[设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a⊗b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝．]

2．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

C　[如图所示，因为∠AOC＝45°，

所以设C(x，－x)，

则＝(x，－x)．

又因为A(－3,0)，B(0,2)，

所以λ＋(1－λ)

＝(－3λ，2－2λ)，

所以⇒λ＝．]

3．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝2，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________．

(－，1)　[设＝(x，y)，

∴x＝||cos 150°＝2×＝－，

y＝||sin 150°＝2×＝1，

∴的坐标为(－，1)．]

4．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则a＝________，x＝________．

(1,1)　1　[∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，＝a，

∴ 解得x＝1．]

已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c．

[解]　如图，以O为原点，向量所在的直线为x轴建立平面直角坐标系．

因为|a|＝2，所以a＝(2,0)．

设b＝(x1，y1)，所以x1＝|b|·cos 150°＝1×＝－，

y1＝|b|sin 150°＝1×＝，

所以b＝．同理可得c＝．

设c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，

所以＝λ1(2,0)＋λ2＝(2λ1－λ2，λ2)，

所以解得

所以c＝－3a－3b．