人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时随堂练习题

6.4.3 余弦定理、正弦定理

第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．若点在点的北偏东方向上，则点在点的（      ）

A．东偏北方向上 B．北偏东方向上

C．南偏西方向上 D．西偏南方向上

【答案】C

【解析】如图所示,点在点的南偏西方向上.

故选：C

2．若点在点的北偏东方向上，点在点的南偏东方向上，且，则点在点的（      ）

A．北偏东方向上 B．北偏西方向上

C．北偏东方向上 D．北偏西方向上

【答案】B

【解析】如图所示,.又∵,∴.

∵,∴.∴点在点的北偏西方向上.

故选：B

3．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为　　

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】，，

，，，

，；

△ACE中，由余弦定理得

，

；

即两山顶A，C之间的距离为．

故选A．

4．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)

A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里

【答案】B

【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，

由正弦定理，有，所以10.

故选B.

5．如图，为测塔的高度，某人在与塔底同一水平线上的点测得，再沿方向前行米到达点，测得，则塔高为（      ）

A．米 B．米 C．40米 D．20米

【答案】D

【解析】Rt△ABC中,设,则由可知,在中,

,所以,解得.则塔高为20米.

故选：D.

6．已知甲船位于小岛的南偏西的处，乙船位于小岛处，千米，甲船沿的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时．

【答案】

【解析】如图，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为 小时，

此时甲船位于处，乙船位于处，则，，

由余弦定理可得：=，故当时取最小值，故答案为．

7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高______米

【答案】

【解析】因为，，

所以，

在△BCD中，根据正弦定理可知，

即，解得，

在直角△ABC中，，

，

所以塔高米．故答案为.

8．已知海岛在海岛北偏东，，相距海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛移动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度移动．

（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；

（2）求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短距离．

【答案】（1）小时；（2）海里．

【解析】

（1）设经过小时，物体甲在物体乙的正东方向．如图所示，物体甲与海岛的距离为海里，物体乙与海岛距离为海里，，

中，由正弦定理得：，即，

则．

（2）由（1）题设，，，

由余弦定理得：

∵，

∴当时，海里．

能力提升

9．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为(    )km.

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】由已知，中，，，

由正弦定理，，

所以，

在中，，

由正弦定理，，

所以，

在中，由余弦定理，，解得：．

所以与的距离.

故选B

10．如图，为了测量河对岸、两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；并测量得到一些数据：，，，，，，，则、两点之间的距离为__________．（其中取近似值）

【答案】

【解析】由题意知,在△ACD中,.

由正弦定理得.

在△BCE中,,由正弦定理得

在△ABC中,由余弦定理得，∴

11．如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，且，经计算，，求两发射塔顶之间的距离.

【答案】.

【解析】在Rt△AMP中，，，∴，

连接，

在△PQM中，，

又，∴△PQM为等边三角形，∴，

在Rt△AMQ中，由，得，

在Rt△BNQ中，∵，，

∴，，，

在△BQA中，由余弦定理得，

∴，

∴两发射塔顶之间的距离是．

素养达成

12．国家边防安全条例规定：当外轮与我国海岸线的距离小于或等于海里时，就会被警告.如图，设，是海岸线上距离海里的两个观察站，满足，一艘外轮在点满足，.

（1），满足什么关系时，就该向外轮发出警告令其退出我国海域？

（2）当时，间处于什么范围内可以避免使外轮进入被警告区域？

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设外轮到我国海岸线的距离为海里，

在中，，

由正弦定理得，所以，

在中，，

当，即时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域.

（2）当时，

，

要使不被警告，则，即，

解得，所以 ，

即 ，又因为，所以.

当时可以避免使外轮进入被警告区域.