人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时同步训练题

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1．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 SKIPIF 1 < 0 km，那么x的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
由题作出示意图，如图所示，易知 SKIPIF 1 < 0 ，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 有两解，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
本题选择D选项.
2．蓝军和红军进行军事演练，蓝军在距离 SKIPIF 1 < 0 的军事基地 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，测得红军的两支精锐部队分别在 SKIPIF 1 < 0 处和 SKIPIF 1 < 0 处，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，则红军这两支精锐部队间的距离是 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以△ADC是等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在△BDC中，根据正弦定理得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
在△ABC中，根据余弦定理得，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
3．如图，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离(此障碍物阻挡了A，B之间的视线)，给定下列四组数据，测量时应当用数据
A．B． SKIPIF 1 < 0 C．D．
【答案】C
【解析】
由余弦定理知，需要测量数据．故选C．
4．如图所示，长为 SKIPIF 1 < 0 的木棒 SKIPIF 1 < 0 斜靠在石堤旁，木棒的一端 SKIPIF 1 < 0 在离堤足 SKIPIF 1 < 0 处 SKIPIF 1 < 0 的地面上，另一端 SKIPIF 1 < 0 在离堤足 SKIPIF 1 < 0 处 SKIPIF 1 < 0 的石堤上，石堤的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则坡度值 SKIPIF 1 < 0 等于 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意可得，在△ABC中，AB=4m，AC=2m，BC=3m，且 SKIPIF 1 < 0 +∠ACB=π．
由余弦定理可得， SKIPIF 1 < 0 ，即
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
5.（多选题）某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】AB
【解析】由题作出示意图，如图所示，易知，由正弦定理得，

因为，所以，又因为，所以有两解，即或.
当时，；
当时，.
本题选择AB选项.
6．（多选题）一艘轮船从A出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了海里到达海岛C．如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程（海里）分别为（ ）
A．北偏东 B．北偏东 C． D．
【答案】BC
【解析】依题意可得在中．
．
由余弦定理可得
．
，
由正弦定理可得，
由题意可知在中为锐角，所以．
所以如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向为北偏东，路程为海里．故BC正确．
二、填空题
7．某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为300，塔底B的俯角为150，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高
为 米．
【答案】120+40
【解析】
如图,用AD表示楼高,AE与水平面平行,E在线段BC上,
因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,
则AE===120+60,
在Rt△AEC中,
CE=AE·tan30°=(120+60)×=60+40,
∴BC=CE+BE=60+40+60=(120+40)米,
所以塔高为(120+40)米.
8．在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且 SKIPIF 1 < 0 ，再过一分钟，该物体位于R点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是_____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由于物体均速直线运动，根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，不妨设其长度为1.
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，由正弦定理得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
两式两边同时相除，得 SKIPIF 1 < 0 .
又在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
9．如图，海中有一小岛B，周围3.8海里内有暗礁．一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北偏东60°．若此舰不改变航行的方向继续前进，则此舰____________触礁的危险．（填“有”或“没有”）
【答案】没有
【解析】
过点B作BD⊥AE交AE于D，由已知，AC=8，∠ABD=75°，∠CBD=60°，
在Rt SKIPIF 1 < 0 中，AD=BD·tan∠ABD="BD·tan" 75°，
在Rt中，CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°，
所以AD－CD=BD（tan75°－tan60°）=AC=8，
所以，所以该军舰没有触礁的危险．
10．甲船在岛B的正南A处，AB="10" km，甲船以每小时4 km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6 km的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_______h，最近距离是 km．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
根据题意画出示意图，如图，假设t h后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，此时两船相距最近，则∠DBC=120°，BC=6t，BD=10－4t．在中，由余弦定理，得CD2=BD2+BC2－2BD·BCcs∠DBC=(10－4t)2+36t2－2(10－4t)6tcs120°=28t2－20t+100，所以当t=，即航行时间为h时，CD2最小，即甲、乙两船相距最近，最近距离为 SKIPIF 1 < 0
三、解答题
11.如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点A(－3，1)，直线OB的倾斜角为45°，且|OB|＝eq \r(2).
(1)求点B的坐标及线段AB的长度；
(2)在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，取1厘米为单位长度．现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发，沿倾斜角为60°的射线BC运动，另一质点Q同时以eq \r(2)厘米/秒的速度从点A出发作直线运动，如果要使得质点Q与P会合于点C，那么需要经过多少时间？
【解析】：(1)设点B(x0，y0)，
依题意x0＝eq \r(2)cs 45°＝1，y0＝eq \r(2)sin 45°＝1，
从而B(1，1)，又A(－3，1)，所以AB∥x轴，则|AB|＝|1－(－3)|＝4.
(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C，则AC＝eq \r(2)t，BC＝t.
由AB∥x轴及BC的倾斜角为60°，得∠ABC＝120°.
在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs 120°，
所以2t2＝16＋t2＋8t·eq \f(1,2)，
化简得t2－4t－16＝0，解得t＝2－2eq \r(5)(舍去)或t＝2＋2eq \r(5).
即若要使得质点Q与P会合于点C，则需要经过(2＋2eq \r(5))秒．
12．如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计)，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°方向，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向，俯角为60°的C处．
(1)求船的航行速度是每小时多少千米？
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
【解析】：(1)在Rt△PAB中，∠APB＝60°，AP＝1，
所以AB＝APtan 60°＝eq \r(3).
在Rt△PAC中，∠APC＝30°，
所以AC＝APtan 30°＝eq \f(\r(3),3).
在△ACB中，∠CAB＝30°＋60°＝90°，
所以BC＝eq \r(AC2＋AB2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2)＋（\r(3)）2)＝eq \f(\r(30),3).
则船的航行速度为eq \f(\r(30),3)÷eq \f(1,6)＝2eq \r(30)(千米/时)．
(2)在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，sin∠DCA
＝sin(180°－∠ACB)＝sin∠ACB＝eq \f(AB,BC)＝eq \f(\r(3),\f(\r(30),3))＝eq \f(3\r(10),10)，sin∠CDA＝sin(∠ACB－30°)
＝sin∠ACB·cs 30°－cs∠ACB·sin 30°
＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2) eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(10)（3\r(3)－1）,20).
由正弦定理得eq \f(AD,sin∠DCA)＝eq \f(AC,sin∠CDA)，
所以AD＝eq \f(AC·sin∠DCA,sin∠CDA)＝eq \f(\f(\r(3),3)×\f(3\r(10),10),\f(\r(10)（3\r(3)－1）,20))＝eq \f(9＋\r(3),13).
故此时船距岛A有eq \f(9＋\r(3),13)千米．