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苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.12矩形的性质与判定大题专练（重难点培优）（原卷版+解析）
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这是一份苏科版 八年级数学下册尖子生培优必刷题 专题9.12矩形的性质与判定大题专练（重难点培优）（原卷版+解析），共48页。
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.12矩形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题1．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．2．(2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且AE∥BD．求证：AC=AE3．(2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在▱ABCD中，延长BC到点E，使得BC=CE，连接AE、DE．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)如果AB=AE=5，BE=4，求四边形ACED的面积．4．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：AC＝CE；(2)若DE＝6，CD＝8，求△AOB的周长．5．(2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；(2)若四边形AFDE是矩形，AE=1，AF=2，求BC的长．6．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．(1)求证：△BCE≌△FDE；(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．7．(2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC．(1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；(2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．8．(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AC=BC，D是AB的中点，CE∥AB，CE=12AB．(1)求证：四边形CDBE是矩形；(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长．9．(2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(2)加上条件______（从①三个条件∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC中选择一个，写序号），能使结论_______成立（从两个结论①四边形ADEF为菱形；②四边形ADEF为矩形中选择一个，写序号），并加以证明．10．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点．(1)证明：四边形EGFH是平行四边形；(2)结合以上信息，从①AB=CD；②∠ABC+∠DCB=90°；③∠ABC=∠DCB这三个条件选择一个作为补充条件，使得四边形EGFH为矩形，并说明理由．你选择的补充条件是 （只填序号）．11．(2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF，(1)求证：BD=DC；(2)如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．12．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．13．(2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED=BE；（3）连接AD和DC．请说明四边形ABCD为矩形的理由．14．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．15．(2023春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．（1）求∠CFD的度数；（2）求证：四边形FDEC是矩形．16．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知四边形ABCD，AD＝BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点O，点E是四边形ABCD外一点．（1）求证：AC、BD互相平分；（2）若∠AEC＝∠BED＝90°，请判断四边形ABCD的形状，并给予证明．17．(2023春·江苏苏州·八年级阶段练习）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．18．(2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．19．(2023春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．20．(2023春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．(3)若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．21．(2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=90°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．22．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．23．(2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．(1)求证：四边形OCEB是矩形；(2)如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长．24．(2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．25．(2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：BC＝DF；(2)连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．26．(2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．（1）求证：ΔAOE≅ΔCOF；（2）四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF是矩形，则线段AB、AC的数量关系是______．27．(2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转β°0<β<180，分别交直线BC、AD于点E、F．(1)当β=______°，四边形ABEF是平行四边形；(2)在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意找4个点为顶点构造四边形．①β=______°，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有______个．28．(2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝2，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．(1)当点F在对角线AC上时，求FC的长；(2)当△FCE是直角三角形时，求BE的长．29．(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5在AD上取一点E,AE=2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF=x,△BFM的面积为S．（1）当四边形EFMN是正方形时，求x的值；（2）当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；（3）当x= 时，△BFM的面积S最大：当x= 时，△BEM的面积S最小；（4）在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．30．(2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10,BC=AD=8．（1）P为边BC上一点，如图，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）①当点E落在CD边上时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时DE=_________；②若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，求BQ的长． 【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.12矩形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题1．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．【答案】43【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，证得AE是线段OB的垂直平分线，然后证得△OAB是等边三角形，求得AB=OB=4，再利用勾股定理即可求得AD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB， ∵BE=2，DE=6，∴BD=8，∴OB=4，∴BE=EO=2，∵AE⊥BD于E，∴AE是线段OB的垂直平分线，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴AB=OB=4，∴AD=BD2−AB2=43．【点睛】此题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．2．(2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且AE∥BD．求证：AC=AE【答案】证明见解析【分析】先根据矩形的性质可得AC=BD,AB∥CD，再根据平行四边形的判定可得四边形ABDE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得AE=BD，最后根据等量代换即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,AB∥CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∴AC=AE．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．3．(2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在▱ABCD中，延长BC到点E，使得BC=CE，连接AE、DE．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)如果AB=AE=5，BE=4，求四边形ACED的面积．【答案】(1)见解析(2)221【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据BC=CE，可得AD=CE，根据一组对边平行且相等即可得证；（2）先证明四边形ACED是矩形，根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边，∴AD∥BC，AD=BC，∵ BC=CE，∴AD=CE，∵ E在BC的延长线上，∴AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边，∴AB=CD，∵ AB=AE=5，∴AE=CD，∵四边形ACED是平行四边形；AE=CD，∴四边形ACED是矩形，∵BC=CE,BE=4，∴CE=2，Rt△ACE中，AC=AE2−CE2=52−22=21，∴四边形ACED的面积为CE×AC =21×2=221．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．4．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：AC＝CE；(2)若DE＝6，CD＝8，求△AOB的周长．【答案】(1)见解析(2)18【分析】（1）根据矩形的性质求出AC=BD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出四边形DECB是平行四边形，根据平行四边形的性质得出BD=CE即可；（2）根据平行四边形的性质可得BC=DE=6，然后根据勾股定理即可解决问题．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，BC∥AD，即BC∥DE，∵CE∥BD，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD=CE，∴AC=CE；（2）解：∵四边形DECB是平行四边形，∴BC=DE=6，∵AB=CD=8，∴BD=BC2+CD2=10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA+OB=BD=10，∴△AOB的周长=OA+OB+AB=10+8=18．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AC=BD和得出四边形DECB是平行四边形．5．(2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；(2)若四边形AFDE是矩形，AE=1，AF=2，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)25【分析】（1）证明DE、DF为△ABC的中位线，得出DE∥AB，DF∥AC，可证四边形AFDE是平行四边形；（2）求出AC，AB的长，由矩形的性质得出∠A=90°，由勾股定理可得出答案．（1）证明：∵D，E分别为BC，AC两边的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，同理可得DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形；（2）解：∵点E是AC的中点，AE=1，∴AC=2AE=2，同理，AB=2AF=4，∵四边形AFDE是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAC中，BC=AC2+AB2＝22+42＝25．【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．6．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．(1)求证：△BCE≌△FDE；(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．【答案】(1)详见解析(2)四边形AEFG是矩形，详见解析【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE＝∠CBE，∵E为CD边的中点，∴DE＝CE，在△BCE和△FDE中，∠BEC=∠FED∠CBE=∠DFECE=DE，∴△BCE≌△FDE（AAS）；（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，由（1）得：△BCE≌△FDE，∴BC＝FD，BE＝FE，∴FD＝AD，∵GD＝DE，∴四边形AEFG是平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵BE＝FE，∴AE⊥FE，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFG是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键．7．(2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC．(1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；(2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．【答案】(1)选择①，证明见解析(2)当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析【分析】（1）选择①MN∥BC；根据CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，可得∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，再由MN∥BC，可得∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF，从而得到∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，进而得到OC=OE，OC=OF，即可求证；（2）可先证明四边形AECF是平行四边形，由（1）得OE=OF=OC，从而得到AC=EF，即可求证．（1）选择①MN∥BC；证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF，∴∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：∵点O为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（1）得：OE=OF=OC，∴OE=OF=OC=OA，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，矩形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定，矩形的判定是解题的关键．8．(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AC=BC，D是AB的中点，CE∥AB，CE=12AB．(1)求证：四边形CDBE是矩形；(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长．【答案】(1)见解析(2)DF=125【分析】（1）根据CE=12AB，D是AB的中点，可得BD=CE，根据CE∥AB，即可得四边形CDBE是平行四边形，根据三线合一可得CD⊥AB，即可得证；（2）勾股定理求得BD=4，进而根据等面积法即可求解．（1）证明∵AC=BC,D是AB中点，∴CD⊥AB,BD=12AB． ∵CE=12AB，∴BD=CE． ∵CE∥AB，∴四边形CDBE是平行四边形． ∵CD⊥AB，∴▱CDBE是矩形．（2）∵AC=5,AC=BC，∴BC=5．∵CD=3,CD⊥AB，∴BD=52−32=4． ∵DF⊥BC，∴S△CDB=12CD⋅BD =12DF⋅BC，∴DF=125．【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．9．(2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(2)加上条件______（从①三个条件∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC中选择一个，写序号），能使结论_______成立（从两个结论①四边形ADEF为菱形；②四边形ADEF为矩形中选择一个，写序号），并加以证明．【答案】(1)见解析(2)①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三种情况任选一种即可）【分析】（1）根据三角形中位线定理可证；（2）若选①∠BAC=90°根据（1）中ADEF为平行四边形的基础，可以证明四边形ADEF为矩形；若选②AE平分∠BAC，则在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF＝EF，从而得出四边形ADEF为菱形；若选③AB＝AC，三角形中位线定理，即可证明EF＝DE ，再根据四边形AEDF为平行四边形，即可证明四边形为菱形．（1）证明：∵D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DE＝12AC＝AF，即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）解：选①∠BAC=90°，证明②四边形ADEF为矩形，根据解析（1）可知，四边形ADEF为平行四边形，∵∠BAC=90°，∴四边形ADEF为矩形．选②AE平分∠BAC，证明①四边形ADEF为菱形，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC证明①四边形ADEF为菱形，∵EF∥AB，EF＝12AB，DE∥AC，DE＝12AC，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∵四边形ADEF为平行四边形，∴四边形ADEF为菱形．故答案为：①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三种情况任选一种即可）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线性质定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键．10．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点．(1)证明：四边形EGFH是平行四边形；(2)结合以上信息，从①AB=CD；②∠ABC+∠DCB=90°；③∠ABC=∠DCB这三个条件选择一个作为补充条件，使得四边形EGFH为矩形，并说明理由．你选择的补充条件是 （只填序号）．【答案】(1)证明见解析(2)②；理由见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EG=12AB,EG//AB,FH=12AB,FH//AB.再根据平行四边形的判定定理证明即可．（2）根据矩形的判定定理即可解答．（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△DAB的中位线，∴EG=12AB,EG//AB,F，H分别是BC，AC的中点，∴HF是△ABC的中位线，∴HF=12AB,HF//AB, ∴EG=FH,EG//FH,∴四边形EGFH是平行四边形．（2）补充的条件是②理由如下：由（1）可知：HF//AB,GF//DC, ∴∠ABC=∠HFC,∠DCB=∠GFB, ∵∠ABC+∠DCB=90°, ∴∠HFC+∠GFB=90°, ∴∠GFH=180°−∠HFC+∠GFB=180°−90°=90°,由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是矩形．故答案为：②．【点睛】本题主要考查了平行四边形和矩形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定是解此题的关键．11．(2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF，(1)求证：BD=DC；(2)如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)四边形ADCF是矩形，理由见解析【分析】（1）证明△AEF≌△DEB可得AF=BD由AF=DC等量代换即可得证；（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，由（1）得BD=DC ，根据AB=AC，BD=DC，可得AD⊥BC即可得证．（1）证明：∵E是AD的中点 ∴AE=ED ∵AF∥BC ∴∠AFE=∠EBD∵∠AEF=∠BED ∴△AEF≌△DEB ∴AF=BD ∵AF=DC ∴BD=DC（2）四边形ADCF是矩形，理由如下：∵AF∥DC，AF=DC ∴四边形ADCF是平行四边形，由（1）得BD=DC ∵AB=AC，BD=DC ∴AD⊥BC∴∠ADC=90°∴ 四边形ADCF是矩形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三线合一，矩形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．12．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．【答案】(1)见解析(2)对角线的长为8，矩形的面积为163【分析】（1）由O为AC的中点，可得OA=OC，然后根据对角线互相平分可证四边形ABCD为平行四边形，又∠ABC＝90°，即可证明四边形ABCD为矩形；（2）易证OE为△ABC的中位线，可得AB=2OE=4，根据矩形的性质和∠AOB＝60°，可证△AOB为等边三角形，可得OA=BO=AB，继而可得对角线AC=8，在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC=43，继而可求得矩形的面积.（1）证明：∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵OD=OB，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：∵OA=OC，∴E为BC的中点，∴BE=CE，∴OE为△ABC的中位线，∴AB=2OE=2×2=4，∵ABCD为矩形，∴OA=12AC，OB=12BD， ∵AC= BD，∴OA= OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴OA=BO=AB=4，∴对角线AC=BD=2OA=8，∵∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，∴BC=82−42=43，∴ 矩形的面积AB⋅BC=4×43=163.【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，熟记相关定理是解题的关键.13．(2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED=BE；（3）连接AD和DC．请说明四边形ABCD为矩形的理由．【答案】理由见解析【分析】根据对角线互相平分证四边形ABCD是平行四边形，然后结合直角证明结论即可．【详解】证明：∵E为AC中点，∴AE=CE，∵ED=BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，是解题关键．14．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．【答案】(1)见解析(2)添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EH=12BD，EH∥BD，FG=12BD，FG∥BD，进而得到EH=FG，EH∥FG，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）由（1）知四边形EFGH是平行四边形，添加条件AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明结论．(1)证明：如图，连接BD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=12BD，EH∥BD，FG=12BD，FG∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；(2)解：添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形，理由如下：如图，连接AC、BD，由（1）知四边形EFGH为平行四边形，∵EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH=90°．∴四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形和平行四边形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．15．(2023春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．（1）求∠CFD的度数；（2）求证：四边形FDEC是矩形．【答案】（1）∠CFD＝90°；（2）见解析【分析】（1）由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案；（2）由（1）可知DF⊥AC，利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DE⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证四边形DECF是矩形．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD，∵DF是∠ADC的角平分线，∴DF⊥AC．∴∠CFD＝90°；（2）证明：如图，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴BD＝CD，∵DE是∠BDC的角平分线，∴DE⊥BC．∴∠DEC＝90°，∵∠CFD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线，三线合一定理，矩形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知四边形ABCD，AD＝BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点O，点E是四边形ABCD外一点．（1）求证：AC、BD互相平分；（2）若∠AEC＝∠BED＝90°，请判断四边形ABCD的形状，并给予证明．【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，则OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝12AC，OE＝12BD，则AC＝BD，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分；（2）解：四边形ABCD是矩形，证明如下：连接OE，如图所示：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠AEC＝∠BED＝90°，∴OE＝12AC，OE＝12BD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．17．(2023春·江苏苏州·八年级阶段练习）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，即DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平行四边形，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出∠DEB=90°，根据勾股定理求出AD，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠DEB=90°，∵AE=3，DE=4，DF=5，∴AD=AE2+DE2=5，∴AD=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．18．(2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质得到∠B＝∠EAC，AE＝BD，再根据全等三角形的判定定理即可证明；（2）根据平行四边形性质推出AE＝BD＝CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC＝DE推出即可．【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，AB=AC∠B=∠EACBD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS）．（2）答：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，AB＝ED，∵D为边长BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝AC，∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质和判定，利用全等三角形的判定与性质进行推理证明．19．(2023春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，AC=ED∠ACD=∠EDCDC=CD，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．20．(2023春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．(3)若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．【答案】(1)见解析；(2)DE=2；(3)矩【分析】（1）运用ASA证明△ABO≌△CDO得AB=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证得结论；（2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度；（3）由∠AOB=2∠ADB可得∠OAD=∠ADO，由平行四边形的性质可得AC=BD，从而可得结论．（1）∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，在△ABO和△DCO中，∠BAO=∠DCOAO=CO∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴DE=AD-AE=BC-AB，∵BC-AB=2，∴DE=2；（3）∵∠AOB是△ADO的外角，∴∠AOB=∠OAD+∠ODA，∵∠AOB=2∠ADB，∴∠OAD=∠ODA，∴AO=DO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，DO=BO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故答案为：矩．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．(2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=90°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，由AB=AC，D为边BC的中点，可得∠ADC=90°，可证四边形ADCE是矩形；（2）根据∠AOE=90°，证明矩形ADCE是正方形，得CE=AE=2，∠AEC=90°， 由勾股定理可得AC=AE2+CE2=22，即为矩形ADCE对角线的长．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD=AE，BD∥AE，∵D为BC的中点，∴CD=BD，∴CD=AE，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AB=AC，D为边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，∴矩形ADCE是正方形，∴CE=AE=2，∠AEC=90°， ∴由勾股定理可得AC=AE2+CE2=22，即矩形ADCE对角线的长为22．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形和正方形的判定和勾股定理，熟练应用相关的判定和性质是解答本题的关键。22．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)详见解析；(2)75°；(3)43．【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，∵CO＝CE，∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，由（1）可知，∠OCB＝30°，∴AC=2AB=4，∴BC=23，∴矩形OEC的面积=BC×AB=43．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．23．(2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．(1)求证：四边形OCEB是矩形；(2)如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）先证明四边形OCEB是平行四边形，再根据菱形的性质得出AC⊥BD，即可证明四边形OCEB是矩形；（2）根据菱形对角线的性质可知，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，用勾股定理即可求出OE的长度．【详解】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC为矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝6，OB＝OD＝12BD＝8，∴∠BOC=90°，BC＝OC2+OB2=62+82＝10，∵平行四边形OCED为矩形，∴OE＝BC＝10．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定定理是解题的关键．24．(2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）先判定四边形ADCE是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；（2）证出矩形ADCE是正方形，即可解决问题．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，BD∥AE，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴CD＝AE．∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB＝AC，D为边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，∴矩形ADCE是正方形，∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，∴AC=2AE＝22，即矩形ADCE对角线的长为22．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．(2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：BC＝DF；(2)连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析．【分析】（1）用平行四边形的定义判定；（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形．用DE是三角形中位线证明BD=AD，用四边形DBCF是平行四边形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四边形ADCF是平行四边形，根据AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，从而平行四边形ADCF是矩形．（1）（1）∵DE是△ABC的中位线，∴2DE＝BC，DE∥BC，∵CF∥AB，∴四边形DBCF是平行四边形，∴BC=DF；（2）（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：∵DE是△ABC的中位线，∴DB＝AD， ∵四边形DBCF是平行四边形，∴DB＝CF，∴AD＝CF，∵AB∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵BC＝AC，BC=CF，∴AC=DF，∴平行四边形ADCF是矩形．【点睛】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键．26．(2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．（1）求证：ΔAOE≅ΔCOF；（2）四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF是矩形，则线段AB、AC的数量关系是______．【答案】（1）见解析；（2）四边形EGCF为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；（2）利用ΔAOE≅ΔCOF得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可证得四边形EGCF是平行四边形；（3）AC=2AB，根据平行四边形的性质推出AB=AO，利用点E是OB的中点，得到AG⊥OB，即可得到四边形EGCF是矩形.【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵点E、F分别为OB、OD的中点，∴OE=12OB，OF=12OD，则OE=OF，在ΔAOE与ΔCOF中OA=OC∠AOE=∠COFOE=OF∴ΔAOE≅ΔCOF；（2）∵ΔAOE≅ΔCOF，∴∠EAO=∠FCO，AE=CF，∴AE//CF，又∵GE=AE，∴GE=CF，∴四边形EGCF为平行四边形；（3）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.∵AC=2AB，AC=2AO，∴AB=AO，∵点E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠GEF=90°，∴四边形EGCF是矩形.故答案为：AC=2AB.【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.27．(2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转β°0<β<180，分别交直线BC、AD于点E、F．(1)当β=______°，四边形ABEF是平行四边形；(2)在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意找4个点为顶点构造四边形．①β=______°，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有______个．【答案】(1)90(2)①45或90；②2【分析】（1）根据平行四边形的判断方法即可解决问题．（2）①根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，分两种情形解决问题即可；②根据对角线相等的四边形是矩形，分两种情形讨论求解即可．（1）解：当β=90°时，四边形ABEF是平行四边形．理由：∵AB⊥AC，∴∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．故答案为：90．（2）①当β=45°，即∠AOF=45°时，四边形BEDF是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OD=OB，OA=OC，∴∠FDO=∠EBO，在△FDO和△EBO中，∠FDO=∠EBOOD=OB∠FOD=∠EOB，∴△FDO≌△EBOASA，∴DF=BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AC=2AB，∴2AO=2AB，即AO=AB，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴∠BOF=∠ABO+∠AOF=45°+45°=90°，∴BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形；当β=90°，即∠AOF=90°时，四边形AECF是菱形． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠FAO=∠ECO，在△FAO和△ECO中，∠FAO=∠ECOOA=OC∠FOA=∠EOC，∴△FAO≌△ECOASA，∴AF=CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵∠AOF=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．故答案为：45或90．②设AB=a，∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AC，AC=2AB，∴∠BAC=90°，AC=2a，AD=BC，∴BC=a2+2a2=5a=AD，分两种情况：第一种情况：如图，当EF=AC时，四边形AECF是矩形，对角线EF=AC=2a，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴S△ABC=12AB·AC=12BC·AE，即12×a×2a=12×5a×AE，∴AE=25a5，即AD与BC之间的距离为25a5，∴EC=AC2−AE2=2a2−25a52=45a5，∴矩形AECF的两边的长分别为25a5和45a5；第二种情况：如图，当EF=BD时，四边形BEDF是矩形，∴∠BFA=90°，BF=25a5，∴AF=AB2−BF2=a2−25a52=5a5，∴DF=AF+AD=5a5+5a=65a5，∴矩形BEDF的两边的长分别为25a5和65a5．∴若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有2个．故答案为：2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，三角形的全等的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．28．(2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝2，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．(1)当点F在对角线AC上时，求FC的长；(2)当△FCE是直角三角形时，求BE的长．【答案】(1)FC＝4−23；(2)43−6或6−26或23．【分析】（1）根据勾股定理求得对角线AC的长度，根据轴对称图形的性质可得AF=AB，即可求得FC的长度；（2）分∠CFE是直角、当∠FCE是直角、当∠CEF是直角三种情况进行讨论，对每种不同情况利用勾股定理、等面积法以及正方形的性质求解．（1）解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°．∵AB=23,BC=2，∴AC=AB2+BC2=4，∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE，∴AF=AB=23，∴FC=AC−AF=4−23（2）解：当△FCE是直角三角形时，①当∠CFE是直角时，如图所示：由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC，设BE＝x，则EF＝x，∴S△ABC=12×2×23=23，S△ABE=12×23×x=3x，S△ACE=12×4×x=2x，又∵S△ABC=S△ABE+S△ACE∴23=3x+2x解得：x＝43−6．∴BE=43−6；②当∠FCE是直角时，如图所示：∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．∴AB=AF,BE=EF，在Rt△ADF中，AD=2，∴DF=AF2−AD2=22，∴CF=DC−DF=23−22，设BE＝x，则EF＝x，CE=2−x，∴在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，x2=(2−x)2+(23−22)2，解得：x=6−26，∴BE=EF=6−26；③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，则BE=EF，AB=AF，又∵∠EBA=∠BAF=90°，∴四边形ABEF为矩形．又∵BE=EF，∴矩形ABEF为正方形，∴BE=AB=EF=23．综上，BE的长为43−6或6−26或23．【点睛】此题考查了矩形的有关性质，轴对称图形的性质，勾股定理，正方形的判定及性质，熟练掌握矩形的有关性质是解题的关键．29．(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5在AD上取一点E,AE=2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF=x,△BFM的面积为S．（1）当四边形EFMN是正方形时，求x的值；（2）当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；（3）当x= 时，△BFM的面积S最大：当x= 时，△BEM的面积S最小；（4）在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．【答案】（1）3；（2）S=−32x+12；（3）5；6916；（4）8−5【分析】（1）由题意证明△DNE≌△AEF即可求出x的值；（2）过点M作MQ⊥AB于点Q，连结NF，由题意证明出△DEN≌△QMF求出MQ的长度，然后根据三角形面积的表示方法即可求出S与x的函数关系式；（3）根据表达式分析出面积最大时的图像，然后根据矩形和菱形的性质列出方程求解即可．（4）由图像可判断出M点的轨迹，根据矩形的性质即可求出点M运动的路线长．【详解】解：（1）∵正方形EFMN中EF=NE,∠NEF=90°且∠A=∠D=90°∴∠DNE+∠DEN=∠AEF+∠DEN=90°即∠DNE=∠AEF在△DNE和△AEF中∠D=∠A∠DNE=∠AEFNE=EF∴△DNE≌△AEF(AAS)∴AF=DE=3即x=3．（2）过点M作MQ⊥AB于点Q，连结NF∴∠1=∠D=90°∵菱形ENMF中NE//FM,NE=FM∴∠4=∠5∵AB//CD∴∠DNF=∠BFN即∠3+∠4=∠2+∠5∴∠3=∠2在△DEN和△QMF中∠D=∠1∠3=∠2EN=MF∴△DEN≌△QMF(AAS)∴MQ=ED=3∴S=12⋅(8−x)⋅3=−32x+12（3）由表达式S=−32x+12可知，当x取最小值时，S最大，由图像可知，当点N和点D重合是，x取最小值，故此时S最大，∴EF=ED=3，∴在Rt△AEF中，x=EF2−AE2=32−22=5；同理，表达式S=−32x+12可知，当x取最小值时，S最大，由图像可知，当点M在线段BC上时，x取最大值，故此时S最小，此时，根据矩形和菱形的对称性可证得△AEF≌△CMN，∴CN=AF=x，DN=8−x，∴在△DEN中，DN2+DE2=EN2(8−x)2+32=22+x2解得：x=6916．（4）如下图所示，△BFM的面积由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行于AB的线段，∵M1F1//AD,AD//BC,∴M1F1//BC,又∵M1M2//F1B，所以四边形M1M2F1B是平行四边形，又∵∠B=90°，∴四边形M1M2F1B是矩形，∴M1M2=F1B=AB−AF1=8−5．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，矩形和菱形的性质和判定，解题的关键是根据题意画出图像，并分析出线段之间的数量关系．30．(2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10,BC=AD=8．（1）P为边BC上一点，如图，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）①当点E落在CD边上时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时DE=_________；②若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，求BQ的长．【答案】（1）①6，画图见详解；②EC∥PA，理由见详解；（2）BQ=10【分析】（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，根据勾股定理可得DE；②如图2中，结论：EC∥PA．只要证明PA⊥BE，EC⊥BE即可解决问题；（2）分两种情形：①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P．在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AE＝AB＝10，AD＝8，∴DE＝AE2−AD2=102−82＝6，故答案为6．②如图2中，结论：EC∥PA．理由：由翻折不变性可知：AE＝AB，PE＝PB，∴PA垂直平分线段BE，即PA⊥BE，∵PB＝PC＝PE，∴∠BEC＝90°，∴EC⊥BE，∴EC∥PA；（2）①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，设DQ＝QD′＝x．在Rt△AD′B中，∵AD′＝AD＝8，AB＝10，∠AD′B＝90°，∴BD′＝AB2−AD′2=6，在Rt△BQC中，∵CQ2＋BC2＝BQ2，∴（10−x）2＋82＝（x＋6）2，∴x＝4，∴QD′＝4，∴BQ= QD′+ BD′=4+6=10；②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，∵DQ∥AB，∴∠DQA＝∠QAB，∵∠DQA＝∠AQB，∴∠QAB＝∠AQB，∴BQ＝AB =10，综上所述，BQ=10．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用未知数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.12矩形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题1．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．2．(2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且AE∥BD．求证：AC=AE3．(2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在▱ABCD中，延长BC到点E，使得BC=CE，连接AE、DE．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)如果AB=AE=5，BE=4，求四边形ACED的面积．4．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：AC＝CE；(2)若DE＝6，CD＝8，求△AOB的周长．5．(2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；(2)若四边形AFDE是矩形，AE=1，AF=2，求BC的长．6．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．(1)求证：△BCE≌△FDE；(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．7．(2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC．(1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；(2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．8．(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AC=BC，D是AB的中点，CE∥AB，CE=12AB．(1)求证：四边形CDBE是矩形；(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长．9．(2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(2)加上条件______（从①三个条件∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC中选择一个，写序号），能使结论_______成立（从两个结论①四边形ADEF为菱形；②四边形ADEF为矩形中选择一个，写序号），并加以证明．10．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点．(1)证明：四边形EGFH是平行四边形；(2)结合以上信息，从①AB=CD；②∠ABC+∠DCB=90°；③∠ABC=∠DCB这三个条件选择一个作为补充条件，使得四边形EGFH为矩形，并说明理由．你选择的补充条件是 （只填序号）．11．(2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF，(1)求证：BD=DC；(2)如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．12．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．13．(2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED=BE；（3）连接AD和DC．请说明四边形ABCD为矩形的理由．14．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．15．(2023春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．（1）求∠CFD的度数；（2）求证：四边形FDEC是矩形．16．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知四边形ABCD，AD＝BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点O，点E是四边形ABCD外一点．（1）求证：AC、BD互相平分；（2）若∠AEC＝∠BED＝90°，请判断四边形ABCD的形状，并给予证明．17．(2023春·江苏苏州·八年级阶段练习）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．18．(2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．19．(2023春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．20．(2023春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．(3)若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．21．(2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=90°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．22．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．23．(2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．(1)求证：四边形OCEB是矩形；(2)如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长．24．(2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．25．(2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：BC＝DF；(2)连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．26．(2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．（1）求证：ΔAOE≅ΔCOF；（2）四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF是矩形，则线段AB、AC的数量关系是______．27．(2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转β°0<β<180，分别交直线BC、AD于点E、F．(1)当β=______°，四边形ABEF是平行四边形；(2)在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意找4个点为顶点构造四边形．①β=______°，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有______个．28．(2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝2，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．(1)当点F在对角线AC上时，求FC的长；(2)当△FCE是直角三角形时，求BE的长．29．(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5在AD上取一点E,AE=2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF=x,△BFM的面积为S．（1）当四边形EFMN是正方形时，求x的值；（2）当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；（3）当x= 时，△BFM的面积S最大：当x= 时，△BEM的面积S最小；（4）在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．30．(2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10,BC=AD=8．（1）P为边BC上一点，如图，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）①当点E落在CD边上时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时DE=_________；②若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，求BQ的长． 【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.12矩形的性质与判定大题提升训练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、解答题1．(2023春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，BE=2，DE=6，求AD的长．【答案】43【分析】由在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，证得AE是线段OB的垂直平分线，然后证得△OAB是等边三角形，求得AB=OB=4，再利用勾股定理即可求得AD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB， ∵BE=2，DE=6，∴BD=8，∴OB=4，∴BE=EO=2，∵AE⊥BD于E，∴AE是线段OB的垂直平分线，∴AB=OA，∴OA=AB=OB，即△OAB是等边三角形，∴AB=OB=4，∴AD=BD2−AB2=43．【点睛】此题考查了矩形的性质、线段的垂直平分线的判定和性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，结合已知条件和等边三角形的判定方法证明△OAB是等边三角形是解题关键．2．(2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且AE∥BD．求证：AC=AE【答案】证明见解析【分析】先根据矩形的性质可得AC=BD,AB∥CD，再根据平行四边形的判定可得四边形ABDE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得AE=BD，最后根据等量代换即可得证．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD,AB∥CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD，∴AC=AE．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．3．(2023春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在▱ABCD中，延长BC到点E，使得BC=CE，连接AE、DE．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)如果AB=AE=5，BE=4，求四边形ACED的面积．【答案】(1)见解析(2)221【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，根据BC=CE，可得AD=CE，根据一组对边平行且相等即可得证；（2）先证明四边形ACED是矩形，根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边，∴AD∥BC，AD=BC，∵ BC=CE，∴AD=CE，∵ E在BC的延长线上，∴AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边，∴AB=CD，∵ AB=AE=5，∴AE=CD，∵四边形ACED是平行四边形；AE=CD，∴四边形ACED是矩形，∵BC=CE,BE=4，∴CE=2，Rt△ACE中，AC=AE2−CE2=52−22=21，∴四边形ACED的面积为CE×AC =21×2=221．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．4．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：AC＝CE；(2)若DE＝6，CD＝8，求△AOB的周长．【答案】(1)见解析(2)18【分析】（1）根据矩形的性质求出AC=BD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出四边形DECB是平行四边形，根据平行四边形的性质得出BD=CE即可；（2）根据平行四边形的性质可得BC=DE=6，然后根据勾股定理即可解决问题．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，BC∥AD，即BC∥DE，∵CE∥BD，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD=CE，∴AC=CE；（2）解：∵四边形DECB是平行四边形，∴BC=DE=6，∵AB=CD=8，∴BD=BC2+CD2=10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA+OB=BD=10，∴△AOB的周长=OA+OB+AB=10+8=18．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AC=BD和得出四边形DECB是平行四边形．5．(2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期末）如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．(1)求证：四边形AFDE是平行四边形；(2)若四边形AFDE是矩形，AE=1，AF=2，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)25【分析】（1）证明DE、DF为△ABC的中位线，得出DE∥AB，DF∥AC，可证四边形AFDE是平行四边形；（2）求出AC，AB的长，由矩形的性质得出∠A=90°，由勾股定理可得出答案．（1）证明：∵D，E分别为BC，AC两边的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，同理可得DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形；（2）解：∵点E是AC的中点，AE=1，∴AC=2AE=2，同理，AB=2AF=4，∵四边形AFDE是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAC中，BC=AC2+AB2＝22+42＝25．【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．6．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．(1)求证：△BCE≌△FDE；(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．【答案】(1)详见解析(2)四边形AEFG是矩形，详见解析【分析】（1）由AAS证明△BCE≌△FDE即可；（2）先证四边形AEFG是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出结论．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE＝∠CBE，∵E为CD边的中点，∴DE＝CE，在△BCE和△FDE中，∠BEC=∠FED∠CBE=∠DFECE=DE，∴△BCE≌△FDE（AAS）；（2）解：四边形AEFG是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC，由（1）得：△BCE≌△FDE，∴BC＝FD，BE＝FE，∴FD＝AD，∵GD＝DE，∴四边形AEFG是平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠ABF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB，∵BE＝FE，∴AE⊥FE，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFG是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△BCE≌△FDE是解题的关键．7．(2023春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE=OC；③OF=OC．(1)请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE=OF；(2)在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．【答案】(1)选择①，证明见解析(2)当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由见解析【分析】（1）选择①MN∥BC；根据CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，可得∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，再由MN∥BC，可得∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF，从而得到∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，进而得到OC=OE，OC=OF，即可求证；（2）可先证明四边形AECF是平行四边形，由（1）得OE=OF=OC，从而得到AC=EF，即可求证．（1）选择①MN∥BC；证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF，∵MN∥BC，∴∠CEF=∠BCE，∠CFE=∠DCF，∴∠CEF=∠ACE，∠CFE=∠ACF，∴OC=OE，OC=OF，∴OE=OF；（2）当点O在边AC上运动到的中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：∵点O为AC的中点，∴OA=OC，∵OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，由（1）得：OE=OF=OC，∴OE=OF=OC=OA，即AC=EF，∴四边形AECF是矩形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，矩形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定，矩形的判定是解题的关键．8．(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，AC=BC，D是AB的中点，CE∥AB，CE=12AB．(1)求证：四边形CDBE是矩形；(2)若AC=5，CD=3，F是BC上一点，且DF⊥BC，求DF长．【答案】(1)见解析(2)DF=125【分析】（1）根据CE=12AB，D是AB的中点，可得BD=CE，根据CE∥AB，即可得四边形CDBE是平行四边形，根据三线合一可得CD⊥AB，即可得证；（2）勾股定理求得BD=4，进而根据等面积法即可求解．（1）证明∵AC=BC,D是AB中点，∴CD⊥AB,BD=12AB． ∵CE=12AB，∴BD=CE． ∵CE∥AB，∴四边形CDBE是平行四边形． ∵CD⊥AB，∴▱CDBE是矩形．（2）∵AC=5,AC=BC，∴BC=5．∵CD=3,CD⊥AB，∴BD=52−32=4． ∵DF⊥BC，∴S△CDB=12CD⋅BD =12DF⋅BC，∴DF=125．【点睛】本题考查了矩形的判定，勾股定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．9．(2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、AE．(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；(2)加上条件______（从①三个条件∠BAC=90°；②AE平分∠BAC；③AB=AC中选择一个，写序号），能使结论_______成立（从两个结论①四边形ADEF为菱形；②四边形ADEF为矩形中选择一个，写序号），并加以证明．【答案】(1)见解析(2)①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三种情况任选一种即可）【分析】（1）根据三角形中位线定理可证；（2）若选①∠BAC=90°根据（1）中ADEF为平行四边形的基础，可以证明四边形ADEF为矩形；若选②AE平分∠BAC，则在（1）中ADEF为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明AF＝EF，从而得出四边形ADEF为菱形；若选③AB＝AC，三角形中位线定理，即可证明EF＝DE ，再根据四边形AEDF为平行四边形，即可证明四边形为菱形．（1）证明：∵D、E、F为AB、BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥AC，DE＝12AC＝AF，即DE∥AF，DE＝AF，∴四边形ADEF为平行四边形．（2）解：选①∠BAC=90°，证明②四边形ADEF为矩形，根据解析（1）可知，四边形ADEF为平行四边形，∵∠BAC=90°，∴四边形ADEF为矩形．选②AE平分∠BAC，证明①四边形ADEF为菱形，∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE，又∵ADEF为平行四边形，∴EF∥DA，∴∠DAE＝∠AEF，∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF，∴平行四边形ADEF为菱形．选③AB＝AC证明①四边形ADEF为菱形，∵EF∥AB，EF＝12AB，DE∥AC，DE＝12AC，又∵AB＝AC，∴EF＝DE，∵四边形ADEF为平行四边形，∴四边形ADEF为菱形．故答案为：①；②或②；①或③；①（答案不唯一，三种情况任选一种即可）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线性质定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键．10．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点．(1)证明：四边形EGFH是平行四边形；(2)结合以上信息，从①AB=CD；②∠ABC+∠DCB=90°；③∠ABC=∠DCB这三个条件选择一个作为补充条件，使得四边形EGFH为矩形，并说明理由．你选择的补充条件是 （只填序号）．【答案】(1)证明见解析(2)②；理由见解析【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EG=12AB,EG//AB,FH=12AB,FH//AB.再根据平行四边形的判定定理证明即可．（2）根据矩形的判定定理即可解答．（1）证明：∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG是△DAB的中位线，∴EG=12AB,EG//AB,F，H分别是BC，AC的中点，∴HF是△ABC的中位线，∴HF=12AB,HF//AB, ∴EG=FH,EG//FH,∴四边形EGFH是平行四边形．（2）补充的条件是②理由如下：由（1）可知：HF//AB,GF//DC, ∴∠ABC=∠HFC,∠DCB=∠GFB, ∵∠ABC+∠DCB=90°, ∴∠HFC+∠GFB=90°, ∴∠GFH=180°−∠HFC+∠GFB=180°−90°=90°,由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是矩形．故答案为：②．【点睛】本题主要考查了平行四边形和矩形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定是解此题的关键．11．(2023春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF，(1)求证：BD=DC；(2)如果AB=AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)四边形ADCF是矩形，理由见解析【分析】（1）证明△AEF≌△DEB可得AF=BD由AF=DC等量代换即可得证；（2）先证明四边形ADCF是平行四边形，由（1）得BD=DC ，根据AB=AC，BD=DC，可得AD⊥BC即可得证．（1）证明：∵E是AD的中点 ∴AE=ED ∵AF∥BC ∴∠AFE=∠EBD∵∠AEF=∠BED ∴△AEF≌△DEB ∴AF=BD ∵AF=DC ∴BD=DC（2）四边形ADCF是矩形，理由如下：∵AF∥DC，AF=DC ∴四边形ADCF是平行四边形，由（1）得BD=DC ∵AB=AC，BD=DC ∴AD⊥BC∴∠ADC=90°∴ 四边形ADCF是矩形.【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三线合一，矩形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．12．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．【答案】(1)见解析(2)对角线的长为8，矩形的面积为163【分析】（1）由O为AC的中点，可得OA=OC，然后根据对角线互相平分可证四边形ABCD为平行四边形，又∠ABC＝90°，即可证明四边形ABCD为矩形；（2）易证OE为△ABC的中位线，可得AB=2OE=4，根据矩形的性质和∠AOB＝60°，可证△AOB为等边三角形，可得OA=BO=AB，继而可得对角线AC=8，在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC=43，继而可求得矩形的面积.（1）证明：∵O为AC的中点，∴OA=OC，又∵OD=OB，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：∵OA=OC，∴E为BC的中点，∴BE=CE，∴OE为△ABC的中位线，∴AB=2OE=2×2=4，∵ABCD为矩形，∴OA=12AC，OB=12BD， ∵AC= BD，∴OA= OB，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∴OA=BO=AB=4，∴对角线AC=BD=2OA=8，∵∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，∴BC=82−42=43，∴ 矩形的面积AB⋅BC=4×43=163.【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等，熟记相关定理是解题的关键.13．(2023春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，小明想做一个以AB、BC为边的矩形，于是进行了以下操作：（1）测量得出AC的中点E；（2）连接BE并延长到D，使得ED=BE；（3）连接AD和DC．请说明四边形ABCD为矩形的理由．【答案】理由见解析【分析】根据对角线互相平分证四边形ABCD是平行四边形，然后结合直角证明结论即可．【详解】证明：∵E为AC中点，∴AE=CE，∵ED=BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，是解题关键．14．(2023·江苏·八年级假期作业）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．【答案】(1)见解析(2)添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到EH=12BD，EH∥BD，FG=12BD，FG∥BD，进而得到EH=FG，EH∥FG，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）由（1）知四边形EFGH是平行四边形，添加条件AC⊥BD，根据矩形的判定定理证明结论．(1)证明：如图，连接BD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=12BD，EH∥BD，FG=12BD，FG∥BD，∴EH=FG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形；(2)解：添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形，理由如下：如图，连接AC、BD，由（1）知四边形EFGH为平行四边形，∵EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EH⊥EF，∴∠FEH=90°．∴四边形EFGH是矩形．【点睛】本题考查三角形中位线定理、矩形和平行四边形的判定定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．15．(2023春·江苏盐城·八年级校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线．（1）求∠CFD的度数；（2）求证：四边形FDEC是矩形．【答案】（1）∠CFD＝90°；（2）见解析【分析】（1）由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得出答案；（2）由（1）可知DF⊥AC，利用等腰△ADC“三合一”的性质证得DE⊥BC，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证四边形DECF是矩形．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AD＝CD，∵DF是∠ADC的角平分线，∴DF⊥AC．∴∠CFD＝90°；（2）证明：如图，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴BD＝CD，∵DE是∠BDC的角平分线，∴DE⊥BC．∴∠DEC＝90°，∵∠CFD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边的中线，三线合一定理，矩形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．16．(2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，已知四边形ABCD，AD＝BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点O，点E是四边形ABCD外一点．（1）求证：AC、BD互相平分；（2）若∠AEC＝∠BED＝90°，请判断四边形ABCD的形状，并给予证明．【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析【分析】（1）证四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，则OA＝OC，OB＝OD，再由直角三角形斜边上的中线性质得OE＝12AC，OE＝12BD，则AC＝BD，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分；（2）解：四边形ABCD是矩形，证明如下：连接OE，如图所示：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠AEC＝∠BED＝90°，∴OE＝12AC，OE＝12BD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．17．(2023春·江苏苏州·八年级阶段练习）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形EBFD是矩形．（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，即DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平行四边形，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出∠DEB=90°，根据勾股定理求出AD，求出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，求出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又∵DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形DEBF为矩形；（2）∵四边形DEBF为矩形，∴∠DEB=90°，∵AE=3，DE=4，DF=5，∴AD=AE2+DE2=5，∴AD=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∵AB∥CD，∴∠FAB=∠DFA，∴∠FAB=∠DFA，∴AF平分∠DAB．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．18．(2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质得到∠B＝∠EAC，AE＝BD，再根据全等三角形的判定定理即可证明；（2）根据平行四边形性质推出AE＝BD＝CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC＝DE推出即可．【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB，∴∠B＝∠EAC，在△ABD和△CAE中，AB=AC∠B=∠EACBD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS）．（2）答：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，AE∥BC，AB＝ED，∵D为边长BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，AE∥CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝AC，∴四边形ADCE是矩形，即点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质和判定，利用全等三角形的判定与性质进行推理证明．19．(2023春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC．(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ACD；∵在△ADC和△ECD中，AC=ED∠ACD=∠EDCDC=CD，∴△ADC≌△ECD（SAS）；（2）∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；又∵BD=CD，∴AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形；在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．【点睛】本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．20．(2023春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．(3)若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为 形．【答案】(1)见解析；(2)DE=2；(3)矩【分析】（1）运用ASA证明△ABO≌△CDO得AB=CD，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证得结论；（2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度；（3）由∠AOB=2∠ADB可得∠OAD=∠ADO，由平行四边形的性质可得AC=BD，从而可得结论．（1）∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO，在△ABO和△DCO中，∠BAO=∠DCOAO=CO∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△DCO（ASA），∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴DE=AD-AE=BC-AB，∵BC-AB=2，∴DE=2；（3）∵∠AOB是△ADO的外角，∴∠AOB=∠OAD+∠ODA，∵∠AOB=2∠ADB，∴∠OAD=∠ODA，∴AO=DO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，DO=BO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故答案为：矩．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定以及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．(2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=90°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，由AB=AC，D为边BC的中点，可得∠ADC=90°，可证四边形ADCE是矩形；（2）根据∠AOE=90°，证明矩形ADCE是正方形，得CE=AE=2，∠AEC=90°， 由勾股定理可得AC=AE2+CE2=22，即为矩形ADCE对角线的长．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD=AE，BD∥AE，∵D为BC的中点，∴CD=BD，∴CD=AE，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AB=AC，D为边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）解：∵四边形ADCE是矩形，∠AOE=90°，∴矩形ADCE是正方形，∴CE=AE=2，∠AEC=90°， ∴由勾股定理可得AC=AE2+CE2=22，即矩形ADCE对角线的长为22．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形和正方形的判定和勾股定理，熟练应用相关的判定和性质是解答本题的关键。22．(2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)详见解析；(2)75°；(3)43．【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论；（2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果；（3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝45°，∴EC＝DC，又∵∠BDE＝15°，∴∠CDO＝60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，∴∠DOC＝∠OCD＝60°，∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°，∵CO＝CE，∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°，由（1）可知，∠OCB＝30°，∴AC=2AB=4，∴BC=23，∴矩形OEC的面积=BC×AB=43．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．23．(2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F．(1)求证：四边形OCEB是矩形；(2)如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长．【答案】(1)见解析(2)10【分析】（1）先证明四边形OCEB是平行四边形，再根据菱形的性质得出AC⊥BD，即可证明四边形OCEB是矩形；（2）根据菱形对角线的性质可知，OA＝OC＝12AC，OB＝OD＝12BD，用勾股定理即可求出OE的长度．【详解】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC为矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝6，OB＝OD＝12BD＝8，∴∠BOC=90°，BC＝OC2+OB2=62+82＝10，∵平行四边形OCED为矩形，∴OE＝BC＝10．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质以及矩形的判定定理是解题的关键．24．(2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE＝90°，AE＝2，求矩形ADCE对角线的长．【答案】(1)见解析(2)22【分析】（1）先判定四边形ADCE是平行四边形，再结合AB＝AC，推出∠ADC＝90°，即可得出结论；（2）证出矩形ADCE是正方形，即可解决问题．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，BD∥AE，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴CD＝AE．∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB＝AC，D为边BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．（2）∵四边形ADCE是矩形，∠AOE＝90°，∴矩形ADCE是正方形，∴CE＝AE＝2，∠AEC＝90°，∴AC=2AE＝22，即矩形ADCE对角线的长为22．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．(2023春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．(1)求证：BC＝DF；(2)连接CD、AF，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由见解析．【分析】（1）用平行四边形的定义判定；（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形．用DE是三角形中位线证明BD=AD，用四边形DBCF是平行四边形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四边形ADCF是平行四边形，根据AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，从而平行四边形ADCF是矩形．（1）（1）∵DE是△ABC的中位线，∴2DE＝BC，DE∥BC，∵CF∥AB，∴四边形DBCF是平行四边形，∴BC=DF；（2）（2）当BC＝AC时，四边形ADCF是矩形，理由如下：∵DE是△ABC的中位线，∴DB＝AD， ∵四边形DBCF是平行四边形，∴DB＝CF，∴AD＝CF，∵AB∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵BC＝AC，BC=CF，∴AC=DF，∴平行四边形ADCF是矩形．【点睛】本题主要考查了三角形中位线，平行四边形，熟练掌上三角形中位线性质，平行四边形的判定和性质，是解决此类问题的关键．26．(2023春·江苏徐州·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．（1）求证：ΔAOE≅ΔCOF；（2）四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF是矩形，则线段AB、AC的数量关系是______．【答案】（1）见解析；（2）四边形EGCF为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF即可证得结论；（2）利用ΔAOE≅ΔCOF得到∠EAO=∠FCO，AE=CF，由此推出AE∥CF，EG=CF即可证得四边形EGCF是平行四边形；（3）AC=2AB，根据平行四边形的性质推出AB=AO，利用点E是OB的中点，得到AG⊥OB，即可得到四边形EGCF是矩形.【详解】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵点E、F分别为OB、OD的中点，∴OE=12OB，OF=12OD，则OE=OF，在ΔAOE与ΔCOF中OA=OC∠AOE=∠COFOE=OF∴ΔAOE≅ΔCOF；（2）∵ΔAOE≅ΔCOF，∴∠EAO=∠FCO，AE=CF，∴AE//CF，又∵GE=AE，∴GE=CF，∴四边形EGCF为平行四边形；（3）当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形.∵AC=2AB，AC=2AO，∴AB=AO，∵点E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠GEF=90°，∴四边形EGCF是矩形.故答案为：AC=2AB.【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，矩形的判定定理，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握各知识点并运用解题是关键.27．(2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AC=2AB．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转β°0<β<180，分别交直线BC、AD于点E、F．(1)当β=______°，四边形ABEF是平行四边形；(2)在旋转的过程中，从A、B、C、D、E、F中任意找4个点为顶点构造四边形．①β=______°，构造的四边形是菱形；②若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有______个．【答案】(1)90(2)①45或90；②2【分析】（1）根据平行四边形的判断方法即可解决问题．（2）①根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，分两种情形解决问题即可；②根据对角线相等的四边形是矩形，分两种情形讨论求解即可．（1）解：当β=90°时，四边形ABEF是平行四边形．理由：∵AB⊥AC，∴∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．故答案为：90．（2）①当β=45°，即∠AOF=45°时，四边形BEDF是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OD=OB，OA=OC，∴∠FDO=∠EBO，在△FDO和△EBO中，∠FDO=∠EBOOD=OB∠FOD=∠EOB，∴△FDO≌△EBOASA，∴DF=BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵AC=2AB，∴2AO=2AB，即AO=AB，∴∠AOB=∠ABO=45°，∴∠BOF=∠ABO+∠AOF=45°+45°=90°，∴BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形；当β=90°，即∠AOF=90°时，四边形AECF是菱形． ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠FAO=∠ECO，在△FAO和△ECO中，∠FAO=∠ECOOA=OC∠FOA=∠EOC，∴△FAO≌△ECOASA，∴AF=CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形，又∵∠AOF=90°，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．故答案为：45或90．②设AB=a，∵四边形ABCD是平行四边形，AB⊥AC，AC=2AB，∴∠BAC=90°，AC=2a，AD=BC，∴BC=a2+2a2=5a=AD，分两种情况：第一种情况：如图，当EF=AC时，四边形AECF是矩形，对角线EF=AC=2a，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴S△ABC=12AB·AC=12BC·AE，即12×a×2a=12×5a×AE，∴AE=25a5，即AD与BC之间的距离为25a5，∴EC=AC2−AE2=2a2−25a52=45a5，∴矩形AECF的两边的长分别为25a5和45a5；第二种情况：如图，当EF=BD时，四边形BEDF是矩形，∴∠BFA=90°，BF=25a5，∴AF=AB2−BF2=a2−25a52=5a5，∴DF=AF+AD=5a5+5a=65a5，∴矩形BEDF的两边的长分别为25a5和65a5．∴若构造的四边形是矩形，则不同的矩形应该有2个．故答案为：2．【点睛】本题属于四边形综合题，考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、菱形的判定和性质，三角形的全等的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．28．(2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝2，点E射线BC上一动点，△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．(1)当点F在对角线AC上时，求FC的长；(2)当△FCE是直角三角形时，求BE的长．【答案】(1)FC＝4−23；(2)43−6或6−26或23．【分析】（1）根据勾股定理求得对角线AC的长度，根据轴对称图形的性质可得AF=AB，即可求得FC的长度；（2）分∠CFE是直角、当∠FCE是直角、当∠CEF是直角三种情况进行讨论，对每种不同情况利用勾股定理、等面积法以及正方形的性质求解．（1）解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°．∵AB=23,BC=2，∴AC=AB2+BC2=4，∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE，∴AF=AB=23，∴FC=AC−AF=4−23（2）解：当△FCE是直角三角形时，①当∠CFE是直角时，如图所示：由题意可知点F在对角线AC上，且EF⊥AC，设BE＝x，则EF＝x，∴S△ABC=12×2×23=23，S△ABE=12×23×x=3x，S△ACE=12×4×x=2x，又∵S△ABC=S△ABE+S△ACE∴23=3x+2x解得：x＝43−6．∴BE=43−6；②当∠FCE是直角时，如图所示：∵△ABE关于AE的轴对称图形为△FAE．∴AB=AF,BE=EF，在Rt△ADF中，AD=2，∴DF=AF2−AD2=22，∴CF=DC−DF=23−22，设BE＝x，则EF＝x，CE=2−x，∴在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，x2=(2−x)2+(23−22)2，解得：x=6−26，∴BE=EF=6−26；③当E在BC延长线上时，此时∠CEF是直角，则BE=EF，AB=AF，又∵∠EBA=∠BAF=90°，∴四边形ABEF为矩形．又∵BE=EF，∴矩形ABEF为正方形，∴BE=AB=EF=23．综上，BE的长为43−6或6−26或23．【点睛】此题考查了矩形的有关性质，轴对称图形的性质，勾股定理，正方形的判定及性质，熟练掌握矩形的有关性质是解题的关键．29．(2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）已知：如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=5在AD上取一点E,AE=2，点F是AB边上的一个动点，以EF为一边作菱形EFMN，使点N落在CD边上，点M落在矩形ABCD内或其边上．若AF=x,△BFM的面积为S．（1）当四边形EFMN是正方形时，求x的值；（2）当四边形EFMN是菱形时，求S与x的函数关系式；（3）当x= 时，△BFM的面积S最大：当x= 时，△BEM的面积S最小；（4）在△BFM的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长： ．【答案】（1）3；（2）S=−32x+12；（3）5；6916；（4）8−5【分析】（1）由题意证明△DNE≌△AEF即可求出x的值；（2）过点M作MQ⊥AB于点Q，连结NF，由题意证明出△DEN≌△QMF求出MQ的长度，然后根据三角形面积的表示方法即可求出S与x的函数关系式；（3）根据表达式分析出面积最大时的图像，然后根据矩形和菱形的性质列出方程求解即可．（4）由图像可判断出M点的轨迹，根据矩形的性质即可求出点M运动的路线长．【详解】解：（1）∵正方形EFMN中EF=NE,∠NEF=90°且∠A=∠D=90°∴∠DNE+∠DEN=∠AEF+∠DEN=90°即∠DNE=∠AEF在△DNE和△AEF中∠D=∠A∠DNE=∠AEFNE=EF∴△DNE≌△AEF(AAS)∴AF=DE=3即x=3．（2）过点M作MQ⊥AB于点Q，连结NF∴∠1=∠D=90°∵菱形ENMF中NE//FM,NE=FM∴∠4=∠5∵AB//CD∴∠DNF=∠BFN即∠3+∠4=∠2+∠5∴∠3=∠2在△DEN和△QMF中∠D=∠1∠3=∠2EN=MF∴△DEN≌△QMF(AAS)∴MQ=ED=3∴S=12⋅(8−x)⋅3=−32x+12（3）由表达式S=−32x+12可知，当x取最小值时，S最大，由图像可知，当点N和点D重合是，x取最小值，故此时S最大，∴EF=ED=3，∴在Rt△AEF中，x=EF2−AE2=32−22=5；同理，表达式S=−32x+12可知，当x取最小值时，S最大，由图像可知，当点M在线段BC上时，x取最大值，故此时S最小，此时，根据矩形和菱形的对称性可证得△AEF≌△CMN，∴CN=AF=x，DN=8−x，∴在△DEN中，DN2+DE2=EN2(8−x)2+32=22+x2解得：x=6916．（4）如下图所示，△BFM的面积由最大变为最小的过程中，点M的运动轨迹是平行于AB的线段，∵M1F1//AD,AD//BC,∴M1F1//BC,又∵M1M2//F1B，所以四边形M1M2F1B是平行四边形，又∵∠B=90°，∴四边形M1M2F1B是矩形，∴M1M2=F1B=AB−AF1=8−5．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，矩形和菱形的性质和判定，解题的关键是根据题意画出图像，并分析出线段之间的数量关系．30．(2023秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10,BC=AD=8．（1）P为边BC上一点，如图，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E处）①当点E落在CD边上时，利用尺规作图，作出满足条件的图形，并直接写出此时DE=_________；②若点P为BC边的中点，连接CE，则CE与AP有何位置关系？请说明理由；（2）点Q为射线DC上的一个动点，将△ADQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点D′处，求BQ的长．【答案】（1）①6，画图见详解；②EC∥PA，理由见详解；（2）BQ=10【分析】（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P，根据勾股定理可得DE；②如图2中，结论：EC∥PA．只要证明PA⊥BE，EC⊥BE即可解决问题；（2）分两种情形：①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E，作∠EAB的平分线交BC于点P．在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AE＝AB＝10，AD＝8，∴DE＝AE2−AD2=102−82＝6，故答案为6．②如图2中，结论：EC∥PA．理由：由翻折不变性可知：AE＝AB，PE＝PB，∴PA垂直平分线段BE，即PA⊥BE，∵PB＝PC＝PE，∴∠BEC＝90°，∴EC⊥BE，∴EC∥PA；（2）①如图3−1中，当点Q在线段CD上时，设DQ＝QD′＝x．在Rt△AD′B中，∵AD′＝AD＝8，AB＝10，∠AD′B＝90°，∴BD′＝AB2−AD′2=6，在Rt△BQC中，∵CQ2＋BC2＝BQ2，∴（10−x）2＋82＝（x＋6）2，∴x＝4，∴QD′＝4，∴BQ= QD′+ BD′=4+6=10；②如图3−2中，当点Q在线段DC的延长线上时，∵DQ∥AB，∴∠DQA＝∠QAB，∵∠DQA＝∠AQB，∴∠QAB＝∠AQB，∴BQ＝AB =10，综上所述，BQ=10．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用未知数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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