2023-2024学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测试（原卷+解析版）

这是一份2023-2024学年北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测试（原卷+解析版），共39页。
第二章《二次函数》单元测试卷一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．当﹣3＜x＜2时，抛物线y＝x2+t与直线y＝2x+1有交点，则t的取值范围是（　　）A．﹣2≤t＜14 B．﹣14＜t≤2 C．1＜t≤2 D．t≤22．已知函数y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0），当p＜x＜q时，y1＜y2，则（　　）A．0＜q﹣p＜2 B．0＜q﹣p≤2 C．0＜q﹣p＜1 D．0＜q﹣p≤13．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且与x轴的交点为A（1，0）和B（5，0）．当y1＞y2时，则x1，x2应满足的关系式是（　　）A．x1﹣3＜x2﹣3 B．x1﹣3＞x2﹣3 C．|x1﹣3|＜|x2﹣3| D．|x1﹣3|＞|x2﹣3|4．抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　）A．m＜﹣1或m＞0 B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜15．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　）A．1 B．2 C．3 D．46．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）A．或 B．或 C．0或4 D．1或57．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（　　）A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③8．对于题目：“已知M（1，﹣a），N（4，3a+3）若抛物线y＝ax（x﹣4）与线段MN恰有一个公共点，求a的取值范围．”甲的答案是：a≤﹣1；乙的答案是：﹣1≤a＜0．下列说法正确的是（　　）A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才对 D．甲、乙合在一起也不对9．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；其中，正确结论的个数是（　　）个．A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，当1≤x≤a时，函数y的最小值为﹣2，则a的值为 　 　．12．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 　 　秒．13．定义：min{a，b}＝．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　 　．14．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标是　 　；（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标是　 　．15．已知关于x的方程x2+2bx+3c＝0的两个根分别是x1＝，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+2bx﹣3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为 　 　．16．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2.第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度，若OB＝90dm，OA＝2AB．则第一次反弹抛物线图象h1与它的二次项系数a的比值 　 　＝　 　．17．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　 　．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过原点且交x轴于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1）．抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：y＝﹣2的距离总相等．过点F的直线与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点，MP，NQ分别垂直直线l于点P，Q，连接FP，FQ．若FQ＝，则△FPQ的面积为 　 　．三．解答题（共10小题，共66分）19．（5分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．20．（5分）“垃圾分一分，明天美十分”，环保部门计划订制一批垃圾分类宣传海报，海报版面不小于300平方米，当宣传海报的版面为300平方米时，价格为80元/平方米，为了支持垃圾分类促进环保，广告公司给予以下优惠：宣传海报版面每增加1平方米，每平方米的价格减少0.2元，但不能低于50元/平方米．假设宣传海报的版面增加x平方米后，总费用为y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）订制宣传海报的版面为多少平方米时总费用最高？最高费用为多少元？（3）环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多少平方米的海报？21．（7分）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．22．（7分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．23．（6分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（a﹣1）x2+bx﹣a，一次函数y2＝（b﹣1）x（其中a，b是实数，a≠1，b≠1）．（1）若b＝2，函数y1的图象与函数y2的图象交于点（2，m），求函数y1的表达式．（2）若a＝0，b＞0，当x≤0时，求函数y1的最大值．（3）若a＞1，当y1＜y2时，始终有x＞﹣3，求a的取值范围．24．（7分）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系为q＝﹣2v2+120v．（1）当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？（2）已知q，v，k满足q＝vk．①市交通运行监控平台显示，当18≤v≤28该路段不会出现交通拥堵现象．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段不会出现交通拥堵现象；②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，当d＝25米时请求出此时的速度v．25．（6分）如图，已知对称轴为直x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0）．（1）①求点C的坐标及抛物线的表达式；②请你根据图象分析回答，一元二次方程ax2+bx+3＝c有一正根和一负根时，c的取值范围是 　 　．（2）当m≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出m的取值范围．26．（5分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2OB＝2OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线上任取一点E，过点E作EF∥x轴，且四边形ABEF为平行四边形，在线段EF上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为yQ．当点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度时，求yQ的取值范围．27．（8分）如图，二次函数y＝ax2+c的图象经过点A（﹣1，）和点C（﹣4，5），点B的坐标为（0，5）．（1）求二次函数y＝ax2+c的解析式；（2）若y轴上有一点P（0，2），点M是抛物线上一动点，过点M作ME⊥x轴于点E．①求证：点M在线段PE的垂直平分线上；②若点N（﹣2，4），求△MPN的周长的最小值．28．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．参考答案一．选择题（共10小题）1．当﹣3＜x＜2时，抛物线y＝x2+t与直线y＝2x+1有交点，则t的取值范围是（　　）A．﹣2≤t＜14 B．﹣14＜t≤2 C．1＜t≤2 D．t≤2【解答】解：将x＝﹣3代入y＝2x+1得y＝﹣5，将x＝2代入y＝2x+1得y＝5，∴直线y＝2x+1经过（﹣3，﹣5），（2，5），将（﹣3，﹣5）代入y＝x2+t得﹣5＝9+t，解得t＝﹣14，将（2，5）代入代入y＝x2+t得5＝4+t，解得t＝1，令x2+t＝2x+1，整理得x2﹣2x+t﹣1＝0，当Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4（t﹣1）＝0时，t＝2，此时抛物线与直线相切，x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，∴当﹣14＜t≤2时满足题意．故选：B．2．已知函数y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0），当p＜x＜q时，y1＜y2，则（　　）A．0＜q﹣p＜2 B．0＜q﹣p≤2 C．0＜q﹣p＜1 D．0＜q﹣p≤1【解答】解：联立y1＝mx2+n，y2＝mx+n（m＞0）并解得x＝0或1，∵m＞0，故抛物线开口向上，则0＜x＜1时，y1＜y2，∵p＜x＜q时，y1＜y2，∴0≤p＜q≤1，∴0＜q﹣p≤1，故选：D．3．已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，且与x轴的交点为A（1，0）和B（5，0）．当y1＞y2时，则x1，x2应满足的关系式是（　　）A．x1﹣3＜x2﹣3 B．x1﹣3＞x2﹣3 C．|x1﹣3|＜|x2﹣3| D．|x1﹣3|＞|x2﹣3|【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵抛物线经过A（1，0）和B（5，0），∴抛物线对称轴为直线x＝3，∵y1＞y2，∴|x1﹣3|＞|x2﹣3|，故选：D．4．抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（　　）A．m＜﹣1或m＞0 B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1，令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2），如图：由对称性可知，y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2），∴y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2；由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，故选：D．5．已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t，∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点，∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，∴＝﹣2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，当a＞0时，﹣4a≤﹣1，解得a≥，将（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，∴a＝≥，∴0＜m2+4m≤8，∴4＜（m+2）2≤12，∴﹣2﹣2≤m＜﹣4或0＜m≤﹣2+2，故选：A．6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx+2.32＝0的根是（　　）A．或 B．或 C．0或4 D．1或5【解答】解：由抛物线经过点（0，0.32）得到c＝0.32，因为抛物线经过点（0，0.32）、（4，0.32），所以抛物线的对称轴为直线x＝2，而抛物线经过点（，﹣2），所以抛物线经过点（4﹣，﹣2），所以二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.32，方程ax2+bx+2.32＝0变形为ax2+bx+0.32＝﹣2，所以方程ax2+bx+0.32＝﹣2的根理解为函数值为﹣2所对应的自变量的值，所以方程ax2+bx+2.32＝0的根为x1＝，x2＝4﹣．故选：A．7．物理课上我们学习了竖直上抛运动，若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：①小球在空中经过的路程是40m②小球抛出3s后，速度越来越快③小球抛出3s时速度为0④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s其中正确的是（　　）A．①②③ B．①② C．②③④ D．②③【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得，∴函数解析式为，把h＝30代入解析式得，，解得：t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；故选D．8．对于题目：“已知M（1，﹣a），N（4，3a+3）若抛物线y＝ax（x﹣4）与线段MN恰有一个公共点，求a的取值范围．”甲的答案是：a≤﹣1；乙的答案是：﹣1≤a＜0．下列说法正确的是（　　）A．甲对 B．乙对 C．甲、乙合在一起才对 D．甲、乙合在一起也不对【解答】解：解0＝ax（x﹣4）得x＝0或者x＝4，即抛物线与x轴交于点（0，0）（4，0）．当x＝1时，y＝﹣3a．当a＞0时，﹣3a＜﹣a，如图1所示：M在抛物线的上方，∵抛物线y＝ax（x﹣4）与线段MN恰有一个公共点；∴有3a+3≤0，如图2所示：M在抛物线的下方，∵抛物线y＝ax（x﹣4）与线段MN恰有一个公共点；∴有3a+3≥0，∵a≥﹣1，又∵a＜0，∴﹣1≤a＜0故选：B．9．定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1；∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1，如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），∴+2﹣n＝1，解得：n＝，∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，故选：C．10．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，有下列结论：①c＞0；②9a+3b+c＞0；③若方程ax2+bx+c+1＝0有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④抛物线与直线y＝x交于P、Q两点，若PQ＝，则a＝﹣1；其中，正确结论的个数是（　　）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵a＜0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下．∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，∴由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，0）．综上抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象如下：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴（0，c），∴c＞0．∴①的结论正确；由图象可知：当﹣2＜x＜4时，函数值y＞0，∴当x＝3时，y＝9a+3b+c＞0．∴②的结论正确．作直线y＝﹣1，交抛物线于两点，它们的横坐标分别为x1，x2，如图，则x1，x2是方程ax2+bx+c＝﹣1的两根，即方程ax2+bx+c+1＝0的解为x1、x2，由图象可知：满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4，∴③的结论正确；如图，分别过点P，Q作坐标轴的平行线，它们交于点H，则△PHQ为等腰直角三角形，∴PH＝HQ，PQ＝HQ．∴．∴ax2+（b﹣1）x+c＝0．设点P，Q的横坐标分别为m，n，∴m，n是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的两根，∴m+n＝，mn＝．∴HQ＝|m﹣n|＝＝．∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，∴．∴．∴HQ＝．∵PQ＝，∴•＝．解得：a＝﹣1或．∴④的结论不正确；综上所述，正确结论有：①②③，故选：B．二．填空题（共8小题）11．已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3，当1≤x≤a时，函数y的最小值为﹣2，则a的值为 　2+　．【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴y≤1，将x＝1代入y＝﹣x2+4x﹣3得y＝0＞﹣2，∴x＝a时，y＝﹣2，∴﹣2＝﹣a2+4a﹣3，解得a＝2﹣（舍）或a＝2+．故答案为：2+．12．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的是第 　9.5　秒．【解答】解：∵此炮弹在第6与第13秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：x＝＝9.5，∴炮弹所在高度最高是第9.5秒，故答案为：9.5．13．定义：min{a，b}＝．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　3　．【解答】解：设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3，联立直线与抛物线方程得，解得或，∴直线与抛物线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），如图，∴x≤﹣1时，y＝﹣x2+2x+3，函数最大值为y＝0，﹣1＜x≤2时，y＝x+1，函数最大值为y＝3，当x＞2时，y＝﹣x2+2x+3，y＜3，∴x＝2时，函数取最大值为3，故答案为：3．14．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A和点B．（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，则点D的坐标是　D（1，2）　；（2）在（1）的条件下，连接BD，P为抛物线上一点，且∠DBP＝135°，则点P的坐标是　（﹣4，﹣18）　．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+x+2，点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，∴，得m＝1，∴点D的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）；（2）过点P作PE⊥DB交DB的延长线于点E，作EF⊥x轴于点F，作PG⊥EF交EF的延长线于点G，∵∠DBP＝135°，∴∠PBE＝45°，∵∠BEP＝90°，∴∠BPE＝∠PBE＝45°，∴BE＝PE，∵∠BEP＝90°，∠EFB＝90°，∴∠PEG+∠BEF＝90°，∠EBF+∠BEF＝90°，∴∠PEG＝∠EBF，又∵∠PGE＝∠EFB＝90°，PE＝EB，∴△PGE≌△EFB（AAS），∴EG＝BF，PG＝EF，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）（x+1），∴当y＝0时，x＝2或x＝﹣1，∴点B的坐标为（2，0）∵点D（1，2），点B（2，0），∴tan∠DBA＝2，∴tan∠EBF＝2，设BF＝a，则EF＝2a，EG＝a，PG＝2a，∴点P的坐标为（2﹣a，﹣3a），∴﹣3a＝﹣（2﹣a）2+（2﹣a）+2解得，a1＝6，a2＝0（舍去），∴点P的坐标为（﹣4，﹣18），故答案为：（﹣4，﹣18）．15．已知关于x的方程x2+2bx+3c＝0的两个根分别是x1＝，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+2bx﹣3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为 　3　．【解答】解：∵x1＝，x2＝，∴对称轴为x＝＝，∵点A的横坐标为0，∴根据对称性，点B的横坐标为3，∴AB＝3．故答案为：3．16．斜抛小球，小球触地后呈抛物线反弹，每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），第一次反弹后的最大高度为h1，第二次反弹后的最大高度为h2.第二次反弹后，小球越过最高点落在垂直于地面的挡板C处，且离地高度，若OB＝90dm，OA＝2AB．则第一次反弹抛物线图象h1与它的二次项系数a的比值 　﹣900　＝　　．【解答】解：∵OB＝90dm，OA＝2AB，∴OA＝60dm，AB＝30dm，设第一次反弹后的抛物线解析式为y＝a（x﹣30）2+h1，∵抛物线过原点O，∴a（0﹣30）2+h1＝0，解得：h1＝﹣900a，∵每次反弹后保持相同的抛物线形状（开口方向与开口大小前后一致），∴两个抛物线的a是相同的，设二次反弹后的抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+h2，∵BC＝h1，h1＝﹣900a，∴BC＝﹣300a，∵抛物线过A，C两点，∴，解得：，∴＝＝．故答案为：﹣900，．17．如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 　＜t＜1　．【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故答案为：＜t＜1．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过原点且交x轴于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1）．抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：y＝﹣2的距离总相等．过点F的直线与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点，MP，NQ分别垂直直线l于点P，Q，连接FP，FQ．若FQ＝，则△FPQ的面积为 　5　．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点且交x轴于点A，顶点B的坐标为（2，﹣1），∴，解得：．∴抛物线的解析式为y＝﹣x．∵顶点B的坐标为（2，﹣1），∴抛物线的对称轴为直线x＝2．∴设点F（2，n），∴点F到直线l：y＝﹣2的距离为|n+2|．∵抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点F的距离与其到直线l：y＝﹣2的距离总相等，∴点O到点F的距离与到直线l：y＝﹣2的距离总相等．∵点O到直线l：y＝﹣2的距离为2，∴点O到点F的距离为2．∴点F（2，0）．∴FC＝2．∴QC＝＝＝1．∴Q（1，﹣2）．∵NQ∥y轴，∴点N的横坐标为1，∴当x＝1时，y＝×1﹣1＝﹣，∴N（1，﹣）．设直线NF的解析式为y＝kx+m，∴，解得：．∴直线NF的解析式为y＝．∴．解得：，．∴M（6，3）．∵MP∥y轴，∴P（6，﹣2）．∴PQ＝6﹣1＝5．∴×PQ•FC＝×5×2＝5．故答案为：5．三．解答题（共10小题）19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3，设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+3，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，∵PM＝﹣（t+）2+，∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．20．“垃圾分一分，明天美十分”，环保部门计划订制一批垃圾分类宣传海报，海报版面不小于300平方米，当宣传海报的版面为300平方米时，价格为80元/平方米，为了支持垃圾分类促进环保，广告公司给予以下优惠：宣传海报版面每增加1平方米，每平方米的价格减少0.2元，但不能低于50元/平方米．假设宣传海报的版面增加x平方米后，总费用为y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）订制宣传海报的版面为多少平方米时总费用最高？最高费用为多少元？（3）环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多少平方米的海报？【解答】解：（1）由题意可得，y＝（80﹣0.2x）（300+x）＝，即y关于x的函数表达式为y＝；（2）∵80﹣0.2x≥50，∴x≤150，∴0≤x≤150，∵y＝＝，∴当x＝50时，y取得最大值，此时y＝24500，x+300＝350，答：订制宣传海报的版面为350平方米时总费用最高，最高费用为24500元；（3）∵y＝＝，0≤x≤150，∴当x＝150时，y取得最小值，此时y＝22500，x+300＝450，答：环保部门希望总费用尽可能低，那么应该订制多450平方米的海报．21．某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．（1）建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；（2）不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？（3）实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，将（0，2.25）代入得，a（0﹣1）2+3＝2.25，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3．（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，∵2×3＝6（米），∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．（3）将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过点（2.5，0），设平移后的抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+h，将（2.5，0）代入得，﹣（2.5﹣1）2+h＝0，解得h＝，当x＝0时，y＝﹣（0﹣1）2+＝．∴调整后水管的最大长度米．22．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，解得p＝﹣4；（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，∴抛物线的顶点坐标为（2，11），把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，解得，∴一次函数解析式为y＝3x+5，当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，∴n＝﹣3，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，解得m＝﹣1，∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．23．在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（a﹣1）x2+bx﹣a，一次函数y2＝（b﹣1）x（其中a，b是实数，a≠1，b≠1）．（1）若b＝2，函数y1的图象与函数y2的图象交于点（2，m），求函数y1的表达式．（2）若a＝0，b＞0，当x≤0时，求函数y1的最大值．（3）若a＞1，当y1＜y2时，始终有x＞﹣3，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵b＝2，∴y2＝x，将（2，m）代入y2＝x得m＝2，将（2，2）代入y1＝（a﹣1）x2+2x﹣a得2＝4（a﹣1）+4﹣a，解得a＝，∴y1＝﹣x2+2x﹣．（2）a＝0时，y1＝（a﹣1）x2+bx﹣a＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝，∴x＜时，y随x增大而增大，∵b＞0，∴＞0，∴当x≤0时，y随x增大而增大，当x＝0时，y1＝﹣+＝0为最大值．（3）∵y1＜y2，∴（a﹣1）x2+bx﹣a＜（b﹣1）x，整理得（a﹣1）x2+x﹣a＜0，令y＝（a﹣1）x2+x﹣a，∵a＞1，∴a﹣1＞0，∴抛物线y＝（a﹣1）x2+x﹣a开口向上，∵y＝a（x2﹣1）﹣x2+x，∴x＝1时，y＝0，即抛物线经过定点（1，0），∵（a﹣1）x2+x﹣a＜0时，x＞﹣3，∴x＝﹣3时，y＝9（a﹣1）﹣3﹣a≤0，解得a≤，∴1＜a≤．24．交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系为q＝﹣2v2+120v．（1）当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？（2）已知q，v，k满足q＝vk．①市交通运行监控平台显示，当18≤v≤28该路段不会出现交通拥堵现象．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段不会出现交通拥堵现象；②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，当d＝25米时请求出此时的速度v．【解答】解：（1）∵函数关系式q＝﹣2v2+120v，化为项点式得q＝﹣2（v﹣30）2+1800，∵﹣2＜0，∴v＝30时，q达到最大值，q的最大值为1800；（2）∵q，v，k满足q＝vk，∴．①当v＝18时，q＝﹣2×82+120×18＝1512，此时，当v＝28时，q＝﹣2×282+120×8＝1792，此时，∴64≤k≤84，即当车流密度k满足64≤k≤84时，该路段不会出现交通拥堵现象；②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，且d＝25，∴（辆/千米），∴q＝40v．又∵q＝﹣2v2+120v，∴40v＝﹣2v2+120v．解得：v1＝40，v2＝0（舍去），∴v＝40，即此时的速度v＝40千米/小时．25．如图，已知对称轴为直x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0）．（1）①求点C的坐标及抛物线的表达式；②请你根据图象分析回答，一元二次方程ax2+bx+3＝c有一正根和一负根时，c的取值范围是 　c＜3　．（2）当m≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）①∵对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于C点，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A点，A点的坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，则，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；②当一元二次方程ax2+bx+3＝c有一正根和一负根时，即为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与直线y＝c的交点在y轴两侧，如图所示：由图象可知，c的取值范围是c＜3，故答案为：c＜3；（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∵B点的坐标为（﹣3，0），当x＝1时，y＝0，∵当m≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，即4﹣0＝4，∴m的取值范围﹣3≤m≤﹣1．26．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且2OB＝2OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线上任取一点E，过点E作EF∥x轴，且四边形ABEF为平行四边形，在线段EF上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为yQ．当点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度时，求yQ的取值范围．【解答】解：（1）∵点C为抛物线y＝ax2+bx+3与y轴的交点，∴C（0，3），∴OC＝3，又∵2OB＝2OC＝3OA，∴OB＝3，OA＝2，∴A（﹣2，0），B（3，0），将点A，B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+3中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝．（2）作平行四边形ABEF，如图所示：∴EF＝AB＝5，点F在点E的左侧，又∵点E到抛物线对称轴的距离不超过个单位长度，抛物线的对称轴为直线x＝，∴0≤xE≤1，∴﹣5≤xF≤﹣4，又∵点P在线段EF上，PQ⊥EF，∴﹣5≤xP≤1，xP＝xQ，∴﹣5≤xQ≤1，又∵点Q在抛物线y＝﹣x2+x+3上，∴当xQ＝时，yQ取最大值；当xQ＝﹣5时，yQ取最小值﹣12；∴﹣12≤yQ≤．27．如图，二次函数y＝ax2+c的图象经过点A（﹣1，）和点C（﹣4，5），点B的坐标为（0，5）．（1）求二次函数y＝ax2+c的解析式；（2）若y轴上有一点P（0，2），点M是抛物线上一动点，过点M作ME⊥x轴于点E．①求证：点M在线段PE的垂直平分线上；②若点N（﹣2，4），求△MPN的周长的最小值．【解答】（1）解：∵二次函数y＝ax2+c的图象经过点A（﹣1，）和点C（﹣4，5），∴，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝x2+1；（2）①证明：如图1，连接PM，设M（m，m2+1），则E（m，0），∴ME＝m2+1，∵MP＝＝m2+1，∴ME＝MP，∴点M在线段PE的垂直平分线上；②解：如图2，过点M作ME⊥x轴于点E，过点N作NF⊥x轴于点F，交抛物线于点M′，由①得：ME＝MP，∴PN+MN+MP＝PN+MN+ME，当M、N、E三点在同一条直线上时，MN+ME＝NF最小，即点M与M′重合时，△MPN的周长最小，∵N（﹣2，4），P（0，2），∴NF＝4，PN＝＝2，∴△MPN的周长的最小值为2+4．28．如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．【解答】解：（1）当x＝a时，y＝﹣2a，∴A（a，﹣2a），∴﹣2a＝﹣a2﹣2a+4﹣a2，解得a＝，由题意可知a＝﹣，∴y＝﹣x2﹣2x+2，当t＝1时，OP＝，设P（m，﹣2m），∴m＝，∴m＝1，∴P（1，﹣2）；（2）由题意可知，OP＝t，OQ＝2t，∴P（t，﹣2t），Q（2t，﹣4t），∵四边形PMQN是矩形，∴M（2t，﹣2t），N（t，﹣4t），在矩形移动的过程中，M点最先与抛物线有交点，点N是抛物线与矩形最后有交点，当M点在抛物线上时，﹣4t2﹣4t+2＝﹣2t，解得t＝或t＝﹣1（舍），当N点在抛物线上时，﹣t2﹣2t+2＝﹣4t，解得t＝1+或t＝﹣1﹣（舍），∴≤t≤1+时，矩形PMQN与抛物线有公共点；（3）设R（m，﹣m2﹣2m+2），∴R'（﹣m，m2+2m﹣2），由（2）知，M（1，﹣1），∴R′M＝＝，当（m+1）2＝时，R'M有最小值，∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，当y＝0时，﹣x2﹣2x+2＝0，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1+，0），（﹣1﹣，0），∵R点在x轴上方，∴﹣1﹣＜m＜﹣1+，∴m＝﹣1或m＝﹣﹣1，∴R（﹣1，）或（﹣﹣1，）．x…04…y…0.32﹣20.32…x…04…y…0.32﹣20.32…