初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试精品教学设计

这是一份初中数学北师大版九年级下册第二章 二次函数综合与测试精品教学设计，共9页。教案主要包含了专题分析，针对训练1，针对训练2，针对训练3，针对训练4，针对训练5，针对训练6，针对训练7等内容，欢迎下载使用。




1.进一步掌握二次函数的概念以及二次函数图象的画法.
2.理解并掌握二次函数的性质,能熟练确定图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3.能灵活运用二次函数的表达式、表格和图象刻画变量之间的关系.
4.熟练运用二次函数y=ax2+bx+c的图象估计一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
5.能利用二次函数解决最大(小)值的实际问题.

培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力.

1.通过问题情境和探索活动的创设,激发学生的学习兴趣.
2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系,体会到学习数学的乐趣.

【重点】　二次函数的图象与性质,并能熟练运用性质解决相关问题.
【难点】　二次函数性质的灵活运用,能把相关应用问题转化为数学问题.

二次函数

一、二次函数的定义
(1)定义:一般地,若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的二次函数.
(2)满足条件:①常数a≠0;②自变量x的最高次数为2;③等号的右边是整式.
(3)二次函数的几种不同表示形式:
①y=ax2(a≠0,b=0,c=0).
②y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
③y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).
④一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,b≠0,c≠0).
二、二次函数的图象与性质
1.图象:
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,是轴对称图形.
2.性质:
函数解析式
a决定开口方向和大小
对称轴
顶点坐标决定抛物线的位置
增减性
y=ax2
当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
当|a|相等时,抛物线的开口大小、形状相同
y轴
(0,0)
①当a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大.
②当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小
y=ax2+k
y轴
(0,k)
y=a(x-h)2
直线
x=h
(h,0)
y=a(x-h)2+k
直线
x=h
(h,k)
y=ax2+bx+c
直线x
=-
-,
3.二次函数图象的平移规律:

4.二次函数的图象与a,b,c符号的关系:
(1)a决定开口方向及开口大小.
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置:
当ab>0时,对称轴在y轴左侧;
当b=0时,对称轴为y轴;
当ab<0时,对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置:
当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;
当c=0时,抛物线过原点;
当c<0时,抛物线交y轴于负半轴.
三、确定二次函数的表达式
1.利用二元一次方程组确定二次函数的表达式.
(1)利用两个点的坐标确定二次函数表达式需要满足的条件:

(2)利用二元一次方程组求二次函数表达式的步骤和方法:
待定系数法→代入法→组成方程组→解方程组求出待定系数→确定二次函数表达式.
2.利用三元一次方程组确定二次函数的表达式
利用三元一次方程组求二次函数表达式的步骤和方法:
利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.
四、二次函数的应用
1.类型:
(1)最大面积问题;
(2)最大利润问题.
2.运用二次函数解决实际问题的思路:
(1)理解问题.
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系.
(3)用数学的方式表示它们之间的关系.
(4)利用二次函数求解.
(5)检验结果的合理性.
五、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数与一元二次方程之间的关系:
(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.
(2)与此相对应,一元二次方程ax2+bx+c=0的根也有三种情况:有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.
(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
2.利用二次函数图象求一元二次方程的近似根.
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤:
(1)利用图象首先确定一元二次方程的两个根的大致范围(在哪两个整数之间).
(2)再利用计算器依次对x的值进行探索,当得到的y值最接近于0时,所对应的x的值即为方程的一个近似根,再利用同样的方法确定另一个近似根.
六、数学思想方法的应用
数学思想是数学知识中的精髓,是联系数学中各类知识的纽带,是数学解题的灵魂,是数学知识的重要组成部分.本章主要的数学思想有函数思想、数形结合思想、平移思想、分类讨论思想等,主要方法有待定系数法和配方法.
专题一　二次函数的定义
【专题分析】
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型,是初中阶段学习的最后一种函数,既是前面所学函数的延续,又是高中函数知识的基础.二次函数的定义不是中考考查的重点,往往与一元二次方程等知识综合考查.
　下列各式中,y是x的二次函数的是 (　　)
A.y= B.y=2x+1
C.y=x2+x-2 D.y2=x2+3x
〔解析〕　A.y=,分母中含有自变量,不是二次函数,错误;B.y=2x+1,是一次函数,错误;C.y=x2+x-2,是二次函数,正确;D.y2=x2+3x,不是二次函数,错误.故选C.
【针对训练1】　已知函数y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,则m的取值范围是 (　　)
A.m≠0 B.m≠-1
C.m≠0,且m≠-1 D.m=-1
〔解析〕　由y=(m2+m)x2+mx+4为二次函数,得m2+m≠0,解得m≠0且m≠-1.故选C.
　已知函数y=(m-1)+3x,当m=　　　　时,它是二次函数. 
〔解析〕　∵y=(m-1)+3x是二次函数,∴m2+1=2,∴m=-1或m=1(舍去,此时m-1=0).故填-1.
【针对训练2】　函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是 (　　)
A.m,n为常数,且m≠0
B.m,n为常数,且m≠n
C.m,n为常数,且n≠0
D.m,n可以为任意数
〔解析〕　二次函数的二次项系数不能为零,即m-n≠0,故m≠n.故选B.
专题二　二次函数的图象与性质
【专题分析】
二次函数的图象与性质是解决二次函数问题的基础,是初中数学考查的重点,更是中考考查的热点,一般以压轴题的形式出现.常与一元二次方程、一次函数、反比例函数、多边形等知识综合考查.数形结合思想是解决二次函数图象与性质问题的主要思想方法.
　(兰州中考)在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2的是 (　　)
A.y=(x+2)2 B.y=2x2-2
C.y=-2x2-2 D.y=2(x-2)2
〔解析〕　y=(x+2)2的图象的对称轴为直线x=-2,A正确;y=2x2-2的图象的对称轴为直线x=0,B错误;y=-2x2-2的图象的对称轴为直线x=0,C错误;y=2(x-2)2的图象的对称轴为直线x=2,D错误.故选A.
【针对训练3】　二次函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标为　　　　. 
〔解析〕　∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴抛物线的顶点坐标为(1,2).故填(1,2).
　(泰安中考)如图所示,在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是 (　　)

〔解析〕　A,由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知n2<0,故A错误;B,由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知m>0,由直线可知-m>0,二者矛盾,故B错误;C,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0,由直线可知-m<0,二者矛盾,故C错误;D,由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知m<0,由直线可知-m>0,正确.故选D.
【针对训练4】　已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m
〔解析〕　由二次函数的图象可知m<-1,n=1,所以m+n<0,所以直线y=mx+n经过第二、四象限,且与y轴相交于点(0,1),反比例函数y=的图象位于第二、四象限,纵观各选项,只有C选项符合.故选C.

　(巴中中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=-1,下列结论:①abc<0;②2a+b=0;③a-b+c>0;④4a-2b+c<0.其中正确的是 (　　)
A.①② B.只有①
C.③④ D.①④
〔解析〕　∵抛物线的开口向上,∴a>0.∵-<0,∴b>0,∵抛物线与y轴交于负半轴,∴c<0,∴abc<0,①正确;∵对称轴为直线x=-1,∴-=-1,即2a-b=0,②错误;∵当x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,③错误;∵当x=-2时,y<0,∴4a-2b+c<0,④正确.故选D.

【针对训练5】　如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④当-10.其中正确的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
〔解析〕　∵抛物线开口向下,∴a<0,①错误;由图象可知对称轴为直线x=1,∴-=1,∴2a+b=0,②正确;当x=1时,y>0,即a+b+c>0,③正确;由图象可知当-10,④正确.故选C.
专题三　确定二次函数的表达式
【专题分析】
确定二次函数的表达式的方法是待定系数法,结合二元一次方程组或三元一次方程组,求出待定系数.在求二次函数的表达式时,要结合题目的具体情况,设出合理的表达式.二次函数的表达式是解决二次函数问题的首要因素和关键因素,是中考的重要考点,但是单独考查的较少,一般在解答题的第(1)题中出现.
　把二次函数y=x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,结果正确的是 (　　)
A.y=(x-2)2+5 B.y=(x-2)2+1
C.y=(x-2)2+9 D.y=(x-1)2+1
〔解析〕　y=x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-2)2+1.故选B.
【针对训练6】　将二次函数y=x2-8x+17化为y=(x-h)2+k的形式,那么h+k=　　　　. 
〔解析〕　y=x2-8x+17=(x-4)2+1,则h=4,k=1,所以h+k=4+1=5.故填5.

　如图所示,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),当x=2时,y的值为　　　　. 
〔解析〕　∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(3,0)和(0,2),
∴解得则这个二次函数的表达式为y=-x2+x+2.把x=2代入,得y=-×4+×2+2=2.故填2.

【针对训练7】　二次函数的图象如图所示,则其表达式为　　　　. 
〔解析〕　由图象可知,抛物线的对称轴是直线x=1,且与y轴交于(0,3),与x轴交于(-1,0).设解析式为y=ax2+bx+c,则解得故填y=-x2+2x+3.
专题四　二次函数的应用
【专题分析】
二次函数的知识有着广泛的实际应用. 二次函数的应用是数学最值问题的延续,重点解决有关面积、利润等问题,其中渗透着数形结合思想、方程思想、转化思想等,是中考中的重要考点,题型灵活多变.
　某工厂一种产品的年产量是20件,如果每一年都比上一年的产量增加x倍,两年后产品的产量y与x的函数关系式是 (　　)
A.y=20(1-x)2
B.y=20+2x
C.y=20(1+x)2
D.y=20+20x2+20x
〔解析〕　∵某工厂一种产品的年产量是20件,每一年都比上一年的产量增加x倍,∴一年后产品有20(1+x)件,∴两年后产品的产量y与x的函数关系式是y=20(1+x)2.故选C.

【针对训练8】　如图所示,李大爷要借助院墙围成一个矩形菜园ABCD,用篱笆围成的另外三边总长为24 m,设BC的长为x m,矩形的面积为y m2,则y与x之间的函数表达式为　　　　. 
〔解析〕　由题意得y=(24-x)x=-x2+12x.故填y=-x2+12x.
　某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套.
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元?
(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?
〔解析〕　(1)由销售单价为x元得到销售减少量,用240减去销售减少量得到y与x的函数关系式.(2)直接用销售单价乘以销售量等于14000,列方程求得销售单价.(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意得w=(x-40)(-4x+480),然后利用配方法求最值.
解:(1)销售单价为x元,则销售量减少×20套,
故销售量为y=240-×20=-4x+480(x≥60).
(2)根据题意可得x(-4x+480)=14000,
解得x1=70,x2=50(不合题意,舍去),
故当销售单价为70元时,月销售额为14000元.
(3)设一个月内获得的利润为w元,
根据题意得w=(x-40)(-4x+480)=-4x2+640x-19200=-4(x-80)2+6400.
当x=80时,w有最大值,为6400.
故当销售单价为80元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是6400元.
【针对训练9】　某产品每件成本价为20元,试销阶段产品的日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的关系如下表:

x/元
25
30
40
…
y/件
25
20
10
…
(1)若日销售量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数,求日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的函数关系式;
　　(2)要使日销售利润W(元)最大,每件产品的销售价x(元)应定为多少?此时每日销售利润是多少?
〔解析〕　(1)可设日销售量y(件)与每件产品的销售价x(元)的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据表格中的数据,求出k,b的值,从而确定y与x之间的函数关系式.(2)由于日销售利润W等于日销售量y与每件产品的利润(x-20)的积,故W与x之间的函数关系是一个二次函数关系,故可根据二次函数知识求最值.
解:(1)设y与x之间的一次函数关系式为y=kx+b(k≠0).
当x=25时,y=25,当x=30时,y=20,
于是有解得
即函数关系式为y=-x+50.
(2)W=(x-20)(-x+50)=-x2+70x-1000=-(x-35)2+225.
故当销售价为每件35元时,日销售利润最大,最大利润是225元.

　(衡阳中考)如图所示,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A,B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连接AM,BM.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)判断△ABM的形状,并说明理由;
(3)把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移,使其顶点为(m,2m),当m满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点?
〔解析〕　(1)由条件可分别求得A,B的坐标,设出抛物线的解析式,利用待定系数法可求得抛物线解析式.(2)结合(1)中A,B的坐标,根据勾股定理可分别求得AB,AM,BM,可得到AB2+AM2=BM2,可判定△ABM为直角三角形.(3)由条件可写出平移后的抛物线的解析式,与y=x联立,可得到关于x的一元二次方程,根据根的判别式可求得m的取值范围.
解:(1)∵点A为直线y=x+1与x轴的交点,
∴A(-1,0).
又点B的横坐标为2,代入y=x+1可求得y=3,∴B(2,3).
∵抛物线的顶点在y轴上,
∴可设抛物线的解析式为y=ax2+c,
把A,B两点的坐标分别代入可得解得
∴抛物线的解析式为y=x2-1.
(2)△ABM为直角三角形.理由如下:
由(1)中抛物线的解析式为y=x2-1可知点M的坐标为(0,-1),
∴AM=,AB===3,BM==2,
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2,∴△ABM为直角三角形.
(3)当抛物线y=x2-1平移后顶点坐标为(m,2m)时,其解析式为y=(x-m)2+2m,即y=x2-2mx+m2+2m,
与y=x联立,可得
消去y整理可得x2-(2m+1)x+m2+2m=0,
∵平移后的抛物线总有不动点,
∴方程x2-(2m+1)x+m2+2m=0总有实数根,
∴Δ≥0,即(2m+1)2-4(m2+2m)≥0,
解得m≤,即当m≤时,平移后的抛物线总有不动点.

【针对训练10】　如图所示,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,其中A点的坐标为(-3,0).
(1)求B点的坐标;
(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.
①若P点在抛物线上,且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标;
②设Q点是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于D点,求线段QD长度的最大值.
〔解析〕　(1)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1,交x轴于A,B两点,其中A点的坐标为(-3,0),根据二次函数图象的对称性,即可求得B点的坐标.(2)①当a=1时,先由对称轴为直线x=-1,求出b的值,再将B(1,0)代入,求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3,得到C点的坐标,然后设P点坐标为(x,x2+2x-3),根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程,解方程求出x的值,进而得到P点的坐标.②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3,再设Q点坐标为(x,-x-3),则D点坐标为(x,x2+2x-3),然后用含x的代数式表示QD,根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值.
解:(1)∵对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A,B两点,
∴A,B两点关于直线x=-1对称,
∵点A的坐标为(-3,0),∴点B的坐标为(1,0).
(2)①当a=1时,∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=-1,
∴-=-1,解得b=2.
将B(1,0)代入y=x2+2x+c,得1+2+c=0,解得c=-3,
则二次函数的解析式为y=x2+2x-3,
∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0,-3),OC=3.
设P点坐标为(x,x2+2x-3),
∵S△POC=4S△BOC,∴×3×|x|=4××3×1,
∴|x|=4,x=±4.
当x=4时,x2+2x-3=16+8-3=21;
当x=-4时,x2+2x-3=16-8-3=5.
∴P点的坐标为(4,21)或(-4,5).

②如图所示,设直线AC的解析式为y=kx+t,将A(-3,0),C(0,-3)分别代入,得解得
即直线AC的解析式为y=-x-3.
设Q点坐标为(x,-x-3)(-3≤x≤0),
则D点坐标为(x,x2+2x-3),
QD=(-x-3)-(x2+2x-3)=-x2-3x=-+,
∴当x=-时,线段QD的长有最大值,为.
专题五　二次函数与一元二次方程
【专题分析】　
二次函数与一元二次方程的关系是数学中数与形结合的又一类型,解决问题的方法显然是利用数形结合思想.二次函数与一元二次方程的关系并非中考中的重要考点,题型以选择题、填空题为主.
　二次函数y=mx2+x-2m(m是非0常数)的图象与x轴的交点个数为 (　　)
A.0 B.1
C.2 D.1或2
〔解析〕　二次函数y=mx2+x-2m(m是非0常数)的图象与x轴的交点个数即为方程mx2+x-2m=0的解的个数,Δ=1+8m2>0,故图象与x轴的交点个数为2.故选C.
【针对训练11】　若关于x的二次函数y=x2-2x+k的图象与x轴只有1个交点,则k=　　　　. 
〔解析〕　∵二次函数y=x2-2x+k的图象与x轴有且只有一个交点,∴Δ=b2-4ac=4-4k=0,∴k=1.故填1.

　若y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为 (　　)
A.-2 B.-1
C.0 D.1
〔解析〕　由图象可知抛物线与x轴的一个交点是(3,0),对称轴为直线x=1,∴根据对称性,抛物线与x轴的另一交点为(-1,0),令y=0,即ax2+bx+c=0,则方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=3.即方程的另一解为-1.故选B.

【针对训练12】　二次函数y=x2-8x+n的部分图象如图所示,若关于x的一元二次方程x2-8x+n=0的一个解为x1=1,则另一个解为x2=　　　　. 
〔解析〕　y=x2-8x+n的图象的对称轴为直线x=4,由图象可知抛物线与x轴的一个交点为(1,0),则另一个交点为(7,0),所以方程x2-8x+n=0的另一个解为x2=7.故填7.