专题9.12因式分解的应用及阅读问题大题专练（重难点培优30题，七下苏科）-【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】

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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【苏科版】专题9.12因式分解的应用及阅读问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一．解答题（共30小题）1．（2021秋•崇川区校级月考）已知△ABC三边长a，b，c满足a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0，试判断△ABC的形状．【分析】由a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝0整理可得：（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，由非负数的性质可求得a、b、c的值，可判断出三角形的形状．【解答】解：∵a2+b2+c2﹣6a﹣6b﹣10c+43＝a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+c2﹣10c+25＝（a﹣3）2+（b﹣3）2+（c﹣5）2＝0，∴a﹣3＝0，b﹣3＝0，c﹣5＝0，∴a＝3，b＝3，c＝5，∴△ABC为等腰三角形．2．（2019春•徐州期中）已知x+y＝7，xy＝6．试求：（1）x﹣y的值；（2）x3y+xy3的值．【分析】（1）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，将已知代入即可；（2）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝37，x3y+xy3＝xy（x2+y2），代入即可；【解答】解：（1）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∵x+y＝7，xy＝6，∴（x﹣y）2＝25，∴x﹣y＝±5；（2）x3y+xy3＝xy（x2+y2），∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∴x2+y2＝37，∴x3y+xy3＝xy（x2+y2）＝222；3．（2019春•邗江区校级期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝b2+ab﹣a+7扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；（2）如果a＝3+m，b＝m﹣2，试说明“如意数”c为非负数．【分析】（1）本题是一道自定义运算题型，根据题中给的如意数的概念，代入即可得出结果（2）根据如意数的定义，求出代数式，分析取值范围即可【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1∴c＝b2+ab﹣a+7＝1+（﹣2）﹣2+7＝4（2）∵a＝3+m，b＝m﹣2∴c＝b2+ab﹣a+7＝（m﹣2）2+（3+m）（m﹣2）﹣（3+m）+7＝2m2﹣4m+2＝2（m﹣1）2∵（m﹣1）2≥0∴“如意数”c为非负数4．（2022秋•大丰区期中）我们用xyz表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即xyz=100x+10y+z．（1）说明abc+bca+cab一定是111的倍数；（2）①写出一组a、b、c的取值，使abc+bca+cab能被11整除，这组值可以是a＝　2　，b＝　5　，c＝　4　；②若abc+bca+cab能被11整除，则a、b、c三个数必须满足的数量关系是 　a+b+c＝11或22　．【分析】（1）将abc+bca+cab用代数式表示出来，再分解因式即可求解；（2）①根据能被11整除的定义即可求解；②表示，再根据abc+bca+cab能被11整除，找到a、b、c三个数必须满足的数量关系．【解答】解：（1）abc+bca+cab＝100a+10b+c+100b+10c+a+110c+10a+b＝111a+111b+111c＝111（a+b+c），故abc+bca+cab一定是111的倍数；（2）①∵一组a、b、c的取值，使abc+bca+cab能被11整除，abc+bca+cab=111（a+b+c），0＜a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，a、b、c均为整数，∴a+b+c＝11，∴这组数可以是a＝2，b＝5，c＝4，故答案为：2，5，4（答案不唯一）；②∵abc+bca+cab=111（a+b+c），abc+bca+cab能被11整除，111不能被11整除，∴a+b+c能被11整除，即a+b+c是11的倍数，∵0＜a+b+c≤9+9+9＝27，∴a，b，c必须满足的关系是a+b+c＝11或22，故答案为：a+b+c＝11或22．5．（2021春•鼓楼区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以，F（123）＝6．（1）计算：F（243），F（761）的值；（2）已知一个相异数p，且p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），则F（p）＝　a+b+c　，（3）若m，n都是“相异数”，其中m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），若k=F(m)F(n)，当F（m）+F（n）＝16时，求k的值．【分析】（1）利用已知条件及方法代数求解（2）百位数的表示方法（3）利用前两问的方法表示F（m），F（n）．利用F（m）+F（n）＝16，求解不定等式中x与y的值．进而求出F（m），F（n）的值．【解答】解：（1）F（243）＝（423+342+234）÷111＝9， F（761）＝（671+167+716）÷111＝14． （2）∵相异数p＝100a+10b+c，（其中a，b，c均为小于10的正整数），∴F（p）＝[100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）]÷111＝a+b+c 故答案为：a+b+c （3）∵m，n都是“相异数”，且m＝100x+23，n＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9且x，y都是正整数），∴F（m）＝[100（x+2+3）+10（x+2+3）+（x+2+3）]÷111＝x+5， F（n）＝（51y+y51+1y5）＝[100（1+5+y）+10（1+5+y）+（1+5+y）]÷111＝6+y 又∵F（m）+F（n）＝16∴x+y＝5． 又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴当x＝1，y＝4 当x＝2，y＝3 当x＝3，y＝2 当x＝4，y＝1． 又∵m，n都是“相异数”，∴x≠2，x≠3，y≠1∴x＝1，y＝4∴F（m）＝6，F（n）＝10∴k＝6÷10＝0.6 故k＝0.66．（2021春•镇江期中）【活动材料】若干个如图1所示的长方形和正方形硬纸片【活动要求】用若干块这样的长方形和正方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，探求相应的等式．例如，由图2，我们可以得到a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．【问题解决】（1）选取正方形、长方形硬纸片共8块，拼出如图3的长方形，直接写出相应的 　3b²+4ab+a²＝（a+b）（3b+a）　；（2）尝试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+3ab+b2分解因式，并把所拼的图形画在图4的虚线方框内；（3）将2b2﹣3ab+a2分解因式：　2b²﹣3ab+a²＝（b﹣a）（2b﹣a）　（直接写出结果，不需要画图）．【分析】运用不同方法求解矩形面积：分割法求解、公式法求解，所得的结果是一样的，由此可得出答案．【解答】解：（1）如图3，用分割法求解图3的矩形，可发现是由3个边长为b的正方形和1个边长为a的正方形以及4个长宽分别为b、a的长方形组成，所以矩形面积可为（3b2+4ab+a2），矩形面积求解还可以用长乘宽计算，长为（3b+a），宽为（a+b），所以矩形面积可为（3b+a）（a+b），面积相等，即：3b2+4ab+a2＝（a+b）（3b+a）．（2）如图所示，2a2+3ab+b2可看作由2个边长为a的正方形，1个边长为b的正方莆，3个长宙斯分别为b、a的长方形组成的矩形的面积，所以可画图．由（1）的方法可得2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．（3）由几何思想可利用已有图形拼凑，拼凑成2个边长为b的正方形减去3个长宽分别为b、a的矩形，再加上一个边长为a的正方形即可，再用公式法算出剩下图形的面积，即可得到式子：2b2﹣3ab+a2＝（b﹣a）（2b﹣a）．7．（2022秋•大兴区期中）设ab是一个两位数，如果a+b可以被9整除，则这个两位数可以被9整除吗？为什么？【分析】首先将这个两位数表示出来，再将其变形得9a+（a+b），由已知条件可得9a及a+b均能被9整除，从而证得这个两位数也能被9整除．【解答】解：可以，理由如下：∵ab是一个两位数，∴这个两位数为10a+b，即10a+b＝9a+（a+b），∵9a能被9整除，a+b可以被9整除，∴9a+（a+b）能被9整除，即ab能被9整除．8．（2022春•郫都区校级月考）我们知道，分解因式与整式乘法是互逆的运算．在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题，请你根据情况解答：（1）已知a，b，c是△ABC的三边且满足a2+2b2＝2b（a+c）﹣c2.判断△ABC的形状；（2）两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x+2），另一位同学因看错了常数项而分解成3（x+2）（x﹣3）．请你求出原来的多项式并将原式分解因式．【分析】（1）先根据单项式乘多项式把原式化简，再根据完全平方公式变形，根据偶次方的非负性得到a＝b，b＝c，根据等边三角形的概念求解；（2）由于含字母x的二次三项式的一般形式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0），所以可设原多项式为ax2+bx+c．看错了一次项系数即b值看错而a与c的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将3（x﹣1）（x+2）运用多项式的乘法法则展开求出a与c的值；同样，看错了常数项即c值看错而a与b的值正确，可将3（x+2）（x﹣3）运用多项式的乘法法则展开求出b的值，进而得出答案．【解答】解：（1）∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形；（2）设原多项式为ax2+bx+c（其中a、b、c均为常数，且abc≠0）．∵3（x﹣1）（x+2）＝3（x2+x﹣2）＝3x2+3x﹣6，∴a＝3，c＝﹣6；又∵3（x+2）（x﹣3）＝3（x2﹣x﹣6）＝3x2﹣3x﹣18，∴b＝﹣3．∴原多项式为3x2﹣3x﹣6，将它分解因式，得3x2﹣3x﹣6＝3（x2﹣x﹣2）＝3（x﹣2）（x+1）．9．（2022春•招远市期末）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　．（2）利用上述方法进行因式分解：a2﹣10a+21．（3）求4x2+4x+5的最小值．【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；（2）将21化成25﹣4，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；（3）将式子进行配方，利用偶次方的非负性可得即可得解．【解答】解：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+4．故答案为：4；（2）a2﹣10a+21＝a2﹣10a+25﹣4＝（a﹣5）2﹣4＝（a﹣5+2）（a﹣5﹣2）＝（a﹣3）（a﹣7）；（3）4x2+4x+5＝4x2+4x+1+4＝（2x+1）2+4，∵（2x+1）2≥0，∴（2x+1）2+4≥4，∴4x2+4x+5的最小值为4．10．（2022春•江津区期末）一个三位正整数，百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，如果满足a＝b+c，那么称这个三位数为“开心数”．（1）三位正整数中，最小的“开心数”为 　101　，最大的“开心数”为 　990　．（2）如果一个“开心数”满足百位为6，且能被6整除，那么称这个“开心数”为“顺利开心数”，请求出所有的“顺利开心数”．【分析】（1）利用题中新定义求解‘（2）利用题中新定义，先求“开心数”，再求“顺利开心数”．【解答】解：（1）因为三位数的百位数字最小是1，所以最小的“开心数”为101，因为三位数的百位数字最大是9，所以最大的“开心数”为990；故答案为：101，990；（2）由题意得：百位为6“开心数“为：606，660，615，651，642，624，633，其中能被6整除的有：606，660，642，624，所以所有的“顺利开心数”为：606，660，642，624，11．（2022秋•玄武区期中）一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作ab；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作xyz．（1）（ab+ba）能被11整除吗？请说明理由；（2）小明发现：如果（x+y+z）能被3整除，那么xyz就能被3整除．请补全小明的证明思路．【分析】（1）根据给定的运算可表示出ab+ba=11（a+b），即可得证；（2）根据xyz=100x+10y+z＝9（11x+y）+（x+y+z），因为9（11x+y），（x+y+z）都能被3整除，即可得证．【解答】解：（1）ab+ba能被11整除，理由如下：根据题意，ab+ba=10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），∴ab+ba能被11整除；（2）∵xyz=100x+10y+z＝99x+x+9y+y+z＝（99x+9y）+（x+y+z）＝9（11x+y）+（x+y+z），∵9（11x+y），（x+y+z）都能被3整除，∴xyz就能被3整除，故答案为：100x+10y+z，9（11x+y）．12．（2022春•建邺区校级期末）（1）问题探究：已知a、b是实数，求证：a2+b2≥2ab．（2）结论应用：已知m、n是实数，且mn＝2，求3m2+3n2﹣1的最小值．【分析】（1）根据完全平方公式即可证明；（2）根据m2+n2≥2mn，依此可求3m2+3n2﹣1的最小值．【解答】（1）证明：∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）解：∵m、n是实数，且mn＝2，∴3m2+3n2﹣1＝3（m2+n2）﹣1≥3×2mn﹣1＝6mn﹣1＝12﹣1＝11．故3m2+3n2﹣1的最小值是11．13．（2022春•丹阳市期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．【知识理解】（1）若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，那么常数k的值为 　C　；A．4B．8C．±8D．±16（2）若多项式x2+4x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为 　4　；（3）配方：x2﹣6x﹣10＝（x﹣3）2﹣　19　；x2+2x+4＝　（x+1）2+3　；【知识运用】（4）通过配方发现，代数式x2﹣4x+7有最小值，则最小值为 　3　；（5）利用配方法因式分解：a2+2a﹣3＝a2+2a+　1　﹣4＝（a+1）2﹣4＝　（a+5）（a﹣1）　；（6）已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，则m＝　﹣4　，n＝　4　；（7）若M＝（a+1）（a﹣3），N＝2（a﹣1）（a﹣2），则M　＜　N（用“＜、＞”号填空）．【分析】（1）利用完全平方公式得出答案．（2）利用完全平方公式得出答案．（3）利用配方法即可得出答案．（4）将代数式配方为（x﹣2）2+3，可得出答案．（5）利用完全平方公式配方即可得出答案．（6）利用配方法将等式变形为（m+n）2+（n﹣4）2＝0，根据非负数的性质可得m+n=0n−4=0，解方程组可得出m，n的值．（7）计算N﹣M可得a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3＞0，即可得出答案．【解答】解：（1）∵x2+kx+16＝x2+kx+42是一个完全平方式，∴由kx＝±2x•4，解得k＝±8．故选：C．（2）∵x2+4x+m是一个完全平方式，∴m＝22＝4．故答案为：4．（3）x2﹣6x﹣10＝x2﹣6x+9﹣9﹣10＝（x﹣3）2﹣19．x2+2x+4＝x2+2x+1﹣1+4＝（x+1）2+3．故答案为：19；（x+1）2+3．（4）x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4﹣4+7＝（x﹣2）2+3，∵（x﹣2）2≥0，∴（x﹣2）2+3≥3，∴x2﹣4x+7的最小值为3．故答案为：3．（5）a2+2a﹣3＝a2+2a+1﹣1﹣3＝a2+2a+1﹣4＝（a+1）2﹣4＝（a+1+2）（a+1﹣2）＝（a+3）（a﹣1）．故答案为：1；（a+3）（a﹣1）．（6）∵m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m+n）2+（n﹣4）2＝0，∴m+n=0n−4=0，解得m=−4n=4．故答案为：﹣4；4．（7）∵M＝（a+1）（a﹣3）＝a2﹣2a﹣3，N＝2（a﹣1）（a﹣2）＝2（a2﹣3a+2）＝2a2﹣6a+4，∴N﹣M＝a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3＞0，∴N＞M，即M＜N．故答案为：＜．14．（2022春•工业园区校级期中）如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a﹣b+3ab2+b2展开式中的系数……这就是著名的杨辉三角：（1）（a+b）n的展开式共有 　（n+1）　项，系数和为 　2n　．（2）根据上面的规律，则（a﹣b）4的展开式＝　a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4　．（3）利用上面的规律计算：35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1．【分析】（1）根据展开式的系数规律可得答案；（2）根据规律写出（a﹣b）4即可；（3）根据前面的规律可得原式等于（3﹣1）5，再计算即可．【解答】解：（1）由杨辉三角的系数规律可得：（a+b）n的展开式共有（n+1）项，系数和为2n．故答案为：（n+1），2n；（2）由杨辉三角的系数规律可得：（a﹣b）4＝a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4．故答案为：a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4；（3）35﹣5×34+10×33﹣10×32+5×3﹣1＝（3﹣1）5＝25＝32．15．（2021秋•崇川区期末）（阅读材料）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q）．在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定当p×q是n的最佳分解时，F（n）=pq．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，从而F（18）=36=12．（探索规律）（1）F（15）＝　35　，F（24）＝　23　，…；（2）F（4）＝1，F（9）＝1，F（25）＝　1　，…；猜想：F（x2）＝　1　（x是正整数）．（应用规律）（3）若F（x2+x）=89，且x是正整数，求x的值；（4）若F（x2﹣11）＝1，请直接写出x的值．【分析】（1）由信息可知15的最佳分解是3×5，24的最佳分解是4×6，代入F（n）=pq中进行计算即可；（2）由完全平方数的特点可知结果为1；（3）把x2+x化为x（x+1）即可得出结果；（4）把（x2﹣11）写成完全平方数的形式即可得出x．【解答】解：（1）∵3×5＝15，∴F（15）=35；∵4×6＝24，∴F（24）=46=23；故答案为：35；23；（2）∵4，9，25都是平方数，∴F（25）＝1，F（X2）＝1，故答案为：1；1；（3）∵F（x2+x）=89，且x2+x＝x（x+1），∴x（x+1）＝8×9，∴x＝8，即x的值为8；（4）∵F（x2﹣11）＝1，∴（x2﹣11）是一个完全平方数，∴x2﹣11＝x2﹣12+1，∴2x＝±12，∴x＝±6，即x的值为±6．16．（2021秋•兴化市校级月考）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．（1）判断674，243是否是“好数”？并说明理由；（2）求出百位数字比十位数字小7的所有“好数”的个数，并说明理由．【分析】（1）根据“好数”的定义判断；（2）根据“好数”的定义及“百位数字比十位数字小7”，进行推理求解．【解答】解：（1）674不是“好数”，243是“好数”．理由如下：因为6、7、4都不为0，且6+7＝13，13不能被4整除，所以674不是“好数”，因为2、4、3都不为0，且2+4＝6，6能被3整除，所以243是“好数”；（2）设十位数字为a，则百位数字为a﹣7（7＜a≤9，且a是整数），所以a+a﹣7＝2a﹣7，当a＝8时，2a﹣7＝9，因为9能被1、3、9整除，所以满足条件的三位数有181、183、189．当a＝9时，2a﹣7＝11，因为11能被1整除，所以满足条件的三位数有291．综上所述，满足条件的三位自然数有181、183、189、291共4个．17．（2021春•丹阳市期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式例如：当x=3+1时，求12x3﹣x2﹣x+2的值．为解答这题，若直接把x=3+1代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．方法一：将条件变形，因x=3+1，得x﹣1=3．再把所求的代数式变形为关于（x﹣1）的表达式，可得原式=12（x3﹣2x2﹣2x）+2=12[x2（x﹣1）﹣x（x﹣1）﹣3x]+2=12[x（x﹣1）2﹣3x]+2=12（3x﹣3x）+2＝2．方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由x﹣1=3，可得x2﹣2x﹣2＝0，即x2﹣2x＝2，x2＝2x+2．原式=12x（2x+2）﹣x2﹣x+2＝x2+x﹣x2﹣x+2＝2．请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：（1）当x2+x﹣1＝0时，求x4﹣3x2+1的值；（2）当x=2−1时，求x3+2x2﹣x+1的值．【分析】（1）先由x2+x﹣1＝0变形为x2+x＝1，然后将x4﹣3x2+1不断拼凑出x2+x的式子即可得出答案；（2）先将x=2−1变形为x+1=2，再两边平方，最后整体代入求值．【解答】解：（1）∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴x4﹣3x2+1＝x4+x3﹣x3﹣3x2+1＝x2（x2+x）﹣x3﹣3x2+1＝x2﹣x3﹣3x2+1＝﹣x3﹣2x2+1＝﹣x3﹣x2﹣x2+1＝﹣x（x2+x）﹣x2+1＝﹣x﹣x2+1＝﹣（x2+x）+1＝﹣1+1＝0，（2）∵x=2−1，∴x+1=2，∴（x+1）2＝2，∴x2+2x＝1，∴x3+2x2﹣x+1＝x（x2+2x）﹣x+1＝x﹣x+1＝1．18．（2021春•淮安区期中）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．（1）选择题：图1是一个长2a、宽2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形．然后，按图2那样拼成一个（中间空的）正方形，则中间空的部分面积是 　C　（填序号）．A．2abB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2（2）如图3，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积．据此，你能发现（a+b+c）2＝　a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　．（3）如图4，两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图4，用不同的方法计算这个图形的面积．你能发现a，b，c之间具有怎样的相等关系？（用最简形式表示）【分析】（1）用两种方法表示图2的面积，即可求出中间空的部分的面积；（2）用两种方法表示图3的面积，即可得等式；（3）用两种方法表示图形的面积，即可得到等式，化简即可．【解答】解：（1）设中间空的部分面积为S，∵图2的面积＝（a+b）2，图2的面积＝4ab+S，∴S＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，故选：C．（2）图3的面积＝（a+b+c）2，又∵图3的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（3）∵图4的面积=12(a+b)(a+b)=12(a+b)2，图4的面积=12ab⋅2+c2，∴12(a+b)(a+b)=12(a+b)2=12ab⋅2+c2，即a2+b2＝c2．19．（2021春•梁溪区期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+7b）（8a+5b）长方形，那么x+y+z＝　156　．【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）将x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形的面积的和等于（5a+7b）（8a+5b）即可得到答案．【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45，（3）由题意可知：xa2+yb2+zab＝（5a+7b）（8a+5b），xa2+yb2+zab＝40a2+81ab+35b2，∴x＝40，y＝35，z＝81，∴x+y+z＝156．故答案为：156．20．（2022春•金湖县期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算（a+b+c）2”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路：①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：[（a+b）+c]2或[a+（b+c）]2，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程；②可以用“数形结合”的方法，画出表示（a+b+c）2的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面正方形中画出图形，并作适当标注；（2）利用（1）的结论分解因式：x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝　（x﹣y+2）2　；（3）小明根据“任意一个实数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：请你综合以上表述，求当x，y满足什么条件时以下代数式有最小值，并确定它的最小值．①x2+y2+2xy﹣6x﹣6y+20；②2x2+y2﹣2xy﹣4x+2y+10．【分析】（1）①用“整体思想”把（a+b）看作一个整体，[（a+b）+c]2用完全平方公式化简，或者把（b+c）看作一个整体，[a+（b+c）]2用完全平方公式化简．②构造如图的一个边长为（a+b+c）的正方形＝9个小图形的面积的和．（2）用（1）的结论计算，找到式子中对应结论中的a、b、c．（3）用配方法化简①和②中的代数式，然后根据“任意一个实数的平方≥0”得出代数式的最小值．【解答】解：（1）①方法一：（a+b+c）2＝[（a+b）+c]2＝（a+b）2+2（a+b）c+c2＝a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．方法二：（a+b+c）2＝[a+（b+c）]2＝a2+2a（b+c）+（b+c）2＝a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．②∵大正方形的面积＝（a+b+c）2，大正方形的面积＝3个正方形的面积+6个长方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）由（1）得结论（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝（a+b+c）2．x2+y2+4﹣2xy+4x﹣4y＝x2+y2+22﹣2xy+2x•2﹣2y•2＝（x﹣y+2）2．故答案为：（x﹣y+2）2．（3）①x2+y2+2xy﹣6x﹣6y+20＝x2+y2+32+2xy﹣2x•3﹣2y•3+11＝（x+y﹣3）2+11，∵（x+y﹣3）2≥0，∴（x+y﹣3）2+11≥11．故当x+y＝3时，代数式x2+y2+2xy﹣6x﹣6y+20的最小值为11．②2x2+y2﹣2xy﹣4x+2y+10＝x2﹣2xy+y2﹣2x+2y+x2﹣2x+1+9＝（x2﹣2xy+y2）﹣（2x﹣2y）+（x2﹣2x+1）+9＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+（x﹣1）2+9＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1+（x﹣1）2+8＝（x﹣y﹣1）2+（x﹣1）2+8∵（x﹣y﹣1）2≥0，且（x﹣1）2≥0，∴（x﹣y﹣1）2+（x﹣1）2+8≥8，故当x＝1且y＝0时，代数式2x2+y2﹣2xy﹣4x+2y+10的最小值为8．21．（2022春•乐平市期末）阅读下列分解因式的过程：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【分析】（1）依据分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分组成（a2﹣4a+4）+（﹣b2），然后用完全平方公式法因式分解后，再用平方差公式法因式分解．（2）先把a2﹣ab﹣ac+bc＝0因式分解，得出（a﹣b）（a﹣c）＝0，由此得出a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，从而判断出△ABC是等腰三角形或等边三角形．【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4＝（a2﹣4a+4）+（﹣b2）＝（a﹣2）2﹣b2＝（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴（a2﹣ab）+（﹣ac+bc）＝0，a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，a＝b且a＝c，即a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．22．（2022春•郓城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝a，则原式＝（a+2）（a+6）+4（第一步）＝a2+8a+16（第二步）＝（a+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　C　A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　.（填“彻底”或“不彻底”）若彻底，直接跳到第（3）问；若不彻底，请先直接写出因式分解的最后结果：　（x﹣2）4　．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用因式分解的定义判断；（3）仿照例题求解．【解答】解：（1）从第二步到第三步是两个数和的完全平方式，故选：C．（2）分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止，而（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4，故答案为：不彻底，（x﹣2）4．（3）设x2﹣2x＝a，则原式＝a（a+2）+1＝a2+2a+1＝（a+1）2＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．23．（2022春•保定期末）教材中写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如；求代数式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4﹣4+6＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．解决下列问题：（1）若多项式x2+6x+m是一个完全平方式，那么常数m的值为 　9　；（2）分解因式：x2+6x﹣16＝　（x﹣2）（x+8）　；（3）若x＞﹣1，比较：x2+6x+5 　＞　0（填“＞，＜或＝”），并说明理由；（4）求代数式﹣x2﹣6x﹣5的最大或最小值．【分析】（1）利用完全平方公式的特征求解；（2）仿照题中的配方法求解；（3）先分解因式，再利用两个数相乘的法则求解；（4）利用题中的配方法进行变形，再利用非负数的性质判断．【解答】解：（1）∵6x＝2×3•x，且x2+6x+m是一个完全平方式，所以m的值为9，故答案为：9．（2）∵x2+6x﹣16＝x2+6x+9﹣9﹣16＝（x+3）2﹣25＝（x+8）（x﹣2），故答案为：（x+8）（x﹣2）；（3）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，x+5＞4，∴x2+6x+5＝（x+1）（x+5）＞0．（4）∵原式＝﹣（x2+6x+9﹣9）﹣5＝﹣（x+3）2+4≤4，所以代数式﹣x2﹣6x﹣5的最大值为4．24．（2022•南京模拟）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）已知：x+y＝7，x﹣y＝5．求：x2﹣y2﹣2y+2x的值．（3）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．【分析】（1）利用分组分解法求解；（2）先利用分组分解法分解，再整体代入求解；（3）先利用分组分解法分解，再根据边长进行判断．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）x2﹣y2﹣2y+2x＝（x2﹣y2）+（2x﹣2y）＝（x﹣y）（x+y+2）∵x+y＝7，x﹣y＝5，∴原式＝（x﹣y）（x+y+2）＝5×（7+2）＝45；（3）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形．25．（2022春•绍兴期末）浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式．再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、或小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；求代数式2x2+4x﹣6的最小值：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　（m+1）（m﹣5）　；（2）求代数式﹣a2+8a+1的最大值；（3）当a、b为何值时，多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+114有最小值，并求出这个最小值；（4）设a为实数，b为正整数，当多项式a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+114取得最小整数时，则a＝　12或32　，b＝　1　．【分析】（1）利用配方法分解因式；（2）利用配方法变式，再根据平方的性质求最大值；（3）利用配方法变式，再根据平方的性质求最小值；（4）根据（3）的结论，结合a，b的取值范围求解．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣32＝（m+1）（m﹣5）；故答案为：（m+1）（m﹣5）；（2）∵﹣a2+8a+1＝﹣（a2﹣8a+16﹣16）+1＝﹣（a﹣4）2+17≤17，∴当a＝4时，﹣a2+8a+1的最大值是17．（3）原式＝a2﹣4ab+5b2+2a﹣2b+114＝（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1+b2+2b+74＝（a﹣2b+1）2+（b+1）2+34≥34．此时有：a−2b+1=0b+1=0，解得：a=−3b=−1，所以当a＝﹣3，b＝﹣1时，这个最小值为34．（4）∵b为正整数，∴由（3）得：原式≥194，原式取得的最小整数值是5，当（a﹣2b+1）2+（b+1）2+34=5时（a﹣2b+1）2+（b+1）2=174∵b为正整数，∴b+1＝2，∴（a﹣2b+1）2=14解得：a=12或a=32∴b＝1，a=12或a=32．故答案为：12或32；1．26．（2022春•北海期末）一般地，我们把如a2﹣2ab+b2及a2﹣2ab+b2的多项式叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式：x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．再如：求代数式x2+4x﹣5的最小值．因为x2+4x﹣5＝x2+4x+4﹣4﹣5＝（x+2）2﹣9且（x+2）2≥0所以，当x＝﹣2时，x2+4x﹣5有最小值，最小值是﹣9．根据以上材料，回答下列问题：（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝　（a+1）（a﹣3）　；（2）代数式x2+2x+3的最小值是 　2　；（3）试说明：无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【分析】（1）根据题目中例题把前两项进行配方，然后利用平方差公式进行因式分解；（2）根据例题中求代数式最小值的情况对二次三项式进行配方求值；（3）对多项式中关于x、y的式子分别进行配方后进行分析即可．【解答】解：（1）a2﹣2a﹣3＝（a2﹣2a+1）﹣4＝（a﹣1）2﹣22＝（a﹣1+2）（a﹣1﹣2）＝（a+1）（a﹣3）．故答案为：（a+1）（a﹣3）（2）∵x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．且（x+1）2≥0．∴（x+1）2+2≥2．∴当x＝﹣1时，x2+2x+3有最小值，最小值是2．故答案为：2．（3）原式＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1＝（x﹣2）2+（y+1）2+1．∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴（x﹣2）2+（y+1）2+1≥1．∴无论x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．27．（2022春•普宁市期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by解：原式＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（a+b）（x+y）例2：“三一分组”：2xy+x2﹣1+y2解：原式＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：（1）分解因式：①x2﹣xy+5x﹣5y；②m2﹣n2﹣6m+9；（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，试判断△ABC的形状．【分析】（1）①前两项和后两项分别提取公因式，再提取公因式即可；②将第一、三、四项组成一个完全平方公式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和提取公因式分解因式，再提取公因式（a﹣b），得到（a﹣b）（a+b+c）＝0，根据a、b、c是△ABC的三边，a+b+c≠0，得到a﹣b＝0，从而a＝b，△ABC的形状是等腰三角形．【解答】解：（1）①原式＝x（x﹣y）+5（x﹣y）＝（x﹣y）（x+5）；②原式＝（m﹣3）2﹣n2＝（m+n﹣3）（m﹣n﹣3）；（2）∵a2﹣b2+ac﹣bc＝0，∴（a+b）（a﹣b）+c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a+b+c）＝0，∵a、b、c是△ABC的三边，a+b+c≠0，∴a﹣b＝0，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形．28．（2022春•大渡口区期末）对于任意一个四位正整数x，若x的各位数字都不为0．且十位数字与个位数字不相等，千位数字与百位数字不相等，那么称这个数为“多彩数”．将一个“多彩数”a的任意一个数位上的数字去掉后得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为F（a），例如，“多彩数”a＝1234，去掉其中任意一位数后得到的四个新三位数分别为：234，134，124，123，这四个三位数之和为234+134+124+123＝615，615÷3＝205，所以F（1234）＝205．（1）计算F（1564）和F（6321）；（2）若“多彩数”b＝8900+10m+n（1≤m≤9，1≤n≤9，m、n都是正整数），F（b）也是“多彩数”且F（b）能被8整除，求b的值．【分析】（1）本题根据多彩数的具体特征，逐个去掉相应位上的数求和再作商即可；（2）根据多彩数定义求得F（b），再根据整除性质求得符合条件的m、n的值便可．【解答】解：（1）由题意可知：F（1564）＝（564+164+154+156）÷3＝346，F（6321）＝（321+621+631+632）÷3＝735；（2）“多彩数”b＝8900+10m+n去掉千位：900+10m+n，去掉百位：800+10m+n，去掉十位：890+n，去掉个位：890+m，F（b）＝（900+10m+n+800+10m+n+890+n+890+m）÷3＝1160+7m+n，∵F（b）能被8整除，∴7m+n能被8整除，且1≤m≤9，1≤n≤9，m，n都是正整数，m≠n，∴当m＝1，n＝9时，F（b）＝1176，（不合题意），当m＝9，n＝1时，F（b）＝1224，∴b＝8900+90+1＝8991．29．（2022秋•崇川区期中）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）通过计算图2中阴影部分的面积可以得到的数学等式是 　（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2　；（2）利用图3解决下面问题若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝32，则a2+b2+c2＝　36　．（3）如图4，四边形ABCD，NGDH，MEDQ是正方形，四边形PQDH和EFGD是长方形，其中EFGD的面积是200，AE＝10，CG＝20，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据阴影部分的面积可以直接用正方形的面积求，也可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积加上一个小正方形的面积求，再根据面积相等即可得到等式；（2）仿照（1）可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，再将已知代入即可求解；（3）设阴影部分的面积为S，AB＝x，则DE＝x﹣10，EF＝x﹣20，根据长方形的面积公式，得（x﹣10）（x﹣20）＝200，再由S＝MF•FN＝（x﹣20+x﹣10）2＝（x﹣20﹣x+10）2+4（x﹣20）（x﹣10），最后代入求值即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）由图可得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝32，∴a2+b2+c2＝100﹣2×32＝36，故答案为：36；（3）设阴影部分的面积为S，AB＝x，则DE＝x﹣10，EF＝x﹣20，根据长方形的面积公式，得（x﹣10）（x﹣20）＝200，∴S＝MF•FN＝（x﹣20+x﹣10）（x﹣10+x﹣20）＝（x﹣20+x﹣10）2＝（x﹣20﹣x+10）2+4（x﹣20）（x﹣10）＝100+800＝900，∴阴影部分的面积为900．30．（2022秋•南岸区校级期中）两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则称这两个多位数互为“友好数“．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是3+7，8+2，∵3+7＝8+2＝10，∴37和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是1+2+3，5+1，∵1+2+3＝5+1＝6，∴123和51互为“友好数”．（1）直接写出103所有两位数中的“友好数”；（2）若两个不同的三位数m＝100a+40+b、n＝200+10c（1≤a＜5，0＜b＜5，0＜c≤9，且a、b、c为整数）互为友好数，且m﹣n是11的倍数，记P=m−n11，求P的所有值．【分析】（1）根据新定义进行解答便可；（2）根据新定义列出a、b、c的方程，得a+b＝c﹣2，m﹣n是11的倍数，得2c−811是整数，从而求得c的值，进而求得a、b的值，便可求得结果．【解答】解：（1）∵1+0+3＝4，1+3＝4，2+2＝4，3+1＝4，4+0＝4，∴103的所有两位数的“友好数”为13、22、31、40；（2）∵两个不同的三位数m＝100a+40+b、n＝200+10c（1≤a＜5，0＜b＜5，0＜c≤9，且a、b、c为整数）互为友好数，∴a+4+b＝2+c，∴a+b＝c﹣2，∵m﹣n是11的倍数，∴100a+40+b﹣200﹣10c是11的倍数，即100a+b﹣10c﹣160是11的倍数，∴100a+b−10c−16011=9a﹣c﹣14+a+b+c−611为整数，∴a+b+c−611是整数，∵a+b＝c﹣2，∴2c−811是整数，∵0＜c≤9，c为整数，∴﹣8＜2c﹣8≤10，c为整数，∴2c﹣8＝0，∴c＝4，∴a+b＝c﹣2＝2，∵1≤a＜5，0＜b＜5，且a、b为整数，∴a＝1，b＝1，∴m＝141，n＝240，∴P=m−n11=141−24011=−9．即P＝﹣9．小明的证明思路因为xyz=_①　100x+10y+z　＝②　9（11x+y）　+（x+y+z），又因为代数式②，（x+y+z）都能被3整除，所以xyz能被3整除．①x2﹣6x+7＝x2﹣6x+9﹣2＝（x﹣3）2﹣2∵（x﹣3）2≥0∴（x﹣3）2﹣2≥﹣2故当x＝3时代数式x2﹣6x+7的最小值为﹣2．②﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1）+4＝﹣（x+1）2+4∵﹣（x+1）2≤0∴﹣（x+1）2+4≤4故当x＝﹣1时代数式﹣x2﹣2x+3的最大值为4．