初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式优秀当堂检测题

这是一份初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式优秀当堂检测题，共32页。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5109" 一、含参二次根式，11题，三星难度 PAGEREF _Tc5109 \h 1
\l "_Tc21057" 二、二次根式有意义的条件，19题，四星难度 PAGEREF _Tc21057 \h 6
\l "_Tc6026" 三、利用二次根式的性质化简，20题，五星难度 PAGEREF _Tc6026 \h 19
一、含参二次根式，11题，三星难度
1．（2023下·全国·八年级名校名卷）若是整数，则a能取的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数．
【详解】解：成立，
，解得，
又是整数，
a能取的最小整数为0，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键．
2．（2023下·全国·八年级名校名卷）已知是整数，则正整数n的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据是整数，，推出是完全平方数，设，得到，根据与同奇同偶，，，或，，得到，或，推出n的最小正整数值是2．
【详解】∵是整数，且，
∴是完全平方数，
设（m是正整数），
则，
∵与同奇同偶，
∴，或，
∴，或，
∴，
∴n的最小正整数值是2．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平方数，解决问题的关键是熟练掌握平方差公式分解因式，数的奇偶性，解方程组．
3．（2023下·福建莆田·八年级统考期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是( )
A．0B．2C．3D．7
【答案】D
【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值．
【详解】解：∵，且是整数，
∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数)
∴n的最小值是7．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”．
4．（2023下·山东临沂·八年级校考阶段练习）若是整数，则正整数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式性质将化简成，再根据是整数，需要让能开方为整数，即可求出的最小值．
【详解】解：，
是整数，
是整数，
正整数的最小值是，
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确分解因式是解答本题的关键．
5．（2023下·浙江·八年级名校名卷）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
6．（2023下·全国·八年级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为 ．
【答案】6
【分析】把24分解因数，分解出平方数，再根据二次根式的定义判断出n的最小值即可．
【详解】解：，
∵是整数，
∴满足条件的最小正整数．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟练把24分解成平方数与另一个数相乘的形式是解题的关键．
7．（2023下·湖北咸宁·八年级统考期中）若是整数，则正整数n的最小值是 ．
【答案】51
【分析】根据，且是整数，n是整数，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是整数，且n是整数，
∴n的最小值为：51，
故答案为：51．
【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
8．（2023下·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ．
【答案】3
【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案．
【详解】解：由二次根式的定义可得，
解得：，
是一个正整数，
或4或9，
解得：或8或3，
的最小正整数是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键．
9．（2023下·河南安阳·八年级校考期中）若是整数，则正整数的最小值是 ．
【答案】4
【分析】根据二次根式有意义的条件和m为正整数，得出，即可得出m的值．
【详解】解：∵有意义，
∴，解得：，
∵m是正整数，
∴，
∴，
∵是整数，
∴，
解得：，
∴正整数的最小值是4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．
10．（2023·全国·八年级名校名卷）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ．
【答案】或或
【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
11．（2023下·江西新余·八年级统考期中）已知有理数、满足等式．
(1)求的平方根；
(2)计算：．
【答案】(1)的平方根是；
(2)
【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求得，继而求得，代入计算即可求解；
（2）代入，，利用裂项相消，即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，∴，
∴，
∴的平方根是；
（2）解：代入，，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式的定义进行求解．
二、二次根式有意义的条件，19题，四星难度
12．（2024·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）下列命题中真命题是（ ）
A．三内角之比为的三角形是直角三角形B．三角形的外角等于两个内角的和
C．若有意义，则D．
【答案】A
【分析】求出三角形的最大内角、根据三角形外角的性质、二次根式有意义的条件、无理数的估算即可得到解答．此题考查了直角三角形的定义、三角形外角的性质、二次根式有意义的条件、无理数的估算等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
【详解】解：A．三内角之比为的三角形中最大内角为，即三角形是直角三角形，故选项符合题意；
B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，故选项错误，不符合题意；
C．若有意义，则，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
13．（2024·河北石家庄·八年级校考期末），则x的值可以是（ ）．
A．3B．C．2D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式有意义的条件（被开方数大于等于零）是解题的关键；分式的分母不等于零是易错点．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组，求解得到x的取值范围，进而完成解答．
【详解】解：由题意可得：
，解得：，则选项A符合题意．
故选A．
14．（2024·全国·八年级竞赛）若a、b、m满足如下关系式：，则的平方根为（ ）．
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件，求出，得出，根据算术平方公的非负性得出，整理得出，从而得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】解：根据题意得：
，
∴，①
∴，
∴，
∴，
∴，②
由①②得，
解得：，
∴，
∴平方根即为4的平方根，为．
故选：D．
15．（2024·全国·八年级竞赛）若二次根式在实数范围内没有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式没有意义的条件可得 ，再解不等式即可，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.
【详解】解：二次根式在实数范围内没有意义，
∴，
解得：
故选：A．
16．（2022上·上海虹口·八年级上外附中校考阶段练习）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是( )
A．3B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案．
【详解】由于根号下的数要是非负数，
∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，
a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0，
a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0，
所以a只能等于0，代入等式得
=0，
所以有x=-y，
即：y=-x，
由于x，y，a是两两不同的实数，
∴x＞0，y＜0．
将x=-y代入原式得：
原式=．
故选B．
【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键．
17．（2023下·浙江台州·八年级台州市书生中学校考阶段练习）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，可得，解出关于的分式方程 的解为，解为正数解，进而确定m的取值范围，注意增根时m的值除外，再根据m为整数，确定m的所有可能的整数值，求和即可．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴ ，
∴，
又∵是增根，当时，
，即，
∴，
∵有意义，
∴，
∴，
因此 且，
∵m为整数，
∴m可以为-4，-2，-1，0，1，2，其和为-4，
故选：D．
【点睛】考查二次根式的意义、分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，解题的关键是理解正数解，整数m的意义．
18．（2023下·八年级课时练习）若，则的值为 ．
【答案】2022
【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可．
【详解】解：由题意得a-2022≥0，
∴a≥2022，
∴|2021-a|= a-2021．
∵，
∴，
，
，
即=2022．
故答案为2022．
【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键．
19．（2023·福建泉州·八年级校考阶段练习）若的最大值为，最小值为，则的值为 .
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可．
【详解】解：∵
∴，
解得：，
将等式两边平方，得，
∴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
又∵，
∴，
∴
∴
故答案为：．
20．（2024·陕西宝鸡·八年级统考期末）设，为实数，且，则点在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查判断点所在的象限，二次根式有意义的条件，根据题意，得到，进而求出的值，根据象限内点的符号特征，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在第四象限；
故答案为：四．
21．（2024·湖南湘潭·八年级统考期末）已知，则的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，算术平方根．熟练掌握二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，算术平方根是解题的关键．
由，可知，，即，则，，求，然后根据的算术平方根是，代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
∴，
解得，，
∴的算术平方根是，
故答案为：．
22．（2024·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键．
根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，解得：且．
故答案为：且．
23．（2024·全国·八年级竞赛）已知实数x满足，则 ．
【答案】2013
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得，然后两边平方即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故．
故答案为：2013．
24．（2024·全国·八年级竞赛）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到，即，可确定，进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
25．（2024·全国·八年级竞赛）若不等式对任意实数都成立，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得有最小值为6，又由得出当时，的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解．
【详解】解：，
∴
当时，有最小值为6，
∵，
∴当时，的最小值为6，
∴，
∴解得，
∴的最大值为，
故答案为：．
26．（2024·全国·八年级竞赛）定义一种新的运算“”：，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到，再代入方程求出b的值，从而得到，依此即可求得答案．
【详解】根据题意得，
，
，
将代入得，
解得，
，
．
故答案为：1．
27．（2023下·浙江杭州·八年级校联考期中）已知，若整数满足，则 ．
【答案】
【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．
【详解】解：
为整数
为
故答案为：5．
【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出的取值范围是解此题的关键．
28．（2024·全国·八年级竞赛）若m满足关系式，求m的值．
【答案】4024
【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得，然后根据非负数的性质得到关于和的方程组，然后结合即可求得的值．
【详解】解：由可得，
∴
∴
29．（2023·湖南长沙·八年级校考开学考试）在四边形中，．

(1)如图（1），若点在边上，，且，，则的度数为_______；
(2)如图（2），若点在四边形内部，，延长交边于点．求证：．
(3)如图（3），以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，其中，，，且满足．请问在轴上是否存在点，使得△和△的面积相等，若存在，请写出点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，再利用平角的含义可得答案；
（2）证明，可得，结合，从而可得答案；
（3）根据二次根式有意义的条件先求解，，再分两种情况：如图，当在轴的正半轴上时，连接，，设，如图，当在轴的负半轴时，过作轴于，连接，，，再利用三角形的面积建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，解得：，
∴，
∴，，连接，
∴，
如图，当在轴的正半轴上时，连接，，设，而，

∴
，
解得：，
∴，
如图，当在轴的负半轴时，过作轴于，连接，，，

∴
，
解得：，不符合题意舍去，
综上：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，四边形的内角和定理的应用，坐标与图形，二次根式有意义的条件，清晰的分类讨论与方程思想的应用是解本题的关键．
30．（2023·全国·八年级名校名卷）已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．
(1)当时，的周长__________（请直接写出答案）．
(2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则．
若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【答案】(1)
(2)（），
【分析】（1）利用分别计算三条边的长度，然后求和即可获得答案；
（2）依据二次根式有意义的条件可得的取值范围，进而化简得到的周长；由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
【详解】（1）解：当时，，，，
∴．
故答案为：；
（2）根据题意，可得，解得，
∴
∴
；
∵为整数，且有最大值，
∴或3或2或1或0或，
当时，三角形三边长分别为，，，
∵，
∴此时不满足三角形三边关系，故，
当时，三角形三边长分别为，，，
满足三角形三边关系，
可设，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解．
三、利用二次根式的性质化简，20题，五星难度
31．（2024·江苏南通·八年级统考期末）已知正实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将变形为，配方得到，根据得到，进而求解即可．
【详解】解：∵m，n均为正实数，
∴可化为，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴的最大值为．
故选：B
32．（2024下·八年级课时练习）设为正整数，，，已知，则的值为（ ）．
A．1806B．2005C．3612D．4100
【答案】A
【详解】，
，
，
同理．
故选：A．
33．（2024·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校联考期末）适合的正整数a的所有值的平方和为（ ）
A．13B．14C．5D．16
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意判断出a的符号，求出正整数a的值，进而可得出结论．
【详解】解：∵,
∴
∴，
∴，
∴正整数a的值为1，2，3，
∴．
故选：B．
34．（2024·全国·八年级竞赛）若，则A的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据二次根式的性质化简A的值，再根据算术平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：
A的算术平方根是．
故选：C．
35．（2024·全国·八年级竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（ ）．
A．5B．0C．3D．75
【答案】C
【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数．
【详解】解：∵，
∴是一个平方数，
∴正整数最小是，
故选：．
36．（2024·湖南益阳·八年级统考期末）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质、化简绝对值、数轴，正确掌握相关的性质内容是解题的关键．
根据数轴判断a、b、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】由数轴知，，且
，，
，
，
，
．
故选：D
37．（2024下·全国·八年级名校名卷）若是正整数，除以的余数为，则称是“阿二数”．例如：是正整数，，则是“阿二数”；是正整数，且，则不是“阿二数”，对于任意四位正整数，的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．有一个四位正整数是“阿二数”，的千位数字比百位数字少，十位数字与个位数字的和为，且为有理数，则满足条件的的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得出，得出,符合题意，代入验证即可求解．
【详解】解：依题意，，，，
则
∵正整数是“阿二数”
∴能被整除
∴能被13整除，
设
∵是正整数，则是9的倍数，
∴,符合题意，
∵是有理数
∴是平方数，
当，时，符合题意，
∴
则
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，二元一次方程组的应用，根据题意分析，掌握整除的应用解题的关键．
38．（2024下·全国·八年级名校名卷）设，求不超过的最大整数 ．
【答案】
【分析】首先将化简，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．
【详解】解：




，
，
不超过的最大整数．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简是解题的关键．
39．（2024下·全国·八年级名校名卷）设，其中n为正整数，则 ．
【答案】
【分析】计算通项公式，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论．
【详解】∵n为正整数，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和．
40．（2024·四川成都·八年级统考期末）若，化简二次根式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的非负性是解题的关键．
先将化成，再根据及即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为．
41．（2024·全国·八年级竞赛）已知，且，，则的值为 ．
【答案】32
【分析】根据二次根式的性质化简，得：；根据立方根的定义化简，得：．联立解二元一次方程组，得：，再根据平方根和立方根的定义求出x和y的值，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
联立，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：32．
【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，代数式求值等知识．根据二次根式的性质和立方根的定义，结合解二元一次方程组的步骤求出a和b的值是解题关键．
42．（2024·全国·八年级竞赛）如果，那么二次根式的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的定义，二次根式的化简，配方法，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．先将方程两边同除以x，得到，再将的被开方式配方，即得 ，最后根据平方根的定义，即得答案．
【详解】解：由得，
，
所以二次根式的平方根为．
故答案为：．
43．（2024·全国·八年级竞赛）计算： ．
【答案】2010
【分析】本题考查整式的混合运算、二次根式的性质，设参数计算是解答的关键．设，利用整式的混合运算法则和二次根式的性质是解答的关键．
【详解】解：记，
则原式
，
故答案为：2010．
44．（2024·全国·八年级竞赛）计算： ．
【答案】2009
【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式化简，熟练巧用完全平方公式是解本题的关键；首先化简为完全平方公式形式，然后根据二次根式开方即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：2009．
45．（2024·湖南长沙·八年级统考期末）阅读下面材料并解决有关问题：
（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，；
（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：；
(1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）；
(2)已知：，求代数式的值；
(3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程）
【答案】(1)①②④
(2)
(3)时，有最小值，最小值为3
【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键．
（1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解；
（2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出；
（3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3．
【详解】（1）解：①是假分式，符合题意；
②是假分式，符合题意；
③是真分式，不合题意；
④是假分式，符合题意．
故答案为：①②④．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意，，
∴．
原式
．
当且仅当，即时，等号成立．
∴原式的最小值为3．
46．（2024·河北石家庄·八年级校考期中）（1）已知和是某个正数a的平方根，求实数a的值：
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】（1）或；（2）
【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，由点在数轴上的位置来判断式的正负等知识点，
（1）根据平方根的概念得到或两个数相同，解方程求出x的值，然后代入即可求出a的值；
（2）首先根据在数轴上的位置得到，然后化简求解即可；
熟练掌握相应的知识点是解决此题的关键．
【详解】（1）∵和是正数a的平方根，
∴或，
∴或，
∴或，
∴或；
（2）由图可知，，
∴，
∴
．
47．（2024·江苏徐州·八年级统考期末）（1）计算：；
（2）求的值：．
【答案】（1）2；（2）
【分析】本题主要考查实数的运算以及立方根的应用：
（1）原式分别化简零次幂、负整数指数幂、算术平方根，然后再计算加减即可；
（2）方程两边同除以4，再开立方即可．
【详解】解：（1）
．
（2），
，
∴．
48．（2024·全国·八年级竞赛）已知，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算：
（1）先根据完全平方公式变形得出，求出，再估算出，即，最后求出答案即可；
（2）将式子变形，再将代入，进而可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
，
．
（2）解：∵
，
．
49．（2024·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期末）已知x，y，z为的三边长，且有．试判断的形状并加以证明．
【答案】是等边三角形
【分析】该题主要考查了完全平方公式的应用，平方根的性质等知识点，解题的关键是对所给条件进行化简；
根据推出即可求解；
【详解】解：∵，
是等边三角形．
50．（2024·湖南长沙·八年级湖南师大附中校考期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、负整数次幂、二次根式的性质、零次幂等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
先根据负整数次幂、二次根式的性质、零次幂化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．