第5章 相交线与平行线全章复习 人教版七年级下册基础知识讲与练

这是一份第5章 相交线与平行线全章复习 人教版七年级下册基础知识讲与练，共25页。
专题5.27 相交线与平行线（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；4. 了解平移的概念及性质.【要点梳理】知识点一、相交线1.对顶角、邻补角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表：特别说明：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线.⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角.⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线．⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.2.垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O.特别说明：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.特别说明：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.知识点二、平行线1．平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行．判定方法2：内错角相等，两直线平行．判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．3．两条平行线间的距离如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.特别说明：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.知识点三、命题及平移1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．每个命题都由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项.2.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．特别说明：平移的性质：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.【典型例题】类型一、相交线➽➼求角度✬✬证明 1．已知：如图，直线相交于点O，于O．若，求的度数；若，求的度数；在（2）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数．【答案】(1) (2) (3)图见分析；的度数为或【分析】（1）依据垂线的定义以及对顶角相等，即可得的度数；（2）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到的度数；（3）分两种情况：若F在射线上，则；若在射线上，则．（1）解：∵，∴，又∵，∴；（2）∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（3）分两种情况：若F在射线上，则；若在射线上，则；综上所述，的度数为或．【点拨】本题考查了角的计算，对顶角的性质，垂线的意义，关键是分类讨论思想的运用．举一反三：【变式1】如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，连接CE．（1）若OC＝2，OE＝1.5，CE＝2.5，则点E到直线CD的距离是______；（2）若∠BOD＝25°，则∠AOE＝______．【答案】     1.5##     115°##度【分析】（1）根据点到线的距离解答即可；（2）根据垂直的定义求出∠COE=90°，根据对顶角相等得到∠AOC=∠BOD＝25°，即可求出∠AOE．解：（1）∵于点O，∴点E到直线CD的距离是OE＝1.5，故答案为：1.5；（2）∵于点O，∴∠COE=90°，∵∠AOC=∠BOD＝25°，∴∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°，故答案为：115°．【点拨】此题考查了点到直线的距离定义，垂直的性质，对顶角相等，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．【变式2】几何说理填空：如图，直线、相交于点，于点平分平分．　　；求的度数．(过程如下，补全过程)解：∵于点，∴　　，∵，∴　　，∵，( 　　)∴　　，∵平分，∴　　．【答案】(1) (2)，，对顶角相等，，【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，进而根据，即可求解；（2）结合图形，根据垂直的意义，角平分线的定义，邻补角，对顶角相等，填空即可求解．（1）解：∵平分平分∴，，∴，故答案为：；（2）∵于点，∴，∵，∴，∵，(对顶角相等)∴，∵平分，∴．故答案为：，，对顶角相等，，．【点拨】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的意义，对顶角相等，数形结合是解题的关键．类型二、相交线➽➼作图➽➼求解✬✬证明 2．如图，已知平面上三点A，B，C，按下列要求完成作图和解答：画射线AC，线段BC．(2) 连结AB，并用圆规在线段AB的延长线上截取BD＝BC（保留画图痕迹）．(3) 过点C作于点E；点C到AB的距离是______的长；线段这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接）．【答案】(1)见分析 (2)见分析 (3)见分析；CE；．【分析】（1）根据射线和线段定义即可画射线，线段；（2）根据线段定义即可连结，并用圆规在线段AB的延长线上截取；（3）根据点到直线的距离定义即可解决问题．（1）解：如图，射线，线段即为所求；（2）解：如图，即为所求；（3）解：点C到的距离是的长；线段这三条线段大小关系是．故答案为：，．【点拨】本题考查了作图-基本作图，垂线段最短，点到直线的距离，解决本题的关键是掌握基本作图方法．举一反三：【变式1】如图，在三角形中，．过点画的垂线，交于点；在（1）的条件下，点到直线的距离是线段______的长度；在（1）的条件下，比较与的大小，并说明理由．【答案】(1)见分析 (2)AH (3)AB>AH【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可；（2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点到直线的距离是线段AH的长度；（3）根据垂线段最短，进行判定即可．（1）解：如图所示（2）∵，∴点到直线的距离是线段AH的长度，故答案为：AH；（3）AB>AH，理由如下：∵∴AB>BC，∵，∴∴BC >CH，∴AB>AH．【点拨】本题主要考查的是垂线段的画法以及性质，直角三角形的性质，需要熟练掌握垂线的画法，准确判断点到直线的垂线段．【变式2】如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上．过点B画直线AC的垂线，垂足为G；比较BC与BG的大小：BC BG，理由是 ．已知AB=5，求△ABC中AB边上的高h的长．【答案】(1)见详解 (2)，垂线段最短 (3)【分析】（1）利用网格正方形的性质画垂线即可；（2）利用垂线段最短可得答案；（3）利用等面积法列方程，再解方程即可．（1）解：如图，直线BG即为所求；（2）BCBG，理由是垂线段最短．故答案为：，垂线段最短；（3）如下图，∵，又∵，∴，解得，∴△ABC中AB边上的高h的长为．【点拨】本题主要考查了在网格图中画已知直线的垂线、垂线段的性质、等面积法的应用等知识，掌握“网格正方形的特点及垂线段的性质”是解本题的关键．类型三、平行线➽➼性质✬✬判定➽➼求解✬✬证明 3．如图，直线、交于点O，，分别平分和，已知，且．求的度数；试说明的理由．【答案】(1)的度数为 (2)见分析【分析】（1）根据角平分线的定义推出，再根据对顶角性质求解即可；（2）结合等量代换得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．（1）解：∵，分别平分和，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：，，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．求证：∠AOE=∠ODG；若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见分析 (2)CDOE，理由见分析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CDOE．解：（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CDOE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CDOE．【点拨】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．【变式2】如图，点在上，已知，平分，平分．请说明的理由．解：因为(已知)，(______)，所以(______)．因为平分，所以(______)．因为平分，所以______，得(等量代换)，所以______(______)．【答案】平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；；内错角相等，两直线平行【分析】由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定．解：（已知），（平角的定义），（同角的补角相等）．平分，（角平分线的定义）．平分，，（等量代换），（内错角相等，两直线平行）．故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；；；内错角相等，两直线平行．【点拨】本题主要考查角平分线的定义，补角的性质和平行线的判定，解答的关键是熟练掌握平行线的判定定理并灵活运用．4．如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．求证：；试判断与之间的数量关系，并说明理由；若求的度数．【答案】(1)证明见分析； (2)，理由见分析； (3)【分析】（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行；（2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出；（3）依据已知条件求得的度数，进而利用平行的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数．解：（1）证明：，；（2）解：;理由：，,，,,；（3）解：，，,又，，，又，，．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判定两直线的位置关系，平行线的性质是由平行线关系来寻找角的数量关系．举一反三：【变式1】如图，点在上，点分别在上，且，．求证：；若，，求的度数．【答案】(1)证明见分析； (2)【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；（2）根据垂直定义和平行线的判定与性质即可求出结果．解：（1）证明：，，，，；（2）解：，，，，，．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．【变式2】（1）问题背景：如图1，已知，点P的位置如图所示，连结，试探究与、之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P作∵（已知），∴（______），∴，（______），∴______＋______（等式的性质）．即，，之间的数量关系是______．（2）类比探究：如图2，已知，线段与相交于点E，点B在点A右侧．若，，则______．（3）拓展延伸：如图3，若与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的数量关系______．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；（2）；（3）【分析】（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；（2）如图2，过E点作，根据平行线的性质可得，，结合对顶角的性质可求解；（3）由（2）知：，如图3，过F点作，利用平行线的性质可得，由角平分线的定义即可求解．解：（1）过点P作，∵（已知），∴（平行于同一条直线的两条直线平行），∴，（两直线平行，内错角相等），∴（等式的性质）．即，，之间的数量关系是．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；；；；（2）如图2，过E点作，∴，∵，∴，∴，∴；故答案为：；（3）由（2）知：，如图3，过F点作，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，平分，∴，，∴．即．故答案为：．【点拨】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，利用类比方式推理是解题的关键．类型四、平行线➽➼平行线之间距离➽➼求解✬✬证明✬✬作图 5．如图，直线，与，分别相交于点，，且，交直线于点．若，求的度数；(2) 若，，，求直线与的距离．【答案】(1) (2)【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据平角的定义即可得；（2）过点作于点，利用三角形的面积公式即可得．（1）解：，，，，，．（2）解：如图，过点作于点，，，，，，即，解得，即直线与的距离为．【点拨】本题考查了平行线的性质、平行线间的距离，三角形的面积公式，熟练掌握平行线的性质是解题关键．举一反三：【变式1】按下列语句要求画图：（1）过C点画AB的垂线段交AB于点D；（2）过B点画AB的垂线PB；（3）过点C画AB的平行线并与（2）的垂线相交于点E；（4）连结AE，在图中找出与面积相等的三角形．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）△ABC【分析】（1）（2）（3）依据题干要求画出图形；（4）根据平行线之间的距离和三角形面积即可解答．解：（1）如图，CD即为所画；（2）如图，PB即为所画；（3）如图，CE即为所画；（4）∵CE∥AB，∴CD=BE，∴△ABC与△ABE的面积相等．【点拨】本题考查了垂线和平行线的画法，平行线之间的距离，三角形的面积，解题的关键是根据所画图形判断出CD=BE，从而得到面积相等的三角形．【变式2】探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线，两点、在上，于，于，则．如图2，已知直线，、为直线上的两点，、为直线上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：__________．（2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有：_______与的面积相等；理由是：___________．【答案】（1）和，和，和；（2），同底等高的两个三角形的面积相等【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿与为例：两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论．解：（1）有三对分别是：和，和，和，分析如下：和，两个三角形用公共边为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；和，两个三角形以为底，高相等，即面积相等；和，根据和面积相等，两个三角形同时减去，得和面积相等．故答案为：和，和，和，（2）如果、、为三个定点，点在上移动，那么无论点移动到任何位置总有：与的面积相等，分析如下：与同底，点在上移动，那么无论点移动到任何位置，点到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，即面积相等．故答案为：同底等高的两个三角形的面积相等【点拨】本题考查了两条平行直线间的距离和两个三角形面积相等问题，解题的关键是：理解两直线平行距离为定值及同底等高的两个三角形面积相等．类型五、平行线➽➼平移✬✬命题、定理、证明➽➼求解✬证明✬作图 6．如图，已知三角形，是的平分线，平移三角形，使点移动到点，点的对应点是，点的对应点是．在图中画出平移后的三角形；画出点到线段的垂线段；若，与相交于点，则___________°，___________°．【答案】(1)见分析 (2)见分析 (3)35°  110°【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）根据三角形的高的定义画出图形即可；（3）利用角平分线的定义，平行线的性质求解即可．解：（1）如图，三角形即为所求；（2）如图，线段即为所求；（3）是的平分线，，又，，，．故答案为，【点拨】本题考查平移变换，角平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键掌握平移变换的性质．举一反三：【变式1】如图是由100个边长为1的小正方形组成的网格，线段的两端都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：将线段平移到线段（点A与点C对应），画出线段；连接，直接写出与之间的数量关系与位置关系；连接，的面积为______________．【答案】(1)作图见分析 (2)作图见分析，AC＝BD，ACBD； (3)图见分析，的面积为13【分析】（1）利用平移变换的性质作出点B的对应点D，即可；（2）利用平移变换的性质判断即可；（3）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．（1）解：如图，线段CD即为所求；（2）如图，AC＝BD，ACBD；（3）△ABC的面积＝5×63×42×62×5＝13，故答案为：13．【点拨】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于常考题型．【变式2】如图，在直角三角形中，，将沿射线方向平移得到，，，的对应点分别是，，．若，求的度数．若，当时，则______．【答案】(1)56° (2)4cm【分析】（1）先根据平移的性质得到AC∥DF，再利用平行线的性质得到∠ACB=∠F，由AD∥BF得到∠ACB=∠DAC，然后利用等量代换得到结论；（2）根据平移的性质得到AD=BE=CF，设AD=x，则CE=x，BE=CF=x，则利用BC=6得到x+x=6，然后解方程即可．（1）解：∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，∴AC∥DF，AD∥BF，∴∠ACB=∠F，∴∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠F=∠DAC=56°；（2）∵△ABC沿射线BC方向平移，得到△DEF，∴AD=BE=CF，设AD=x，则BE=CF=x，∵AD=2EC，∴CE=x，∵BC=6，∴x+x=6，解得x=4，即AD的长为4cm．【点拨】本题考查平移的基本性质和平行线的性质，掌握：经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等是解决问题的关键．7．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：两直线平行，同旁内角互补；垂直于同一条直线的两直线平行；相等的角是内错角；有一个角是60°的三角形是等边三角形．【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题 (2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题 (3)内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等 (4)等边三角形有一个角是60°真命题【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可．解：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；（4）等边三角形有一个角是60°真命题．【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型．举一反三：【变式1】已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”写出命题的题设和结论；画出符合命题的几何图形；用几何语言叙述这个命题；说明这个命题是真命题的理由．【答案】(1)答案见分析 (2)答案见分析 (3)答案见分析 (4)答案见分析【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，即可得答案；（2）先画ABCD，再画GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC即可；（3）根据图形用字母表示叙述即可；（4）根据平行线的性质得∠BGM=∠CMG，再由GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，可得∠HGM=∠NMG，即可得答案．（1）解：题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行；（2）如下图所示：；（3）如上图，已知ABCD，GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，求证：GHMN；（4）真命题，理由：∵ABCD，∴∠BGM=∠CMG，又∵GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，∴∠HGM=∠BGM，∠NMG=∠CMG，∴∠HGM=∠NMG，∴GHMN．【点拨】本题考查了命题、作图、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质并灵活运用．【变式2】已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系．如图1，，，∠1与∠2的关系是______；证明：如图2，，，则∠1与∠2的关系是______；证明：经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______．【答案】(1)∠1＝∠2，证明见分析 (2)∠1＋∠2＝180°，证明见分析(3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补【分析】（1）根据平行线性质可得答案；（2）根据平行线性质，可得答案；（3）由（1）（2）可得一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．解：（1）∠1=∠2，证明：如图1：∵，∴∠1=∠3，∵，∴∠3=∠2，∴∠1=∠2；故答案为：∠1=∠2；（2）∠2+∠1=180°，证明：如图2：∵，∴∠1=∠4，∵，∴∠2+∠4=180°，∴∠2+∠1=180°；故答案为：∠2+∠1=180°；（3）由（1）（2）可得：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．【点拨】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． 图形顶点边的关系大小关系对顶角12∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.邻补角互补即∠3+∠4=180°