人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理同步训练题

这是一份人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理同步训练题，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

;

学生熟悉掌握含30度和45度的直角三角形三边之比求边和角，给我们解题带来很多方便，本专题汇集了部分30度和45度的三角形的题型，供师生选择使用。
一、单选题
1．如图，在直角三角形中，，，，则（ ）

A．6B．C．4D．
2．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，中，，，是中线，且，则的面积为（ ）
A．30B．48C．24D．18
4．如图，在四边形ABCD中，，点P是四边形ABCD边上的一个动点．若点P到AC的距离为，则点P的位置有（ ）
A．1处B．2处C．3处D．4处
5．如图，，，在射线上取一点，设，若对于的一个数值，只能作出唯一一个，下列选项不符合题意的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，中，，是的平分线，E是上一点，连接．若，，则的长是（ ）
A．B．4C．D．2
7．如图，，点在内部，且，若、分别为边、上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．8
8．如图，在中，平分，交于点D，于点E，若则的长为（ ）
A．B．C．D．6
9．如图，中，，，是边靠近点的三等分点，，则长为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ）
A．B．1+C．2D．2+
二、填空题
11．在中，，，．则的长为_______．
12．如图，中，，，平分交于点D，，则 的面积为_____．
13．如图，中，，，于，，则____．
14．已知在中，，，，，则BC的长等于________．
15．如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 _____．
16．如图，在中，，，，在中，，，连接，则__________，__________．
17．如图，在中，，，点是边上的一个动点，连接，以为边作，使，为的中点，连接，则线段的最小值为______．
18．如图，纸片中，，，，，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是______．
19．在中，，则此三角形的面积是________．
20．如图，长方形中，，，，点M是射线BD上一点（不与点B，D重合），连接AM，过点M作交直线BC于点N，若是等腰三角形，则______．
三、解答题
21．定义：如果一个三角形存在两个内角与满足，那么称这个三角形为“准互余三角形”．如图，已知为“准互余三角形”，并且．
(1) 若，求的度数；
(2) 在（1）的条件下，若，求的长．
22．如图，在中， ，，将一块足够大的直角三角尺（，）按如图放置，顶点P在线段上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边交于点D．
(1) 当时，判断的形状，并说明理由；
(2) 当是等腰三角形时，求出所有满足要求的的长；
(3) 记点C关于的对称点为，当时，的长是 ___________．
23．如图，在中，，，，三角尺中角的顶点D在边上，两边分别与的边，相交于点E，F，且始终与垂直．
(1) 是____三角形．（填特殊三角形的名称）
(2) 在平移三角尺的过程中，的值是否变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由．
(3) 当平移三角尺使时，求的长．
24．如图，，，点P为中点，平分．
(1) 求证：平分；
(2) 若，，则______．
25．如图1，直角三角形和直角三角形的直角顶点重合，点在斜边上，，，连接AE．
(1) 求证：．
(2) 若，求的长．
(3) 如图2，点也在边上，且在点A，D之间，若，求证：．
26．如图1，中，，于点，于点，，与交于点，连接．
(1) 求证：．
(2) 若，求的长．
(3) 如图2，将沿折叠得到，问与有何位置关系？请说明理由．
参考答案
1．A
【分析】先利用30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再利用勾股定理即可得到的长．
解：，，，
，
在中，，
故选：A．
【点拨】本题考查了30度角所对的直角边等于斜边一半，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
2．B
【分析】找出点关于的对称点，连接、，根据轴对称的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据网格的特点，结合勾股定理，得出，，再根据，再根据勾股定理的逆定理，得出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，得出，进而即可得出的度数．
解：如图，找出点关于的对称点，连接、，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：B
【点拨】本题考查了轴对称、网格的特点、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解本题的关键．
3．C
【分析】延长到，使，连接，利用得出与全等，得到，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，的面积等于的面积，利用三角形的面积公式即可得出结果．
解：延长到，使，连接，如图所示：
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
．
又，，
，
，
，
则；
故选：C．
【点拨】本题考查的是勾股定理及逆定理，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
4．C
【分析】根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决．
解：
解：过点B作于点F，过点D作于点E，
∵∠CAD=30°，CD=2，∠D=90°，
∴AC=4，，
∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高，
∵AC=4，∠B=90°，∠BAC=45°，
∴，，
∴AB=BC=，
∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高，
∵，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为，
∴点P的位置在点D处，或者边BC上或者边AB上，
即满足条件的点P有3处．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解答本题的关键是求出满足条件的点P所在的位置．
5．A
【分析】由题意可知，当或时，能作出唯一一个，分这两种情况求解即可．
解：由题意可知，当或时，能作出唯一一个，
当时，
∵，，
∴，即此时，
当时，
∵，，
∴，
即时能作出唯一三角形，
综上所述：当或时能作出唯一一个
故选：A
【点拨】本题考查了三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握三角形的三边关系及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据三线合一可得，根据垂直平分线的性质可得，根据可得，则,即为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求解即可．
解： AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
，
，
∴，
，
∴，
∴
为等腰直角三角形，
．
故选A．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
7．B
【分析】作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，根据对称性可知， ，，从而的周长，根据两点之间线段最短，得到周长的最小值为， 在中，根据勾股定理求，从而确定答案．
解：作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，如图所示：
根据对称性可知， ，，
的周长，
根据两点之间线段最短，周长的最小值为，
在中，，，根据勾股定理得，
故选：B．
【点拨】本题考查动点最值问题，涉及轴对称-最短周长问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握利用对称性解决最短周长问题是解决问题的关键．
8．B
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得DE=DH，进一步可知△DHC是等腰直角三角形，根据勾股定理可得CD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质可得BD的长，即可求出BC的长．
解：过点D作DH⊥AC于点H，如图所示：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DH=DE，
∵DE=2，
∴DH=2，
∵∠DHC=90°，∠C=45°，
∴∠HDC=45°，
∴∠C=∠HDC，
∴HC=DH=2，
根据勾股定理，得CD=，
∵∠B=30°，∠BED=90°，
∴BD=2DE=4，
∴BC=4+，
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些知识是解题的关键．
9．C
【分析】作交AD于点E，求出，再求出，利用勾股定理求解即可．
解：作交AD于点E，
∵，
∴，
∴E是AD中点，
∵，，
∴，
∵是边靠近点的三等分点，E是AD中点，
∴，
∴．
故选：C
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明D，E是三等分点，求出，．
10．D
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积．
故选：D．
【点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
11．
【分析】过点C作于D，先判断，然后根据勾股定理求出，最后根据含角的直角三角形的性质即可求．
解：如图，过点C作于D．
∵， ，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键．
12．
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的定义和性质求得， ，再由直角三角形中所对的边等于斜边的一半以及勾股定理求得，，，最后求得的面积．
解：如图，过点D作于点H，
，，
，
平分，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，还考查了角平分线的定义和性质，解决本题的关键是掌握相关的性质定理并能灵活运用．
13．
【分析】过点作，由等腰三角形三线合一可得，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理求解即可；
解：如图，过点作，
∵，
∴，；
∴在中，，
设，则，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
∴，
在中，，设，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、含角的直角三角形性质、勾股定理等知识点；熟练运用角所对的直角边等于斜边的一半转化线段是解题的关键．
14．6
【分析】过A作交于E，根据，得到，由可得，再根据勾股定理求出，即可得到，即可得到答案．
解：过A作交于E，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为6，．
【点拨】本题考查等腰三角形性质，含角的直角三角形性质及勾股定理，解题的关键是求出．
15．
【分析】由角平分线的性质，得出，再计算的长，进而求出的长即可．
解：作，交的延长线与点F，
∵平分交于点D，
在中，
在中，设，则，
∴或（舍去），
，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
16． ##60度 ##
【分析】作于E，于F，通过证明得到，则平分，所以，然后根据三角形内角和计算的度数；根据含直角三角形的性质求出，然后在等腰直角中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，进而可得的长．
解：如图，作于E，于F，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形内角和定理以及勾股定理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
17．2
【分析】取中点，连接，，由“”可证≌，可得，则当时，有最小值，利用含度角的直角三角形可求解．
解：如图，取中点，连接，，
，点是中点，点是中点，
∴，
，，
∴，
∴，
，
，，
在和中，，
≌，
∴，
有最小值，也有最小值，
当时，有最小值，
，，，
∴，
线段的最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
18．或
【分析】根据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，然后分和两种情况画出图形求解即可．
解：∵纸片中，，，
∴，
∵以为折痕，折叠得到，
∴，，．
当时，如图1所示，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图2所示， C与点E重合，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
19．或
【分析】过点A作于点D，分在的内部和外部两种情况计算即可．
解：如图，点A作于点D，
当在的内部时，
∵，
∴，，
∴，
∴；
当在的外部时，
∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点拨】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
20．
【分析】连接，先确定是等腰三角形，只存在一种情况，再证明，得，再证明是等边三角形，
求出，得，然后由勾股定理求解即可．
解：连接AN，
∵四边形ABCD是长方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴只存在一种情况，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题重点考查了长方形的四个角都是直角、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
21．(1) (2)
【分析】（1）分为，为，为，求解．
（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，利用勾股定理，三角形外角性质计算即可．
解：（1）当为时，
则，
故不成立；
当为时，
∵，
∴，
故不成立；
当为，
∵，
∴，
∴，
故不成立；
故，
解得，
∴．
（2）过点A作垂足分别是D，A，交于点E，
∵，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，，
∴．
【点拨】本题考查了新定义问题，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
22．(1) 等腰三角形，见分析(2) 或2(3)
【分析】（1）为等腰三角形，理由为：由，得到一对内错角相等，，根据等边对等角得出，推出，即可得证；
（2）过点C作于点H，点P在滑动时，的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当；；，分别求解即可；
（3）过点C作于点H，证明是等腰直角三角形，可得结论．
解：（1）解：结论：是直角三角形，
理由：当时，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）如图，过点C作于点H，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设．则，
①当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
此时，
∴，
②当时，是等腰三角形，
∴，即，
∴，
此时，
∴；
③当时，是等腰三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
此时点P与点B重合（不符合题意）．
综合所述，的值为或2；
（3）解：如图，过点C作于点H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ．
故答案为：．
【点拨】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．(1) 等边(2) 不变，2(3)
【分析】（1）根据互余关系，求出，即可得到是等边三角形．
（2）根据所对的直角边是斜边的一半，求出，进而求出，利用等边三角形三边相等，得到，再利用即可得解；
（3）设，利用所对的直角边是斜边的一半，分别表示出，利用，进行计算即可得解．
解：（1）是等边三角形，证明如下：
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
故答案为：等边
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
∴，
即的值不变，的值为2；
（3）解：∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【点拨】本题考查含角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
24．(1) 见分析(2) 6
【分析】（1）过点P作于E，由角平分线性质易得，进而可得，根据角平分线的判定定理即可得出结论；
（2）首先根据直角三角形的性质可得，，根据勾股定理可得，可得，再由平分及平行线的性质，可得，，，据此即可解答．
解：（1）证明：过点P作于E，
，，
，即，
平分，，，
，
∵点P是的中点，
，
，
又，，
平分；
（2）解：，，
，
，
∵点P是的中点，
，
平分，
，
，
由（1）知平分，
，
在中，，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握和运用各图形的性质是解决本题的关键．
25．(1) 证明见详解；(2) ；(3) 证明见详解；
【分析】（1）根据和都是等腰直角三角形，可知，则，，结合已有条件可证（），则；
（2）由（1）得，则，，由此可推出，进而可得，根据，，结合勾股定理可知，则；
（3）连接，，如图所示：根据，，可得，则，结合条件可证，则，进而可知，由（1）得，由（2）得∠°，由此根据勾股定理可证．
（1）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴（），
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
由（2）得∠°，
∴在中，，
即．
【点拨】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，能够熟练运用勾股定理是解决本题的关键．
26．(1) 见分析(2) (3) ，见分析
【分析】（1）先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解．
（3）先求出，由，得到，求出，进而求出的度数为，即可得到结论．
解：（1）证明：，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2），
，
在中，，
，
，
；
（3），理由如下：
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．