人教版八年级下册17.1 勾股定理随堂练习题

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理随堂练习题，共63页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
【类型一】勾股定理解直角三角形➽➼求值
【知识点①】勾股定理➼➻直接解直角三角形
1．如图所示，中，，是边的高线，，则等于（ ）．
A．2B．4C．6D．8
2．如图所示，已知中，，，于D，M为上任一点，则等于（ ）
A．9B．25C．36D．45
【知识点②】勾股定理➼➻解含的直角三角形
3．中，，，则的值为 （ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，，平分交于点，，垂足为若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【知识点③】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻全等三角形➼➻求值
5．如图，在边长为6的等边三角形的三边上分别取点，，，使得，连接，，，若于点，则的周长为（ ）
A．B．C．6D．12
6．在中，，，，平分交于点E，则的长是（ ）．
A．3B．5C．D．6
【知识点④】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻斜边上的中线➼➻求值
7．如图，在正方形和正方形中，点G在上，，，H是的中点，那么的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四边形中，已知，，且，，则（ ）
A．B．3C．D．
【知识点⑤】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻作图题➼➻求值
9．如图，是等边三角形，边长为2，根据作图的痕迹，则的长为（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以B为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【知识点⑥】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻等腰三角形➼➻求值
11．已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m和，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形均为等腰三角形，则（ ）
A．B．C．D．
12．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，若C点恰好落在DE上，且CE＝，CD＝，则AB等于（ ）
A．4B．C．D．
【知识点⑦】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻垂直平分线➼➻求值
13．如图，中，，，分别以顶点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在直线两侧分别交于M，N两点，过M，N作直线与交于点P，交于点D，连接．下列结论正确的有（ ）
①；
②；
③；
④直线是线段的垂直平分线；
⑤若，则的周长为12．
A．5个B．4个C．3个D．2个
14．如图在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（ ）
A．B．C．2D．
【知识点⑧】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻角平分线➼➻求值
15．如图，和分别是的高和角平分线，连接，若，，，则线段的长为（ ）
A．B．2C．D．
16．如图，在中，，，，的两条角平分线，，分别交，于点，，它们的交点为，连接，则的长为（ ）
A．1B．C．D．
【类型二】勾股定理解直角三角形➽➼数学思想★★解题方法
【知识点①】勾股定理➼➻分类讨论➼➻求直角三角形第三边
17．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（ ）
A．100B．28C．10或14D．100或28
18．在中，，，高，则的周长为（ ）
A．42B．32C．42或32D．42或36
【知识点②】勾股定理➼➻分类讨论➼➻等腰三角形➼➻求值
19．已知在中，，，则下列说法：①若为等腰三角形，则的周长为10；②若是直角三角形，则斜边长为5；③若是的中线，则AD的取值范围是；④面积的最大值为6，其中正确的说法有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，点E为射线BC上一点，若△ABE是等腰三角形，则△ABE的面积不可能是（ ）
A．10B．12C．D．
【知识点③】勾股定理➼➻方程思想➼➻求值
21．1．如图，在中，，，，是的平分线，交于点，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
22．如图，中，，是等腰三角形，，，交于E，，则的值为（ ）
A．7B．C．8D．
【知识点④】勾股定理➼➻解题方法➼➻等面积法➼➻求值
23．若△ABC是直角三角形，两条直角边分别为5和12，在三角形内有一点D，D到△ABC各边的距离都相等，则这个距离等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
24．在中，，，若点P在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4B．C．5D．
【类型三】勾股定理解直角三角形➽➼最值★★折叠问题
【知识点①】勾股定理➼➻最值问题➼➻求最值
25．如图，在中，点D，E分别是边、上的两点，连接，，，已知，，则的最小值是（ ）
A．B．10C．9.6D．
26．如图，，点在内部，且，若、分别为边、上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．8
【知识点②】勾股定理➼➻折叠与对称问题➼➻求值
27．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC＝6，BC＝8．若要在边CA上找一点D，使得纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，则点D到顶点C的距离是( )
A．2B．C．3D．
28．已知中，，，，为斜边上的中点，是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点，若的面积是面积的一半，则为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
【类型一】勾股定理解直角三角形➽➼求值
【知识点①】勾股定理➼➻直接解直角三角形
29．如图，矩形中，，，在数轴上，且点表示的数为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的实数为_________．
30．如图，四边形中，，，，，其中，则四边形的面积是________．
【知识点②】勾股定理➼➻解含的直角三角形
31．如图，中，，，，D是的中点，则的面积等于 ______．
32．如图，在中，，和分别是和边上的高，交于点F，连接，，，则线段的长度是___________．
【知识点③】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻全等三角形➼➻求值
33．如图所示，点A、B分别是坐标轴上的点，且，轴，点D在x轴负半轴上，，连接OC、BD相交于点E，若四边形ACED的面积为，OE长为1，则点A的坐标为_______．
34．如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连接交于点O，，则＝_____；若＝5，则＝_____．
【知识点④】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻斜边上的中线➼➻求值
35．如图， ，，E为的中点，若，，则的长是______．
36．已知直角三角形斜边上的中线长为6，斜边上的高线长为4，则该三角形的面积为________．
【知识点⑤】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻作图题➼➻求值
37．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点．若，，则______．
38．如图，在中，，，是边上的中线，是外角的平分线，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点G，交于点H．再分别以点G、H为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点Q，连接并延长与交于点F，则的长度为_______．
【知识点⑥】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻等腰三角形➼➻求值
39．如图，，，点D为斜边所在直线上动点，在点D的运动过程中，连接，若是以C为顶点的等腰三角形，那么的长为______．
40．如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点分别为点，，，，点D是线段的中点，点P在边上，若是腰为5的等腰三角形，则点P的坐标为____________．
【知识点⑦】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻垂直平分线➼➻求值
41．如图，在中，，，，边的垂直平分线交于E，交于D，F为上一点，连接，点C关于的对称点恰好落在的延长线上，则的长为_________．
42．如图，在中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，，若，，，则______．
【知识点⑧】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻角平分线➼➻求值
43．如图，在中，，，，、分别是的内角和外角角平分线，且相交于点，则的面积为______．
44．如图，在中，，是三角形的角平分线，如果，，那么点到直线的距离等于______．
【类型二】勾股定理解直角三角形➽➼数学思想★★解题方法
【知识点①】勾股定理➼➻分类讨论➼➻求直角三角形第三边
45．如图，在中，，，，点为射线上一点，若是直角三角形，则的面积是___________.
46．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒3个单位的速度向右运动.设点的运动时间为.过点作于点.在点的运动过程中，当为______时，能使？
【知识点②】勾股定理➼➻分类讨论➼➻等腰三角形➼➻求值
47．在中，，则此三角形的面积是________．
48．如图，在等腰中，，，以为边向上作等边，点，分别是边，上的动点，且，当是直角三角形时，的长为______．
【知识点③】勾股定理➼➻方程思想➼➻求值
49．如图，在四边形中，，，，点P是线段上的动点，连接，，若周长的最小值为16，则的长为_________________．
50．如图，在中，，，，在中，，，连接，则__________，__________．
【知识点④】勾股定理➼➻解题方法➼➻等面积法➼➻求值
51．如图，中，，于D，平分，交于G，，，则___________．
52．如图，在中，，点在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于，恰有．若，，则_____度， ____．
【类型三】勾股定理解直角三角形➽➼最值★★折叠问题
【知识点①】勾股定理➼➻最值问题➼➻求最值
53．如图，菱形的边长为4，，点是边上一动点（不与，重合），点是边上一动点，，面积的最小值为______
54．在平面直角坐标系中，，，点为轴上一点，则的最小值为_________．
【知识点②】勾股定理➼➻折叠与对称问题➼➻求值
55．如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为 __．
56．如图，在中，，、是边上的点，连接、，先将边沿折叠，使点的对称点落在边上；再将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上，若，，则线段的长为 _____．
参考答案
1．C
【分析】由图中相关线段间的和差关系可知，则在中， 根据勾股定理，
得．
解：，，
，
，
，
在中， 根据勾股定理， 得．
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
．
2．D
【分析】在及中可分别表示出及，在及中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．
解：在和中，
，，
在和中，
，，
∴
．
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出和是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．
3．C
【分析】根据已知条件可知为等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出长即可得到答案．
解：如图：
，，
，
设，
由勾股定理得：，
，
故选C．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键．
4．A
【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，利用含度的直角三角形性质求出BD，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，即可得到结论．
解：过点作于，如图所示，
为的平分线，且于于，
，
在中，，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，含度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
5．B
【分析】先证明，得到等边，设，则，解得x，在中，计算即可．
解：∵等边三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，
∵，
解得，
∴，
∴的周长为，
故选B．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，等边三角形的判定，直角三角形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据题意画图，先利用勾股定理求得，过E作于D，根据角平分线的性质得到，进而证明得到，然后利用勾股定理求解即可．
解：如图，过E作于D，
∵在中，，，，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，∵，，
∴，
解得：，
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的证明以及角平分线的性质，会利用勾股定理建立方程求解是解答的关键．
7．A
【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
解：连接、，如图，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，，，，
∴，
在中，，
∵H是的中点，
∴ ．
故选A．
【点拨】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理，二次根式的化简．
8．B
【分析】连接，取的中点，连接，勾股定理求得，进而证明是等边三角形，结合题意，根据角平分线的性质得出即可．
解：如图，连接，取的中点，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴是的角平分线，
又∵，
∴
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
9．B
【分析】根据作图痕迹可以得到是的角平分线，根据等边三角形的性质，得到是含的直角三角形，进行计算即可．
解：由作图痕迹可知：
是的角平分线，
∵是等边三角形，边长为2，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，含的直角三角形性质，以及勾股定理．根据作图痕迹，得到是的角平分线，是解题的关键．
10．A
【分析】设根据，在中，由勾股定理列出方程即可求解．
解：设，
∵，，
∴，
在中，，
∴为直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据题意得出，进而表示出的长．
11．D
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，整理即可解答．
解：如图，
∴，
∴18＝m2﹣6m+9，
∴m2﹣6m﹣9＝0．
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．
12．D
【分析】连接BE，先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，再由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由此可得BE⊥CE，在Rt△BEC中，由勾股定理可得2AB2＝CD2+CE2，从而可求得AB的长．
解：如图，连接BE，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠D＝∠AED＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE＝3，∠BEA＝∠CDA＝45°，
∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，
即BE⊥DE，
在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴2AB2＝CD2+CE2＝（3）2+（）2＝20，
∴AB＝．
故选：D．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，关键是证得△ACD≌△ABE，得出BE⊥CE．
13．C
【分析】由作图可得：直线是线段的垂直平分线，可判断④，由垂直平分线的性质可得，可判断①，由，证明，可判断②，证明，可判断③，利用含的直角三角形的性质可得，再结合勾股定理可判断⑤，从而可得答案．
解：由作图可得：直线是线段的垂直平分线，而直线不一定是线段的垂直平分线，故④不符合题意；
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，，，
∴，
∴，故③符合题意；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，，
∴的周长为：，故⑤不符合题意；
综上：符合题意的有：①②③；
故选C．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，二次根式的化简与加法运算，灵活的运用以上知识解题是关键．
14．B
【分析】利用勾股定理求出BC=6，根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=8-x，在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可解答．
解：∵，AB=8，AC=10，
∴BC=6，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD，
∴AB=BD+AD=BD+CD=8，
设CD=x，则BD=8-x，
在Rt△BCD中，，
即，
解得．
∴．
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理和线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．B
【分析】由勾股定理求出的长，再证明是等边三角形，过作于，过作于，证明，可得，可得，再根据含角的直角三角形的性质得出的长即可求解．
解：在中，，，
由勾股定理得， ，
如图，过作于，
∴由等面积法可得：，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，E是的中点，
过作于，过作于，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理的应用，证明是解题的关键．
16．B
【分析】过点作于，于，于，根据角平分线的性质，得出，再根据角平分线的判定定理，得出平分，进而得出是等腰直角三角形，在根据勾股定理和三角形面积公式，即可得出结果．
解：过点作于，于，于，
∵，是的两条角平分线，
∴，，
∴，
∴平分，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
在中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B.
【点拨】本题考查了角平分线的性质与判定定理、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
17．D
【分析】根据已知条题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或是直角边的两种情况，然后利用勾股定理即可求解．
解： 当8是直角边时，设第三边为斜边值x，
由勾股定理得：，
当8是斜边时，则可设第三边直角边值y，
由勾股定理得：．
故答案为：D．
【点拨】本题考查了勾股定理解直角三角形，当已知条件没有明确哪边是斜边时，必须分类讨论．
18．C
【分析】分两种情况分别进行讨论即可．
解：当为锐角三角形时，如图：
在中，
，
在中，
，
∴，
∴的周长为：；
当为钝角三角形时，如图：
在中，，
在中，，
∴．
∴的周长为：，
∴当为锐角三角形时，的周长为42；当为钝角三角形时，的周长为32．
综上所述，的周长是42或32．
故选C．
【点拨】本题考查了勾股定理，解本题时注意应分两种情况进行讨论．
19．A
【分析】由等腰三角形的性质分情况求出周长可判断①；根据勾股定理及直角三角形的性质分情况求出斜边长可判断②；延长到点E，使，连接，证明，可得，在中，由三角形三边关系求出，可判断③；根据当时，的面积最大，求出面积的最大值进而可判断④．
解：①若为等腰三角形，
当时，的周长为，
当时，的周长为，故①说法错误；
②若是直角三角形，
当是斜边时，，
当是斜边时，则斜边长为4，故②说法错误；
③如图，延长到点E，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在中，由三角形三边关系得：，即，
∴，故③说法错误；
④在中，，，
当时，的面积最大，面积的最大值为，故④说法正确；
综上，正确的说法有1个，
故选：A．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系定理、三角形面积以及周长等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．D
【分析】根据勾股定理求出AC，分三种情况：①BE=AB，②AE=AB，③当AE=BE，分别求出BE，分别根据三角形的面积公式求出△ABE的面积即判断到选项．
解：在中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴，
当时，
；
当时，
∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
，
综上所述：的面积是10或12或．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，能够正确分类是解决
问题的关键．
21．A
【分析】过点D作，先由等腰直角三角形性质求出，再证明，设，则，所以，解得： ，即，然后根据三角形面积公式求解即可．
解：过点D作，
∵在中，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵是的平分线，
∴，
设，则，
∴，解得： ，
∴的面积，
故选：A．
【点拨】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
22．B
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据等式的性质得到，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】此题参考直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得是解题的关键．
23．A
【分析】根据勾股定理列式求出斜边的长度，然后根据三角形的面积不变列式求解即可．
解：的两条直角边分别为和，
斜边，
设D到各边的距离都相等为,
则,
解得．
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，勾股定理的应用，本题利用三角形的面积列式求解更加简便．
24．D
【分析】作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可．
解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴，，
根据垂线段最短可知：当时，最小，
则由，可得，解得；
即线段的最小值是．
故选D．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
25．A
【分析】过点A作，并使得，连接，构造，然后得到，进而得知，连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，最后利用勾股定理求得的值即可得到答案．
解：如图，过点A作，并使得，连接，则，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接，即可得知的长度即为的最小值，也就是的最小值，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形．
26．B
【分析】作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，根据对称性可知， ，，从而的周长，根据两点之间线段最短，得到周长的最小值为， 在中，根据勾股定理求，从而确定答案．
解：作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，如图所示：
根据对称性可知， ，，
的周长，
根据两点之间线段最短，周长的最小值为，
在中，，，根据勾股定理得，
故选：B．
【点拨】本题考查动点最值问题，涉及轴对称-最短周长问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握利用对称性解决最短周长问题是解决问题的关键．
27．B
【分析】纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
解：纸片沿直线BD折叠时，BC边恰好落在斜边AB上，点C的对应点是E，如图所示，
∵∠C=90°，AC＝6，BC＝8．
∴AB10，
由折叠的性质得：BE＝BC＝8，∠BED＝∠C＝90°，CD＝DE，
∴AE＝AB－BE＝10﹣8＝2，∠AED＝180°－∠BED＝90°，
设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝6－x，
在Rt△DEA中，，
∴，
解得：x＝，
∴CD＝，
即点D到顶点C的距离是．
故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
28．C
【分析】连接BE，过D作DG⊥AC于G，先判定（SAS），即可得出，再根据勾股定理求得CE的长，进而得出EG和DG的长，再根据勾股定理即可得到DE的长．
解：如图所示，连接，过作于，
∵，，，
∴由勾股定理得，
由折叠可得，与全等，
∵的面积是面积的一半，
∴的面积是面积的一半，且，
∴是的中点，
又∵是的中点，
∴，即是的中点，
又∵，
∴≌，
∴，
又∵，
∴中，，
∵，是的中点，
∴是的中点，即，
∴，，
∴中，，
故选：．
【点拨】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
29．##
【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题．
解：四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，
点表示点数为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理求出的长，属于中考常考题型．
30．##
【分析】连接，根据勾股定理计算出长，根据确定为等腰三角形，根据等腰三角形的性质，求出底边上的高，然后再求出面积，利用和的面积求和即可．
解：连接，过点作于点，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中根据勾股定理得：
，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质．
31．
【分析】，，，得到，由勾股定理求出，是的中点，则的面积等于的面积一半，即可得到答案．
解：∵，，，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴的面积等于的面积一半，
即的面积，
即的面积等于，
故答案为：
【点拨】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．
32．5
【分析】过点D作交于点G．利用“”证明出，即得出，，再根据勾股定理求出，最后由求解即可．
解：如图，过点D作交于点G．
∵，，
∴为等腰三角形，即．
∵，，
∴．
∵在和中，，，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
33．
【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，，，可证得，再根据直角三角形的性质可证得，根据三角形的面积公式，即可求得，最后根据勾股定理可求得，据此即可解答．
解：，
在与中，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点A的坐标为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得是解决本题的关键．
34． 7
【分析】由“”可证，由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求出，过点A作于D，求出和的长，由勾股定理可得出答案．
解：∵是等边三角形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
过点A作于D，
∵，是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，7．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
35．
【分析】分别根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求出，，再根据勾股定理即可求解．
解：∵，E为的中点，
∴，
∵，E为的中点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟知直角三角形斜边上中线等于斜边一半是解题关键．
36．24
【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再利用三角形面积公式即可求解．
解：∵直角三角形斜边的中线为6，
∵直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，
∴该直角三角形的斜边长为，
∵直角三角形斜边上的高线为4，
∴直角三角形面积为：．
故答案为：24．
【点拨】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的知识，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键．
37．##
【分析】根据勾股定理求出，根据线段垂直平分线性质求出，根据勾股定理求出即可．
解：连接，
在中，由勾股定理得：，
从作法可知：是的垂直平分线，
根据性质得出，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理的应用，解题的关键能灵活运用勾股定理．
38．
【分析】由等腰三角形的性质得，，勾股定理求出，是的平分线和作图证是等腰直角三角形，然后解三角形即可求出的长.
解：，
是等腰三角形，是边上的中线，
是边上的高和的平分线，
，，，
∴
∵是的平分线
，
由作图可知是的平分线
故答案为：8．
【点拨】本题考查了作图——基本作图、等腰三角形的判定、等腰直角三角形、勾股定理；解决本题的关键是掌握画一个角的平分线的方法．
39．
【分析】先过点C作AB的垂线与交于点H，在中，利用勾股定理求得,再利用面积求得，在中，利用勾股定理求得，进而求得,则，最后，即可得到答案．
解：过点C作的垂线与交于点H，
在中，
, , ,
,
在中，
,
是为顶角的等腰三角形，且
，
．
故答案为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理解直角三角形、利用等积求高以及等腰三角形的性质，能构造直角三角形是解答此题的关键．
40．或
【分析】先求出点D的坐标为，设点P的坐标为：，分两种情况：或，求出a的值，即可得出答案．
解：∵点，，点D是线段的中点，
∴点D的坐标为，，
∵点，，
∴轴，
设点P的坐标为：，
当时，，
解得：或，
∵，
∴舍去，
∴此时点P的坐标为：；
当时，，
解得：或（舍去），
∴此时点P的坐标为：；
综上分析可知，点P的坐标为或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，平面直角坐标系中点的特点，解题的关键是设出点P的坐标，列出方程，注意进行分类讨论．
41．2.5
【分析】先根据勾股定理求出，再根据垂直平分线的性质，得出，，则，根据勾股定理列出方程，求出x的值，根据轴对称得出，根据勾股定理求出，根据线段间的关系，即可得出答案．
解：∵在中，，，，
∴，
∵垂直平分，
∴，，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∵C关于的对称点为，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴．
故答案为：2.5．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是根据勾股定理求出．
42．
【分析】根据垂直平分线的性质可得，然后证明，根据勾股定理求解即可．
解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形等边对等角，三角形外角的性质以及勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质是解本题的关键．
43．5
【分析】过点D作，由勾股定理可以求出的长，由角平分线的性质可得，利用三角形的面积和差关系可求出的长，即可求解．
解：如图，过点D作，
∵，，，
∴，
∵、分别是的内角和外角角平分线，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：5．
【点拨】本题考查勾股定理，角平分线的性质，利用面积的和差关系列出等式是解题的关键．
44．4
【分析】作于E，如图，利用勾股定理计算出，再根据角平分线的性质得，然后利用面积法得到，从而可求出．
解：作于E，如图，
在中，，
∵是三角形的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点D到直线的距离等于4．
故答案为：4．
【点拨】此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
45．6或
【分析】分两种情况讨论：①当时，根据勾股定理求出的长，即可求出的面积；②当时，设，在Rt中根据勾股定理列方程求出x的值，即可求出的长，进而可求出的面积.
解：①当时，E点与C点重合
∵在中，，，
即
②如图，当时，设
在Rt中,
在Rt中，
解得
∴的面积是6或
故答案为：6或
【点拨】本题主要考查了勾股定理和求直角三角形面积，分类讨论是解题的关键.
46．或6##6或2
【分析】根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
解：①点在线段上时，过点作于，如图1所示：
则，
，
平分，
，
又，
（AAS）,
，，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：；
②点在线段的延长线上时，过点作于，如图2所示：
同①得：(AAS)，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：．
综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．
故答案为：或6 ．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的直角三角形．
47．或
【分析】过点A作于点D，分在的内部和外部两种情况计算即可．
解：如图，点A作于点D，
当在的内部时，
∵，
∴，，
∴，
∴；
当在的外部时，
∵，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：或．
【点拨】本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，分类思想，熟练掌握勾股定理，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
48．或
【分析】连接EF，当时，延长交于M，延长交于N．首先证明，，，根据，构建方程解决问题即可，当时，方法类似．
解：连接，当时，延长交于，延长交于N．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同法可证，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，设，则，，
∴，
∴，
∴．
当时，同法可得，
综上所述，满足条件的的值为或．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
49．6
【分析】作点关于的对称点，连接交于，则，设，则，依据中，，即可得到，进而得出的长．
解：如图所示，作点关于的对称点，连接交于，
则，
设，则，
∵，，
∴，
∴中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：
【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三角形的周长的计算．
50． ##60度 ##
【分析】作于E，于F，通过证明得到，则平分，所以，然后根据三角形内角和计算的度数；根据含直角三角形的性质求出，然后在等腰直角中利用勾股定理求出，再在中利用勾股定理求出，进而可得的长．
解：如图，作于E，于F，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∵在等腰直角中，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含直角三角形的性质，角平分线的判定定理，三角形内角和定理以及勾股定理等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
51．####4.2
【分析】连接，先证明，得，再计算和的长，根据面积法可得的长，由勾股定理计算的长，最后由线段的差可得结论．
解：如图，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，证明三角形全等得是解题的关键．
52． 135
【分析】延长，交于点，由等腰三角形的性质可得出，，，证明是等腰直角三角形，可求出，则根据三角形面积求出的值，即可得解．
解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，，
在中，，
，
，
，
．
．
故答案为：135；．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
53．
【分析】连接，首先证明，得到，，然后证明是等边三角形，当时面积最小，根据勾股定理求出，上的高为，最后根据三角形面积公式求解即可．
解：连接，
∵菱形边长为4，，
∴与为正三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴当时，的面积最小，
∵
∴
∴
∴，
∴同理可得边上的高为，
∴面积的最小值．
故答案为：．
【点拨】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是作出辅助线，证明是等边三角形．
54．##
【分析】先确定点C的位置，再根据直角三角形的性质定理和勾股定理分别求出，，最后根据求出答案．
解：过点A作直线，使，过点B作，与y轴交于点C，可知 最小，最小值为长，
因为，，，
所以，，
∴，则，
∴，
∴，
则，，
，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等，确定点C的位置是解题的关键．
55．10
【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案．
解：由题意可知，、两点关于射线对称，
，
为定值，
要使周长最小，即最小，亦即：最小，
与射线的交点，即为使周长最小的点，
，，．且，
，
为直角三角形，
，
，
，
设，则，
中，，
即，
，
．
故答案为：10．
【点拨】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键．
56．1.6
【分析】由和△关于对称，和△关于对称，可以推出是等腰直角三角形，三角形面积公式可求出长， 继而由勾股定理可求长，从而可以解决问题．
解：由题意可知：和关于对称，和关于对称，
，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∵
，即，
，
在中，由勾股定理，得
，
，
，
．
故答案为：1.6．
【点拨】本题考查折叠问题，关键是掌握轴对称的性质：关于一条直线对称的两个图形全等．