数学八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理课后复习题

这是一份数学八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理课后复习题，共48页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
【类型一】勾股定理
【知识点①】勾股数与勾股树
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）．
A．1，2，3B．C．D．9，12，15
2．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．
则当时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【知识点②】勾股定理➼➻两点之间距离公式
3．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，已知定点A(﹣3，2)，B(m，n)，其中m，n为常数且m≠﹣3，点C为平面内的动点，若AC∥x轴，则线段BC长度的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．|n﹣2|，(m，2)B．|m﹣2|，(﹣3，n)
C．|n+3|，(m，2)D．|m+3|，(﹣3，n)
【知识点③】勾股定理➼➻面积问题➼➻求值
5．已知直角三角形的一条直角边、斜边，则以为轴旋转一周，所得到的圆锥的底面积是（ ）
A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．
6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阻影部分的面积之和，则一定能求出（ ）
A．正方形的面积B．正方形的面积
C．正方形的面积D．的面积
【知识点④】勾股定理➼➻格点问题➼➻求值
7．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【知识点⑤】勾股定理➼➻折叠问题➼➻求值
9．如图，中，，，，M，N分别是边AC，AB上的两个动点，将沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的中点处，则线段BN的长为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，将三角形纸片沿AD折叠，使点C落在边上的点E处．若，，则的值为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【知识点⑥】勾股定理➼➻勾股定理的证明✮✮勾股定理与无理数
11．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．如图，是直角三角形，点C表示﹣2，且AC=3AB=3，若以点C为圆心，以CB为半径画弧交数轴于点M，则A，M两点间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【知识点⑦】勾股定理➼➻勾股定理➼➻证明➼➻线段的平方关系
13．在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列说法中，错误的是（ ）
A．∠C＝90°B．a＝bC．c2＝2a2D．a2＝b2﹣c2
【知识点⑧】勾股定理➼➻弦图问题✮✮最值问题
15．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别1km和3km，且相距3km，则铺水管的最短长度是（ ）km
A．5B．4C．3D．6
16．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，如图所示，若正方形的面积为，，则的值是（ ）
A．3B．3.5C．4D．7
【类型二】勾股定理的逆定理
【知识点①】勾股定理的逆定理➼➻直接判断能否构成直角三角形
17．若的三边a、b、c，满足，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形
18．下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．是的一条中线，
【知识点②】勾股定理的逆定理➼➻网格上判断能否构成直角三角形
19．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
20．如图，和的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则的度数为（ ）
A．B．C．D．无法计算
【知识点③】勾股定理的逆定理➼➻求值
21．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ）
A．110°B．120°C．150°D．160°
22．△ABC的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则△ABC最长边上的高（ ）
A．3B．4C．5D．
23．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，，DA＝5，∠B＝90°，则∠BCD的度数为（ ）
A．135°B．145°C．120°D．150°
24．△ABC的三边长a，b，c满足+（b﹣12）2+|c﹣13|＝0，则△ABC的面积是（ ）
A．65B．60C．30D．26
【类型三】勾股定理及其逆定理
【知识点①】勾股定理及其逆定理➼➻最值问题
25．已知在△ABC中，D为BC的中点，AD＝6，BD＝2.5，AB＝6.5，点P为AD边上的动点．点E为AB边上的动点，则PE＋PB的最小值是（ ）
A．5B．6C．D．
26．如图，线段OA＝2，OP＝1，将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随之改变，则下列结论：
①AP的最小值是1，最大值是4；
②当AP＝2时，△APO是等腰三角形；
③当AP＝1时，△APO是等腰三角形；
④当AP＝时，△APO是直角三角形；
⑤当AP＝时，△APO是直角三角形．
其中正确的是( )
A．①④⑤B．②③⑤C．②④⑤D．③④⑤
二、填空题
【类型一】勾股定理
【知识点①】勾股数与勾股树
27．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…可发现，4＝，12＝，24＝…请写出第5个数组：________．
28．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，且，以点为直角顶点，逆时针方向作，使；再以点为直角顶点，逆时针方向作，使；再以点为直角顶点，逆时针方向作，使；依次进行作下去，则点的坐标为__________．
【知识点②】勾股定理➼➻两点之间距离公式
29．在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，则的最小值为___________．
30．在平面直角坐标系中，点，，，，若OA平分，且，则______，______．
【知识点③】勾股定理➼➻面积问题➼➻求值
31．在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和13，则c的面积为______．
32．如图，中，，分别以的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：、、，若图中阴影部分的面积，，，则______．
【知识点④】勾股定理➼➻格点问题➼➻求值
33．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，，均在格点上，为上任意一点，则的值为________．
34．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_______________.
【知识点⑤】勾股定理➼➻折叠问题➼➻求值
35．如图，在中，，点、是边上的点，点在边上，连接、，将分别沿直线和折叠，使点、的对称点重合在边上的点处．若，，则的长是______．
36．如图，纸片中，，，，，点D在边BC上，以AD为折痕折叠得到，与边BC交于点E，若为直角三角形，则BD的长是______．
【知识点⑥】勾股定理➼➻勾股定理的证明✮✮勾股定理与无理数
37．如图，把长、宽、对角线的长分别是a、b、c的矩形沿对角线剪开，与一个直角边长为c的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是__．
38．长方形的边长为，长为，点在数轴上对应的数是，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是__________．
【知识点⑦】勾股定理➼➻勾股定理➼➻证明➼➻线段的平方关系
39．若直角三角形的两边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长的平方为_____．
40．设，是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24，斜边长为10，则的值为________．
【知识点⑧】勾股定理➼➻弦图问题✮✮最值问题
41．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为________．
42．如图，有一圆柱体，它的高为，底面直径为．在圆柱的下底面处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是______（结果用带根号和的式子表示）
【类型二】勾股定理的逆定理
【知识点①】勾股定理的逆定理➼➻直接判断能否构成直角三角形
43．下列条件：①；②；③，；④，则能确定是直角三角形的条件有______个．
44．如图，在四边形中，，，，，则的度数为___________．
【知识点②】勾股定理的逆定理➼➻网格上判断能否构成直角三角形
45．在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结AB、AC，则______°．
46．如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上，则___________．
【知识点③】勾股定理的逆定理➼➻求值
47．如图，，，，，，四边形的面积为________．
48．如图，有一块四边形花圃，，若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需 _____元．
49．已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为____________．
50．如图，中，，，，为边的中点，则 ______．
【类型三】勾股定理及其逆定理
【知识点①】勾股定理及其逆定理➼➻最值问题
51．如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 _____．
52．如图，在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是________
参考答案
1．D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、（）2+（）2＝（）2，能构成直角三角形，但不是整数、故不符合题意；
D、92+122=152，能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
2．D
【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出、的值，再求出答案即可．
解：从表中可知：依次为，，，，，，，，，，，即，
依次为，，，，，，即当时，，
依次为，，，，，，即当时，，
所以当时，．
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出，是解此题的关键．
3．B
【分析】先根据两点间距离公式求得相关线段的长，然后再代入判断即可．
解：∵，点，点，点
∴,
,
,
∴A.，该选项错误，不符合题意；
B. ，该选项正确，符合题意；
C. ，该选项错误，不符合题意；
D. ，该选项错误，不符合题意．
故选B．
【点拨】本题主要考查了两点间距离公式，运用两点间距离公式求出相关线段的长成为解答本题的关键．
4．A
【分析】根据题意先设点C坐标为(t, 2)，再用两点间距离公式表示出BC的长度，再根据绝对值的性质和完全平方式的非负性求解即可．
解：∵点A(﹣3，2)，B(m，n)，AC∥x轴，
∴AC∥x轴，
∴点C的纵坐标为2，
设C（t，2），
∴ ，
∵m，n为常数且m≠-3，
∴当t=m时，线段BC的长度最小，此时BC的值为 ，
此时C的坐标为．
故选：A．
【点拨】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握绝对值的性质、两点间距离公式等知识是解答此题的关键．
5．D
【分析】根据勾股定理求得底面半径，然后求得底面积即可．
解：∵直角三角形ABC的一条直角边、斜边，
∴，
∴底面积为，
故选：D．
【点拨】考查了圆锥的计算及勾股定理的知识，解题的关键是确定哪一条边是底面半径，难度不大．
6．D
【分析】证明，，从而得出．
解：如图，过点作于点，则是矩形，则
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
同理可得，
依题意，，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
故选D．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键．
7．D
【分析】连接、，利用割补法求出，根据勾股定理求出，设C点到的距离为h，根据，即可求出h的值．
解：如图，连接、，
，
，
设C点到的距离为h，
∵，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了三角形的面积和二次根式的运算．
8．B
【分析】延长到点，使得，连接，根据勾股定理的逆定理可得为等腰直角三角形，即可求解．
解：延长到点，使得，连接，如下图：
由勾股定理得：，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解．
9．A
【分析】设，根据折叠得出，然后在中，根据勾股定理得出关于x的方程，然后解方程即可．
解：设，
∵折叠，，
∴，
∵D为的中点，，
∴，
在中，，，，，
∴，
解得，
故选：A．
【点拨】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键．
10．C
【分析】根据折叠，可得，，，根据勾股定理可得，，根据，求解即可．
解：根据折叠，可得，，，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了折叠问题，勾股定理等，熟练掌握折叠变换是解题的关键．
11．D
【分析】利用可证，故①正确；由全等三角形的性质可得出，，求出，即可得到②正确；根据梯形的面积公式可得③正确；根据列式，可得④正确；整理后可得，即⑤正确．
解：∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，故①正确；
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴梯形的面积是，故③正确；
∵，
∴，故④正确；
整理得：，
∴该图可以验证勾股定理，故⑤正确；
正确的结论个数是5个，
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键．
12．B
【分析】设点M表示的数为m，先根据AC、AB的长求出BC的长，即为圆的半径为，再列式即可求出m的值．
的值．
解：设点M表示的数为m，
∵AC =3AB=3，
∴AB =1，AC =3，
而△ABC是直角三角形，由勾股定理得
，
当以点C为圆心，CB为半径画弧时，
，
∴，
∴，
由图可知A点表示的数为1，
故A，M两点间的距离为：，
故选：B．
【点拨】本题考查的是用勾股定理与无理数，数轴上两点间的距离，理清题意，正确表达两点间的距离是解题的关键．
13．A
【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可．
解：中，，，，所对的边分别为a，b，c，
，
∵，，
∴，
，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值．
14．D
【解析】由题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到解答 ．
解：A、由∠A：∠B：∠C＝1：1：2及∠A+∠B+∠C＝180°可以得到：
∠A=∠B=45°，∠C=90°，故本选项正确，不符合题意；
B、由上可得∠A=∠B，所以a=b，故本选项正确，不符合题意；
C、由上知△ABC是直角三角形，所以a2+b2=c2，又因为a=b，所以c2＝2a2，故本选项正确，不符合题意；
D、由上知a2+b2=c2，故本选项不正确，符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查三角形内角和与比例的综合应用，根据三角形内角和与角的比例求出三角形每个角的度数，再结合特殊三角形的一些性质求解是解题关键．
15．A
【分析】作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离，利用勾股定理求出的长即可．
解：作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离．
过A作于G，过E作于F，
∵，
∴，
，
在中， ，
∴铺水管的最短长度是，
故选A．
【点拨】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
16．B
【分析】先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，则，整体代入计算即可；
解：∵正方形的面积为，
∴，
设，
∵，
∴，
中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
则的值是；
故选：B．
【点拨】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题．
17．C
【分析】根据得到或，找到a、b、c之间得关系即可得到结论．
解：∵，
∴或，
分情况讨论：
①当，即
∴为等腰三角形，
②，即，
∴为直角三角形，
综上所述：为等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【点拨】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理得逆定理，正确根据题目已知条件找到a、b、c之间得关系即可判断三角形的形状是解题关键．
18．A
【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的性质逐项分析即可．
解：∵，
∴设，，，
根据三角形内角和定理，得，
解得，
∴，
∴不是直角三角形，
故选项A符合题意；
∵
∴设，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
故选项B不符合题意；
∵，
∴设，，，
根据三角形内角和定理，得，
解得，
∴，
∴是直角三角形，
故选项C不符合题意；
如图，
，
∵是的一条中线，，
∴，
∴，，
又，
∴，
即，
∴是直角三角形，
故选项D不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．
19．A
【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
解：A、三边长分别为，∵，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长分别为，，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选A．
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．
20．B
【分析】如图连接、，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明是直角直角三角形，可得，即可求出的度数．
解：如图：
∵，，，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，，
又∵，
∴是直角直角三角形，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据题目已知条件添加适当的辅助线是解答本题的关键．
21．C
【分析】连接BD，由题意可知△ABD是等边三角形，求出∠ADB的度数，根据勾股定理的逆定理，求出∠BDC的度数，即可求出∠ADC．
解：连接BD．
∵AB=AD=6，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=6，∠ADB=60°．
∵BC=10，CD=8，
则，，
∴，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB +∠BDC =150°．
故选：C
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理，解本题的关键在熟练掌握相关性质、定理．
22．D
【分析】先根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且为斜边长，然后利用三角形的面积公式即可得．
解：，
，
解得，
，
是直角三角形，且为斜边长，
，即，
解得，
故选：D．
【点拨】本题考查了偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
23．A
【分析】先在Rt△ABC中，求出∠BCA＝45°，AC＝，然后再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，从而可得∠ACD＝90°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
解：∵AB＝BC＝3，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，AC＝，
∵CD＝，DA＝5，
∴AC2＋CD2＝，，
∴AC2＋CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝135°，
故选：A．
【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
24．C
【分析】首先根据非负数的性质可得a-5=0，b-12=0，c-13=0，进而可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理证明△ABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可．
解：∵+(b-12)2+|c-13|=0，
∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，
∴a=5，b=12，c=13，
∵52+122=132，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC==30．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、c的值是解题的关键．
25．C
【分析】根据勾股定理的逆定理得到∠ADB=90°，得到点B，点C关于直线AD对称，过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：∵AD=6，BD=2.5，AB=6.5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴∠ADB=90°，
∵D为BC的中点，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴点B，点C关于直线AD对称，
∴PB=PC，
要求PB+EP最小，即求PC+EP最小，
过C作CE⊥AB交AD于P，则此时PE+PB=CE的值最小，
∵S△ABC=AB•CE=BC•AD，
∴6.5•CE=5×6，
∴CE=，
∴PE+PB的最小值为，
故选：C．
【点拨】这是一道根据轴对称求最短路线的问题，考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积公式等，根据轴对称确定最小值是解题的关键．
26．C
【分析】①根据题意求出AP的最小值和最大值是，判断即可；
②根据等腰三角形的定义得到△APO是等腰三角形；
③根据三角形的三边关系得到△APO不存在；
④根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形；
⑤根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形．
解：①当点P在线段OA上时，AP最小，最小值为2-1=1，
当点P在线段AO的延长线上时，AP最大，最大值为2+1=3，①错误；
②当AP=2时，AP=AO，
则△APO是等腰三角形，②正确；
③当AP=1时，AP+OP=OA，△AOP不存在，
△APO是等腰三角形错误，③错误；
④当AP=时，AP2+OP2=3+1=4，OA2=4，
∴AP2+OP2=OA2，
∴△APO是直角三角形，④正确；
⑤当AP=时，AP2=5，OP2+OA2=1+4=5，
∴AO2+OP2=PA2，
∴△APO是直角三角形，⑤正确，
故选C．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
27．11，60，61
【分析】先找出每组勾股数与其数组的关系，找出规律，再根据此规律进行解答．
解：∵①3＝2×1+1，，；
②5＝2×2+1，，；
③7＝2×3+1，，；
④9＝2×4+1，，；
⑤11＝2×5+1，，，
故答案为：11，60，61．
【点拨】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键．
28．
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理多次计算，找出规律即可得到结果．
解：
是等腰直角三角形，
同理可得：
由上可知，每个方位上是点是每8一个循环，
余6
∴点在第三象限，
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理结合，准确进行计算，发现规律是解题的关键．
29．
【分析】根据动点最值问题-将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点，结合两点之间线段最短即可得到答案．
解：由题可知①分析端点：中是动点，是定点，
②动点轨迹：在直线，
③确定模型：将军饮马模型，作关于动点轨迹直线的对称点，连接，则，如图所示：
，
④确定线段：由③可知，利用两点之间线段最短，当三点共线时，的最小值为，
⑤求定线长：，，
，
在中，，，利用勾股定理得，
故答案为：．
【点拨】本题考查动点最值问题，涉及对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值问题解法步骤，尤其是模型的识别及确定最值方法是解决问题的关键．
30． 4 或
【分析】先证明点A在第一象限的平分线上，得到，则，再由，利用勾股定理得到，利用因式分解得到，根据两个数的乘积为0，那么两个乘数中至少有一个为0解方程即可．
解：∵，，，
∴点A在第一象限，点B在x正半轴，
∵OA平分，，
∴点C在y轴正半轴，
∴点A在第一象限的平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为：4；或．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，因式分解的应用，正确求出是解题的关键．
31．8
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积＝b的面积-a的面积．
解：，，
，
在和中，
，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
则b的面积＝a的面积+c的面积，
∴c的面积＝b的面积-a的面积．
故答案为：8．
【点拨】本题考查勾股定理的实际应用，全等三角形的判定和性质，注意掌握此题中的结论：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和．
32．6
【分析】设，，，，，由，可得，由此构建关系式，可得结论．
解：如图，
、、均是等腰直角三角形，
，，，
设，，，，，
，
，
，
∵，，
．
故答案为： 6．
【点拨】本题考查了勾股定理在几何计算中的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
33．12
【分析】根据勾股定理表示出，，代入即可解得．
解：∵，
，
∴，
故答案为：12．
【点拨】此题考查了勾股定理，解题的关键是用勾股定理表示出边长．
34．##
【分析】连接AD，根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出DE的长，即可得出CD的长．
解：连接AD，
∵以点A为圆心，AB长为半径作弧，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了在格点图中勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并作出正确的辅助线是本题的关键．
35．
【分析】根据翻折的性质证明，设，则，然后利用勾股定理列方程即可解决问题．
解：，
.
由翻折可知：

，
设，则，
在中，根据勾股定理得：

解得，
故答案为：．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质.
36．或
【分析】根据勾股定理求得的长，然后由翻折的性质可知：，然后分和两种情况画出图形求解即可．
解：∵纸片中，，，
∴，
∵以为折痕，折叠得到，
∴，，．
当时，如图1所示，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图2所示， C与点E重合，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形外角的性质、以及等腰三角形的判定，根据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
37．a2+b2＝c2
【分析】用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而列出等式，发现边与边之间的关系．
解：此图可以这样理解，有三个Rt△其面积分别为 ab，ab和 c2．
还有一个直角梯形，其面积为 （a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
【点拨】此题考查的知识点是勾股定理的证明，主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
38．或，
【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出点表示的实数．
解：四边形是长方形，
，，，
在中，由勾股定理可得：
点在数轴上对应的数是，
点表示的实数是或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，解题的关键是勾股定理得出的长．
39．25或16##16或25
【分析】先根据非负数的性质求出两直角边长、，已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
解：，
，解得：，
，
，，
解得，，
①当a，b为直角边，
该直角三角形的斜边长的平方为，
②4也可能为斜边，
该直角三角形的斜边长的平方为16，
故答案为：25或16．
【点拨】本题考查了非负数的性质，根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．
40．48
【分析】由该三角形的周长为24，斜边长为10可知a＋b＋10＝24，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．
解：∵三角形的周长为24，斜边长为10，
∴a＋b＋10＝24，
∴a＋b＝14，
∵a、b是直角三角形的两条直角边，
∴a2＋b2＝102，
则a2＋b2＝（a＋b）2−2ab＝102，
即142−2ab＝102，
∴ab＝48．
故答案为：48．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，掌握利用勾股定理证明线段的平方关系及完全平方公式的变形求值是解题的关键．
41．2
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为16，可以得出4个直角三角形的面积，进而求出答案．
解：∵，
∴，
∵大正方形的面积为16，
∴，
∴，
∴小正方形的面积为．
故答案为：2．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用、正方形的性质以及完全平方式等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
42．
【分析】根据题意，将圆柱体侧面展开，如图所示，利用勾股定理求出对角线长即可得到答案．
解：如图所示：
根据题意，蜘蛛想吃到上底面上与点相对的点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是长，
在中，，，，则（），
故答案为：．
【点拨】本题考查圆柱侧面展开图及勾股定理求线段长，读懂题意，找准圆柱侧面展开图是解决问题的关键．
43．4
【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义，勾股定理的逆定理解答即可．
解：解∶①，
即为直角三角形；
②设分别为5x、2x、3x，
由三角形内角和定理得，，
解得，
则，即为直角三角形；
③，
，故是直角三角形；
④，
，故是直角三角形．
故能确定是直角三角形的条件有4个．
故答案为∶4．
【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
44．
【分析】由等腰直角三角形得到，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理判断，计算即可．
解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∵，即，
∴是直角三角形，，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是证明是直角三角形．
45．45
【分析】作关于竖直边的对称线段，连接，根据勾股定理分别求出、、，根据勾股定理的逆定理得到为等腰直角三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形计算即可．
解：如图，作交于点G，在图中小正方形的顶点取点D，连接AD，CD，过C作交于点H，
由勾股定理得，
则+=，
∴为等腰直角三角形，
∴，
又∵，
，
∵
∴
∴
∴
故答案为：45．
【点拨】本题考查的勾股定理的逆定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
46．##度
【分析】根据勾股定理得出，，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形内角和解答．
解：连接，，如图，
根据勾股定理可得：，
，
∴，
∵在中，，
，
∴，
∴是直角三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角形内角和以及等腰直角三角形的判定和性质．
47．
【分析】将、分别沿、折叠，得到和，证明E、B、C、F四点共线，进而证明为等腰直角三角形，求出其面积；证明为直角三角形，求出其面积，问题即可解决．
解：∵，
∴设，则，，
如图，将、分别沿、折叠，得到和；
则，，
，，，；
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴E、B、C、F四点共线；
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴的面积；
∵，
∴为直角三角形；
，
由勾股定理得：，
∴，
解得 ，，，
∴的面积＝；
设、、的面积分别为a，b，c，则和的面积分别为a和b，
∴，而，
∴，
即四边形的面积为．
故答案为：
【点拨】本题以三角形为载体，以翻折变换为方法，考查了折叠的性质、勾股定理及其逆定理、三角形的面积公式等，能根据题意通过翻折变换构造图形是解决本题的关键.
48．1800
【分析】连接，则在直角中，已知根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．
解：连接，
在中，，
（m），
在中，根据勾股定理得，
∴
∴的面积为，
的面积为，
∴四边形面积，
∴种植花草共需花费元．
故答案为：1800．
【点拨】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的应用，本题中判定是直角三角形并计算其面积是解题的关键．
49．
【分析】根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出a即可．
解：设，
，，，
，
，即，
在中，由勾股定理得：，即，解得：，
即．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是解答本题的关键．
50．
【分析】由“”可证≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求为直角三角形，即可求解．
解：延长到使，连接，如图所示：
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，，
为直角三角形，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
51．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到，得到点B，点C关于直线对称，当交于P时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接,
∵，
∴，
∴，
∵D为的中点，，
∴垂直平分，，
∴点B，点C关于直线对称，
∴
∴当点C、P、E三点共线时，最小
当时，最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
52．
【分析】作，，根据角平分线的性质，得出，再根据垂线段最短，可得有最小值，最小值为的长，再根据等面积法，列出方程求解即可得出答案．
解：如图，过点C作交于点，交于点P，过点P作交于点Q，
是的平分线，
，
根据垂线段最短可知，此时有最小值，最小值为的长，
，，，
由勾股定理可知，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质、垂线段最短、勾股定理等知识，正确找出符合条件的点P、Q的位置是本题关键．