专题 17.19 勾股定理全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题 17.19 勾股定理全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）-八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题 17.19 勾股定理全章复习与巩固（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．（2021·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝AB时，PB＋PM的最小值为（       ）

A．3 B．2 C．2＋2 D．3＋3
2．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（       ）


A． B． C． D．
3．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（       ）

A．3 B． C． D．
4．（2021·陕西·中考真题）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（     ）

A．6 cm B．7 cm C． D．8cm
5．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：步骤1：以点为圆心，小于的长为半径作弧分别交、于点、．步骤2：分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．步骤3：作射线交于点．则的长为（          ）

A．6 B． C． D．
6．（2015·四川眉山·中考真题）如图．在中，，垂直平分斜边，交于，是垂足，连接，若，则的长是（       ）

A．2 B．4 C． D．
7．（2015·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外做正方形，其面积标记为，…，按照此规律继续下去，则的值为（ ）

A． B． C． D．
8．（2015·河北·中考真题）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（　　）

A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
9．（2020·山东烟台·中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（       ）

A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1
10．（2020·陕西·中考真题）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·四川内江·中考真题）已知，在中，，，，则的面积为 __．
12．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．

13．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MNx轴，点P在射线MN上，若MAP为等腰三角形，则点P的坐标为___________．

14．（2021·浙江·中考真题）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中的长应是______．

15．（2020·四川·中考真题）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．

16．（2019·湖南邵阳·中考真题）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.

17．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_____．

18．（2020·内蒙古通辽·中考真题）如图，在中，，点P在斜边上，以为直角边作等腰直角三角形，，则三者之间的数量关系是_____．

19．（2020·湖北黄冈·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是_______________尺．

20．（2020·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，点，是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上取一点，连接，，，，使得四边形的周长最小，这个最小周长的值为________．

21．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是___．

三、解答题
22．（2021·浙江台州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．




23．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长和面积．



24．（2020·青海·中考真题）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°．请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度．（结果精确到0.1 米，）




25．（2020·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日   星期日没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
……

任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）












参考答案
1．B
【解析】
【分析】
作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2，所以PB＋PM的最小值为2．
【详解】
解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，
∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，

∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得：，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中，，
∴PB＋PM的最小值为2，
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋PM的最小值为B'M的长．
2．B
【解析】
【分析】
利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵
∴AB=，
∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC
∴CN＝，
∵AN＝，
∵折叠
∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM，
∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°，
∴∠B'CN +∠A'CM＝45°，
∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB，
∴∠NMC＝∠NCM＝45°，
∴MN＝CN＝，
∴A'M＝AM＝AN−MN＝-=．
故选B．
【点拨】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
3．A
【解析】
【分析】
由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．
【详解】
解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，

∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
【点拨】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，证明，即可证明，进一步计算即可得出答案．
【详解】
解：分别过B、D作AE的垂线，垂足分别为F、G，

∵，，
∴，
∴，
在和中；
，
∴，
∴BF=CG，
∵，
∴均为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题主要考查等腰三角形判定与性质，全等三角形判定与性质以及勾股定理等知识点，正确画出辅助线是解决本题的关键．
5．B
【解析】
【分析】
过点F作FG⊥AB于点G，根据作图信息及角平分线的性质可推出FC＝FG，再利用等面积法求出，最后由勾股定理即可求得结果．
【详解】
解：过点F作FG⊥AB于点G，

由尺规作图可知，AF平分∠BAC，
∵，
∴FC⊥AC，
∴FC＝FG，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
即，
解得，
在中，由勾股定理得；
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的作法与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作法与性质及利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【详解】
解：∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°-30°=30°，
∵BD=1，
∴CD=AD=2，
∴AB=1+2=3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
CB=
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=
故选：C．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力．
7．C
【解析】
【详解】
试题分析：根据面积公式可得解直角三角形可得以CD为斜边的等腰直角三角形的边长为所以，…以此类推．
故选C
考点：勾股定理，正方形的面积，规律探索
8．A
【解析】
【详解】
试题分析：剪拼如下图：


乙
故选A
考点：剪拼，面积不变性，二次方根
9．B
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
【详解】
解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴OA2＝；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴OA3＝2＝；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴OA4＝2＝．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴OA5＝4＝，
……
∴OAn的长度为（）n﹣1，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
10．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【详解】
解：由勾股定理得：AC＝＝，
∵S△ABC＝3×3﹣＝，
∴，
∴，
∴BD＝，
故选：D．
【点拨】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
11．2或14#14或2
【解析】
【分析】
过点B作AC边的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是钝角三角形时，②△ABC是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解．
【详解】
解：过点作边的高，

中，，，
，
在中，，
，
①是钝角三角形时，
，
；
②是锐角三角形时，
，
，
故答案为：2或14．
【点拨】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想．
12．
【解析】
【分析】
根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），是边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．

∵是等边三角形，，N是的中点，
∴AC=AB=6,AN=AB=3, ,
∴.
即BM+MN的最小值为．
故答案为：.
【点拨】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．
13．(，4)或(，4)或(10，4)
【解析】
【分析】
分三种情况：①PM＝PA，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解．
【详解】
解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝ ，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案为：(，4)或(，4)或(10，4)．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．
14．
【解析】
【分析】
根据裁剪和拼接的线段关系可知，，在中应用勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵地毯平均分成了3份，
∴每一份的边长为，

∴，
在中，根据勾股定理可得，
根据裁剪可知，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．
15．4.5
【解析】
【分析】
过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．
【详解】
解：
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行 4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
【点拨】本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊角的关系及勾股定理进行求解即可．
16．4
【解析】
【分析】
应用勾股定理和正方形的面积公式可求解．
【详解】
∵勾，弦，
∴股b=，
∴小正方形的边长＝，
∴小正方形的面积
故答案为4
【点拨】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式，关键是运用了数形结合的数学思想．
17．3
【解析】
【分析】
过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝6＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：过C作CF⊥AB交AD于E，

则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值为CF，
∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴BF＝AB＝6＝3，
∴CF＝＝＝3，
∴CE+EF的最小值为3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是画出符合条件的图形．
18．PA2+PB2=2PC2
【解析】
【分析】
把AP2和PB2都用PC和CD表示出来，结合Rt△PCD中，可找到PC和PD和CD的关系，从而可找到PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；
【详解】
解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD=AD=DB，
∵PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，
∴PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），
在Rt△PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，
∴PA2+PB2=2PC2，
故答案为PA2+PB2=2PC2.

【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.
19．12
【解析】
【分析】
首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理可得方程x2+52=（x+1）2即可．
【详解】
设这个水池深x尺，
由题意得，x2+52=（x+1）2，
解得：x=12
答：这个水池深12尺．
故答案为：12．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
20．
【解析】
【分析】
先求出AC=BC=2，作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，即此时四边形的周长最小；作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，根据勾股定理求出AE即可．
【详解】
解：∵，点的纵坐标为1，
∴AC∥x轴，
∵点，是第一象限角平分线上的两点，
∴∠BAC=45°，
∵，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠C=90°，
∴BC∥y轴，
∴AC=BC=2，
作点B关于y轴对称的点E，连接AE，交y轴于D，此时AE=AD+BD，且AD+BD值最小，
∴此时四边形的周长最小，
作FG∥y轴，AG∥x轴，交于点G，则GF⊥AG，
∴EG=2，GA=4，
在Rt△AGE中，
，
∴ 四边形的周长最小值为2+2+=4+ ．

【点拨】本题考查了四条线段和最短问题．由于AC=BC=2,因此本题实质就是求AD+BD最小值，从而转化为“将军饮马”问题，这是解题关键．
21．7或．
【解析】
【分析】
由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
【详解】
在Rt△ABC中，，

（1）当∠EDB′＝90°时，如图1，
过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
设BD＝x，则B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
，
即：x2﹣7x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝7，
因此，BD＝7．

（2）当∠DEB′＝90°时，如图2，此时点E与点C重合，
由折叠得：AB＝AB′＝13，则B′C＝13﹣5＝8，
设BD＝x，则B′D＝x，CD＝12﹣x，
在中，由勾股定理得：，解得：，
因此．
故答案为7或．
【点拨】考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
22．（1）见详解；（2）60°
【解析】
【分析】
（1）通过SSS证明△ABC≌△ADC，即可；
（2）先证明AC垂直平分BD，从而得是等腰直角三角形，求出BO= 10，从而得BD=20，是等边三角形，进而即可求解．
【详解】
（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC（SSS），
（2）连接BD，交AC于点O，
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，BC=DC，
∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，
又∵∠BCA＝45°，
∴是等腰直角三角形，
∴BO=BC÷=10÷=10，
∴BD=2BO=20，
∵AB＝AD＝20，
∴是等边三角形，
∴∠BAD=60°．




【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握垂直平分线的判定定理，是解题的关键．
23．（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22．
【解析】
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用勾股定理可得，最后利用三角形的周长公式和面积公式即可得．
【详解】
（1）证明：，
，
在和中，，
，
；
（2），，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则的周长为，
的面积为．
【点拨】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
24．94.6米
【解析】
【分析】
先根据题意得出AC=PC，BQ=PQ，CQ=BQ，设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，根据勾股定理可得BC=x，根据AB+BC=PQ+QC即可得出关于x的方程求解即可．
【详解】
∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，
∴AC=PC，
∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，
∴∠BPQ=∠PBQ=30°，
∴BQ=PQ，CQ=BQ，
设BQ=PQ=x，则CQ=BQ=x，
根据勾股定理可得BC==x，
∴AB+BC=PQ+QC
即60+x=x+x
解得：x=60+=60+20×1.732=94.64≈94.6，
∴PQ的高度为94.6米．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题关键．
25．（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可；
（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】
（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：，，
，．
又，
．
．

即．
（3）解：①如图，直线即为所求；


图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【点拨】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．