人教版八年级下册17.1 勾股定理综合训练题

这是一份人教版八年级下册17.1 勾股定理综合训练题，共48页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
【类型一】勾股定理解直角三角形➽➼求值
【知识点①】勾股定理➼➻直接解直角三角形
1．如图，边长为x的边等于5的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，在中，，，则的值是( )
A．10B．34C．25D．41
【知识点②】勾股定理➼➻解含的直角三角形
3．在中， ，则的面积为( )．
A．B．C．或D．或
4．如图，在中，，，，垂足为，的平分线交于点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【知识点③】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻全等三角形➼➻求值
5．如图，过正方形的顶点作直线，过、作直线的垂线，垂足分别为、，若，，则的长为（ ）
A．B．2C．3D．
6．在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，则ED的长为（ ）
A．2.5B．4.5C．8.5D．10
【知识点④】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻斜边上的中线➼➻求值
7．如图，在中，，D是的中点，若，，则（ ）．
A．5B．6C．7D．8
8．如图，点在同一条直线上，正方形，正方形的边长分别为3，4，H为线段的中点，则的长为（ ）
A．3B．4C．3或4D．
【知识点⑤】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻直角坐标系➼➻求值
9．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，已知，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【知识点⑥】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻等腰三角形➼➻求值
11．等腰三角形的一个内角是120°，腰长为4，则这个等腰三角形的面积为（ ）
A．B．C．8D．4
12．如图，等腰三角形中，边上高的长是（ ）．
A．B．C．D．
【知识点⑦】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻垂直平分线➼➻求值
13．如图，的两边和的垂直平分线分别交于D，E两点，垂足分别为M，N，若，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P为AC上一点，PA＝2，点D在AB上，且∠A＝∠PDA，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．4.75B．5.25C．6.5D．7.75
【知识点⑧】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻角平分线➼➻求值
15．如图，在中，，是的角平分线，交于点E，F为上一点，连接、．已知，，则的面积（ ）
A．30B．32.5C．60D．78
16．如图，在等腰直角三角形中，，点O是三条角平分线的交点，则等于（ ）
A．1：1：1B．C．1：1：2D．1：1：3
【类型二】勾股定理解直角三角形➽➼数学思想★★解题方法
【知识点①】勾股定理➼➻分类讨论➼➻求直角三角形第三边
17．直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长为( )
A．B．C．或D．或10
18．若直角三角形的两边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A．B．C．或D．或
【知识点②】勾股定理➼➻分类讨论➼➻等腰三角形➼➻求值
19．如图，在∠AOB＝30°的两边上有两点P和Q在运动，且点P从离点O有1厘米远的地方出发，以1厘米每秒运动，点Q从点O出发以2厘米每秒运动，则△POQ为等腰三角形时，两点的运动时间为( )秒．

A．B．
C．；5D．以上都不对
20．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是30°，腰长为4，则其底边上的高是（ ）
A．2或B．2或2C．2或D．2或
【知识点③】勾股定理➼➻解题方法➼➻等面积法➼➻求值
21．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高为（ ）
A．6B．8C．13D．
22．如图，中，，于点，于点，于点，，则（ ）．
A．4.8B．6C．5D．6.4
【类型三】勾股定理解直角三角形➽➼最值★★折叠问题
【知识点①】勾股定理➼➻最值问题➼➻求最值
23．如图，在中，为边上的一个动点，，，则的最小值为（ ）
A．10B．8C．D．
24．如图，平面直角坐标系中点，以为边作等边，与关于y轴对称，M为线段上一动点，则的最小值是（ ）
A．6B．9C．12D．18
【知识点②】勾股定理➼➻折叠与对称问题➼➻求值
25．如图所示，在长方形ABCD中，，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为（ ）
A．B．C．D．
26．如图，在五边形中，的面积是，与关于所在的直线成轴对称，则的长度为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
【类型一】勾股定理解直角三角形➽➼求值
【知识点①】勾股定理➼➻直接解直角三角形
27．在中，，若，则的长是________．
28．如图，在中，，点D是上的点，若，，则的值为______．
【知识点②】勾股定理➼➻解含的直角三角形
29．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，∠C＝45°，BD＝2，则AC＝_____．
30．将一副直角三角尺按如图所示放置，，则的长为________．
【知识点③】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻全等三角形➼➻求值
31．如图所示，在中，，平分，于E，，，则的长为__________．
32．若直角三角形的两条直角边分别5和12，则斜边上的中线长为 _______．
【知识点④】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻斜边上的中线➼➻求值
33．如图，点D是斜边的中点，，，那么______．
34．如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边夹角为70°，那么这个直角三角形的较小的内角是___________°
【知识点⑤】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻直角坐标系➼➻求值
35．如图，在边长为2等边中，以为原点建立坐标系，则点A的坐标为______．
36．如图，正方形的边长等于，且边与轴正半轴夹角为，点为坐标原点，则点的坐标为______．
【知识点⑥】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻等腰三角形➼➻求值
37．顶角为的等腰三角形的底边长是其一条腰长的k倍，这个k值介于两个正整数n与之间，则n的值为_________．
38．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，，已知AC＝6，DE＝2，则BC的长为_________．
【知识点⑦】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻垂直平分线➼➻求值
39．在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的值为______．
40．如图，在中，，，是的垂直平分线，且则_____．
【知识点⑧】勾股定理➼➻解直角三角形➼➻角平分线➼➻求值
41．如图，在中，，，，点为线段上一点，连接，与的角平分线相交于点，若是以为底边的等腰三角形，则的长为___________．
42．如图，中，，，，若是的角平分线，则___________．
【类型二】勾股定理解直角三角形➽➼数学思想★★解题方法
【知识点①】勾股定理➼➻分类讨论➼➻求直角三角形第三边
43．如果直角三角形的三条边长为3，4，a，那么a的值为___________．
44．已知直角三角形两边分别为3cm和4cm，则其斜边长为___cm．
【知识点②】勾股定理➼➻分类讨论➼➻等腰三角形➼➻求值
45．在中，，，以的边为一边的等腰三角形，它的第三个顶点M在的斜边上，那么这个等腰三角形的腰长为 ___________．
46．在如图所示的方格纸中，建立直角坐标系，点A坐标为，则________，若是以为腰的等腰三角形，点B为格点且点B在x轴上，则满足条件的点B的坐标为________．
【知识点③】勾股定理➼➻解题方法➼➻等面积法➼➻求值
47．如图，在中，，D，E分别为边上的点，且，，连结，过点A作于点M．
（1）若，，则四边形的面积为______；
（2）若，，则四边形的面积为______．
48．如图中，，过点C作交于点D．已知，则的长是________．
【类型三】勾股定理解直角三角形➽➼最值★★折叠问题
【知识点①】勾股定理➼➻最值问题➼➻求最值
49．中，，，点P为上一个动点，则的最小值为 _____．
50．如图，在中，，，，点P是线段上一动点，点M在线段上，当时，的最小值为______．
【知识点②】勾股定理➼➻折叠与对称问题➼➻求值51．等腰的斜边上有一点，连结，将沿着折叠，点落在边上，连结，则________．
52．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，D为BC边上一点．将△ABD沿AD折叠，若点B恰好落在线段AC的延长线上点E处，则DE的长为_____．
参考答案
1．B
【分析】根据勾股定理分别求出各图形中的值，由此即可解答．
解：图中的值依次为：
；
；
；
．
综上，的直角三角形有2个．
故选B．
【点拨】本题考查了勾股定理，熟知在一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据勾股定理直接解答即可，在中，．
解：在中，，
∴．
故选：C．
【点拨】此题考查的是勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3．B
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理解三角形确定高，即可得出面积．
解：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
设，则,
∴,
在中，，
∴
解得：（负值舍去）
∴，
此时重合，如图，
∴的面积为,
故选：B．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关键．
4．C
【分析】根据已知条件得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，，
∴
∴
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键．
5．D
【分析】先利用判定，从而得出，最后利用勾股定理得出的长．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．
6．B
【分析】延长到，使得，连接．证明，得到，，结合已知证明，设，则，，在中，根据，构建方程即可解决问题．
解：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
【点拨】本题属考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
7．B
【分析】先利用直角三角形斜边中线的性质求出，再利用勾股定理即可求解．
解：在中，，D是的中点，
，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查勾股定理，斜边中线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．D
【分析】连接,由正方形的性质可得,再应用勾股定理求和，最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得．
解：如图,连接,
四边形和四边形都是正方形
,
在Rt中,
为线段的中点，
故选：D
【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解题关键添加辅助线构造直角三角形．
9．D
【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，
∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，
∴OC=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．B
【分析】根据勾股定理得到AO的长，从而得到B的横坐标，进而得到的坐标．
解：由为直角三角形，，，
，
即，
．
故选：B．
【点拨】本题考查勾股定理与点坐标的表示，属于基础题．
11．A
【分析】先判断出这个120°的角是顶角，然后如图所示过点A作AD⊥BC于D，利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可.
解：∵等腰三角形的一个角是120°，
∴等腰三角形的顶角为120°，
如图所示，∠A=120°，AB=AC=4，过点A作AD⊥BC于D，
∴BD=CD，∠ABC=∠ACB=30°，
∴AB=2AD，
∴AD=2，
在直角三角形ABD中，，
∴，
∴，
故选A.
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
12．B
【分析】作AB边上的高CD，根据等腰三角形“三线合一”即可得出，再由勾股定理求出CD即可．
解：如图，作AB边上的高CD，
∵，
∴点D为AB中点，
∴，
∴在中，，
即AB边上的高的长为4cm．
故选B
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．掌握等腰三角形“三线合一”是解题关键．
13．B
【分析】根据垂直平分线的性质得，，， 即，根据勾股定理得AB=8cm，即可得的周长为：．
解：∵边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D，E两点，
∴，，，
∴
∵三角形ABC是直角三角形，AC=6cm，，
∴，
∴的周长为：，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
14．A
【分析】连接PE，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，根据勾股定理即可得到结论．
解：连接PE，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=∠PDA，
∴∠PDA+∠EDB=90°，PA=PD=2，
∴∠PDE=180°-90°=90°，
∴DE⊥DP，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，PC=AC-PA=6-2=4，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8-x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75，
故选A．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
15．B
【分析】在中，依据勾股定理求出，由“是的角平分线，”，依据角平分线的定义、平行线的性质、等量代换及等角对等边，可得，由等底等高的三角形面积相等可知，和的面积相等，即可求解．
解：∵在中，，，，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴和的面积相等，
∴，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识的掌握情况，解题的关键是理解和的面积相等．
16．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB：BC：AC=1：1：，根据角平分线的性质可得点O到AB的距离=点O到BC的距离=点O到AC的距离=h，再分别表示出△AOB的面积，△BOC的面积，△AOC的面积，即可求出比值．
解：在等腰直角△ABC中，AB=BC，
设AB=a，则BC=a，
∵∠ABC=90°，
根据勾股定理，得AC=a，
∴AB：BC：AC=1：1：，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴点O到AB的距离=点O到BC的距离=点O到AC的距离=h，
∴S△AOB=•AB•h，S△BOC=•BC•h，S△AOC=•AC•h，
∴S△AOB：S△BOC：S△AOC=AB：BC：AC=1：1：，
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
17．D
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解：设第三边为，
①当是直角边，则，解得：，
②当是斜边，则，解得．
∴第三边长为或．
故选：D．
【点拨】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
18．C
【分析】首先利用非负数的性质得，，再分为直角边或为斜边两种情形，分别利用勾股定理计算即可．
解：，
，，
，，
当为直角边时，第三边的平方为，
当为斜边时，第三边的平方为，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想是解题的关键．
19．A
【分析】分三种情况：①OQ＝OP，②OQ＝PQ，③PQ＝OP，分别进行求解即可．
解：①当OQ＝OP时，如图1，则2t＝1＋t，解得t＝1，
②当OQ＝PQ时，如图2，作QH⊥OP于点H，
∵∠AOB＝30°，
∴QH＝，
∴OP＝2OH＝，
∴OP＝，
则t＋1＝，
解得t＝，
③当PQ＝OP时，如图3，作PM⊥OQ于点M，
∵∠AOB＝30°，
∴PM＝，
∴OQ＝2OM＝，
则2t＝,
解得t＝，
故选：A
【点拨】此题考查了等腰三角形定义、勾股定理、30°角直角三角形的性质等知识，分情况讨论是解题的关键．
20．B
【分析】分类考虑①三角形是钝角三角形时，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得ADAB，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ABC＝30°，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等解答，②三角形是锐角三角形时，判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质解答．
解：①三角形是钝角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝30°，
∴∠DAB=180°-∠ADB-∠DBA=180°-90°-30°=60°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB∠BAD，
∴∠ABD＝∠ABC，
∴底边BC上的高AE＝；
②三角形是锐角三角形时，如图2，
∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，
∴AE=，
在Rt△ABE中，AE=，
综上所述，底边上的高是2或2．
故选：B．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质，30°直角三角形性质，等边三角形判定与性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质，30°直角三角形性质，等边三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．
21．D
【分析】利用勾股定理和等积法进行求解即可．
解：由题意得：
直角三角形的斜边长为：，
设斜边上的高为：，
由直角三角形的面积相等可得：，
解得：；
故选D．
【点拨】本题考查的勾股定理的应用，求直角三角形斜边上的高．熟练掌握等积法是解题的关键．
22．B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出是的中线，那么，又，将代入即可求出．
解：∵中，，，
∴是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形面积的计算，解题关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．
23．C
【分析】根据垂线段最短，当时，最小，由面积法即可求出的最小值．
解：作过点A作于D，如图：
∵，，
∴，
由勾股定理得：，
当时，最小，
∵的面积，
即，
解得：，
故选：C．
【点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由三角形面积的计算方法求出的最小值是解决问题的关键．
24．C
【分析】连接．首先证明垂直平分线段，推出关于对称，由，可知此时当点M与O重合时，的值最小，最小值为．
解：连接．
∵'和都是等边三角形，
∴垂直平分线段，
∴关于对称，
∵，
∴当点M与O重合时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为．
故选：C．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、轴对称−最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．C
【分析】设线段CE的长为x，根据翻折的性质得到DF的长，并根据勾股定理求出AF的长，在直角三角形中，利用勾股定理求解即可得．
解：设CE长为x，，，
∵翻折为，
∴，
∴，，
根据勾股定理可得：
，
∴，
∴，
∴在中，
，
，
解得：，
∴CE长为．
故选：C．
【点拨】本题主要考查勾股定理的应用，折叠的性质等，理解题意，利用折叠的性质和勾股定理是解题关键．
26．B
【分析】根据的面积是，可得到，再由勾股定理可得，再根据与关于所在的直线成轴对称，可得，从而得到，即可．
解：∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
∵与关于所在的直线成轴对称，
∴，
∴．
故选：B
【点拨】本题主要考查了勾股定理，轴对称图形的性质，根据题意得到是解题的关键．
27．17
【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理列出方程即可求解．
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案为：17．
【点拨】本题考查了勾股定理，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
28．16
【分析】在和中，根据勾股定理，即可求解．
解：∵，，
∴，
在中，，
在中，，
∴．
故答案为：16
【点拨】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
29．
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出AD，再由∠C=45°，利用勾股定理得出AC即可．
解：在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD＝30°，BD＝2，
∴AB＝2BD＝4，
∴AD＝＝＝2．
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝2，
∴AC＝2．
故答案为：2．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用含30度角的直角三角形的性质得出AD的长是解题的关键．
30．
【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论．
解：过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
故的长为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
31．
【分析】根据角平分线的性质可得，在中求出，再证，在中应用勾股定理求解即可．
解：是的平分线，
，，，
，
在中
在与中
在中
解得：，
故答案为：.
【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理解直角三角形；解题的关键是角平分线的性质和利用勾股定理解决线段相等．
32．6.5
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边=，
∴此直角三角形斜边上的中线的长=．
故答案为：6.5
【点拨】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．
33．8
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出．
解：∵在中，，D是的中点，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
34．35
【分析】作出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：如图，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即，
∴，
解得，
另一个锐角，
∴这个直角三角形的较小内角的度数为．
故答案为：35．
【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
35．
【分析】过A点作，垂足为D，根据等边三角形的性质及勾股定理得出，即可求出A点的坐标．
解：过A点作，垂足为D，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴点A坐标为．
故答案为．
【点拨】题目主要考查等边三角形的性质及勾股定理解三角形，坐标与图形，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
36．
【分析】过点作轴于点，过点作于点，利用“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”求出的长和的长，再证明≌，进而求出的长，再求出点的坐标．
解：如图，过点作轴于点，过点作于点，
设与轴正半轴的夹角为，则，
四边形是正方形，且边长为，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【点拨】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、图形与坐标，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
37．1
【分析】根据题意画出图形，勾股定理求得的值，然后估算的值即可求解．
解：如图，是等腰三角形，，作底边上的高，则中，，
，
∴，
，
根据题意可知，，
，又k值介于两个正整数n与之间，
，
故答案为：1．
【点拨】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，无理数的估算，正确的求得的值是解题的关键．
38．
【分析】根据题意知DE是AC的垂直平分线，得CE＝AE，再通过角度可证明∠B＝∠CEB，得CE＝BC，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE即可．
解：∵D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE，
∴∠A＝∠ECA＝36°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∴∠BCE＝36°，
∴∠CEB＝180°−∠B−BCE
＝180°−72°−36°
＝72°，
∴∠B＝∠CEB，
∴CE＝BC，
∵D是AC的中点，
∴CD＝3，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CE＝，
∴BC＝，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，证明CE＝BC是解题的关键．
39．##
【分析】先画出图形，证明，可得，设，则，再利用勾股定理求解，从而可得答案．
解：如图，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查的是垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，求解是解本题的关键．
40．
【分析】是的垂直平分线，可知，，设，则，在中根据勾股定理即可求解．
解：根据题意得，是的垂直平分线，
，
∴,
∴设，
∵，
∴，
∵，，
∴在中，，即，解方程得，，
故答案是：．
【点拨】本题主要考查勾股定理，根据条件确定直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
41．
【分析】作于点，先由勾股定理求得，则，求得，则，再推导出，进而证明，则，求得，则，于是得到问题的答案．
解：作于点，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，
，
，，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为，
故答案为：．
【点拨】此题重点考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理的应用、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
42．##
【分析】过点I作于点D，于点E，根据角平分线的性质，得出，根据等腰三角形的判定和性质得出，根据三角形的面积得出，最后根据勾股定理求出结果即可．
解：过点I作于点D，于点E，如图所示：
∵是的角平分线，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是根据三角形的面积求出．
43．或 5
【分析】分边长为4的边是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可．
解：当边长为4的边为直角边时，由勾股定理得；
当边长为4的边为斜边时，由勾股定理得；
故答案为：或 5．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
44．或
【分析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为的边为斜边；（2）边长为的边为直角边．
解：（1）当边长为的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为；
（2）当边长为的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为，
故该直角三角形斜边长为或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，解题的关键是利用分类讨论思想进行解答．
45．或4
【分析】分、两种情况考虑即可．
解：如图，
在中，∵，，
∴，
当时，作于T，
∴，，
，
，
，
∴，
∴等腰的腰长为；
当时，等腰的腰长为4，
故答案为：或4．
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，注意分类讨论．
46． 5
【分析】过A作轴于H，根据勾股定理求出的长，再分别讨论、的各种情况，即可得出答案．
解：过A作轴于H，
则，
在中，；
设点B的坐标为，
①若，
∵，
∴，
则点；
②若，即，
∴，
则点；
∴符合条件的B点的坐标为：．
故答案为：5；．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及坐标与图形性质，关键是掌握为等腰三角形时，那么任意一组邻边可为腰，注意分情况讨论．
47． ##
【分析】（1）先证明，得到，推出，利用勾股定理求得的长，利用三角形面积公式求解即可；
（2）由得到，利用勾股定理求得，再利用面积法求得，利用勾股定理求得的长，利用三角形面积公式求解即可．
解：（1）∵，，∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，同角的余角相等的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
48．
【分析】设，过点作的垂线交于点，根据勾股定理得，根据等腰三角形的性质得，根据三角形面积公式得，从而可得，解得的值即可得到答案．
解：根据题意可知
，
设，过点作的垂线交于点
是等腰三角形
，
则
可得，解得
，（舍去）
故答案为：
【点拨】此题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，综合利用相关知识点是解题关键．
49．##
【分析】作于F，根据等腰三角形三线合一的性质得出，然后根据勾股定理求得，再根据垂线段最短和三角形面积公式即可求解．
解：根据垂线段最短，当时，取得最小值，
作于F，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，关键是理解“等腰三角形三线合一的性质”．
50．
【分析】作点B关于的对称点，连接交于点P，则，可得的最小值为的长，过点作于点H，根据，，可得，从而得到，由勾股定理可得，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．
解：解∶如图，作点B关于的对称点，连接交于点P，则，
∴，
∴的最小值为的长，
过点作于点H，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
【点拨】本题考查了勾股定理的使用，涉及了轴对称图形的性质，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
51．
【分析】过点作于点，设，则，根据折叠的性质以及勾股定理求得，进而根据，即可求解．
解：如图，过点作于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将沿着折叠，点落在边上，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
52．
【分析】先由折叠的性质得到AE=AB=13，BD=ED，再由勾股定理求出AC=5，从而得到CE=8，设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，再利用勾股定理求解即可．
解：由折叠的性质可知，AE=AB=13，BD=ED，
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴，∠ECD=90°，
∴CE=AE－AC=8，
设DE=x，则DC=BC－BD=12－x，
在Rt△ECD中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．