人教A版（2019）必修第二册 第八章 微专题3 求二面角的平面角的常见解法（教学课件）

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第八章　立体几何初步微专题3　求二面角的平面角的常见解法求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步定位二面角的平面角.一、定义法例1　(1)如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝ ，求二面角V－AB－C的大小.解　取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.(2)二面角α－l－β的大小为60°，A，B分别在两个面内且A和B到棱的距离为2和4，且AB＝10，求AB与棱l所成角的正弦值.解　如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足，则AC＝2，BD＝4，AB＝10.在β内过C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，AE，∴四边形CEBD为平行四边形，∴BE∥l，∴∠ABE为AB与棱l所成的角，∵BD∥CE，∴l⊥AC，l⊥CE，∴∠ACE为α－l－β的平面角，∴∠ACE＝60°，AC＝2，BD＝4，又BE∥l，l⊥平面ACE，∴BE⊥AE，利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.二、三垂线法例2　(1)如图，在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.①证明：平面SBC⊥平面SAB；证明　∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC，又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，∴SA⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA，AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.②求二面角A－SC－B的平面角的正弦值.解　取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，则∠AED为二面角A－SC－B的平面角.∴AD⊥平面SBC.则DE⊥SC，(2)如图，平面β内一条直线AC，AC与平面α所成的角为30°，AC与棱BD所成的角为45°，求平面α与平面β所成的角的大小.解　如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，∴由三垂线定理知BD⊥EF，∴∠AFE为平面α与平面β所成的角.依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，∴AFE＝45°.∴平面α与平面β所成的角为45°.如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线、可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角.三、垂面法例3　如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小.解　∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC.∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角即为该二面角的平面角.四、射影面积法例4　在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.解　如图，∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴AD⊥平面PAB，∴△PCD在平面PBA上的射影为△PAB，设平面PBA与平面PCD所成二面角为θ，同理BC⊥平面PAB.∴θ＝45°.故平面PBA与平面PCD所成二面角的大小为45°.若多边形的面积为S，它在一个平面内的射影图形的面积为S′，且多边形与该平面所成的二面角为θ，则cos θ＝ .本课结束