人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教学ppt课件
展开XUE XI MU BIAO
1.了解空间中两直线间的位置关系.2.理解空间中直线与平面的位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系.
1.异面直线(1)定义:不同在 平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法;②两直线既不平行也不相交.
知识点一 空间中两直线的位置关系
2.空间两条直线的三种位置关系
:在同一平面内,有且只有___________ :在同一平面内,___________
异面直线:不同在任何一个平面内,___________
知识点二 直线与平面的位置关系
知识点三 平面与平面的位置关系
思考 平面平行有传递性吗?答案 有 若α,β,γ为三个不重合的平面,且α∥β,β∥γ,则α∥γ.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( )2.两条直线无公共点,则这两条直线平行.( )3.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.( )4.若两条直线都平行于同一个平面,则这两条直线平行.( )
例1 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______;
解析 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,∴四边形A1BCD1为平行四边形,∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是______;
解析 直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______;
解析 直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.
解析 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
跟踪训练1 若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是A.平行 B.异面C.相交 D.平行、相交或异面
解析 可借助长方体来判断.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,A′D′所在直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD-A′B′C′D′中的B′C′,CC′,DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
二、直线与平面的位置关系
例2 (1)若直线上有一点在平面外,则下列结论正确的是A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内
解析 直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,故直线上有无数多个点在平面外.
(2)(多选)若a,b表示直线,α表示平面,则以下命题中假命题是A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若a∥α,b∥α,则a∥bC.若a∥b,b∥α,则a∥αD.若a∥α,b⊂α,则a∥b或a与b异面
解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥AB,AB⊂平面ABB1A1,A1B1⊂平面ABB1A1,故A错误;A1B1∥平面ABCD,B1C1∥平面ABCD,但A1B1与B1C1相交,故B错误;AB∥CD,CD∥平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,故C错误;因为a∥α,所以a与α无公共点,又b在α内,所以a与b无公共点,所以a∥b或a与b异面.
在判断直线与平面的位置关系时,三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏,另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,便于作出正确判断,避免凭空臆断.
跟踪训练2 下列命题中正确的个数是①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α.A.0 B.1 C.2 D.3
解析 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′在过BB′的平面ABB′A′内,故命题①不正确;AA′∥平面BCC′B′,BC⊂平面BCC′B′,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;
假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即命题③正确.故选B.
三、平面与平面的位置关系
例3 (多选)以下四个命题中,正确的有A.在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行B.在平面α内有无数条直线与平面β平行,那么这两个平面平行C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且 不为0,那么这两个平面平行D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面 平行或相交
解析 当两个平面相交时,一个平面内有无数条直线平行于它们的交线,即平行另一个平面,所以AB错误.
利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假,另外先假设所给定的结论成立,看是否能推出矛盾,也是一种判断两平面位置关系的有效方法.
跟踪训练3 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系一定是A.平行 B.相交C.平行或相交 D.无法确定
解析 根据题意作图,把自然语言转化为图形语言,即可得出两平面的位置关系,如图所示.
1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是A.共面 B.平行C.异面 D.平行或异面
解析 若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
2.若直线l∥平面α,直线a⊂α,则A.l∥a B.l与a异面C.l与a相交 D.l与a没有公共点
解析 若直线l∥平面α,直线a⊂α,则l∥a或l与a异面,故l与a没有公共点,故选D.
3.(多选)两平面α,β平行,a⊂α,则下列四个命题正确的是A.a与β内的所有直线平行 B.a与β内无数条直线平行C.a与β至少有一个公共点 D.a与β没有公共点
解析 a不是与β内的所有直线平行,而是与β内的无数条直线平行,有一些是异面,A错误,B正确;根据定义,a与β没有公共点,C错误,D正确.
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1异面的棱有____条,正方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C,面ABC1D1,面ADC1B1,面BB1D1D,面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面有____个.
解析 与AA1异面的棱有CD,BC,C1D1,B1C1,共4条;与AA1平行的面有平面BCC1B1,平面CC1D1D,平面BB1D1D,共3个.
5.m与n是异面直线,m∥a,n∥b,则a与b的位置关系是___________.
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单:(1)两直线的位置关系.(2)直线与平面的位置关系.(3)平面与平面的位置关系.2.方法归纳:举反例、特例.3.常见误区:异面直线的判断.
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交
解析 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线,故选B.
2.与同一平面平行的两条直线A.平行 B.相交C.异面 D.平行、相交或异面
解析 与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况:平行、相交或异面.
3.过平面外两点作该平面的平行平面,可以作A.0个 B.1个C.0个或1个 D.1个或2个
解析 平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况:①直线与平面相交,可以作0个平行平面;②直线与平面平行,可以作1个平行平面.
4.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点
解析 三个平面两两相交,有两种情况:一是如三棱柱的三个侧面,三条交线两两平行;二是如三棱锥的三个侧面,三条交线相交于一点.
5.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
解析 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中没有与体对角线AC1平行的棱,要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线,只要去掉与AC1相交的六条棱,其余的都与体对角线异面,∴与AC1异面的棱有BB1,A1D1,A1B1,BC,CD,DD1,∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对.
6.不重合的两个平面把空间分成________部分.
解析 若两个平面平行,则把空间分成3部分;若两个平面相交,则把空间分成4部分.
7.若点A∈α,B∉α,C∉α,则平面ABC与平面α的位置关系是_______.
解析 ∵点A∈α,B∉α,C∉α,∴平面ABC与平面α有公共点,且不重合,∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
8.在四棱锥P-ABCD中,各棱所在的直线互相异面的有_____对.
解析 以底边所在直线为准进行考察,因为四边形ABCD是平面图形,4条边在同一平面内,不可能组成异面直线,而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线,所以共有4×2=8(对)异面直线.
9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?
解 B1D1在平面A1C1内,B1D1与平面BC1,平面AB1,平面AD1,平面CD1都相交,B1D1与平面AC平行.
10.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的位置关系并证明你的结论.
解 a∥b,a∥β.证明如下:由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,∵α∥β,a⊂α,b⊂β,又∵a⊂γ且b⊂γ,∴a∥b.∵α∥β,∴α与β无公共点.又a⊂α,∴a与β无公共点,∴a∥β.
11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是A.相交 B.平行C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
解析 延长各侧棱可恢复成棱锥的形状,所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
12.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是A.α内的所有直线均与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线均与a相交D.直线a与平面α有公共点
解析 若直线a不平行于平面α,则a∩α=A或a⊂α,故D项正确.
13.(多选)以下四个命题中正确的有A.三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β=l,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且a∩b=P,则P∈lD.若n条直线中任意两条共面,则它们共面
解析 对于A,正确;对于B,逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”,也可能a∥b,故B错误;对于C,正确;对于D,反例:正方体的侧棱任意两条都共面,但这4条侧棱却不共面,故D错误.
14.在以下三个命题中,正确的命题是①平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行;②平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③在平面α,β内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面平行或相交.A.①② B.②③C.③ D.①③
对于②,平面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故命题②错.命题③是正确的.
解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于①,平面AA1D1D中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1的中点E,F,连接EF,则EF∥平面A1B1C1D1,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题①错;
15.如图是一个正方体的展开图,则在原正方体中A.AB∥CD B.AD∥EFC.CD∥GH D.AB∥GH
解析 把正方体的展开图还原成正方体,得到如图所示的正方体,由正方体性质得,AB与CD相交,AD与EF异面,CD与GH平行,AB与GH异面.
16.如图,已知平面α和β相交于直线l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.
解 平面ABC与平面β的交线与l相交.证明如下:∵AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,∴AB与l是相交直线.设AB∩l=P,则点P∈AB,点P∈l.又∵AB⊂平面ABC,l⊂β,∴P∈平面ABC且P∈平面β,即点P是平面ABC与平面β的一个公共点,而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点,
又∵P,C不重合,∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线,即平面ABC∩平面β=直线PC,而直线PC∩l=P,∴平面ABC与平面β的交线与l相交.
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