专题4-1 指数函数性质13种题型归类（讲+练）-高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版必修第一册）

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专题 4.1指数函数性质归类 热点考题归纳【题型一】指数图像核心性质：一点一线 【典例分析】1.（2023·全国·高一专题练习）函数(a>0且a≠1)的图象可能为（    ）A．B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当时，，显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；对于CD，因为渐近线为，故，故时，，故选项C符合，D不符合；当时，，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；故选：C2.（2023·全国·高一专题练习）函数且的图象可能是（    ）           A．①③ B．②④ C．④ D．①【答案】C【分析】分，，根据指数函数和图象平移判断.【详解】当时，，函数的图象为过点的上升的曲线，函数图象由函数向下平移个单位可得，故①②错误； 当时，，函数的图象为过点的下降的曲线，函数图象由函数向下平移个单位可得，故④ 正确③错误；故选：C【提分秘籍】【变式演练】1.（2023·全国·高一假期作业）函数的图像不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据指数函数的图象，再平移后得到 ，直接判断选项.【详解】函数经过第一、二象限，向下平移3个单位后得到函数，则经过一、三、四象限，不经过第二象限.故选：B2.（2022秋·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（    ）A．B．C． D．【答案】C【分析】方法1：由图象求得且，再由a、b的范围确定的单调性及它与y轴的交点的大概位置即可得结果；方法2：由不等式的性质得且，逐个分析每个选项的图象确定其a、b的范围，看与已知是否一致【详解】方法1：∵，如图所示，又∵，∴且，∵，∴令得：，即：与y轴的交点为，又且，∴在R上单调递减，且与y轴的交点为，，只有C选项满足.方法2：∵，∴，①又∵，∴，  ②∴由①②得： 且且，∴且，∵，∴令得：，即：与y轴的交点为，对于A项，由图知，在R上单调递减，∴，与y轴的交点为，∴，这与已知且相矛盾，错误；对于B项，由图知，在R上单调递增，∴，与y轴的交点为，∴，这与已知且相矛盾，错误；对于C项，由图知，在R上单调递减，∴，与y轴的交点为，∴，∴且，正确；对于D项，由图知，在R上单调递增，∴，与y轴的交点为，∴，这与已知且相矛盾，错误；故选：C.3.（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于对称，且当时，，故排除B、D两项；当时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当时，单调递减，故排除C项.故选：A.【题型二】函数性质判断指数函数图像【典例分析】1.（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（    ）A．  B．  C．   D．  【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【详解】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当趋向于正无穷大时，、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除D，由，，则，排除C.故选：A.2.（2023·全国·高一专题练习）函数的大致图象是（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】C【分析】先分类讨论化简函数式，然后根据指数函数的单调性排除错误选项．【详解】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A．故选：C．【提分秘籍】【变式演练】1.（2023·全国·高一专题练习）函数的部分图象大致为（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，再根据趋于正无穷时函数值大于0可得到答案.【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除CD；根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除B.故选：A.2.（2023·全国·高一专题练习）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ）  A．   B．  C．   D．  【答案】B【分析】先由指数函数的图象判断出，进而分析出二次函数的图象与轴的两个交点，即可解出.【详解】由指数函数的图象可知：.令，解得，则，对应只有B选项符合题意.故选：B3.（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知函数的图象如图所示，则可以为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】观察函数的图像，根据函数的性质，利用排除法可得选项.【详解】对于A，由函数图像可知，时，，而，当时，，故A错误；对于B，由函数的图像可以看出，当时，函数有意义，而函数在无定义，故B错误；对于C，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由为非奇非偶函数，故C错误；对于D，是一个奇函数，时，，符合图象，故D正确.故选：D.【题型三】指数图像求参【典例分析】1.（2005·福建·高考真题）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）  A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数单调性判断与的大小，再由图象与轴的交点位置判断的正负.【详解】由图象可知，函数为减函数，从而有；法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得，由，即，解得 .法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D.2.（2023·全国·高一专题练习）设函数，函数的图像经过第一､三､四象限，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意求得，化简得到，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由函数的的图像经过第一､三､四象限，可得，所以，又因为，所以的取值范围为.故选：A.【提分秘籍】【变式演练】1.（2023·全国·高一专题练习）已知实数a，b满足等式，则下列关系式中不可能成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图象，结合图象即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图象，如图所示：由图象知，当时，，所以选项正确；作出直线，当时，若，则，所以选项正确；当时，若，则，所以选项正确．所以不可能成立的是，故选：．2.（2023·全国·高三专题练习）函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解.【详解】若，为增函数，且，与图象不符，若，为减函数，且，与图象相符，所以，当时，，结合图象可知，此时，所，则，所以，故选:C.3.（2021秋·陕西渭南·高一校考阶段练习）已知函数且，则下列结论中，一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出函数图象，结合图象判断AB，再由讨论去掉绝对值号化简可判断CD．【详解】由图示可知，的符号不确定，，故A、B错；，如上图，满足，故C不一定成立，当时，由得，则，所以，故D正确．故选：D【题型四】定义域型指数不等式 【典例分析】1.（2023·全国·高一专题练习）设函数，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出的定义域，再令满足的定义域范围求出的范围即可得的定义域.【详解】由即可得所以的定义域为，令，可得，所以函数的定义域为，故选：A．2.（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致.【详解】的定义域为，，即，，解得：且，的定义域为.故选：.【提分秘籍】【变式演练】1.（2020秋·江苏南京·高一校联考阶段练习）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意只需解不等式即可得答案.【详解】解：要使函数有意义，则，即，所以所以函数的定义域为故选：D2.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【详解】解：由题意得：，故，故，解得：，故函数的定义域是，故选：B．3.（2021·全国·高一专题练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ）A．8 B．16 C．4 D．7【答案】A【分析】先化简集合，确定集合中元素个数，再由公式，即可求出其子集个数.【详解】因为，所以集合的子集个数为.故选：A.【题型五】复合型指数函数单调性【典例分析】1.（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复合函数的单调性进行求解即可．【详解】函数是实数集上的减函数，因为二次函数的开口向下，对称轴为，所以二次函数在时单调递增，在时单调递减，由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，故选：C2.（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求函数的定义域，在结合复合函数单调性分析求解.【详解】令，解得，所以函数的定义域为，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调递增，在上单调递减，且在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B.【提分秘籍】【变式演练】1.（2023秋·高一课时练习）已知函数(且)，若，则的单调递减区间是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由求得，然后根据同增异减法则求出函数的单调区间．【详解】∵，∴，∴函数在R上单调递减，又∵函数的图象开口向上，对称轴为，从而函数在上是增函数，∴的单调递减区间是．故选：D．2.（2022秋·高一校联考阶段练习）已知函数,则（    ）A．是偶函数,且在是单调递增B．是奇函数,且在是单调递增C．是偶函数,且在是单调递减D．是奇函数,且在是单调递减【答案】B【分析】根据的解析式得到解析式,判断单调性奇偶性即可得出选项.【详解】解:由题知,则,将代替代入可得:,,,故为奇函数,,单调递增,单调递增,故在上单调递增.故选:B3.（2022秋·河北张家口·高三统考期末）已知函数，则（    ）A．函数是奇函数，在区间上单调递增B．函数是奇函数，在区间上单调递减C．函数是偶函数，在区间上单调递减D．函数非奇非偶，在区间上单调递增【答案】A【分析】先判断的奇偶性，然后结合复合函数的单调性判断的单调性，由此确定正确选项.【详解】，故是奇函数.又，由复合函数单调性可知单调递增.故选：A【题型六】指数单调性求参数【典例分析】1.．（2023秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由复合函数单调性法则得，即，解不等式即可得出答案.【详解】由且，得为单调递减函数，由复合函数单调性法则得，又，解得．故选：C．2.（2023秋·四川成都·高一校考阶段练习）已知函数，是上的增函数，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数单调性的判断方法列不等式，求解.【详解】由函数，是上的增函数，得，解得，即，故选：D.【变式演练】1.（2023·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复合函数的单调性结合二次函数的单调性即可求得.【详解】因为函数在区间上是减函数，令，则函数在区间是增函数，所以，则.故选：B2.（2023·全国·高一专题练习）已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，解之即可得解.【详解】因为函数是上的单调递增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.3.（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）设函数，则“”是“在上单调递增”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用复合函数单调性求得a的范围，再运用集合的包含关系即可求得结果.【详解】因为在上单调递增，所以由复合函数的单调性可知，，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.【题型七】指数函数值域 【典例分析】1.（2023秋·高一课时练习）当时，函数的值域是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性得出值域.【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以，于是，即所以函数的值域是.故选：C.2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数则函数值域是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合分段函数的单调性来求得的值域.【详解】当时，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.故选：B【提分秘籍】【变式演练】1.（2022秋·辽宁锦州·高一校考阶段练习）若x满足不等式，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数函数的单调性得到自变量的范围，进而得到指数函数的值域.【详解】由可得，因为在R上单调递增，所以即x2+2x-3≤0，解得： ，所以，即函数的值域是，故选:B.2.（2021·全国·高一专题练习）函数的值域是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的单调性分别求出函数在区间、上的值域，综合可得出原函数的值域.【详解】当时，函数单调递增，因为，则，所以，，此时，函数的值域为；当时，函数单调递减，因为，则.所以，，此时，函数的值域为.综上所述，函数的值域是.故选：D.3.（2017秋·江西抚州·高二临川一中阶段练习）函数的值域为（  ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的性质和根式的意义求出的范围，进而得出结果.【详解】，，即函数的值域为.故选：A【题型八】指数复合型值域 【典例分析】1.（2023秋·山东德州·高一统考期末）函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数的值域.【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.故选：B2.（2023·全国·高一专题练习）函数的值域是（　　）A． B．C． D．【答案】B【分析】确定的范围后，结合指数函数单调性可求得结果.【详解】令，则，在上单调递减，，又，的值域为.故选：B.【提分秘籍】【变式演练】1.（2023·上海·高一专题练习）函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解.【详解】依题意，令，则，因为单调递减，且所以，所以.故选：A.2.（2023秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐101中学校考阶段练习）函数，的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.【详解】令，则，所以又在上单调递增，所以即故选：B.3.（2020春·河北石家庄·高三石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）函数，的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，则，先由二次函数的性质求，的范围，再根据指数函数的单调性求的范围，即可求解.【详解】函数，是由和，复合而成，因为对称轴为，开口向上，所以在单调递减，在单调递增，所以时，时，，所以，因为在上单调递增，所以，所以函数，的值域是，故选：C.【题型九】指数一元二次型值域【典例分析】1.（2021·全国·高一专题练习）函数且在区间上有最大值14，则a的值为（    ）A．3或-5 B．3 C． D．3或【答案】D【分析】令，分别讨论和两种情况，结合二次函数的性质可列式求解.【详解】令，则函数等价为，对称轴为，若，则，此时，解得或（舍去）；若，则，此时，解得或（舍去），综上，或3.故选：D.2.（2021秋·江西宜春·高一校考阶段练习）函数在上值域为A． B．C． D．【答案】B【解析】令，则，转化为一元二次函数求值域即得.【详解】令，，是二次函数，对称轴是，时，时，.所以函数的值域为.故选：.【提分秘籍】【变式演练】1.（2020·浙江·高一期末）函数，的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，将函数转化为二次函数的值域问题求解即可.【详解】解：令，则原函数转化为，当时，，当时，，值域是，故选：D.2.（2020·全国·高三对口高考）若关于的方程有实根，则实数的取值范围为 ．【答案】【分析】方程有实根可转化为在上有解，根据的范围求解的取值范围即可.【详解】方程有实根，所以有实根，令，因为，所以，所以在上有解，又因为当时，所以，故答案为：3.（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断函数的性质，令，转化成关于t的二次函数即可求得的值域.【详解】函数是R上偶函数，因，即函数在R上单调递增，而，，令，则，因此，原函数化为：，显然在上单调递增，则当时，，所以函数的值域为.故选：A【题型十】指数反比例型值域【典例分析】1.（2023春·北京东城·高二景山学校校考阶段练习）函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】化简得，再利用指数函数的性质和不等式的性质逐步求出函数的值域.【详解】，因为，所以函数的值域为.故选：C2.（2019秋·重庆南岸·高一重庆第二外国语学校校考期末）函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】用分离常数法，并结合指数函数性质求解．【详解】，因为，所以，，．∴的值域是．故选：A.【提分秘籍】【变式演练】1.（2020·辽宁辽阳·统考一模）函数的值域为 .【答案】【解析】由根据的范围先求分母的范围，可得值域.【详解】，，，，所以，则.故答案为：2.（2023·全国·高三专题练习）函数的值域为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把作为一个整体，求出其范围，再利用基本不等式求解．【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，所以的值域是．故选：B．3.（2021春·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）函数的值域是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】将函数化为，利用列出关于的不等式，解出不等式即可.【详解】设，由原式得，,，∴，即函数的值域为.故选：C【题型十一】指数高斯函数型求值域【典例分析】1.（2022秋·天津·高一统考期中）设函数，表示不超过的最大整数，如，则函数的值域为（   ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】对函数解析式变形，结合不等式性质和指数函数性质研究函数取值规律，再结合定义求函数的值域.【详解】因为，所以即，当时，，，所以，，当时，，，所以，当，，所以：当时，，，当时，，，当时，，，所以，函数的值域为．故选：．2.（2011秋·浙江台州·高一统考期末）设函数f（x），[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f（x）]+[f（﹣x）]的值域为（　　）A．{0} B．{﹣2，0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}【答案】C【分析】化简函数f（x），对x的正、负、和0分类讨论，求出的值．【详解】当当当所以：当x不等于0，所以，y的值域：{0，﹣1}故选：C【提分秘籍】【变式演练】1.（2021·全国·高一专题练习）设函数，(且)，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简和，然后根据解析式的特点可求.【详解】因为，所以，.因为,所以，当时，，，此时，，；当时，；当时，，，此时，，；故选D.2.（2020秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，则函数的值域为A． B． C． D．【答案】C【分析】，得函数f（x）为R上的增函数，所以f（x）∈（，），进而可以得到y＝[f（x）]的值域．【详解】依题意，，因为y＝2x+1为R上的增函数，所以函数f（x）为R上的增函数，所以f（x）∈（，），所以y＝[f（x）]的值域为{﹣1，0}，故选：C．3.（2022·全国·高三专题练习）设函数，记表示不超过的最大整数，例如，，．那么函数的值域是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】先化简和，然后求出，分，，三种情况分析即可得解.【详解】因为，所以，，因为，所以，当时，，，此时，，；当时， ；当时，，，此时，，；则函数的值域是.故选：D.【题型十二】指数单调性比大小【典例分析】1.（2023·吉林·统考一模）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】由单调递减可知：，即；由单调递增可知：，即所以.故选：D.2.．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用介值法及指数函数单调性比较大小即可.【详解】因为， ，又因为在上单调递增，，所以，即.故选：D.【提分秘籍】【变式演练】1.（2023秋·安徽·高二合肥市第六中学校联考阶段练习）已知，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性比较的大小，利用幂指数运算可比较大小，即得答案.【详解】因为，且是R上的增函数，故，又，故．故选：D2.（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数及幂函数的单调性比较指数幂的大小.【详解】由题设，，，由为增函数，且，故；由在上为增函数，且，故；综上，.故选：B3.（2023·全国·高一专题练习）已知，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（　　）A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a【答案】C【分析】结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小．【详解】因函数在R上单调递减，则，，又，则，即.因函数在R上单调递增，则.所以b＞a＞c．故选：C．【题型十三】恒成立求参【典例分析】1.（2020秋·云南曲靖·高一会泽县第一中学校校考阶段练习）要使函数在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用换元法令将等价为在上恒成立，再利用参数分离法和恒成立得到，再用换元法得到，利用恒成立的性质与一元二次函数的最值可得结果.【详解】令，原问题等价于在区间上恒成立，所以，，令，则，即，易知在上单调递减，所以当时，，故，即的取值范围为.故选：C.2.（2019秋·安徽宿州·高一校联考期中）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A． B．(1－,1+) C．[1－,1+] D．[－2,4]【答案】A【分析】推出在一侧的不等式，构造函数，利用函数的单调性，转化求解实数的取值范围．【详解】解：，即，等式两边同乘得：，∵函数在上是增函数，，当时，恒成立等价于，故选：A【提分秘籍】【变式演练】1.（2021秋·高一课时练习）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是(　　)A． B． C． D．【答案】B【分析】分离参数后，构造函数求出值域可得．【详解】解：对任意恒成立，令所以对任意恒成立等价于对任意恒成立，，∴．故选B．2.（2022秋·高一课时练习）已知关于的方程（）的根为负数，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分类参数，将问题转化为求函数在的值域，再利用指数函数的性质进行求解.【详解】将化为，因为关于的方程（）的根为负数，所以的取值范围是在的值域，当时，，则，即的取值范围是.故选：D.3.（2020秋·四川内江·高一校考阶段练习）已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据，分和两种情况求得函数的值域，然后再由对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，转化为，对任意、、恒成立求解.【详解】因为、、为某一个三角形的边长，所以，对任意、、恒成立，函数当时， 在R上递减，函数的值域为，所以 且，所以，又，所以；当时， 在R上递增，函数的值域为，所以 且，所以，解得，所以；综上的取值范围是故选：C1.（2023·上海·高一专题练习）如图所示，函数的图象是（    ）A．  B．  C．   D．  【答案】B【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.【详解】∵，∴时，，当时，函数为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，故选：B2.（2023秋·四川泸州·高三四川省泸县第四中学校考开学考试）函数的图象大致是（    ）A．B．C． D．【答案】C【分析】确定函数为奇函数排除BD，计算，排除A，得到答案.【详解】，函数定义域为，，函数为奇函数，排除BD；，，故，排除A.故选：C3.（2023·上海·高二专题练习）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则可以是（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得【详解】由题意，直线与函数，且的图象有两个公共点，当时，的图象如图所示，由已知得，；当时，的图象如图所示，由已知可得，，结合可得无解，综上可知，的取值范围为，故选：C4.（2022秋·浙江台州·高一临海市学海中学校考阶段练习）函数的定义域和值域分别为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据二次根式的定义，结合指数函数性质可得定义域与值域．【详解】，解得，即，定义域为，因为，所以，，即值域为．故选：B．5.（2019秋·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考期末）定义运算：，则函数的值域为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据新运算法则求解的解析式和的范围，由分段函数的性质求解值域．【详解】解：．∵当时，；当时，，∴的值域为．故选：A．6.（2021·高一课时练习）下列函数中，值域为的函数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复合函数值域的求法以及指数函数的值域即可求出．【详解】因为，所以函数的值域为，函数的值域为，函数的值域为，的值域为．故选：A．7.（2023·高一课时练习）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为 .【答案】或/或3【分析】令，讨论或，求出的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】∵令，则，则，其对称轴为.该二次函数在上是增函数.①若，由，得，故当，即时，，解得(舍去).②若，由，可得，故当，即时，.∴或(舍去).综上可得或.故答案为：或.8.（2020秋·河南新乡·高一统考期中）已知指数函数过点，则函数的值域为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意求得，化简函数，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，设指数函数，因为指数函数过点，可得，解得，即，所以，因为，可得，则，所以，所以，即.故选：C.9.（2021秋·广东广州·高二广州市培正中学校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简得出，可得时，；时，；时，，即可求出.【详解】，当时，，则，则，此时，当时，，则，当时，，则，则，此时，则对于函数，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时，故的值域为.故选：A.10.（2023秋·高一课时练习）若，，且满足，那么（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性判断即可.【详解】由，可得.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.综上，.故选：C11.（2023·全国·高一假期作业）函数的单调递增区间是（　　）A． B．[2，＋∞）C． D．【答案】C【分析】利用“同增异减”可求函数的单调增区间.【详解】令，则，故函数的定义域为，设，，则当时，为增函数，此时；当时，为减函数，此时.而在上为增函数，故在上为增函数，在上为减函数，此时.而在上为减函数，故在上为减函数，在上为增函数.故选：C.12.（2023·全国·高一专题练习）函数与在均单调递减的一个充要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出函数与在上单调递减时，a的取值区间，从而可得答案.【详解】因为函数在上单调递减，所以即；因为函数在上单调递减可得，解得，若函数与均单调递减，可得，所以函数与均单调递减的一个充要条件是.故选：A13.（2020秋·安徽滁州·高一校联考阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】将时，不等式恒成立，转化为对一切恒成立，再，求得其最小值即可.【详解】因为时，不等式恒成立，所以对一切恒成立，令，所以，解得.一、热考题型归纳【题型一】 指数函数核心性质：一点一线【题型二】 函数性质判断指数函数图像【题型三】 指数函数图像求参【题型四】 解定义域型指数不等式【题型五】 复合型指数函数单调性【题型六】 指数函数单调性求参数【题型七】 指数函数值域【题型八】 指数复合型值域【题型九】 指数一元二次型值域【题型十】 指数反比例型值域【题型十一】指数高斯函数型求值域【题型十二】指数单调性比大小【题型十三】恒成立求参 二、培优练图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数判断函数图像定义域判断。函数奇偶性判断。函数简单性判断。函数值正负判断利用极限，判断无穷远处的值与“比值”利用“断点处判断，如0+与0-. 数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．(3)指数函数与的图象关于轴对称． 指数函数不等式解法同底法。化为同底型讨论底数比1大还是比1小，借助单调性比大小转化为指数幂的新不等式求解(1)单调性的运算关系：①一般认为，－f(x)和eq \f(1,fx)均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ；单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有：①eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②eq \f(fx1－fx2,x1－x2)