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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精品复习练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数精品复习练习题，文件包含专题3-5幂函数归类原卷版docx、专题3-5幂函数归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
热点考题归纳
【题型一】幂函数概念
【典例分析】
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.
【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确；
对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误；
对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误；
对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.
2.（2022秋·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数
【答案】B
【分析】利用幂函数的简单性质判断即可．
【详解】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确；
当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确；
由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；
函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确.故选：B.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．函数表示幂函数
C．若表示递增的幂函数，则
D．幂函数的图像都过点，
【答案】AC
【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；
对于B，函数不是幂函数，B错误；
对于C，是幂函数，则，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意，
当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；
对于D，幂函数不过点，D错误.
故选：AC
2.（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题为（ ）
A．
B．函数是幂函数
C．为28的约数
D．对实数m，命题．命题．则是的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】利用配方法以及逻辑语概念可知A正确；由幂函数定义可知B错误；28的约数有等，可知C正确；求出使得命题成立的的取值范围，即可得出D正确.
【详解】对于A，易知，即可知对于恒成立，所以A正确；
对于B，根据幂函数定义可知幂函数的系数必须为1，而的系数为2，所以函数不是幂函数，即B错误；
对于C，易知等都是28的约数，因此为28的约数，即C正确；
对于D，若命题成立可得，解得，显然，
即，所以是的必要不充分条件，即D正确.
故选：ACD
3.（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）下列结论中错误的命题是（ ）
A．函数是幂函数
B．函数是偶函数不是奇函数
C．函数的单调递减区间是
D．有的单调函数没有最值
【答案】BC
【分析】根据幂函数的定义，函数奇偶性的判断方法，单调区间的书写形式，以及函数最值的概念，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：是幂函数，故正确；
对B：的定义域为或，其关于原点对称.
又，满足且满足，
故该函数在定义域上既是奇函数，又是偶函数，故错误；
对C：函数有多个单调区间时，不能用“”，故错误；
对D：例如幂函数在上是单调函数，但是没有最值，故正确.
故选：BC.
【题型二】幂函数解析式
【典例分析】
1.（2023春·河南开封·高二校联考期末）若幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的取值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义，解出或，，分别验证和时图像是否经过原点，即可得到答案.
【详解】由题意有，解得或，
①当时，，函数图象过原点，不合题意；
②当时，，函数图象不过原点，合题意.故.故选：B
2.（2022秋·山西运城·高一校考阶段练习）幂函数在上为增函数，则的取值是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数是幂函数，由求得m，再根据函数在上为增函数，确定m的取值.
【详解】因为函数是幂函数，所以，即，
解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；
所以的取值是2，故选：C
【变式演练】
1.（2020秋·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考期中）若函数是幂函数，且图像关于原点对称，则实数m为（ ）
A．2B．-1C．4D．2或-1
【答案】A
【解析】根据幂函数的定义，可得，求出的值，再判断是否满足幂函数的图像关于原点对称，即可求出结果．
【详解】∵幂函数， ∴， 解得，或；
又幂函数的图像关于原点对称，∴当时，，幂函数为，满足题意；
当时， ，幂函数为，不满足题意；
综上，.故选：A．
2.（2021秋·湖北荆州·高一统考期末）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则（ ）
A．0B．-1C．2D．2或-1
【答案】B
【解析】由函数是幂函数，结合函数在上单调递减，求出．
【详解】由函数是幂函数，则，解得或.
又函数在上单调递减，则，即.故选：B.
3.（2022秋·四川南充·高一校考阶段练习）幂函数在为增函数，则的值为（ ）
A．1或3B．3C．2D．1
【答案】D
【详解】函数为 幂函数，则：，解得：，
幂函数单调递增，则：，据此可得：.
本题选择D选项.
【题型三】幂函数图像
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．
【详解】由于在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，故幂函数在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为．故选：D．
2.（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.
【详解】由，排除A，D，
当时，，所以，排除C．故选：B．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高一专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
2.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）
A．p、q均为奇数且B．p为奇数，q为偶数且
C．p为奇数，q为偶数且D．p为偶数，q为奇数且
【答案】D
【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.
【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定，
又因为p与q互质，所以q为奇数，
故选：D.
3.（2023·全国·高一专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③B．①，②，③
C．①，②，③D．①，②，③
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
【题型四】幂函数求值
【典例分析】
1.（2022秋·安徽·高二淮南第二中学校联考开学考试）已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．2C．D．32
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义及单调性，求出函数的解析式，再求函数值即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，即，解得，或，
当时，在上单调递减，不满足题意；
当时，在上单调递增，满足题意，所以幂函数的解析式为.所以.故选：D.
2.（2023·全国·高一专题练习）函数是幂函数，且在上单调递增，则 （ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】由幂函数的性质得出解析式，再求函数值.
【详解】由题意可知，，解得，.故选：B
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由的值依次求出的值，然后根据函数的性质确定，得函数解析式，计算函数值．
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，．故选：B．
2.（2022·全国·高一专题练习）幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.故选：A.
3.（2022·高一课时练习）已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2B．16C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案.
【详解】由题意得，解得，
所以，故,故选：D
4.（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】C
【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.
【详解】由函数为幂函数知，
，解得或.
∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴，，∴.故选：C.
【题型五】 幂函数定义域
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数，则此函数的定义域为 ．
【答案】.
【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由幂函数，可得，解得，即，
则满足，即幂函数的定义域为.
故答案为：.
2.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的定义域为，则实数 ．
【答案】1
【分析】由幂函数的定义列出方程，求出或，通过检验定义域可知满足要求.
【详解】由题意得到，解得：或，
当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域为，不符合题意．
故．故答案为：1
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】结合指数幂的运算性质化简表达式，即可求解
【详解】由可知其定义域为.
故答案为：
2.（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的定义域为，且单调递减，则 .
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性，得到的范围，再由其定义域，根据，即可确定的值.
【详解】因为幂函数的定义域为，且单调递减，
所以，则，
又，所以的所有可能取值为，，，
当时，，其定义域为，不满足题意；
当时，，其定义域为，满足题意；
当时，，其定义域为，不满足题意；
所以.故答案为：
3.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】因为，则，可得，
故函数的定义域为.故选：D.
【题型六】 复合型幂函数定义域
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为，
则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.
2.（2023秋·湖南衡阳·高三校考阶段练习）函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.
【详解】函数的定义域为
当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；
当时，，可知选项B错误，选项A正确.故选：A
【变式演练】
1.（2020·高一课时练习）若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是( )
A．(－∞，＋∞)B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可.
【详解】幂函数，,
所以，所以，所以函数的定义域是，故选D.
2.（2023·上海·高一专题练习）若要使有意义，则取值范围是 .
【答案】
【分析】由题可得，由即得.
【详解】∵，要使有意义，则，即，
∴.故答案为：.
3.（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ．
【答案】
【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.
【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．故答案为：
【题型七】复合型幂函数单调性
【典例分析】
1.（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.
【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；
对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；
对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；
对于D，的值域为，故D不正确.故选：B.
2.（2022秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间.
【详解】，解得即函数的定义域为，
因为函数在定义域内是单调递增函数，要求函数的单调递减区间，
即求函数在上的单调减区间
由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为故选：A.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：，则或，
所以函数的定义域为，
令，此函数在上递减，在上递增，
又函数为增函数，
所以函数的单调递增区间是故选：D.
2.（2023·全国·高一专题练习）若函数满足，则的单调递增区间为
A．(-∞，2]B．(-∞，1]C．[1，+∞)D．[2，+∞)
【答案】A
【分析】因为函数满足，则函数关于对称，进而求出参数的值，进而求出函数的递增区间.
【详解】解法1:由知，函数图象关于对称，所以，=2.函数在(-∞，2]单调递减，在[2，+∞)单调递增；而在(-∞，+∞)上递减，由复合函数的单调性知，函数的单调递增区间为(一∞，2]，故选A.
解法2:由函数图象变换可知，=2且函数的单调递增区间为(一∞，2].故选A.
3.（2023·江苏·高一专题练习）函数的单调增区间是 .
【答案】
【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性即可求出结果.
【详解】函数的定义域满足，解得，
故函数的定义域为
令，则，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且函数在上单调递增，
结合复合函数的单调性可知函数在上单调递增，在上单调递减，
故答案为：.
【题型八】幂函数值域
【典例分析】
1.（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
2.（2022秋·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）幂函数与幂函数（ ）
A．定义域相同B．值域相同C．单调性相同D．是同一函数
【答案】B
【分析】求出函数定义域，根据幂函数性质性即可解决.
【详解】由题知
，定义域为，单调性递增，值域为，
，定义域为,为偶函数，单调性先减后增，值域为，
所以与值域相同，故选：B
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.
【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意；
时，定义域为，值域为，故不合题意；
时，定义域为，值域为，符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意；
时，定义域为R，值域为，不符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意.故选：C
2.（2023秋·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.
【详解】由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，定义域、值域相同；
由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，，定义域、值域不相同.故选：D
3.（2023·全国·高一专题练习）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.
【详解】设，代入点得，则，令，
函数的值域是.故选：C.
【题型九】幂函数单调性解不等式
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.
【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
又幂函数在上单调递增，
所以，此时在R上单调递增，
因为，所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：B.
2.（2021·高一课时练习）已知幂函数，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性与定义域可解不等式.
【详解】因为幂函数的定义域为，且是定义域上的减函数，
所以若，则解得.
故选：D.
【变式演练】
1.（2021·高一课时练习）若，则不等的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由幂函数的性质可知是定义在上的增函数，再根据函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域；
【详解】解：由，知是定义在上的增函数，则由不等式，得，解得，所以原不等式的解集为.
故选：D.
2.．（2022·全国·高一专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由幂函数的定义求得的可能取值，再由单调性确定的值，得函数解析式，结合奇偶性求解.
【详解】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
3.（2022秋·北京·高一校考期中）已知是减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】由于函数是减函数，所以，解得.
故选：A.
【题型十】构造幂函数解不等式（或求参）
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集.
【详解】定义域为，且在与上均为减函数，
且当上，恒成立，当上，恒成立，
故①或②或③，
解①得：，解②得：，解③得：，
综上：不等式的解为.故选：D
2.（2023·全国·高一专题练习）若,则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造,通过函数单调性及定义域,列出不等式,求出取值范围.
【详解】解:由题知构造,由幂函数性质可知单调递增,
,,,
综上:.故选:D
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021秋·福建三明·高一校联考期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，＋∞）B．（－∞，]C．（，]D．[，]
【答案】D
【分析】利用幂函数的单调性解不等式即可.
【详解】不等式可化为：
，解得：.故选：D
2.（2020秋·江苏苏州·高一统考期中）若实数m满足，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令函数，根据幂函数的图象与性质，求得函数定义域、单调性和奇偶性，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】令定义域为，且为偶函数，
根据幂函数的图象与性质，可得在区间上单调递增，在单调递增，
因为，则满足，解得，
所以实数m的取值范围是.故选：D.
3.（2020·高一单元测试）设；，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由题意结合幂函数的性质可转化条件得，由充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】由得解得，
因为不能推出，可推出，
所以p是q成立的必要不充分条件.故选：B．
【题型十一】幂函数性质比大小
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性判断.
【详解】因为，，，
又，在上单调递增，
所以．综上，．故选：A．
2.（2023秋·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考阶段练习）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据构造函数，结合函数的单调性以及和“1”比较大小得出结果.
【详解】设函数，则在上单调递增，
故，即，又，即.
故选：B．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高一专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性比较大小．
【详解】构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故
故选：B
2.（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得a，b，c的大小关系.
【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，，
，所以，则.故选：D.
3.（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，根据题意给出的式子，先进行化简，得到，然后根据幂函数的单调性，即可做出判断.
【详解】由已知，，化简，
因为幂函数在上单调递增，而，
所以.故选：B.
1.（2023·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数概念即可得解.
【详解】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数，
对于A，是二次函数；
对于B，是一次函数；
对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数；
对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.
故选D.
2.（2021秋·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设幂函数，代入点即可求解.
【详解】设幂函数，代入点，则，解得，
.故选：C.
3.（2020秋·安徽六安·高一六安一中校考阶段练习）若幂函数在单调递减，则（ ）
A．8B．3C．1D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义和性质进行求解即可.
【详解】因为是幂函数，所以或，
当时，函数是实数集上的增函数，不符合题意；
当时，函数在单调递减，符合题意，，
故选：D
4.（2022秋·山东滨州·高一校考期中）若函数为幂函数，则（ ）
A．B．函数的定义域为R
C．函数是奇函数D．函数在区间上单调递减
【答案】D
【分析】根据函数为幂函数求出，然后利用幂函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为函数为幂函数，
，解得，A错误；
，其定义域为，B错误；
，函数是偶函数，C错误
函数在区间上单调递减，D正确.
故选: D.
5.（2023·高一课时练习）若有意义，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】直接根据负数不能开偶次方根求解.【详解】若有意义，则，
解得所以实数的取值范围是，故答案为：
6.（2023·全国·高一专题练习）幂函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．函数是偶函数
C．D．函数的值域为
【答案】ABD
【分析】根据函数为幂函数，求得m的值，判断A；根据函数奇偶性定义可判断B；根据幂函数的单调性可判断C；根据函数解析式可求函数值域，判断D.
【详解】因为是幂函数，所以，
解得或，又因为，故，A正确；
则，定义域为，满足，故是偶函数，B正确；
为偶函数，在上单调递减，故，C错误；
函数的值域为，D正确，
故选：ABD
7.．（2023·高一课时练习）用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用特殊值确定正确选项.
【详解】依题意，
，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
8.．（2020秋·福建·高一厦门一中校考期中）已知函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求得函数的定义域，再令，结合的单调性，利用复合函数的单调性求解.
【详解】由，
解得或，
因为在递减，在递增，
又因为在递增，
所以增区间为
故选：A
9.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
10.（2018秋·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性及定义域得到不等式，再解一元二次不等式组即可得解.
【详解】在上为增函数，
，
即故选：.
11.（2023·全国·高一专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数，利用其单调性即可比较得出结果.
【详解】由题意可知，，
，
因为在上是增函数，，所以.
故选：D.
12.（2020·高一课时练习）满足不等式的实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】在同一坐标系内画出幂函数和的图象，由图象观察可得．
【详解】在同一坐标系内画出幂函数和的图象，的图象位于的图象上方，对应自变量的取值范围既是实数的取值范围，由图象得，
故答案为：．
一、热考题型归纳
【题型一】 幂函数概念
【题型二】 幂函数解析式
【题型三】 幂函数图像
【题型四】 幂函数求值
【题型五】 幂函数定义域
【题型六】 复合型幂函数定义域
【题型七】 复合型幂函数单调性
【题型八】 幂函数值域
【题型九】 幂函数单调性解不等式
【题型十】 构造幂函数解不等式（求参）
【题型十一】幂函数性质比大小
二、培优练
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减
在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2.幂函数定义域，可以把幂函数转化为根式形式。
1. 当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
2．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
3.复合型函数，可以转化为内外函数，根据“同增异减”判定函数单调性
幂函数值域，可以借助幂函数的奇偶性，单调性，以及幂函数图像来求解
构造幂函数解不等式，构造完对应的函数后，确认对应的定义域，单调西，奇偶性，需要对函数“自变量”进行分类讨论。
此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
热点考题归纳
【题型一】幂函数概念
【典例分析】
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.
【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确；
对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误；
对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误；
对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误；故选：A.
2.（2022秋·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点 B．时，幂函数是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限 D．既是二次函数，又是幂函数
【答案】B
【分析】利用幂函数的简单性质判断即可．
【详解】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确；
当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确；
由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；
函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确.故选：B.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．函数表示幂函数
C．若表示递增的幂函数，则
D．幂函数的图像都过点，
【答案】AC
【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；
对于B，函数不是幂函数，B错误；
对于C，是幂函数，则，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意，
当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；
对于D，幂函数不过点，D错误.
故选：AC
2.（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中真命题为（ ）
A．
B．函数是幂函数
C．为28的约数
D．对实数m，命题．命题．则是的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】利用配方法以及逻辑语概念可知A正确；由幂函数定义可知B错误；28的约数有等，可知C正确；求出使得命题成立的的取值范围，即可得出D正确.
【详解】对于A，易知，即可知对于恒成立，所以A正确；
对于B，根据幂函数定义可知幂函数的系数必须为1，而的系数为2，所以函数不是幂函数，即B错误；
对于C，易知等都是28的约数，因此为28的约数，即C正确；
对于D，若命题成立可得，解得，显然，
即，所以是的必要不充分条件，即D正确.
故选：ACD
3.（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）下列结论中错误的命题是（ ）
A．函数是幂函数
B．函数是偶函数不是奇函数
C．函数的单调递减区间是
D．有的单调函数没有最值
【答案】BC
【分析】根据幂函数的定义，函数奇偶性的判断方法，单调区间的书写形式，以及函数最值的概念，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：是幂函数，故正确；
对B：的定义域为或，其关于原点对称.
又，满足且满足，
故该函数在定义域上既是奇函数，又是偶函数，故错误；
对C：函数有多个单调区间时，不能用“”，故错误；
对D：例如幂函数在上是单调函数，但是没有最值，故正确.
故选：BC.
【题型二】幂函数解析式
【典例分析】
1.（2023春·河南开封·高二校联考期末）若幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的取值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义，解出或，，分别验证和时图像是否经过原点，即可得到答案.
【详解】由题意有，解得或，
①当时，，函数图象过原点，不合题意；
②当时，，函数图象不过原点，合题意.故.故选：B
2.（2022秋·山西运城·高一校考阶段练习）幂函数在上为增函数，则的取值是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数是幂函数，由求得m，再根据函数在上为增函数，确定m的取值.
【详解】因为函数是幂函数，所以，即，
解得或，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；
所以的取值是2，故选：C
【变式演练】
1.（2020秋·江苏无锡·高一江苏省锡山高级中学校考期中）若函数是幂函数，且图像关于原点对称，则实数m为（ ）
A．2B．-1C．4D．2或-1
【答案】A
【解析】根据幂函数的定义，可得，求出的值，再判断是否满足幂函数的图像关于原点对称，即可求出结果．
【详解】∵幂函数， ∴， 解得，或；
又幂函数的图像关于原点对称，∴当时，，幂函数为，满足题意；
当时， ，幂函数为，不满足题意；
综上，.故选：A．
2.（2021秋·湖北荆州·高一统考期末）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则（ ）
A．0B．-1C．2D．2或-1
【答案】B
【解析】由函数是幂函数，结合函数在上单调递减，求出．
【详解】由函数是幂函数，则，解得或.
又函数在上单调递减，则，即.故选：B.
3.（2022秋·四川南充·高一校考阶段练习）幂函数在为增函数，则的值为（ ）
A．1或3B．3C．2D．1
【答案】D
【详解】函数为 幂函数，则：，解得：，
幂函数单调递增，则：，据此可得：.
本题选择D选项.
【题型三】幂函数图像
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．
【详解】由于在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，故幂函数在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为．故选：D．
2.（2023·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.
【详解】由，排除A，D，
当时，，所以，排除C．故选：B．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高一专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
2.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（ ）
A．p、q均为奇数且B．p为奇数，q为偶数且
C．p为奇数，q为偶数且D．p为偶数，q为奇数且
【答案】D
【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.
【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定，
又因为p与q互质，所以q为奇数，
故选：D.
3.（2023·全国·高一专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③B．①，②，③
C．①，②，③D．①，②，③
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
【题型四】幂函数求值
【典例分析】
1.（2022秋·安徽·高二淮南第二中学校联考开学考试）已知幂函数在上单调递增，则（ ）
A．B．2C．D．32
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义及单调性，求出函数的解析式，再求函数值即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，即，解得，或，
当时，在上单调递减，不满足题意；
当时，在上单调递增，满足题意，所以幂函数的解析式为.所以.故选：D.
2.（2023·全国·高一专题练习）函数是幂函数，且在上单调递增，则 （ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】由幂函数的性质得出解析式，再求函数值.
【详解】由题意可知，，解得，.故选：B
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由的值依次求出的值，然后根据函数的性质确定，得函数解析式，计算函数值．
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，．故选：B．
2.（2022·全国·高一专题练习）幂函数在区间上单调递增，则（ ）
A．27B．C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的概念及性质，求得实数的值，得到幂函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，令，即，解得或，
当时，可得函数，此时函数在上单调递增，符合题意；
当时，可得，此时函数在上单调递减，不符合题意，
即幂函数，则.故选：A.
3.（2022·高一课时练习）已知幂函数在上单调递减，则（ ）
A．2B．16C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出方程组，求得m的值，即得函数解析式，代入求值可得答案.
【详解】由题意得，解得，
所以，故,故选：D
4.（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】C
【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.
【详解】由函数为幂函数知，
，解得或.
∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴，，∴.故选：C.
【题型五】 幂函数定义域
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数，则此函数的定义域为 ．
【答案】.
【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.
【详解】由幂函数，可得，解得，即，
则满足，即幂函数的定义域为.
故答案为：.
2.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的定义域为，则实数 ．
【答案】1
【分析】由幂函数的定义列出方程，求出或，通过检验定义域可知满足要求.
【详解】由题意得到，解得：或，
当时，，定义域为，符合题意；
当时，，定义域为，不符合题意．
故．故答案为：1
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】结合指数幂的运算性质化简表达式，即可求解
【详解】由可知其定义域为.
故答案为：
2.（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数的定义域为，且单调递减，则 .
【答案】
【分析】根据幂函数的单调性，得到的范围，再由其定义域，根据，即可确定的值.
【详解】因为幂函数的定义域为，且单调递减，
所以，则，
又，所以的所有可能取值为，，，
当时，，其定义域为，不满足题意；
当时，，其定义域为，满足题意；
当时，，其定义域为，不满足题意；
所以.故答案为：
3.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】因为，则，可得，
故函数的定义域为.故选：D.
【题型六】 复合型幂函数定义域
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】因为，
则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.
2.（2023秋·湖南衡阳·高三校考阶段练习）函数的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用时排除选项D，利用时排除选项C，利用时排除选项B，所以选项A正确.
【详解】函数的定义域为
当时，，可知选项D错误；
当时，，可知选项C错误；
当时，，可知选项B错误，选项A正确.故选：A
【变式演练】
1.（2020·高一课时练习）若函数则函数y＝f(4 x－3)的定义域是( )
A．(－∞，＋∞)B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可.
【详解】幂函数，,
所以，所以，所以函数的定义域是，故选D.
2.（2023·上海·高一专题练习）若要使有意义，则取值范围是 .
【答案】
【分析】由题可得，由即得.
【详解】∵，要使有意义，则，即，
∴.故答案为：.
3.（2023·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则的定义域为 ．
【答案】
【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.
【详解】∵的图象过点，∴，，应该满足：，即，∴的定义域为．故答案为：
【题型七】复合型幂函数单调性
【典例分析】
1.（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.
【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；
对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；
对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；
对于D，的值域为，故D不正确.故选：B.
2.（2022秋·湖北省直辖县级单位·高三校考阶段练习）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间.
【详解】，解得即函数的定义域为，
因为函数在定义域内是单调递增函数，要求函数的单调递减区间，
即求函数在上的单调减区间
由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为故选：A.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：，则或，
所以函数的定义域为，
令，此函数在上递减，在上递增，
又函数为增函数，
所以函数的单调递增区间是故选：D.
2.（2023·全国·高一专题练习）若函数满足，则的单调递增区间为
A．(-∞，2]B．(-∞，1]C．[1，+∞)D．[2，+∞)
【答案】A
【分析】因为函数满足，则函数关于对称，进而求出参数的值，进而求出函数的递增区间.
【详解】解法1:由知，函数图象关于对称，所以，=2.函数在(-∞，2]单调递减，在[2，+∞)单调递增；而在(-∞，+∞)上递减，由复合函数的单调性知，函数的单调递增区间为(一∞，2]，故选A.
解法2:由函数图象变换可知，=2且函数的单调递增区间为(一∞，2].故选A.
3.（2023·江苏·高一专题练习）函数的单调增区间是 .
【答案】
【分析】求出函数的定义域，结合复合函数的单调性即可求出结果.
【详解】函数的定义域满足，解得，
故函数的定义域为
令，则，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
且函数在上单调递增，
结合复合函数的单调性可知函数在上单调递增，在上单调递减，
故答案为：.
【题型八】幂函数值域
【典例分析】
1.（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，定义域和值域不相同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；
对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；
对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；
对于D：的定义域为；
当时，；当时，；
所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；
故选：D．
2.（2022秋·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中）幂函数与幂函数（ ）
A．定义域相同B．值域相同C．单调性相同D．是同一函数
【答案】B
【分析】求出函数定义域，根据幂函数性质性即可解决.
【详解】由题知
，定义域为，单调性递增，值域为，
，定义域为,为偶函数，单调性先减后增，值域为，
所以与值域相同，故选：B
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出各幂函数的定义域和值域，得到答案.
【详解】当时，定义域和值域均为，符合题意；
时，定义域为，值域为，故不合题意；
时，定义域为，值域为，符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意；
时，定义域为R，值域为，不符合题意；
时，定义域与值域均为R，符合题意.故选：C
2.（2023秋·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解.
【详解】由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，定义域、值域相同；
由可知，,，定义域、值域相同；
由可知，，，定义域、值域不相同.故选：D
3.（2023·全国·高一专题练习）幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.
【详解】设，代入点得，则，令，
函数的值域是.故选：C.
【题型九】幂函数单调性解不等式
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.
【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
又幂函数在上单调递增，
所以，此时在R上单调递增，
因为，所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：B.
2.（2021·高一课时练习）已知幂函数，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性与定义域可解不等式.
【详解】因为幂函数的定义域为，且是定义域上的减函数，
所以若，则解得.
故选：D.
【变式演练】
1.（2021·高一课时练习）若，则不等的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由幂函数的性质可知是定义在上的增函数，再根据函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域；
【详解】解：由，知是定义在上的增函数，则由不等式，得，解得，所以原不等式的解集为.
故选：D.
2.．（2022·全国·高一专题练习）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由幂函数的定义求得的可能取值，再由单调性确定的值，得函数解析式，结合奇偶性求解.
【详解】由题意，解得或，
又在上单调递增，所以，，
所以，，易知是偶函数，
所以由得，解得或.
故选：D.
3.（2022秋·北京·高一校考期中）已知是减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】由于函数是减函数，所以，解得.
故选：A.
【题型十】构造幂函数解不等式（或求参）
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，单调性，且当上，恒成立，当上，恒成立，从而分三种情况，列出不等式组，求出解集.
【详解】定义域为，且在与上均为减函数，
且当上，恒成立，当上，恒成立，
故①或②或③，
解①得：，解②得：，解③得：，
综上：不等式的解为.故选：D
2.（2023·全国·高一专题练习）若,则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造,通过函数单调性及定义域,列出不等式,求出取值范围.
【详解】解:由题知构造,由幂函数性质可知单调递增,
,,,
综上:.故选:D
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021秋·福建三明·高一校联考期中）若，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，＋∞）B．（－∞，]C．（，]D．[，]
【答案】D
【分析】利用幂函数的单调性解不等式即可.
【详解】不等式可化为：
，解得：.故选：D
2.（2020秋·江苏苏州·高一统考期中）若实数m满足，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令函数，根据幂函数的图象与性质，求得函数定义域、单调性和奇偶性，结合，列出不等式组，即可求解.
【详解】令定义域为，且为偶函数，
根据幂函数的图象与性质，可得在区间上单调递增，在单调递增，
因为，则满足，解得，
所以实数m的取值范围是.故选：D.
3.（2020·高一单元测试）设；，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由题意结合幂函数的性质可转化条件得，由充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】由得解得，
因为不能推出，可推出，
所以p是q成立的必要不充分条件.故选：B．
【题型十一】幂函数性质比大小
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性判断.
【详解】因为，，，
又，在上单调递增，
所以．综上，．故选：A．
2.（2023秋·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考阶段练习）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据构造函数，结合函数的单调性以及和“1”比较大小得出结果.
【详解】设函数，则在上单调递增，
故，即，又，即.
故选：B．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高一专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性比较大小．
【详解】构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故
故选：B
2.（2023·全国·高一专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性确定函数值大小，即可得a，b，c的大小关系.
【详解】由于幂函数在上单调递增，又，，，
，所以，则.故选：D.
3.（2023·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知，根据题意给出的式子，先进行化简，得到，然后根据幂函数的单调性，即可做出判断.
【详解】由已知，，化简，
因为幂函数在上单调递增，而，
所以.故选：B.
1.（2023·全国·高一专题练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数概念即可得解.
【详解】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数，
对于A，是二次函数；
对于B，是一次函数；
对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数；
对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.
故选D.
2.（2021秋·高一课时练习）已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设幂函数，代入点即可求解.
【详解】设幂函数，代入点，则，解得，
.故选：C.
3.（2020秋·安徽六安·高一六安一中校考阶段练习）若幂函数在单调递减，则（ ）
A．8B．3C．1D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义和性质进行求解即可.
【详解】因为是幂函数，所以或，
当时，函数是实数集上的增函数，不符合题意；
当时，函数在单调递减，符合题意，，
故选：D
4.（2022秋·山东滨州·高一校考期中）若函数为幂函数，则（ ）
A．B．函数的定义域为R
C．函数是奇函数D．函数在区间上单调递减
【答案】D
【分析】根据函数为幂函数求出，然后利用幂函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为函数为幂函数，
，解得，A错误；
，其定义域为，B错误；
，函数是偶函数，C错误
函数在区间上单调递减，D正确.
故选: D.
5.（2023·高一课时练习）若有意义，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】直接根据负数不能开偶次方根求解.【详解】若有意义，则，
解得所以实数的取值范围是，故答案为：
6.（2023·全国·高一专题练习）幂函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．函数是偶函数
C．D．函数的值域为
【答案】ABD
【分析】根据函数为幂函数，求得m的值，判断A；根据函数奇偶性定义可判断B；根据幂函数的单调性可判断C；根据函数解析式可求函数值域，判断D.
【详解】因为是幂函数，所以，
解得或，又因为，故，A正确；
则，定义域为，满足，故是偶函数，B正确；
为偶函数，在上单调递减，故，C错误；
函数的值域为，D正确，
故选：ABD
7.．（2023·高一课时练习）用函数表示函数和中的较大者，记为：，若，，则的大致图像为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用特殊值确定正确选项.
【详解】依题意，
，排除CD选项.
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
8.．（2020秋·福建·高一厦门一中校考期中）已知函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求得函数的定义域，再令，结合的单调性，利用复合函数的单调性求解.
【详解】由，
解得或，
因为在递减，在递增，
又因为在递增，
所以增区间为
故选：A
9.（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案.
【详解】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故选：C.
10.（2018秋·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的单调性及定义域得到不等式，再解一元二次不等式组即可得解.
【详解】在上为增函数，
，
即故选：.
11.（2023·全国·高一专题练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通过观察三个数的特征可知，很难化成同底形式，所以可通过构造幂函数，利用其单调性即可比较得出结果.
【详解】由题意可知，，
，
因为在上是增函数，，所以.
故选：D.
12.（2020·高一课时练习）满足不等式的实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】在同一坐标系内画出幂函数和的图象，由图象观察可得．
【详解】在同一坐标系内画出幂函数和的图象，的图象位于的图象上方，对应自变量的取值范围既是实数的取值范围，由图象得，
故答案为：．
一、热考题型归纳
【题型一】 幂函数概念
【题型二】 幂函数解析式
【题型三】 幂函数图像
【题型四】 幂函数求值
【题型五】 幂函数定义域
【题型六】 复合型幂函数定义域
【题型七】 复合型幂函数单调性
【题型八】 幂函数值域
【题型九】 幂函数单调性解不等式
【题型十】 构造幂函数解不等式（求参）
【题型十一】幂函数性质比大小
二、培优练
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
五个幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上减，
在(－∞，0)上减
在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图．
1.所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．
2.幂函数定义域，可以把幂函数转化为根式形式。
1. 当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．
2．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
3.复合型函数，可以转化为内外函数，根据“同增异减”判定函数单调性
幂函数值域，可以借助幂函数的奇偶性，单调性，以及幂函数图像来求解
构造幂函数解不等式，构造完对应的函数后，确认对应的定义域，单调西，奇偶性，需要对函数“自变量”进行分类讨论。
此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．
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