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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品巩固练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式精品巩固练习，文件包含专题2-2基本不等式16种题型归类原卷版docx、专题2-2基本不等式16种题型归类解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
热点考题归纳
【题型一】 均值公式取等条件
【典例分析】
1.（2021秋·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（ ）
①已知，则成立；
②已知且，则成立；
③已知，则的最小值为2；
④已知，，则成立．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可.
【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错；
因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；
（当时，无解，等号不成立），故③错；
因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．
故选: B．
2.（2023·全国·高一专题练习）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为2B．当时，
C．当时，的最小值为2D．当时，
【答案】B
【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.
【详解】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；
选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；
选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误.
故选：B
2.（2023秋·全国·高一随堂练习）下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，的最小值是D．当时，的最小值为1
【答案】B
【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.
【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误．
故选：B.
3.（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最小值为2.
B．函数的最小值为2.
C．函数的最小值为
D．函数的最大值为
【答案】D
【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断
【详解】对于A，时为负值，故A错误
对于B，，而无解，无法取等，故B错误
对于
，当且仅当即时等号成立，
故，D正确，C错误
故选：D
【题型二】公式基础型：对勾型
【典例分析】
1.（2021·全国·高一专题练习）设a>0，则的最小值为（ ）
A．B．2
C．4D．5
【答案】D
【分析】根据基本不等式可求解.
【详解】，，当且仅当a=2时取等号，
所以的最小值为5.故选：D.
2.（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y
【答案】B
【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.
【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.
故选：B.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020·北京·临川学校高一阶段练习）已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是（ ）
A．a＋b≥2B．＋≥2
C．≥2D．≥
【答案】D
【解析】A. 根据基本不等式≥判断.B.利用基本不等式≥的正用判断.C. 利用重要不等式≥判断.D. 利用基本不等式≥的正用判断.
【详解】由≥得a＋b＝2，∴A成立；
∵＋≥2＝2，当且仅当时，等号成立，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立.
故选：D26.
2.（2022·广东深圳·高一期末）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【分析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.
【详解】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故选：C
3.（2021·辽宁朝阳·高一期中）若关于x的方程的两个根为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得一元二次方程的两个根，然后结合基本不等式求得正确答案.
【详解】因为的两根为，不妨设，
所以.
当且仅当时等号成立.故选：C.
【题型三】公式基础：有和求积型
【典例分析】
1.（2022·全国·高一单元测试）设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果
【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，
所以，则，所以，
所以故选：D.
2.（2020·吉林省实验中学高一阶段练习）正实数a，b满足，当（ ）时，取得最大值.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由a，b为正实数，所以，，当且仅当时取等，结合即可得解.
【详解】由a，b为正实数，所以，，
当且仅当时取等，又，此时.故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高一课时练习）若、，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式计算求解.
【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
2.（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】D
【分析】直接由基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.故选：D
3.（2021·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
则，即最小值为4.故选：A.
【题型四】公式基础：有积求和型
【典例分析】
1.（2023春·河南周口·高一统考期末）已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据=2，由求解.
【详解】解：∵，
∴，当且仅当，即，时取等号.
故选：C.
2.（2023·全国·高三专题练习）若实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的等式，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式判断作答.
【详解】，由，得，
于是，整理得，当且仅当时取等号，
解得，A错误，B正确；
又，即，当且仅当时取等号，CD错误.
故选：B
【变式演练】
1.（2021秋·北京丰台·高一统考期中）已知，，若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知，，且，由判断A选项是否一定成立；由判断B选项是否一定成立;由判断C选项是否一定成立;由结合基本不等式判断D选项是否一定成立;
【详解】，，且当且仅当时取等号，故A不一定成立；
，当且仅当时取等号，故B不一定成立；
，当且仅当时取等号，故C一定成立；
，且当且仅当时取等号，故D不一定成立；故选：C
2.（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】为正实数，满足，
，
，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
3.（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】由，，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
9．（2023春·重庆长寿·高二统考期末）已知正实数满足，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值等于.故答案为：
【题型五】分离常数型
【典例分析】
1.（2022·吉林松原·高一阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故，的最小值为6．
故选：C．
2.（2022·全国·高一课时练习）当时，函数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．故选：B．
【变式演练】
1.（2021秋·天津·高一校联考期末）若，且，则的最小值为（ ）
A．8B．3C．2D．
【答案】C
【分析】根据，得，将变形为，
再与相乘，利用基本不等式即可求解.
【详解】，又，，则
，
又，所以所以
，
当且仅当，且，即时不等式取最小值2.故选：C
2..（2022·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B
【题型六】“1”的代换：常数代换型
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）若，，且，的最小值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】D
【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案.
【详解】，，
于是，
当且仅当，即时取等号.故选：D
2.（2022·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求解.
【详解】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·江苏·高一单元测试）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由对任意的恒成立，得，再根据结合基本不等式求得即可得出答案.
【详解】解：由对任意的恒成立，得即，
，
当且仅当，即时，等号成立，即， ，解得：或.
故选：B.
2.（2022·江苏·高一专题练习）已知，，，则的最小值是（ ）
A．2B．8C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.
【详解】解析：由得，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是4．
故选：C．
3.（2021·全国·高一专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤－2或m≥2B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4D．－2＜m＜2
【答案】D
【分析】由基本不等式得出的最小值，进而得出实数m的取值范围.
【详解】∵x>0，y>0且，
当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得.
故选：D
【题型七】“1”的代换：分母为整体代换
【典例分析】
1.（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】解：由可知，
，
当，即时，“”成立，故选：A.
2.（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考期中）已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得，由此可得结果.
【详解】由得：，，，，
（当且仅当时取等号），当恒成立时，.故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知、均为正实数，且，则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化，结合均值不等式，即可得解.
【详解】均为正实数，且，则
当且仅当时取等号.的最小值为20.故选：C.
2.（2022·高一课时练习）已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.
3.（2022秋·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，等式恒成立，，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.故选：.
【题型八】“1”的代换：同除积型
【典例分析】
1.（2021·浙江·海亮高级中学高一期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】“1”的妙用，基本不等式求解的最小值.
【详解】由，得：，且，当且仅当，即时等号成立.
故选：C
2.（2021·河北·石家庄二中高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．10B．15C．18D．23
【答案】C
【分析】把已知式变形为，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由x>0，y>0，且，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是18．故选：C．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·安徽宣城·高一期中）已知，，且，求的最小值为（ ）
A．25B．18C．13D．12
【答案】A
【分析】等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．
【详解】解：已知，，且．，即．
则，
当且仅当，即时取等号.所以的最小值为25．故选：A．
2.（2022·辽宁·高一期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．64B．81C．100D．121
【答案】B
【分析】由已知得，，展开后再利用基本不等式可得答案.
【详解】由题意得，所以，
当且仅当，即时，等号成立.故选：B.
3.（2022·全国·高一专题练习）已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
【答案】C
【分析】根据基本不等式中“”的代换求出的最小值，即可得到的最大值．
【详解】因为，
所以，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，即，的最大值为3．
故选：C．
【题型九】构造“积”的一元二次不等式型
【典例分析】
1.（2022·高一单元测试）若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，所以，
由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即
当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.
2.（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考阶段练习）若， 且， 则的最小值为（ ）
A．100B．81C．64D．49
【答案】A
【分析】根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，即，所以，即，当且仅当时，等号成立.
故选：A
【变式演练】
1.（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，，，则ab的最小值是（ ）
A．4B．9C．16D．25
【答案】D
【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可.
【详解】∵，，
∴，
令，
则，即，
解得，
∴，当且仅当时，等号成立.
故选：D
2.（2021·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据题意可得，从而可求得答案.
【详解】解：因为，所以，
即，则，
所以，又，所以，所以最大为3.
故选：C.
【题型十】构造“和”的一元二次不等式型
【典例分析】
1.（2020·江苏省震泽中学高一阶段练习）若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．
【详解】解：，又，，令，
则，，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．故选：A．
2.（2021·河南·高一阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得，再利用基本不等式即得.
【详解】∵，，，
∴，
∴，当且仅当，即，时“”成立．
故选：A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1..（2022·河南三门峡·高一期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由基本不等式有， 令，将已知等式转化为关于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题意，正实数满足，则，
令，可得，即，解得，或(舍去)，
所以当且仅当时，取得最小值2，
故选：B.
2.（2021·安徽·合肥一中高一期中）若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由结合基本不等式得到，解不等式即得解.
【详解】由得，
因为，
所以，所以，
所以或（舍），
所以.因为存在实数，使不等式成立，所以，
所以，所以或.
【题型十一】反解代入消元型
【典例分析】
1.2022·全国·高一专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为正实数、满足，则，由可得，
所以，
.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值是.
故答案为：.
2.（2023春·天津和平·高二统考期末）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得.
【详解】∵，∴且，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴的最小值为.故答案为：.
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
江西省上饶市2018-2019学年高二上学期期末统考数学（理)试题
【答案】A【详解】由题意，可知，且，则，
则，
当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.
2.2021·全国·高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .故选：A.
3.（2021·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.
【详解】因为ab+a+2b=7，所以，，
所以，当且仅当时等号成立，故选：A
【题型十二】整体换元化简型
【典例分析】
1.（2023秋·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则的最小值是 ．
【答案】2
【分析】设，，解出，，代入化简得
，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】因为均为正实数，故设，，则
联立解得，，
，
当且仅当，即，即，即时取等号，
故答案为：2.
2.（2023·全国·高一专题练习）已知，，则最小值为 ．
【答案】16
【分析】令，，则可化为，从而用两次基本不等式即可.
【详解】由，可知，，
令，，
所以，
，
当且仅当“”时，两个等号同时成立．
则x=y=3时最小值为16.故答案为：16．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知实数、、满足，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设，由已知推出，将多变量问题转化为单变量问题，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】设，则，
，
则，则，
即有，
故
，
当且仅当，即或时取等号，
验证，时，，则，符合题意，；
时，，则，，符合题意，
故选：C
2.（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.故选：D.
【题型十三】二次型因式分解
【典例分析】
1.（2022·江苏·高一专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.
2.（2022秋·江苏常州·高一江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】，，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为1，故选：B
【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到是解题的关键.
【提分秘籍】
【变式演练】
1..．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）
A．10B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解.
【详解】解：由，变形为，设，
∵，当且仅当时，取等号，即，
∴，∴，即，，
∴，∴，此时，，即，时，的最大值为8.故选：B.
2.（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期21.中）若且，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】根据题意，化简，利用基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，
所以的最小值为，故选：C.
【题型十四】三元均值型
【典例分析】
1.（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知都是正实数，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据解：都是正实数，且，利用基本不等式，由求解.
【详解】解：因为都是正实数，且，
所以，则，即，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是，故选：A
2．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）若且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将原式变形，然后结合不等式的性质即可得到结果.
【详解】因为且，
所以，即
当且仅当时，等号成立，所以，
则故选:D
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020秋·北京·高三强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求最大值.
【详解】，，，
所以，
，
因此所求代数式的最大值为1．故选：A.
2.（2021秋·江苏·高一专题练习）已知实数，，满足，则的最小值是
A．B．C．-1D．
【答案】B
【解析】根据题意利用与的基本不等式,再转换为含的二次不等式求解即可.
【详解】若取最小值,显然异号且.故,
即,故,
当且仅当分别取时等号成立.
故选：B
【题型十五】均值用两次型
【典例分析】
1.（2022秋·江苏常州·高一校考期中）已知，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得，所求式子，再次利用基本不等式可求得结果.
【详解】，，，
（当且仅当且，即，时取等号），
的最小值为.
2.（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合基本不等式得到，再结合，即可求解.
【详解】由，可得，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
又由，当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，当时，取得最小值.
故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因，则，
当且仅当且，即时取“=”，
所以当时，取最小值.
故选：B
2.（2023春·河北保定·高三定州一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．24D．32
【答案】D
【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案.
【详解】由（当且仅当时取等号），
又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有，
可得的最小值为32．故选：D．
【题型十六】万能“k”法
【典例分析】
1.（2021·湖南·邵阳市第二中学高一阶段练习）已知，若，则的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】设，将变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解.
【详解】解：设，则，
∴
∴整理得：，
由得
，当且仅当时取“=”.
∴，
解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A.
2.（2020秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】由，利用基本不等式求出的取值范围， 即可求解.
【详解】，，令，
，，当且仅当时取等号，可得，
，，，，的最小值为.故选：A
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先对题中所给的式子进行变形，之后利用基本不等式求得最小值，将问题转化为关于待求式子的一个一元二次不等式，解不等式求得结果.
【详解】，
两边同时乘以“”得：，
所以，
当且仅当时等号成立，令，
所以，解得或，
因为，所以，即，
故选：B.
2.（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：通过变形，利用基本不等式的性质，即可得出答案.
详解：设，则，
，即
整理得：当且仅当
当且仅当时取.
解得或（舍去）
即当时，取得最小值8.故选C.
一、单选题
1．（2023秋·广西钦州·高一校考开学考试）有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为，，1的长方体.现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由体积公式得，长宽高变化后，根据条件得到，得到，再利用基本不等式求得最值．
【详解】依题意，设新长方体高为，则，
得到，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故选：C.
2．（2023秋·河北保定·高二校联考开学考试）若，且，则的最小值为（ ）
A．1B．5C．25D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.
故选：C
3．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）设实数、满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.
4．（2023秋·河北保定·高一校联考阶段练习）已知，，则ab的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得，再利用求得，得解.
【详解】因为，，所以，
所以，当且仅当时取等号；
又，
所以，仅当或时等号成立，所以，
故，所以ab的取值范围是.
故选：D
5．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】，，
，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，故选：A
6．（2023秋·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
7．（2023·全国·高一专题练习）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，，令，则
易知与均不为且符号相同，∴，解得或.
（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）
又∵，，，，
∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
∴，
又∵，
∴，（当时，），
∴解得，即，当且仅当时，等号成立.
∴综上所述，的取值范围是.故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
8．（2020秋·北京·高三强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求最大值.
【详解】，，，
所以，
，
因此所求代数式的最大值为1．
故选：A.
二、多选题
9．（2023·江苏·高一专题练习）若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（ ）
A．有最小值2B．有最小值4
C．有最小值2D． 有最大值
【答案】ACD
【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值.
【详解】依题意，，
由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，有最小值2，选项A正确；
，当且仅当时，等号成立，有最小值2，选项B错误；
,当且仅当时，等号成立，
所以有最小值为2，选项C正确；
，
如上式取最大值，须，且取最小值，，
当且仅当时，等号成立，所以有最大值，选项D正确.
故选：ACD
10．（2023春·河北邢台·高二统考期末）已知均为正数，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由，结合基本不等式可知A正确；通过反例可说明B错误；将已知不等式变形后可得，利用基本不等式可求得C正确；利用已知不等式进行放缩可求得的范围，由此可得D正确.
【详解】对于A，，
（当且仅当时取等号），
，A正确；
对于B，当时，满足，，此时，B错误；
对于C，由得：；由得：；
，又（当且仅当时取等号），
，C正确；
对于D，，，；，，；
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据已知不等关系判断所给不等式的正误，解题关键是能够将已知不等式进行合适的等价变形，结合放缩法和基本不等式来进行判断.
11．（2023·全国·高一专题练习）已知，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】对于A，由已知得，利用基本不等式可求得结果，对于B，由已知可得，化简后利用基本不等式即可，对于C，变形后利用柯西不等式判断，对于D，先对已知化简可得，然后代入中化简变形后利用基本不等式即可.
【详解】对于A，因为，所以，
因为，，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
当且仅当，即取等号，所以B错误，
对于C，由，，，由柯西不等式得
，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以C正确，
对于D，由，得，
化简得，所以，
因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式的应用和柯西不等式的应用，解题的关键是要注意基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”，考查数学转化能力，属于较难题.
12．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】ABD
【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.
【详解】对于A，因为，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以xy的最大值为1，故A正确；
对于B，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为2，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】将看成一个整体，将所求式转化为常见二元最值问题，借助“1”的代换，适当变形后利用基本不等式求解即可.
【详解】设，，
原题转化为：已知，，且，求的最小值.
由.
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为4.
故答案为：4.
14．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解．
【详解】设，
则由题意可得，
因为，所以
①当时，，
只需考虑，
所以，，
所以，可得，当且仅当时取等号；
②当时，，只需考虑，
所以，
可得，当且仅当时取等号.
综上所述，的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件.
15．（2023·全国·高一专题练习）对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为
，当且仅当时取等号.
故答案为：.
【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果.
16．（2023·全国·高一专题练习）实数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先展开乘积，利用基本不等式有，进而求最值，注意取值条件.
【详解】由
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
一、热考题型归纳
【题型一】均值公式取等条件
【题型二】公式基础：对构型
【题型三】公式基础：有和求积型
【题型四】公式基础：有积求和型
【题型五】分离常数型
【题型六】“1”的代换：常数代换型
【题型七】“1”的代换：分母为整体代换
【题型八】“1”的代换：同除积型
【题型九】 造积的一元二次型
【题型十】 构造和的一元二次型
【题型十一】 反解代入消元型
【题型十二】 整体换元化简型
【题型十三】 二次型因式分解型
【题型十四】 三元均值型
【题型十五】 均值用两次型
【题型十六】 万能“K”法
二、培优练
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
(3)基本不等式的变形：
①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
1.对勾型
，
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如
2.对勾添加常数型
对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)．
注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
.利用常数代换法。多称之为“1”的代换
形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
形如（a，b）==t，求型，则可以换元反解代换。令x=a+m。Y=b+n反解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可。如果连续使用两次均值，就要保证两次均值的取等条件一致。
一般情况下的“万能K法”
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。
求谁设谁，构造方程用均值
热点考题归纳
【题型一】 均值公式取等条件
【典例分析】
1.（2021秋·上海静安·高一校考期中）给出下列命题中，真命题的个数为（ ）
①已知，则成立；
②已知且，则成立；
③已知，则的最小值为2；
④已知，，则成立．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可.
【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错；
因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对；
（当时，无解，等号不成立），故③错；
因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对．
故选: B．
2.（2023·全国·高一专题练习）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式使用条件逐一检验取等条件即可得答案.
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，的最小值为2B．当时，
C．当时，的最小值为2D．当时，
【答案】B
【分析】结合基本不等式“一正，二定，三相等”求解即可.
【详解】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误；
选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误；
选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误.
故选：B
2.（2023秋·全国·高一随堂练习）下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，的最小值是D．当时，的最小值为1
【答案】B
【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得.
【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误；
当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误．
故选：B.
3.（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最小值为2.
B．函数的最小值为2.
C．函数的最小值为
D．函数的最大值为
【答案】D
【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断
【详解】对于A，时为负值，故A错误
对于B，，而无解，无法取等，故B错误
对于
，当且仅当即时等号成立，
故，D正确，C错误
故选：D
【题型二】公式基础型：对勾型
【典例分析】
1.（2021·全国·高一专题练习）设a>0，则的最小值为（ ）
A．B．2
C．4D．5
【答案】D
【分析】根据基本不等式可求解.
【详解】，，当且仅当a=2时取等号，
所以的最小值为5.故选：D.
2.（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x-2y）+≥2成立的前提条件为（ ）
A．x≥2yB．x>2yC．x≤2yD．x<2y
【答案】B
【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解.
【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式成立的前提条件为，即.
故选：B.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020·北京·临川学校高一阶段练习）已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是（ ）
A．a＋b≥2B．＋≥2
C．≥2D．≥
【答案】D
【解析】A. 根据基本不等式≥判断.B.利用基本不等式≥的正用判断.C. 利用重要不等式≥判断.D. 利用基本不等式≥的正用判断.
【详解】由≥得a＋b＝2，∴A成立；
∵＋≥2＝2，当且仅当时，等号成立，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立.
故选：D26.
2.（2022·广东深圳·高一期末）已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】C
【分析】把所求代数式变形，转化成，再对其中部分以基本不等式求最值即可解决.
【详解】时，（当且仅当时等号成立）
则，即的最大值为0.
故选：C
3.（2021·辽宁朝阳·高一期中）若关于x的方程的两个根为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求得一元二次方程的两个根，然后结合基本不等式求得正确答案.
【详解】因为的两根为，不妨设，
所以.
当且仅当时等号成立.故选：C.
【题型三】公式基础：有和求积型
【典例分析】
1.（2022·全国·高一单元测试）设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果
【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，
所以，则，所以，
所以故选：D.
2.（2020·吉林省实验中学高一阶段练习）正实数a，b满足，当（ ）时，取得最大值.
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由a，b为正实数，所以，，当且仅当时取等，结合即可得解.
【详解】由a，b为正实数，所以，，
当且仅当时取等，又，此时.故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高一课时练习）若、，且，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据基本不等式计算求解.
【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
2.（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】D
【分析】直接由基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.故选：D
3.（2021·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
则，即最小值为4.故选：A.
【题型四】公式基础：有积求和型
【典例分析】
1.（2023春·河南周口·高一统考期末）已知a>1，b>2，=2，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据=2，由求解.
【详解】解：∵，
∴，当且仅当，即，时取等号.
故选：C.
2.（2023·全国·高三专题练习）若实数a，b满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定的等式，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式判断作答.
【详解】，由，得，
于是，整理得，当且仅当时取等号，
解得，A错误，B正确；
又，即，当且仅当时取等号，CD错误.
故选：B
【变式演练】
1.（2021秋·北京丰台·高一统考期中）已知，，若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】已知，，且，由判断A选项是否一定成立；由判断B选项是否一定成立;由判断C选项是否一定成立;由结合基本不等式判断D选项是否一定成立;
【详解】，，且当且仅当时取等号，故A不一定成立；
，当且仅当时取等号，故B不一定成立；
，当且仅当时取等号，故C一定成立；
，且当且仅当时取等号，故D不一定成立；故选：C
2.（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】为正实数，满足，
，
，则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
3.（2023·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值为 .
【答案】4
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】由，，可得，当且仅当，即时取等号.
故答案为：4
9．（2023春·重庆长寿·高二统考期末）已知正实数满足，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】根据题意，由基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值等于.故答案为：
【题型五】分离常数型
【典例分析】
1.（2022·吉林松原·高一阶段练习）若，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故，的最小值为6．
故选：C．
2.（2022·全国·高一课时练习）当时，函数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．故选：B．
【变式演练】
1.（2021秋·天津·高一校联考期末）若，且，则的最小值为（ ）
A．8B．3C．2D．
【答案】C
【分析】根据，得，将变形为，
再与相乘，利用基本不等式即可求解.
【详解】，又，，则
，
又，所以所以
，
当且仅当，且，即时不等式取最小值2.故选：C
2..（2022·江苏·高一专题练习）当时，函数的最小值为（ ）
A．B．
C．D．4
【答案】B
【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决.
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B
【题型六】“1”的代换：常数代换型
【典例分析】
1.（2023·全国·高一专题练习）若，，且，的最小值为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】D
【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案.
【详解】，，
于是，
当且仅当，即时取等号.故选：D
2.（2022·全国·高一专题练习）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．2C．9D．4
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求解.
【详解】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·江苏·高一单元测试）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值不可能为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由对任意的恒成立，得，再根据结合基本不等式求得即可得出答案.
【详解】解：由对任意的恒成立，得即，
，
当且仅当，即时，等号成立，即， ，解得：或.
故选：B.
2.（2022·江苏·高一专题练习）已知，，，则的最小值是（ ）
A．2B．8C．4D．6
【答案】C
【分析】根据题意，结合“1”的妙用，即可求解.
【详解】解析：由得，
当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值是4．
故选：C．
3.（2021·全国·高一专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤－2或m≥2B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4D．－2＜m＜2
【答案】D
【分析】由基本不等式得出的最小值，进而得出实数m的取值范围.
【详解】∵x>0，y>0且，
当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得.
故选：D
【题型七】“1”的代换：分母为整体代换
【典例分析】
1.（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】解：由可知，
，
当，即时，“”成立，故选：A.
2.（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考期中）已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用已知等式可得，根据，利用基本不等式可求得，由此可得结果.
【详解】由得：，，，，
（当且仅当时取等号），当恒成立时，.故选：D.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知、均为正实数，且，则的最小值为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】转化，结合均值不等式，即可得解.
【详解】均为正实数，且，则
当且仅当时取等号.的最小值为20.故选：C.
2.（2022·高一课时练习）已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，故选：A.
3.（2022秋·安徽芜湖·高二校考阶段练习）已知实数，且，则的最小值是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】B
【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，等式恒成立，，
由于，所以，，
，
当且仅当时，即时取等号.
，，故的最小值为1.故选：.
【题型八】“1”的代换：同除积型
【典例分析】
1.（2021·浙江·海亮高级中学高一期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】“1”的妙用，基本不等式求解的最小值.
【详解】由，得：，且，当且仅当，即时等号成立.
故选：C
2.（2021·河北·石家庄二中高一期中）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．10B．15C．18D．23
【答案】C
【分析】把已知式变形为，然后由基本不等式求得最小值．
【详解】由x>0，y>0，且，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是18．故选：C．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·安徽宣城·高一期中）已知，，且，求的最小值为（ ）
A．25B．18C．13D．12
【答案】A
【分析】等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．
【详解】解：已知，，且．，即．
则，
当且仅当，即时取等号.所以的最小值为25．故选：A．
2.（2022·辽宁·高一期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．64B．81C．100D．121
【答案】B
【分析】由已知得，，展开后再利用基本不等式可得答案.
【详解】由题意得，所以，
当且仅当，即时，等号成立.故选：B.
3.（2022·全国·高一专题练习）已知，，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．7
【答案】C
【分析】根据基本不等式中“”的代换求出的最小值，即可得到的最大值．
【详解】因为，
所以，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，
所以，即，的最大值为3．
故选：C．
【题型九】构造“积”的一元二次不等式型
【典例分析】
1.（2022·高一单元测试）若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，所以，
由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即
当且仅当时等号成立，故的最小值为1，故选：A.
2.（2022秋·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考阶段练习）若， 且， 则的最小值为（ ）
A．100B．81C．64D．49
【答案】A
【分析】根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为，即，所以，即，当且仅当时，等号成立.
故选：A
【变式演练】
1.（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设，，，则ab的最小值是（ ）
A．4B．9C．16D．25
【答案】D
【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可.
【详解】∵，，
∴，
令，
则，即，
解得，
∴，当且仅当时，等号成立.
故选：D
2.（2021·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据题意可得，从而可求得答案.
【详解】解：因为，所以，
即，则，
所以，又，所以，所以最大为3.
故选：C.
【题型十】构造“和”的一元二次不等式型
【典例分析】
1.（2020·江苏省震泽中学高一阶段练习）若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．
【详解】解：，又，，令，
则，，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．故选：A．
2.（2021·河南·高一阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题可得，再利用基本不等式即得.
【详解】∵，，，
∴，
∴，当且仅当，即，时“”成立．
故选：A．
【提分秘籍】
【变式演练】
1..（2022·河南三门峡·高一期末）若正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由基本不等式有， 令，将已知等式转化为关于的一元二次不等式，解不等式即可得答案.
【详解】解：由题意，正实数满足，则，
令，可得，即，解得，或(舍去)，
所以当且仅当时，取得最小值2，
故选：B.
2.（2021·安徽·合肥一中高一期中）若正实数，满足，且存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由结合基本不等式得到，解不等式即得解.
【详解】由得，
因为，
所以，所以，
所以或（舍），
所以.因为存在实数，使不等式成立，所以，
所以，所以或.
【题型十一】反解代入消元型
【典例分析】
1.2022·全国·高一专题练习）已知正实数、满足，则的最小值是 .
【答案】/
【分析】由已知可得出且，化简代数式，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为正实数、满足，则，由可得，
所以，
.
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值是.
故答案为：.
2.（2023春·天津和平·高二统考期末）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】依题意可得，代入利用基本不等式计算可得.
【详解】∵，∴且，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴的最小值为.故答案为：.
【变式演练】
1.已知，且，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
江西省上饶市2018-2019学年高二上学期期末统考数学（理)试题
【答案】A【详解】由题意，可知，且，则，
则，
当且仅当，即等号成立，即最小值是，故选A.
2.2021·全国·高一单元测试）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .故选：A.
3.（2021·浙江省杭州第二中学高一期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.
【详解】因为ab+a+2b=7，所以，，
所以，当且仅当时等号成立，故选：A
【题型十二】整体换元化简型
【典例分析】
1.（2023秋·广东·高三校联考期末）已知a，b都是正数，则的最小值是 ．
【答案】2
【分析】设，，解出，，代入化简得
，利用基本不等式即可求出最值.
【详解】因为均为正实数，故设，，则
联立解得，，
，
当且仅当，即，即，即时取等号，
故答案为：2.
2.（2023·全国·高一专题练习）已知，，则最小值为 ．
【答案】16
【分析】令，，则可化为，从而用两次基本不等式即可.
【详解】由，可知，，
令，，
所以，
，
当且仅当“”时，两个等号同时成立．
则x=y=3时最小值为16.故答案为：16．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知实数、、满足，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设，由已知推出，将多变量问题转化为单变量问题，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】设，则，
，
则，则，
即有，
故
，
当且仅当，即或时取等号，
验证，时，，则，符合题意，；
时，，则，，符合题意，
故选：C
2.（2023秋·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期末）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.故选：D.
【题型十三】二次型因式分解
【典例分析】
1.（2022·江苏·高一专题练习）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.
2.（2022秋·江苏常州·高一江苏省奔牛高级中学校考阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】，，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为1，故选：B
【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到是解题的关键.
【提分秘籍】
【变式演练】
1..．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）
A．10B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解.
【详解】解：由，变形为，设，
∵，当且仅当时，取等号，即，
∴，∴，即，，
∴，∴，此时，，即，时，的最大值为8.故选：B.
2.（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期21.中）若且，则的最小值是（ ）
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】根据题意，化简，利用基本不等式可求的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
所以，
所以的最小值为，故选：C.
【题型十四】三元均值型
【典例分析】
1.（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知都是正实数，且，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据解：都是正实数，且，利用基本不等式，由求解.
【详解】解：因为都是正实数，且，
所以，则，即，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值是，故选：A
2．（2022秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期末）若且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，将原式变形，然后结合不等式的性质即可得到结果.
【详解】因为且，
所以，即
当且仅当时，等号成立，所以，
则故选:D
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2020秋·北京·高三强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求最大值.
【详解】，，，
所以，
，
因此所求代数式的最大值为1．故选：A.
2.（2021秋·江苏·高一专题练习）已知实数，，满足，则的最小值是
A．B．C．-1D．
【答案】B
【解析】根据题意利用与的基本不等式,再转换为含的二次不等式求解即可.
【详解】若取最小值,显然异号且.故,
即,故,
当且仅当分别取时等号成立.
故选：B
【题型十五】均值用两次型
【典例分析】
1.（2022秋·江苏常州·高一校考期中）已知，那么的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得，所求式子，再次利用基本不等式可求得结果.
【详解】，，，
（当且仅当且，即，时取等号），
的最小值为.
2.（2023秋·辽宁朝阳·高三校联考阶段练习）已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合基本不等式得到，再结合，即可求解.
【详解】由，可得，可得，
当且仅当，即时，等号成立，
又由，当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，当时，取得最小值.
故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2022·全国·高一课时练习）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.
【详解】因，则，
当且仅当且，即时取“=”，
所以当时，取最小值.
故选：B
2.（2023春·河北保定·高三定州一中校考阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．24D．32
【答案】D
【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案.
【详解】由（当且仅当时取等号），
又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有，
可得的最小值为32．故选：D．
【题型十六】万能“k”法
【典例分析】
1.（2021·湖南·邵阳市第二中学高一阶段练习）已知，若，则的最小值是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】设，将变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解.
【详解】解：设，则，
∴
∴整理得：，
由得
，当且仅当时取“=”.
∴，
解得或（舍去）,即当时，取得最小值8，故选：A.
2.（2020秋·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）已知实数x，y满足，，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】由，利用基本不等式求出的取值范围， 即可求解.
【详解】，，令，
，，当且仅当时取等号，可得，
，，，，的最小值为.故选：A
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先对题中所给的式子进行变形，之后利用基本不等式求得最小值，将问题转化为关于待求式子的一个一元二次不等式，解不等式求得结果.
【详解】，
两边同时乘以“”得：，
所以，
当且仅当时等号成立，令，
所以，解得或，
因为，所以，即，
故选：B.
2.（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：通过变形，利用基本不等式的性质，即可得出答案.
详解：设，则，
，即
整理得：当且仅当
当且仅当时取.
解得或（舍去）
即当时，取得最小值8.故选C.
一、单选题
1．（2023秋·广西钦州·高一校考开学考试）有一块橡皮泥的体积为2，起初做成一个长，宽，高依次为，，1的长方体.现要将它的长增加1，宽增加2，做成一个新的长方体，体积保持不变，则新长方体高的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由体积公式得，长宽高变化后，根据条件得到，得到，再利用基本不等式求得最值．
【详解】依题意，设新长方体高为，则，
得到，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．
故选：C.
2．（2023秋·河北保定·高二校联考开学考试）若，且，则的最小值为（ ）
A．1B．5C．25D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以，
当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.
故选：C
3．（2023秋·山东菏泽·高三校考阶段练习）设实数、满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，，，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：B.
4．（2023秋·河北保定·高一校联考阶段练习）已知，，则ab的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得，再利用求得，得解.
【详解】因为，，所以，
所以，当且仅当时取等号；
又，
所以，仅当或时等号成立，所以，
故，所以ab的取值范围是.
故选：D
5．（2023秋·宁夏吴忠·高三盐池高级中学校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】A
【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解.
【详解】，，
，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，故选：A
6．（2023秋·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
7．（2023·全国·高一专题练习）实数，，满足：，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可.
【详解】∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，，令，则
易知与均不为且符号相同，∴，解得或.
（此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.）
又∵，，，，
∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，
∴，
又∵，
∴，（当时，），
∴解得，即，当且仅当时，等号成立.
∴综上所述，的取值范围是.故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
8．（2020秋·北京·高三强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】利用基本不等式可求最大值.
【详解】，，，
所以，
，
因此所求代数式的最大值为1．
故选：A.
二、多选题
9．（2023·江苏·高一专题练习）若正实数a，b满足，则下列选项正确的是（ ）
A．有最小值2B．有最小值4
C．有最小值2D． 有最大值
【答案】ACD
【分析】依题意，根据基本不等式可判断选项A、B；对于选项C，先平方，再由选项A可求出最小值；对于选项D，通分化简为可求最值.
【详解】依题意，，
由基本不等式，，当且仅当时，等号成立，有最小值2，选项A正确；
，当且仅当时，等号成立，有最小值2，选项B错误；
,当且仅当时，等号成立，
所以有最小值为2，选项C正确；
，
如上式取最大值，须，且取最小值，，
当且仅当时，等号成立，所以有最大值，选项D正确.
故选：ACD
10．（2023春·河北邢台·高二统考期末）已知均为正数，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由，结合基本不等式可知A正确；通过反例可说明B错误；将已知不等式变形后可得，利用基本不等式可求得C正确；利用已知不等式进行放缩可求得的范围，由此可得D正确.
【详解】对于A，，
（当且仅当时取等号），
，A正确；
对于B，当时，满足，，此时，B错误；
对于C，由得：；由得：；
，又（当且仅当时取等号），
，C正确；
对于D，，，；，，；
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查根据已知不等关系判断所给不等式的正误，解题关键是能够将已知不等式进行合适的等价变形，结合放缩法和基本不等式来进行判断.
11．（2023·全国·高一专题练习）已知，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】对于A，由已知得，利用基本不等式可求得结果，对于B，由已知可得，化简后利用基本不等式即可，对于C，变形后利用柯西不等式判断，对于D，先对已知化简可得，然后代入中化简变形后利用基本不等式即可.
【详解】对于A，因为，所以，
因为，，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，
当且仅当，即取等号，所以B错误，
对于C，由，，，由柯西不等式得
，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以C正确，
对于D，由，得，
化简得，所以，
因为，，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查基本不等式的应用和柯西不等式的应用，解题的关键是要注意基本不等式的应用条件“一正、二定、三相等”，考查数学转化能力，属于较难题.
12．（2023·全国·高一专题练习）已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为1B．的最大值为2
C．的最小值为D．的最小值为1
【答案】ABD
【分析】对于AB，利用基本不等式及其推论即可判断；对于CD，利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可判断.
【详解】对于A，因为，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以xy的最大值为1，故A正确；
对于B，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以的最大值为2，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为，故C错误；
对于D，令，，则，，，，
所以
，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知均为正实数，，则的最小值是 .
【答案】4
【分析】将看成一个整体，将所求式转化为常见二元最值问题，借助“1”的代换，适当变形后利用基本不等式求解即可.
【详解】设，，
原题转化为：已知，，且，求的最小值.
由.
当且仅当即时，等号成立.
所以的最小值为4.
故答案为：4.
14．（2022秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解．
【详解】设，
则由题意可得，
因为，所以
①当时，，
只需考虑，
所以，，
所以，可得，当且仅当时取等号；
②当时，，只需考虑，
所以，
可得，当且仅当时取等号.
综上所述，的最小值为2.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件.
15．（2023·全国·高一专题练习）对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为
，当且仅当时取等号.
故答案为：.
【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果.
16．（2023·全国·高一专题练习）实数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先展开乘积，利用基本不等式有，进而求最值，注意取值条件.
【详解】由
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：
一、热考题型归纳
【题型一】均值公式取等条件
【题型二】公式基础：对构型
【题型三】公式基础：有和求积型
【题型四】公式基础：有积求和型
【题型五】分离常数型
【题型六】“1”的代换：常数代换型
【题型七】“1”的代换：分母为整体代换
【题型八】“1”的代换：同除积型
【题型九】 造积的一元二次型
【题型十】 构造和的一元二次型
【题型十一】 反解代入消元型
【题型十二】 整体换元化简型
【题型十三】 二次型因式分解型
【题型十四】 三元均值型
【题型十五】 均值用两次型
【题型十六】 万能“K”法
二、培优练
1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
(3)基本不等式的变形：
①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
1.对勾型
，
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如
2.对勾添加常数型
对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化
已知x>0，y>0，则
(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)．
注意：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
.利用常数代换法。多称之为“1”的代换
形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+m，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
形如（a，b）==t，求型，则可以换元反解代换。令x=a+m。Y=b+n反解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可。如果连续使用两次均值，就要保证两次均值的取等条件一致。
一般情况下的“万能K法”
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。
求谁设谁，构造方程用均值
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