高中数学2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习

这是一份高中数学2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


专题强化训练三：直线与圆、圆与圆的位置关系综合考点必刷题
一、单选题
1．（2023·全国高二课时练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国高二课时练习）已知圆和圆，则两圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
3．（2023·全国高二课时练习）已知圆与圆外切，则直线被圆截得的线段的长度为（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2023·全国高二课时练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国高二专题练习）不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·安徽省岳西县店前中学高二期末（文））已知圆（）截直线所得线段的长度为，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．相离
7．（2023·浙江高二期末）已知直线被圆截得的弦长为，点是直线l上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2023·云南弥勒市一中高二月考（理））已知圆，过点的直线交于，两点，当圆上的点到直线的距离最大为6时，直线的方程为（ ）
A．B．或
C．D．或
9．（2023·南昌市豫章中学高二开学考试（文））若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023·山东聊城·）已知圆与圆没有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
11．（2023·全国高二单元测试）已知圆上存在点，使得直线与圆相交，则实数的值可以是（ ）
A．B．2C．4D．8
12．（2023·全国高二专题练习）已知圆，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于两点，则（ ）
A．圆的方程为
B．直线的方程为
C．均与圆相切
D．四边形的面积为
13．（2023·湖南长沙·高二期末）已知直线：与：相交于､两点，若为钝角三角形，则满足条件的实数的值可能是（ ）
A．B．1C．2D．3
14．（2023·全国高二单元测试）点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为0
B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆相交弦所在直线的方程为
15．（2023·全国高二专题练习）过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ）
A．点恒在以线段为直径的圆上B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为D．的最小值为4
16．（2023·全国高二专题练习）已知圆，圆，则（ ）
A．若圆与圆无公共点，则
B．当时，两圆公共弦长所在直线方程为
C．当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为
D．当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等
三、填空题
17．（2023·全国高二课时练习）在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的标准方程是___________.
18．（2023·全国高二专题练习）已知直线与圆：相交于，两点，则面积为___________.
19．（2023·全国高二课时练习）当直线：（）被圆：截得的弦最短时，实数的值为______．
20．（2023·安徽滁州·高二期中（文））已知圆的方程为，过点的直线与圆相交的所有弦中，弦长最短的弦为，弦长最长的弦为，则四边形的面积为______.
21．（2023·上海青浦·高二期末）已知点P （0，2），圆O∶x2 +y2=16上两点，满足 ，则的最小值为___________.
四、解答题
22．（2023·全国高二专题练习）已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.
23．（2023·全国高二课时练习）已知圆的方程为．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于，两点，若，求直线的方程．
24．（2023·全国高二课时练习）已知圆过点，，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程．
（2）设直线与圆交于不同的两点，，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
25．（2023·全国高二单元测试）已知圆.
（1）若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，若，求的最小值及使得取得最小值的点的坐标.
26．（2023·全国高二单元测试）已知点与两个定点，之间的距离的比为，记点的轨迹为曲线.
（1）求点的轨迹的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点的直线被轨迹所截得的线段的长为8，求直线的方程.
27．（2023·湖南岳阳·高二期末）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线.
（1）求的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点，
（ⅰ）证明：直线过定点，并求该定点坐标；
（ⅱ）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标：若不存在，请说明理由.
28．（2020·浙江高二期中）已知圆M过，，且圆心M在直线上.
（1）求圆M的标准方程；
（2）过点的直线m截圆M所得弦长为，求直线m的方程；
（3）过直线l: x+y+4=0上任意一点P向圆M作两条切线，切点分别为C，D.记线段CD的中点为Q，求点Q到直线l的距离的取值范围.
29．（2023·全国高二专题练习）已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线.
（1）求的轨迹方程，并说明其形状；
（2）过直线上的动点分别作的两条切线、（、为切点），为弦的中点，直线：分别与轴、轴交于点、，求的面积的取值范围.
参考答案
1．C
【详解】
的圆心坐标为，
所求直线的斜率，
直线方程为，即，
故选:C
2．C
【详解】
圆的标准方程为，则圆心为，半径；
圆的标准方程为，则圆心为，半径.
因为两圆的圆心距，
所以，即圆和圆外切，可知两圆有3条公切线.
故选：C.
3．D
【详解】
圆的圆心为，半径为2,，圆的圆心为，半径为1，
由题意，知，，解得，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的线段的长度为.
故选：D.
4．A
【详解】
直线恒过定点，曲线表示以点为圆心，半径为1，且位于直线右侧的半圆（包括点，．
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为．
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，
故选：A．
5．A
【详解】
曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆；
圆心到直线的距离，，
解得：或，又不经过坐标原点，，即，
与坐标轴的交点坐标为，，
直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径，
所求外接圆方程为，即.
故选：A.
6．A
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，
所以.
圆的圆心为，半径，
，
所以两个圆的位置关系是内切.
故选：A
7．A
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
所以的最小值为.
故选：A
8．C
【详解】
由点可得，所以点在圆的内部，
设圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线的距离的最大值为，
所以，可得．
当直线的斜率存在时，直线方程，即，
所以，解得，所以直线方程为；
当直线的斜率不存在时，直线为，不满足题意，
故选：C．
9．A
【详解】
解:将圆的方程化为标准形式得圆,
所以圆心坐标为,半径为
因为圆上存在到直线的距离等于1的点，
所以圆心到直线的距离满足,即,解得:
故选:A
10．C
【详解】
圆的圆心为，圆的圆心为，半径
圆心距
因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含
则或，即或
解得或
故选：C
11．BC
【详解】
方程可化为，
所以，，
因为直线与圆相交，
所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即，
所以，所以，解得.
综上，，
故选：BC
12．AC
【详解】
解：由圆，得，
则圆心，线段的中点坐标为，
则以为直径的圆的方程为，
整理得：，
即圆的方程为，故A正确；
联立，两式作差可得：，
即直线的方程为，故B错误；
∵在以为直径的圆上，∴，
由圆心与切点的连线与切线垂直，可得均与圆相切，故C正确；
∵，且，∴，
∴四边形的面积为，故D错误．
故选：AC．
13．ACD
【详解】
圆的圆心为，半径为，
由于为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则，
设圆心到直线的距离为，则，
则，
整理可得，
解得，且.
所以.
故选.
14．BC
【详解】
解：根据题意，圆，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，
圆心距，
则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
对于C，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，C正确，
对于D，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，D错误．
故选：BC．
15．BCD
【详解】
对于A，在四边形中，不一定是直角，故A错误；
对于B，连接，由题易知，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，B正确；
设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，即，令，则，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为，C正确；
在中，分别令，得到点，，所以，因为点在直线上，所以且，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，D正确．
故选：BCD.
16．BCD
【详解】
由题意，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；
则圆心距为；
A选项，若圆与圆无公共点，则只需或，解得或，故A错；
B选项，若，则圆，由与两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为，故B正确；
C选项，若，则，此时，所以圆与圆相离；又P、Q分别是圆与圆上的点，所以，
即，故C选项正确；
D选项，当时，由A选项可知，两圆外离；
记直线上任意一点为，则，
所以，
，
因此切线长分别为，，
即，故D正确；
故选：BCD.
17．
【详解】
设圆的方程为，
则圆与圆的公共弦方程为，
因为圆平分圆的圆周，所以直线经过圆的圆心，即①，
同理由圆平分圆的圆周，得②，
由①②得，，故圆的标准方程为.
故答案为：
18．
【详解】
圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以，
所以.
故答案为：
19．
【详解】
直线：，即，
圆：的圆心，半径为5．
由解得故直线经过定点．
要使直线被圆截得的弦长最短，需和直线垂直，
故，即，解得．
故答案为：．
20．40
【详解】
圆的标准方程为，
即圆是以为圆心，5为半径的圆，且由，
知点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，所以，
所以，过最长的弦为直径，所以，且，
故.
故答案为：40.
21．48
【详解】
由题意，三点共线，设为的中点，在直线的射影分别为，点O到直线的距离，
∴与圆相离 ，如图：
而
，
易得，即，∴在以为直径的圆上，其中.
∵，当共线，且在之间时取“=”.
∴的最小值为.
故答案为：48.
22．（1）x－y＋4＝0；（2）x2＋y2－x＋7y－32＝0.
【详解】
解：（1）设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点坐标是方程组的解，两式相减得x－y＋4＝0，
A，B两点坐标都满足此方程，
x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程；
(2)解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)，
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，所以b＝a－4，
则＝，解得a＝，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为＋＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
23．（1）或；（2）或．
【详解】
解：（1）根据题意，点在圆外，分两种情况讨论：
当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆：相切，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得．
此时，直线的方程为．
所以满足条件的直线的方程是或；
（2）根据题意，若，则圆心到直线的距离，
结合（1）知直线的斜率一定存在．
设直线的方程为，即，则，解得或．
所以满足条件的直线方程是或．
24．（1） ；（2） 不存在；理由见解析．
【详解】
（1）设圆的方程为，
则有，解得，
所以圆的方程为，
化为标准方程，．
（2）设存在符合条件的实数，
由于直线垂直平分弦，故圆心必在直线上，
所以直线的斜率，
又，所以．
把直线，代入圆的方程，消去，
整理得．
由于直线交圆于，两点，
故，
解得，与矛盾，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
25．（1）或或或；（2），点的坐标为.
【详解】
（1）将圆的方程化为标准方程，为，其圆心，半径.
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线的方程为，
则圆心到切线的距离为，
即，解得.
切线方程为或.
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，
设切线的方程为，
则圆心到切线的距离为，
即，解得或.
切线方程为或.
综上所述，所求切线方程为或或或.
（2）∵|PO|＝|PM|，
∴＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，即2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
解得方程组得，
∴P点坐标为．
26．（1）点的轨迹的方程是，轨迹是以为圆心，5为半径的圆；（2）或.
【详解】
（1）由题意，得，即，
化简得，即.
点的轨迹的方程是，
轨迹是以为圆心，5为半径的圆.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时所截得的线段的长为，符合题意.
当直线的斜率存在时，设的方程为，
即，
圆心到直线的距离，
由题意，得，解得，
直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
27．（1）以为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点；（ⅱ）存在，.
【详解】
（1）设，由，得.
化简得，即.
故曲线是以为圆心，半径为2的圆.
（2）（ⅰ）证明：
由题意知，、与圆相切，、为切点，
则，，
则、、、四点共圆，、在以为直径的圆上（如图）.
设，又，
则的中点为，.
以线段为直径的圆的方程为，
整理得，①
（也可用圆的直径式方程化简得.）
又、在上， ②
由两圆方程作差即②①得：.
所以，切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标原点.
（ⅱ），
因为，所以点在以为直径的圆周上，
故，即，此时，
又由点，，三点共线，所以，，
所以，即.
28．（1）；（2），或；（3）.
【详解】
（1） 圆心在直线上，设圆的标准方程为：，
圆过点，，
，解得
圆的标准方程为.
（2）①当斜率不存在时，直线m的方程为：，直线m截圆M所得弦长为，符合题意；
②当斜率存在时，设直线m：，
圆心M到直线m的距离为
根据垂径定理可得，，，解得．
直线m的方程为，或.
（3）设，则切点弦所在的直线方程为
，
直线的方程为，
联立可得，
根据点到直线距离公式可得，．
29．（1），曲线是以为圆心，半径为2的圆；（2）.
【详解】
解：（1）设，由，得.
化简得，即.
故曲线是以为圆心，半径为2的圆.
（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：
由题意知,、与圆相切，、为切点，则，，
则D、R、P、Q四点共圆，Q、R在以为直径的圆上(如图).
设，又，则的中点为，.
以线段为直径的圆的方程为，
整理得①
(也可用圆的直径式方程化简得. )
又、在：②上，
由两圆方程作差即②①得：.
所以，切点弦所在直线的方程为.
法二(求Q、R均满足的同一直线方程即切点弦方程)：
设，，.
由，可得处的切线上任一点满足(如图)，
即切线方程为.
整理得.
又，
整理得.
同理，可得处的切线方程为.
又既在切线上，又在切线上，
所以，整理得.
显然，，的坐标都满足直线的方程.
而两点确定一条直线，所以切点弦所在直线的方程为.
则恒过坐标原点.
由消去并整理得.
设，，则.
点纵坐标.
因为，显然，
所以点与点，均不重合.
(或者由对称性可知，的中点N点在x轴上当且仅当点P在x轴上，
因为，点P不在x轴上，则点N也不在x轴上，所以点与、均不重合.)
因为为弦的中点，且为圆心，
由圆的性质，可得，即(如图).
所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径.
因为直线分别与轴、轴交于点、，
所以，，.
又圆心到直线的距离.
设的边上的高为，则
点到直线的距离的最小值为；
点到直线的距离的最大值为(如图).
则的最小值，最大值.
因此，的面积的取值范围是.