
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数学必修 第二册6.2 平面向量的运算课后练习题
展开1.eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(MB,\s\up6(→))+eq \(BO,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(OM,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→)) C.eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \(AM,\s\up6(→))
2.如图,在正六边形ABCDEF中,eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A.0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
3.如图所示,在▱ABCD中,eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))+eq \(BA,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(BD,\s\up6(→)) B.eq \(DB,\s\up6(→))
C.eq \(BC,\s\up6(→)) D.eq \(CB,\s\up6(→))
4.若向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向北航行eq \r(3) km”,则向量a+b表示( )
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行(1+eq \r(3))km
5.若在△ABC中,eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(BC,\s\up6(→))=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=eq \r(2),则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
6.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则eq \(OP,\s\up6(→))+eq \(OQ,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(OH,\s\up6(→)) B.eq \(OG,\s\up6(→)) C.eq \(FO,\s\up6(→)) D.eq \(EO,\s\up6(→))
7.如图,在平行四边形ABCD中,O是AC和BD的交点.则
(1)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))=________;
(2)eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→))=________.
8.在边长为1的等边三角形ABC中,|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))|=________,|eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AC,\s\up6(→))|=________.
9.如图所示,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列各式:
(1)eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))+eq \(EA,\s\up6(→));
(2)eq \(OE,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(EA,\s\up6(→));
(3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(FE,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→)).
10.如图,小船要从A处沿垂直河岸AC的方向到达对岸B处,此时水流的速度为6 km/h,测得小船正以6 km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶,求小船在静水中速度的大小.
11.(多选)设a=(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)))+(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(DA,\s\up6(→))),b是一个非零向量,则下列结论正确的有( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
12.(多选)下列说法错误的有( )
A.如果非零向量a与b的方向相同或相反,那么a+b的方向必与a或b的方向相同
B.若向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同
C.若eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→))=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点
D.若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|-|b|
13.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))=eq \(PC,\s\up6(→)),则下列结论中正确的是( )
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的边AB上
C.P在AB边所在的直线上
D.P在△ABC的外部
14.已知点G是△ABC的重心,则eq \(GA,\s\up6(→))+eq \(GB,\s\up6(→))+eq \(GC,\s\up6(→))=______.
15.设|a|=2,e为单位向量,则|a+e|的最大值为______.
16.如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点,求证:eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(BE,\s\up6(→))+eq \(CF,\s\up6(→))=0.
6.2.1 向量的加法运算
1.C 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C
7.(1)eq \(AD,\s\up6(→)) (2)0 8.1 eq \r(3)
9.解 (1)eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))+eq \(EA,\s\up6(→))=eq \(BE,\s\up6(→))+eq \(EA,\s\up6(→))=eq \(BA,\s\up6(→)).
(2)eq \(OE,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(EA,\s\up6(→))=(eq \(OE,\s\up6(→))+eq \(EA,\s\up6(→)))+eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→)).
(3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(FE,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))=eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(DC,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→)).
10.解 设eq \(AB,\s\up6(→))表示小船垂直于河岸行驶的速度,eq \(AC,\s\up6(→))表示水流的速度,如图,
连接BC,过点B作AC的平行线,过点A作BC的平行线,两条直线交于点D,
则四边形ACBD为平行四边形,
∴eq \(AD,\s\up6(→))就是小船在静水中的速度.
在Rt△BAC中,|eq \(AB,\s\up6(→))|=6 km/h,
|eq \(AC,\s\up6(→))|=6 km/h,
∴|eq \(AD,\s\up6(→))|=|eq \(BC,\s\up6(→))|=eq \r(|\(AB,\s\up6(→))|2+|\(AC,\s\up6(→))|2)=6eq \r(2)(km/h).
∴小船在静水中速度的大小为6eq \r(2) km/h.
11.AC
12.ACD [A错,若a+b=0,则a+b的方向是任意的;B正确,若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a和b的方向相同,若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同;C错,当A,B,C三点共线时,也满足eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CA,\s\up6(→))=0;D错,||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.]
13.D [
eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→))=eq \(PC,\s\up6(→)),根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC外.]
14.0
解析 如图所示,延长AG交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,
则eq \(GB,\s\up6(→))+eq \(GC,\s\up6(→))=eq \(GD,\s\up6(→)),
eq \(GD,\s\up6(→))+eq \(GA,\s\up6(→))=0,
∴eq \(GA,\s\up6(→))+eq \(GB,\s\up6(→))+eq \(GC,\s\up6(→))=0.
15.3
解析 在平面内任取一点O,作eq \(OA,\s\up6(→))=a,eq \(AB,\s\up6(→))=e,
则a+e=eq \(OA,\s\up6(→))+eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→)),
因为e为单位向量,
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示),
由图可知当点B在点B1处时,O,A,B1三点共线,
|eq \(OB,\s\up6(→))|即|a+e|最大,最大值是3.
16.证明 由题意知,eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)),
eq \(BE,\s\up6(→))=eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→)),eq \(CF,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)).
由平面几何知识可知,
eq \(EF,\s\up6(→))=eq \(CD,\s\up6(→)),eq \(BF,\s\up6(→))=eq \(FA,\s\up6(→)),
所以eq \(AD,\s\up6(→))+eq \(BE,\s\up6(→))+eq \(CF,\s\up6(→))
=(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→)))+(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→)))+(eq \(CB,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)))
=(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)))+(eq \(BC,\s\up6(→))+eq \(CB,\s\up6(→)))
=(eq \(AC,\s\up6(→))+eq \(CE,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→)))+0
=eq \(AE,\s\up6(→))+eq \(CD,\s\up6(→))+eq \(BF,\s\up6(→))
=eq \(AE,\s\up6(→))+eq \(EF,\s\up6(→))+eq \(FA,\s\up6(→))=0.
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