高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算巩固练习，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共15小题）
1. 下列等式错误的是
A. a+0=0+a=aB. AB+BC+AC=0
C. AB+BA=0D. CA+AC=MN+NP+PM

2. 在平行四边形 ABCD 中，AB+CA−DB 等于
A. ABB. DAC. BCD. CD

3. 已知 P 为 △ABC 所在平面内一点，当 PA+PB=PC 时，点 P 位于 △ABC
A. AB 边上B. BC 边上C. 内部D. 外部

4. 若 ∣OA∣=8，∣OB∣=5，则 ∣AB∣ 的取值范围是
A. 3,8B. 3,8C. 3,13D. 3,13

5. 如图，向量 AB=a，AC=b，CD=c，则向量 BD 可以表示为
A. a+b−cB. a−b+cC. b−a+cD. b−a−c

6. 在五边形 ABCDE （如图）中，AB+BC−DC=
A. ACB. ADC. BDD. BE

7. 下列等式不正确的是
① a+b+c=a+c+b；
② AB+BA=0；
③ AC=DC+AB+BD．
A. ②③B. ②C. ①D. ③

8. 在平行四边形 ABCD 中，AB+CA+BD 等于
A. ABB. BDC. BCD. CD

9. 已知点 P 是 △ABC 所在平面内一点，且 PA+PB+PC=0，则
A. PA=−13BA+23BCB. PA=23BA+13BC
C. PA=−13BA−23BCD. PA=23BA−13BC

10. 下列各式化简正确的是
A. OA−OD+DA=0B. AB+MB+BO+OM=AB
C. AB−CB+AC=0D. 0⋅AB=0

11. 在长方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 AE 的中点，设 AB=a，AD=b，则 BF 等于
A. −34a+12bB. 34a−12bC. 12a−34bD. 12a+34b

12. 若 AB=5，AC=8，则 BC 的取值范围是
A. 3,8B. 3,8C. 3,13D. 3,13

13. 给出下列不等式或等式：
① a−b② a−b=a+b=a+b；
③ a−b=a+b④ a−b其中，一定不成立的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

14. 已知点 O，N 在 △ABC 所在的平面内，且 OA=OB=OC，NA+NB+NC=0，则点 O，N 依次是 △ABC 的
A. 重心、垂心B. 外心、垂心C. 外心、重心D. 外心、内心

15. 向量 a，b 均为非零向量，下列说法不正确的是
A. 若向量 a 与 b 同向，则向量 a+b 与 a 的方向相同
B. 若向量 a 与 b 同向，则向量 a+b 与 b 的方向相同
C. 若向量 a 与 b 反向，且 a>b，则向量 a+b 与 a 的方向相同
D. 若向量 a 与 b 反向，且 a
二、填空题（共6小题）
16. 同起点而不平行的两个向量求和通常采用 法则，当第二个向量的起点和第一个向量的终点重合时求和，通常采用 法则．由此可知，若干个起点，终点依次相接的向量的和是以 为起点， 为终点的向量．

17. 在矩形 ABCD 中，AD=43，设 AB=a，BC=b，BD=c，则 a+b+c= ．

18. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 OA+OB+OC+OD= OM．

19. 如图，在边长为 1 的正方形ABCD中，设 AB=a,AD=b,AC=c，则 ∣a−b+c∣= ．

20. 在 △ABC 中，设 BC=a,CA=b,AB=c，三边 BC,CA,AB 的中点依次为 D,E,F，则 AD+BE+CF= ．

21. 若 a≠0，b≠0，且 a=b=a−b，则 a 与 a+b 所在直线的夹角是 ．

三、解答题（共6小题）
22. 摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具，设它在静水中的航行速度是每小时 25 千米，如果当时的水流速度是每小时 15 千米，那么该摩托艇向下游航行时，每小时能行多少千米?它向上游航行时，每小时能行多少千米?

23. （1）如图①所示，求作向量 a+b．
（2）如图②所示，求作向量 a+b+c．

24. 如图所示，已知正方形 ABCD 的边长为 1，AB=a，BC=b，AC=c，试求：a−b+c．

25. 如图，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且 AB=a，AC=b，AE=c，试用 a，b，c 表示向量 BD，BC，BE，CD 及 CE．

26. 已知平面内两定点 A，B，对该平面内任一动点 C，总有 OC=3λOA+1−3λOB（λ∈R，点 O 为直线 AB 外点），则点 C 的轨迹是什么图形?请说明理由．

27. 如图，已知 D，E，F 分别为 △ABC 的三边 BC，AC，AB 的中点，求证：AD+BE+CF=0．
答案
1. B
【解析】AB+BC+AC=2AC≠0．
2. D
【解析】AB+CA−DB=AB+BD−AC=AD−AC=CD．
3. D
【解析】由 PA+PB=PC，得 PA=PC−PB，PA=BC，
又 P 为 △ABC 所在平面内一点，
所以点 P 位于 △ABC 的外部．
4. C
【解析】因为 AB=OB−OA，故当 OA，OB 同向共线时，∣AB∣=∣OA∣−∣OB∣=3；
当 OA，OB 反向共线时，则得 ∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=13；
当 OA，OB 不共线时，由 ∣∣OA∣−∣OB∣∣<∣OB−OA∣<∣OA∣+∣OB∣，可得 3<∣AB∣<13．
综合上述情况可得 3≤∣AB∣≤13．
5. C
【解析】BD=BC+CD=AC−AB+CD=b−a+c．
6. B
【解析】AB+BC−DC=AB+BC+CD=AD．
7. B
【解析】②错误，AB+BA=0，①③正确．
8. D
9. D
10. B
【解析】因为 OA−OD+DA=2DA，故A错误；
因为 AB+MB+BO+OM=AB+MB+BM=AB+0=AB，故B正确；
因为 AB−CB+AC=AB+BC+AC=2AC，故C错误；
因为 0⋅AB=0，故D错误．
故选：B．
11. A
【解析】如图所示，
由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得
BF=AF−AB=12AE−AB=12AD+14AB−AB=12b−34a.
12. C
【解析】因为 BC=AC−AB 且 AC−AB≤AC−AB≤AC+AB，
所以 3≤AC−AB≤13，
所以 3≤BC≤13．
13. A
【解析】①当 a 与 b 不共线时成立；
②当 a=b=0，或 b=0，a≠0 时成立；
③当 a 与 b 共线，方向相反，且 a≥b 时成立；
④当 a 与 b 共线，且方向相同时成立．
14. C
【解析】因为 OA=OB=OC，
所以点 O 到 △ABC 的三个顶点的距离相等，
所以 O 为 △ABC 的外心；
由 NA+NB+NC=0，
得 NA+NB=−NC=CN，
由中线的性质可知点 N 在 AB 边的中线上，
同理可得点 N 在其他边的中线上，
所以点 N 为 △ABC 的重心．
15. D
16. 平行四边形，三角形，第一个向量的起点，最后一个向量的终点
17. 83
18. 4
【解析】OA+OB+OC+OD=OA+OC+OB+OD=2OM+2OM=4OM.
19. 2
【解析】先利用向量加减运算律及有关知识将 a−b+c 化简为用有向线段表示的向量，便于求模．
a−b=AB−AD=DB，过 B 作 BM=AC=c（图），则 DM=DB+BM=a−b+c．
因为 AC⊥BD，且 ∣AC∣=∣BD∣=2，
所以 DB⊥BM，∣AC∣=∣BM∣=2
所以 ∣DM∣=2，即 ∣a−b+c∣=2．
20. 0
21. 30∘
【解析】设 OA=a，OB=b，
则 a−b=BA，
因为 a=b=a−b，
所以 OA=OB=BA．
所以 △OAB 是等边三角形，
所以 ∠BOA=60∘．
又因为 OC=a+b，且在菱形 OACB 中，对角线 OC 平分 ∠BOA．
所以 a 与 a+b 所在直线的夹角为 30∘．
22. 向下游航行时每小时能行 40 千米，向上游航行时每小时能行 10 千米．
23. （1） 首先作向量 OA=a ，然后作向量 AB=b，则向量 OB=a+b．
如图③所示．
（2） 方法一（三角形法则）：
如图④所示，首先在平面内任取一点 O，作向量 OA=a，再作向量 AB=b，则得向量 OB=a+b，然后作向量 BC=c，则向量 OC=a+b+c=a+b+c 即为所求．
方法二（平行四边形法则）：
如图⑤所示，
首先在平面内任取一点 O，则向量 OA=a，OB=b，OC=c，
以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OADB，连接 OD，则 OD=OA+OB=a+b．
再以 OD，OC 为邻边作平行四边形 ODEC，连接 OE，则 OE=OD+OC=a+b+c 即为所求．
24. 作 BF=AC，连接 CF（图略），
则 DB+BF=DF，
而 DB=AB−AD=AB−BC=a−b，
所以 a−b+c=DB+BF=DF 且 DF=2，
所以 a−b+c=2．
25. 因为四边形 ACDE 是平行四边形，
所以 CD=AE=c，
BC=AC−AB=b−a，
BE=AE−AB=c−a，
CE=AE−AC=c−b，
所以 BD=BC+CD=b−a+c．
26. 点 C 的轨迹图形为直线 AB．
理由：将等式两边同时减去 OA，得
OC−OA=3λ−1OA+1−3λOB=1−3λOB−OA=1−3λAB,
即 AC=1−3λAB，λ∈R，又 AC 与 AB 有公共点 A，
所以 A，B，C 三点共线，即点 C 的轨迹图形是直线 AB．
27. 由题意知，AD=AC+CD，BE=BC+CE，CF=CB+BF．
由平面几何知识可知，EF=CD，BF=FA，
所以
AD+BE+CF=AC+CD+BC+CE+CB+BF=AC+CD+CE+BF+BC+CB=AE+EC+CD+CE+BF+0=AE+CD+BF=AE+EF+FA=0.