(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（精讲）（原卷版+解析）

拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（精讲）第一部分：知识点精准记忆第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）重点题型二：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）重点题型三：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）重点题型四：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）重点题型五：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）重点题型六：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆知识点一：三角形面积问题直线方程： 知识点二：焦点三角形的面积直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）典型例题例题1．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，､为左右焦点.直线交椭圆于､两点，且.(1)求椭圆的方程；(2)若，斜率之积为，求证：的面积为定值.例题2．（2022·天津·高考真题）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，右焦点为，．(1)求椭圆的离心率；(2)已知直线与椭圆有唯一公共点，直线交轴于点（异于），若，且的面积为，求椭圆的标准方程．例题3．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知椭圆E：的离心率为，且点在椭圆上，为椭圆的右顶点，为坐标原点，过点的直线与椭圆的另外一个交点为，线段的中点为(1)若直线的斜率为1，求直线的斜率；(2)若，求三角形的面积.同类题型归类练1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．(1)求抛物线的方程；(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．2．（2022·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由．3．（2022·河南开封·高二期末（理））已知椭圆，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.(1)求E的方程；(2)过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.4．（2022·河南开封·高二期末（文））已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．(1)求C的方程；(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．重点题型二：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）典型例题例题1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)点，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．例题2．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.①求证：为定值；②求面积的最大值.例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，点为椭圆上非顶点的动点，点，分别为椭圆的左、右顶点，过点，分别作，，直线， 相交于点，连接（为坐标原点），线段与椭圆交于点，若直线，的斜率分别为，.(1)求的值；(2)求面积的最大值．例题4．（2022·浙江·杭州市西湖高级中学高二期中）已知点是椭圆：一点，且椭圆的离心率为.(1)求此椭圆方程；(2)设椭圆的左顶点为，过点向上作一射线交椭圆于点，以为边作矩形，使得对边经过椭圆中心，求矩形面积的最大值.例题5．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，上的点与外的点距离的最小值为2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于点，，当直线l被圆截得的弦长为时，求面积的取值范围．同类题型归类练1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）在上任取一点，记，当P在圆C上运动时，点Q的轨迹记为．(1)写出的标准方程，并说明的离心率是定值（与无关）；(2)当时，分别记为，若直线与交于4个点，在直线l上从上到下顺次记为A，B，C，D．①与是否相等？证明你的结论；②已知，求面积的最大值．2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.(1)求的方程；(2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C.①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线；②求面积的最大值.3．（2022·全国·高三专题练习），是椭圆：的左、右顶点，是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线：分别交于，两点，当点的坐标为时，．(1)求椭圆的方程；(2)记和的面积分别为和．求的取值范围．4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，长轴长为，分别为椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的离心率为，过点的直线与曲线交于两点，设的中点为M，两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围.5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，短轴长为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．重点题型三：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）典型例题例题1．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．(1)求双曲线的方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．例题2．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线的标准方程与离心率；(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．例题3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线：与双曲线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．例题4．（2022·江西·景德镇一中高二期末（文））若是双曲线的两个焦点.(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；(2)如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.例题5．（2022·浙江·高三专题练习）设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．同类题型归类练1．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若，求的面积．3．（2022·河南信阳·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1.(1)求，；(2)设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且.求证：的面积为定值.重点题型四：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）典型例题例题1．（2022·山东·胜利一中模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，，点满足，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点和，在线段上取点，满足，直线交直线于点，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．例题2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求点的轨迹方程；(2)曲线上一点，点、分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.例题3．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点.(1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围；(2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，线段的中点为点，求的面积的取值范围.例题4．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若轨迹的左，右顶点分别为，，点为轨迹上异于，的一个动点，直线，分别与直线相交于，两点，以为直径的圆与轴交于，两点，求四边形面积的最小值.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.2．（2022·广东江门·高二期末）若椭圆E：过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点.(1)求椭圆E的方程；(2)不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值以及此时直线的方程.3．（2022·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．(1)求的方程；(2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，且经过.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P､Q，设P､Q中点为M，求三角形面积的取值范围.重点题型五：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）典型例题例题1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知抛物线上的点到焦点的距离为6．(1)求抛物线的方程；(2)设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积．例题2．（2022·河北邯郸·高二期末）已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同两点，，且.(1)求抛物线的方程及焦点F的坐标：(2)求的面积（为坐标原点）.例题3．（2022·江苏·高二）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点．(1)求抛物线的方程；(2)若点和点在抛物线上，且点到焦点的距离是，求的面积．例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设是抛物线上横坐标为4的一点，过点作圆：的两条切线与抛物线分别交于异于点的，两点，求的面积.例题5．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知抛物线的焦点为，是抛物线上在第一象限内的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于，两点，若的中点坐标为，，求的面积．例题6．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知抛物线：，经过的直线与交于，两点.(1)若，求长度的最小值：(2)过焦点的直线交抛物线于，两点，若，求的面积.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点到焦点F的距离.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积.2．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．(1)求该抛物线的方程；(2)若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积．3．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知抛物线的准线与轴交于点，其焦点为，椭圆以，为焦点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆交于，两点，若，求（点为坐标原点）的面积.4．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．(1)求抛物线的方程；(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．5．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.(1)求该抛物线的方程；(2)为坐标原点，求的面积.6．（2022·上海虹口·高二期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的离心率与抛物线的方程；(2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；(3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．重点题型六：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）典型例题例题1．（2022·陕西西安·高二期末（理））已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.(1)求抛物线的方程；(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值.例题2．（2022·吉林省实验中学高二期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的点，且.（1）求抛物线方程；（2）直线与抛物线交于、两点，且.求面积的最小值.例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.例题4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，若的最小值为1.(1)求抛物线的方程；(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点和，，点，分别为的中点，求面积的最小值.例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点．(1)求曲线，的方程；(2)点是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值．同类题型归类练1．（2022·云南德宏·高三期末（理））已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)若点H的坐标为(2，0)，点、()是椭圆E上的两点，点A，B，H不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点，并求面积的取值范围．2．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆上的点到两焦点，的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点作直线交抛物线于点M，N，直线交抛物线于点Q，以Q为切点作抛物线的切线，且，求面积S的最小值.3．（2022·河南洛阳·高二期末（文））已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．经过点的直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求曲线C的方程；(2)若曲线C在点A，B处的切线交于点P，求面积的最小值．5．（2022·浙江·高三专题练习）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上.(1)求的值及抛物线的准线方程；(2)求证：直线与直线的倾斜角互补；(3)当点的横坐标时，求面积的最大值.6．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）在平面直角坐标系中，原点为，抛物线C的方程为，直线与抛物线C相交于A，B不同两点.(1)求抛物线C的准线方程；(2)当时，求线段AB的最小值；(3)若直线经过抛物线C的焦点F，过点F作直线与垂直，且直线与抛物线交于不同两点C，D，设M，N分别为线段AB，CD的中点，求面积的最小值.拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（精讲）第一部分：知识点精准记忆第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）重点题型二：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）重点题型三：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）重点题型四：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）重点题型五：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）重点题型六：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆知识点一：三角形面积问题直线方程： 知识点二：焦点三角形的面积直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线为，直线为注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式 变式：作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1）（注意分三种情况讨论）（2）当且仅当时，等号成立（3）当且仅当时等号成立.（4）当且仅当时，等号成立(5)当且仅当时等号成立.第二部分：典 型 例 题 剖 析重点题型一：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）典型例题例题1．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，､为左右焦点.直线交椭圆于､两点，且.(1)求椭圆的方程；(2)若，斜率之积为，求证：的面积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)，又，，故椭圆C的方程为：.(2)设，由，则由，，，，即，，整理得：所以又O到AB的距离，所以为定值.例题2．（2022·天津·高考真题）已知椭圆的上顶点为，右顶点为，右焦点为，．(1)求椭圆的离心率；(2)已知直线与椭圆有唯一公共点，直线交轴于点（异于），若，且的面积为，求椭圆的标准方程．【答案】(1)(2)（1）解：，离心率为.（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，由，①，，由可得，②由可得，③联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．例题3．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知椭圆E：的离心率为，且点在椭圆上，为椭圆的右顶点，为坐标原点，过点的直线与椭圆的另外一个交点为，线段的中点为(1)若直线的斜率为1，求直线的斜率；(2)若，求三角形的面积.【答案】(1)(2)三角形OPM的面积为(1)由离心率可得：，又，，解得：，所以椭圆方程为，则，将与椭圆方程联立得：，设，则，所以，所以，设，则有，，所以直线OM的斜率为；(2)设直线l的方程为，则联立椭圆方程得：，设，则，则，则，则，则，解得：或（舍去），所以，当时，此时，直线为，所以，点O到直线l的距离为，则三角形OPM的面积为，同理，当时，求得三角形OPM的面积为，综上：三角形OPM的面积为同类题型归类练1．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．(1)求抛物线的方程；(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．【答案】(1)(2)(1)∵，∴椭圆的焦点坐标为．又抛物线的焦点，∴，即．∴抛物线的方程为．(2)由（1）知，依题意可设：，即．∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，∴，解得，．联立，消去可得．∴．∴，．∴．∴．2．（2022·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由．【答案】(1)；(2)面积为定值.(1)解：设，根据题意，，其中表示M到直线l的距离.整理得，曲线C的方程为：．(2)解：的面积为定值，理由如下：设，①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则此时，，由题可得，故；②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切得：①，，则直线MO的方程为：，，由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得，由，可得，②则有，，所以，将①代入得：由直线与轴交于，则的面积为.故综上：面积为定值．3．（2022·河南开封·高二期末（理））已知椭圆，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.(1)求E的方程；(2)过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.【答案】(1)(2)与的方程分别为：，(1)解：由已知，，，所以E的方程为.(2)解：又题意中，，①若或斜率不存在，易知，不符合题意；②若斜率存在，设，和的方程联立得：，，，，设，同理可得，所以解得，，所以与的方程分别为：，，4．（2022·河南开封·高二期末（文））已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．(1)求C的方程；(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．【答案】(1)(2)或(1)由已知，，，所以C的方程为(2)，①若l斜率不存在，易知；②若l斜率存在，设，，和C的方程联立得：，，，所以点O到直线l的距离为，所以，解之得，，所以l的方程为或，重点题型二：椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）典型例题例题1．（2022·福建·厦门外国语学校高二期中）已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)点，为坐标原点，为椭圆上的两个动点，线段的中点在直线上，求面积的最大值．【答案】(1)；(2).(1)由题知：，由得：，即，所以，故椭圆的标准方程为；(2)若直线不存在斜率，且线段的中点在直线上，则直线为轴，此时不存在.故直线存在斜率，且不过原点；设直线，与椭圆联立，化简得：，由，整理可得，即，且，∴，∵的中点在直线上，∴，得，；，记到直线的距离为，则当且仅当，即时，，面积有最大值为.例题2．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））在平面直角坐标系中，设为椭圆的左焦点，直线与轴交于点，为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为8，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线与椭圆交于两点、，设直线、的斜率分别为、.①求证：为定值；②求面积的最大值.【答案】(1)(2)①证明见解析；②(1)因为，所以，又，所以，所以，，所以椭圆的标准方程为.(2)①当的斜率为0时，显然，.当的斜率不为0时，设，由得，设，，故有，，所以.因为，所以.综上所述，恒有为定值.②，即，当且仅当，即时取等号（此时适合），所以面积的最大值为.例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，点为椭圆上非顶点的动点，点，分别为椭圆的左、右顶点，过点，分别作，，直线， 相交于点，连接（为坐标原点），线段与椭圆交于点，若直线，的斜率分别为，.(1)求的值；(2)求面积的最大值．【答案】(1)(2)(1)由题意知，，，设，设直线的方程为：，设直线的方程为：，所以解得点，所以，，即.(2)由（1）知，设直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，又对称性，设，所以，所以，由（1）知和异号，由，得，所以，点到直线的距离为：，即等号成立条件为，当且仅当即等号成立，故面积的最大值为：.例题4．（2022·浙江·杭州市西湖高级中学高二期中）已知点是椭圆：一点，且椭圆的离心率为.(1)求此椭圆方程；(2)设椭圆的左顶点为，过点向上作一射线交椭圆于点，以为边作矩形，使得对边经过椭圆中心，求矩形面积的最大值.【答案】(1)(2)(1)令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，所以椭圆E的方程为：.(2)由（1）知，，设直线AB的斜率为，则直线AB的方程为：，由消去y并整理得：，点的横坐标，则点的横坐标有：，解得，则有，因矩形的边CD过原点O，则，因此，矩形的面积，当且仅当，即时取“=”，所以矩形ABCD面积的最大值是.例题5．（2022·河南开封·模拟预测（理））已知椭圆的离心率为，上的点与外的点距离的最小值为2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l与椭圆交于点，，当直线l被圆截得的弦长为时，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)(1)由题意，，又，所以，所以椭圆的方程为；(2)易知直线不过原点，设方程为，原点到直线距离为，，所以，，，原点到直线距离为1，若，则，方程为，此时，，，时，由，及得，设，，则，，，，令，由得，，令，则，时，，单调递增，所以，，综上， ．同类题型归类练1．（2022·云南师大附中高三阶段练习）在上任取一点，记，当P在圆C上运动时，点Q的轨迹记为．(1)写出的标准方程，并说明的离心率是定值（与无关）；(2)当时，分别记为，若直线与交于4个点，在直线l上从上到下顺次记为A，B，C，D．①与是否相等？证明你的结论；②已知，求面积的最大值．【答案】(1)，答案见解析(2)①，证明见解析；②最大值为.(1)设，则，所以，化为，所以的标准方程为. ，，，为定值.(2)①设与的交点为，，与的交点为，，联立消，整理得，，所以，，       所以的中点与的中点坐标均为，即的中点与的中点重合，故②直线：被椭圆：截得的弦长为，所以，，，点到直线的距离为，所以的面积为，所以当时，的面积最大，最大值为.2．（2022·海南中学高三阶段练习）已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.(1)求的方程；(2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C.①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线；②求面积的最大值.【答案】(1)；(2)①证明见解析，；②.(1)由椭圆定义可知的周长为，即，因为离心率，所以，又因为，所以，故的方程为.(2)①依题意，设直线AB方程为.联立，得，易知设，，则，.因为轴，轴，所以，.所以直线AN：，直线BM：，联立解得.从而点C在定直线上.②因为，又，则，设，则，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最大值为3．（2022·全国·高三专题练习），是椭圆：的左、右顶点，是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线：分别交于，两点，当点的坐标为时，．(1)求椭圆的方程；(2)记和的面积分别为和．求的取值范围．【答案】(1)(2)(1)由可得，∴，把代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的方程为．(2)显然直线存在斜率，设直线的方程为，由得，设，则，，从而，即，∴，又，直线的方程为，得，，，则，当且仅当，即时取等号，故的取值范围为．4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知分别为椭圆的左､右焦点，长轴长为，分别为椭圆的上、下顶点，且四边形的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的离心率为，过点的直线与曲线交于两点，设的中点为M，两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围.【答案】(1)或(2)(1)由，得，又，则由，可得或则椭圆的方程为或.(2)由椭圆的离心率，则椭圆的方程为当直线AB斜率存在时，设直线，代入，整理得则，则直线 代入，整理得，取，则，则，则，即当直线AB斜率不存在时，AB的方程为，此时，，，综上，四边形面积的取值范围为.5．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知椭圆的离心率为，短轴长为2．(1)求椭圆C的标准方程；(2)在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．【答案】(1)(2)(1)由题意得，，∴，又∵，∴，则椭圆C的标准方程为；(2)设，，，，再设，联立，得，由，得，此方程的判别式则，，即，同理，设 ，，在直线，上，即，，直线的方程为，与椭圆方程联立，可得，，，当时，且，，到的距离，，令，则，则 ，结合对勾函数的性质可知，在递减，在时递增，故，而 ，故，；当时 ，，故方程为：，，则，∴综上所述，．重点题型三：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）典型例题例题1．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．(1)求双曲线的方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．【答案】(1)(2)证明见解析(1)不妨设 , 因为,从而 故由 , 又因为, 所以 ,又因为 在圆 上, 所以 所以双曲线的标准方程为：(2)设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,当动直线的斜率不存在时, ,，,当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 , 故由 依题意，且, 化简得 ,故由 , 同理可求,,所以又因为原点到直线的距离,所以,又由所以,故的面积是为定值,定值为例题2．（2022·广东·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线的标准方程与离心率；(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．【答案】(1)，离心率为(2)(1)由题意知焦点到渐近线的距离为，则因为一条渐近线方程为，所以，又，解得，，所以双曲线的标准方程为，离心率为．(2)设直线：，，，联立则，所以，由解得或（舍去），所以，：，令，得，所以的面积为例题3．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线：与双曲线交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．【答案】(1)(2)(1)双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离为．因为双曲线C的离心率为，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为．(2)设，，联立，得，，所以，．由，解得t＝1（负值舍去），所以，．直线l：，所以原点O到直线l的距离为，，所以△OAB的面积为．例题4．（2022·江西·景德镇一中高二期末（文））若是双曲线的两个焦点.(1)若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；(2)如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.【答案】(1)(2)(1)是双曲线的两个焦点，则，点M到它的一个焦点的距离等于10，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或（舍去）即点到另一个焦点的距离为；(2)P是双曲线左支上的点，则， 则，而，所以，即，所以为直角三角形，，所以.例题5．（2022·浙江·高三专题练习）设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．【答案】（1）；（2）证明见解析；定值为．（1）则，，．所以双曲线的标准方程为：．（2）设点坐标为，过与渐近线平行的直线分别为，，方程分别为，，联立方程：，得，同理可得：，得，又渐近线方程为，则，，又点在双曲线上，则，所以，即平行四边形的面积为定值，且此定值为．同类题型归类练1．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．【答案】(1)；(2)证明见解析，﹒(1)由题可知，解得，则：；(2)由于直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，则直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，令，则，则．联立得，，则，即．双曲线两条渐近线方程为，联立得，，联立得，，，故的面积为定值．2．（2022·上海市建平中学高二阶段练习）双曲线上一点到左、右两焦点距离的差为2．(1)求双曲线的方程；(2)设、是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上的点，若，求的面积．【答案】(1)(2)(1)由题意得，得，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的方程为，(2)由（1）可得，所以，不妨设点在双曲线的右支上，则，因为，所以，因为，所以由余弦定理得，因为，所以，所以的面积为3．（2022·河南信阳·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点为，过作轴的垂线交双曲线的两条渐近线于，，得到三角形的面积为1.(1)求，；(2)设，，的三个点都在椭圆上，设的中点为，且.求证：的面积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析(1)椭圆的离心率为，其中， 双曲线的两条渐近线的方程为，设，则因为三角形的面积为1，所以，所以，，故椭圆的方程为；(2)①当直线的斜率不存在时，因为，所以，此时的方程为，或，此时的方程为.将，代入椭圆方程得，，，所以的面积为由椭圆轴对称性得：当的方程为时，的面积也为.②当直线的斜率存在时：设直线方程为，设，，，因为的中点为，且，所以的重心是坐标原点所以，联立和，得，，当时，，，所以，，故因为点在椭圆上，所以代入椭圆整理得，满足因而与满足的等式关系为①当时，因为的重心是坐标原点，所以的面积为的面积的3倍设直线与轴交于点，则.那么的面积为，关系式①代入得，综合①②得的面积为定值.重点题型四：双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）典型例题例题1．（2022·山东·胜利一中模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，，，点满足，记的轨迹为．(1)求的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，直线与C相交于两个不同的点和，在线段上取点，满足，直线交直线于点，试问面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)的面积不存在最小值，理由见解析(1)由，，，，，，，得，即．(2)设，，，，，，且．，，，，则，得，，得．即．将A，B两点的坐标代入双曲线中，得，即，，（且），则，得动点Q的轨迹方程为．设直线的斜率为，直线的斜率为，，，（当且仅当时取“=”，此时直线与双曲线不存在相交于两个不同点A，B，因此，的面积不存在最小值．例题2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.(1)求点的轨迹方程；(2)曲线上一点，点、分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)(1)解：依题意可得点与关于对称，则，∴.则点的轨迹为以，为焦点，实轴长为8的双曲线，∴，，又，故，，，所以双曲线方程为；(2)解：由题意知，，分别为双曲线：的渐近线，设，，，且，，由得，，∴，.∴，整理得，即又，同理，设的倾斜角为，则.∴因为，易知函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，；∴面积取值范围是.例题3．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知双曲线的离心率为，点的坐标是，为坐标原点.(1)若双曲线的离心率，求实数的取值范围；(2)当时，设过点的直线与双曲线的左支交于，两个不同的点，线段的中点为点，求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)(1)，，，解得(2)由（1）可知，，双曲线E的方程为设，过点A的直线方程为由可得，由，解得故例题4．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)若轨迹的左，右顶点分别为，，点为轨迹上异于，的一个动点，直线，分别与直线相交于，两点，以为直径的圆与轴交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】(1)；(2)6.(1)由动点P满足，得动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，且，所以，所以，故动点P的轨迹C方程为：；(2)由(1)知，，所以直线的方程为，即，与直线的交点S的坐标为，直线的方程为，即，与直线的交点T的坐标为，设以ST为直径的圆的方程为，令，则，所以，，令，则，设，则，所以，又点在双曲线上，所以，故，又，所以，当且仅当即时等号成立，所以四边形面积的最小值为6.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；(2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.【答案】(1)证明见解析，(2)(1)证明：如图，由点与关于对称， 则，，故为定值.由，由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，设双曲线方程为，，所以双曲线方程为；(2)由题意知，分别为双曲线的渐近线设，由，设.，由于P点在双曲线上又同理，设的倾斜角为，则.由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，当时， ；当时，；.2．（2022·广东江门·高二期末）若椭圆E：过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点.(1)求椭圆E的方程；(2)不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值以及此时直线的方程.【答案】(1)(2)面积最大值为，此时直线的方程为．(1)解：抛物线的焦点为，双曲线的焦点为或，依题意可得，又，所以，所以椭圆方程为；(2)解：根据题意，设点，，，，联立直线方程与椭圆方程可得，，消去得，，即得，，则由相交弦长公式可得，又由点到直线距离公式可得，点到直线的距离即为，所以，当且仅当，即时，面积取得最大值为，此时直线的方程为．3．（2022·全国·高三专题练习）O为坐标原点椭圆的左右焦点分别为，离心率为；双曲线的左右焦点分别为，离心率为，已知，切．(1)求的方程；(2)过作的不垂直于y轴的弦，M为的中点，当直线与交于P，Q两点时，求四边形面积的最小值．【答案】(1)的方程为：，的方程为：(2)1(1)因为，，，所以①因为，所以②由①得：，解得：，代入②式中，解得：，所以的方程为：，的方程为：(2)，因为直线不垂直于y轴所以设方程为：联立 得：设，，则，，，则，因为点M在直线上，所以，直线：联立得：解得：，显然，故当时，，当时，则，，点直线距离分别是：，因为，点直线两侧，故 显然，所以所以则则四边形面积当时，四边形面积取得最小值，此时此时方程为：，符合题意，故四边形面积的最小值为14．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．（1）求双曲线的方程；（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．解：（1）由题意得，，解得所以双曲线的方程为：（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，设，，联立，整理可得，所以所以直线与双曲线右支有两个交点，所以所以，设，所以5．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，且经过.（1）求双曲线C的方程；（2）若过点的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P､Q，设P､Q中点为M，求三角形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.（1）由题题意，得，解得.所以，双曲线C的方程为.（2）设直线的方程为与双曲线C方程联立：，消元得设P､Q两点的纵坐标为，则：，解得.设点M的纵坐标为，由题点M为的中点，即所以，易知表达式在上单调递减，故三角形面积的取值范围为.重点题型五：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）典型例题例题1．（2022·四川·威远中学校高二阶段练习（理））已知抛物线上的点到焦点的距离为6．(1)求抛物线的方程；(2)设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积．【答案】(1)(2)(1)因为，所以，故抛物线方程为：.(2)设，且，由可得，故或，故，故，故，而到直线的距离为，故的面积为．例题2．（2022·河北邯郸·高二期末）已知抛物线的准线方程为，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同两点，，且.(1)求抛物线的方程及焦点F的坐标：(2)求的面积（为坐标原点）.【答案】(1)，焦点(2)(1)根据条件，得，∴抛物线C的方程为，焦点.(2)根据题意，直线l的斜率存在，设为k，设A，，则l的方程为.代入抛物线C的方程，得，，∴，.∴，∴，∴直线l的方程为.又∵O到l的距离为，∴的面积为.例题3．（2022·江苏·高二）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上且经过点．(1)求抛物线的方程；(2)若点和点在抛物线上，且点到焦点的距离是，求的面积．【答案】(1)或(2)(1)若抛物线焦点在轴上，则可设，，解得：，抛物线方程为：；若抛物线焦点在轴上，则可设，，解得：，抛物线方程为：；综上所述：抛物线的方程为：或.(2)由题意得：直线方程为：；；在抛物线上，抛物线的方程为设，则，解得：，.例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离为2.(1)求抛物线的方程；(2)设是抛物线上横坐标为4的一点，过点作圆：的两条切线与抛物线分别交于异于点的，两点，求的面积.【答案】(1)(2)(1)由于抛物线：的焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线的方程为.(2)由（1）得抛物线的方程为，焦点.当时，，，不妨设，圆：的圆心为，半径为，依题意可知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，圆心到直线的距离，不妨设直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为，由，由，，到直线的距离为，所以.例题5．（2022·河南·平顶山市教育局教育教学研究室高二开学考试（文））已知抛物线的焦点为，是抛物线上在第一象限内的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于，两点，若的中点坐标为，，求的面积．【答案】(1)(2)(1)因为，所以，故抛物线C的方程为．(2)设，，则，两式相减得，所以．因为MN的中点坐标为，所以，即直线l的斜率为．因为直线l过点，所以直线l的方程为，即．联立方程组，得，则，．因为，且点到直线l的距离，所以的面积为．例题6．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知抛物线：，经过的直线与交于，两点.(1)若，求长度的最小值：(2)过焦点的直线交抛物线于，两点，若，求的面积.【答案】(1)(2)(1)设，由，可得，当时，取得最小值.(2)抛物线关于轴对称，不妨设A点在第一象限、B点在第四象限，设，故①，②，又，，故③，④，联立①②③④得，故直线的斜率为，直线方程为，化简得，到直线的距离为，，故.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线上一点到焦点F的距离.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C准线上一点，且，求的面积.【答案】(1)；(2)或.(1)由抛物线的定义得.由题意得,解得，∴抛物线的方程为；(2)由（1）知点，∴直线l的方程为.由，可得，设，则不妨设，点A，B的坐标分别为.设点M的坐标为，则，则，解得或.∴，点M到直线l的距离为，故或，当时，的面积为.当时，的面积为.2．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．(1)求该抛物线的方程；(2)若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积．【答案】(1)(2)8(1)由抛物线的定义可知， 即，抛物线的方程为，(2)，且A在第一象限，，即A（4，4），显然切线的斜率存在，故可设其方程为，．由，消去得，即， 令，解得，切线方程为．令x=0，得，即，．3．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二阶段练习）已知抛物线的准线与轴交于点，其焦点为，椭圆以，为焦点，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆交于，两点，若，求（点为坐标原点）的面积.【答案】(1)(2)(1)由题意得，，设椭圆方程为，则，得，所以，所以椭圆的标准方程为(2)设，由，得，整理得，由，得，，因为,所以，所以，所以，化简得，满足所以，当时，直线为，则点到直线的距离为，所以，当时，直线为，则点到直线的距离为，所以，综上，的面积为4．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（文））已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．(1)求抛物线的方程；(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．【答案】(1)(2)(1)∵，∴椭圆的焦点坐标为．又抛物线的焦点，∴，即．∴抛物线的方程为．(2)由（1）知，依题意可设：，即．∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，∴，解得，．联立，消去可得．∴．∴，．∴．∴．5．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.(1)求该抛物线的方程；(2)为坐标原点，求的面积.【答案】(1)(2)(1)抛物线的焦点为，所以直线的方程为，由消去得，所以，由抛物线定义得，即，所以. 所以抛物线的方程为.(2)由知，方程，可化为，解得，，故，.所以，. 则面积6．（2022·上海虹口·高二期末）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．(1)求椭圆的离心率与抛物线的方程；(2)过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；(3)点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．【答案】(1)离心率为；抛物线的方程为(2)(3)(1)因，，故，从而椭圆的离心率为．                 且椭圆的右焦点坐标为．于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即．从而抛物线的方程为．(2)设动点的坐标为，由条件，且点，在直线上，可得．于是．                 即．故动点的轨迹方程为：．(3)由于，设直线方程为，，．由得，故．则．                 又点到直线的距离，故由，解得，从而．因此，直线的方程为．重点题型六：抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）典型例题例题1．（2022·陕西西安·高二期末（理））已知抛物线的焦点为，抛物线上的点的横坐标为1，且.(1)求抛物线的方程；(2)过焦点作两条相互垂直的直线（斜率均存在），分别与抛物线交于､和､四点，求四边形面积的最小值.【答案】(1)(2)2(1)解：由已知知：，解得，故抛物线的方程为：.(2)解：由（1）知：，设直线的方程为：，、，则直线的方程为：，联立得，则，所以，，∴，同理可得，∴四边形的面积，当且仅当，即时等号成立，∴四边形面积的最小值为2.例题2．（2022·吉林省实验中学高二期末）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的点，且.（1）求抛物线方程；（2）直线与抛物线交于、两点，且.求面积的最小值.【答案】（1）；（2）.（1）依题意.（2）与联立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，当k=0时，S最小，最小值为.例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且.（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）最大值为1.解析：（1）因为，所以不妨设的坐标为，的坐标为，所以有：，∴，，∴椭圆的方程为：，抛物线的方程为：；（2）由（1）可知：的坐标为：，设直线的方程为：，到的距离为，则，联立可得：，则，，当且仅当时取等号，故面积的最大值为1.例题4．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知抛物线，点为其焦点，为上的动点，若的最小值为1.(1)求抛物线的方程；(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线T分别相交于点和，，点，分别为的中点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)4(1)抛物线定义，，∵，∴，∴抛物线T的方程为：(2)由题意可知，直线AB不与y轴垂直，所以设直线AB的方程为.设A（），B（）由∴，同理∴同理∴当且仅当时取等号，故△EHK面积的最小值为4.例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆且经过，，，中的三点，抛物线，椭圆的右焦点是抛物线的焦点．(1)求曲线，的方程；(2)点是椭圆的点，且过点P可以作抛物线的两条切线，切点为A，B，求三角形面积的最大值．【答案】(1)，(2)(1)根据对称性可得，，在椭圆上，故，且，故，所以.椭圆的右焦点为，所以即，故..(2)设点，，，其中， 由可得，整理得到：，所以，故，且，故， 同理，，故为方程的两个根，故，而的中点的纵坐标为，故平行于轴，故三角形面积为由可得，故或（舍），故，故当时，有.同类题型归类练1．（2022·云南德宏·高三期末（理））已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为，且与抛物线有相同的焦点．(1)求椭圆E的方程；(2)若点H的坐标为(2，0)，点、()是椭圆E上的两点，点A，B，H不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点，并求面积的取值范围．【答案】(1)(2)证明见解析，(1)抛物线的焦点为，∴E的焦点为，又，∴，又，∴．∴椭圆E的方程为．(2)设直线AB的方程为（），，，由得       即∴，又∵，     ∴．∴ ．∴．∴，满足题意．∴直线AB恒过定点．所以，∴，令，则∴，又∵．∴面积的取值范围是．2．（2022·浙江·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，，椭圆上的点到两焦点，的距离之和为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点作直线交抛物线于点M，N，直线交抛物线于点Q，以Q为切点作抛物线的切线，且，求面积S的最小值.【答案】(1)；(2).(1)因为椭圆上的点到两焦点，的距离之和为4，所以有，即，将点代入椭圆的方程，得，从而，所以椭圆的标准方程为；(2)由（1）知椭圆的右焦点为，因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，所以，即，从而抛物线的方程为.设，，设直线为：，联立，消去x得，所以①，直线与抛物线联立，消去x得，所以得Q点的纵坐标为，所以，因为，所以直线为：与抛物线联立，消去x得，故，得，代入①式可以得，，即，又有，直线为，得，所以，当且仅当时取到最小值.3．（2022·河南洛阳·高二期末（文））已知点，点B为直线上的动点，过B作直线的垂线，线段AB的中垂线与交于点P．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若过点的直线l与曲线C交于M，N两点，求面积的最小值．（O为坐标原点）【答案】(1)(2)(1)解：由已知可得，，即点到定点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为． (2)解：当直线的倾斜角为时，与曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的倾斜角不为时，设直线方程为，，，，，由，可得，，所以，，，，所以当且仅当时取等号，即面积的最小值为；4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．经过点的直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求曲线C的方程；(2)若曲线C在点A，B处的切线交于点P，求面积的最小值．【答案】(1)(2)36(1)因为曲线C上任一点到点的距离比它到直线的距离小2．所以曲线C上任一点到点的距离与它到直线的距离相等．是抛物线，且，，所以的方程是；(2)设，，设过点的切线方程是，由得，，又，所以，，切线方程为，，，即，同理过点的切线方程是，由得，即，斜率存在时，设直线的方程是，显然，由得，所以，，，，点到直线的距离为，，当斜率不存在时，易得（不妨设在第一象限），方程是，即，方程是，即，由，得，即，此时到的距离为6，，，综上，的最小值是36．5．（2022·浙江·高三专题练习）已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上.(1)求的值及抛物线的准线方程；(2)求证：直线与直线的倾斜角互补；(3)当点的横坐标时，求面积的最大值.【答案】(1)；准线方程为；(2)证明见解析；(3).(1)为抛物线的焦点，，，抛物线的准线方程为；(2)由（1）知：抛物线方程为；设直线方程为：，，，，由得：，，，的重心在轴上，，即，，直线与直线的倾斜角互补；(3)由（2）知：，又，，，点到直线的距离；，，，即，，即，解得：；又，，令，则，设，则，当时，，此时单调递减，，即面积的最大值为.6．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）在平面直角坐标系中，原点为，抛物线C的方程为，直线与抛物线C相交于A，B不同两点.(1)求抛物线C的准线方程；(2)当时，求线段AB的最小值；(3)若直线经过抛物线C的焦点F，过点F作直线与垂直，且直线与抛物线交于不同两点C，D，设M，N分别为线段AB，CD的中点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)(3)4(1)由可得：，焦点为，所以准线方程：.(2)显然直线斜率存在，否则没有2个交点，设直线AB方程为，，由得，所以，，，即，解得：， 所以直线，，所以当时，.(3)由题意知直线、的斜率都存在且不为0，设直线的方程为，，，则直线的方程为，由得，所以，，所以，，所以，用替换可得，，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的面积取最小值4.