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    28.2 解直角三角形及其应用-2022-2023学年数学九年级下册分层作业(含答案)

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    数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课后测评

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    这是一份数学九年级下册28.2 解直角三角形及其应用课后测评,共14页。
    1.(2022·重庆八中九年级阶段练习)如图,网格中小正方形的边长均为1,△ABC的顶点都在格点上,则cs∠BAC等于( )
    A.B.C.D.
    【详解】解:∵小正方形的边长均为1,
    ∴,
    ∴,
    ∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
    ∴cs∠BAC=.
    故选:C.
    2.(2020·江苏苏州·中考真题)如图,小明想要测量学校操场上旗杆的高度,他作了如下操作:(1)在点处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角;(2)量得测角仪的高度;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为( )
    A.B.C.D.
    【详解】延长CE交AB于F,如图,
    根据题意得,四边形CDBF为矩形,
    ∴CF=DB=b,FB=CD=a,
    在Rt△ACF中,∠ACF=α,CF=b,
    tan∠ACF=
    ∴AF=,
    AB=AF+BF=,
    故选:A.
    3.(2020·安徽·中考真题)如图,中, ,点在上,.若,则的长度为( )
    A.B.C.D.
    【详解】∵∠C=90°,
    ∴,
    ∵,
    ∴AB=5,
    根据勾股定理可得BC==3,
    ∵,
    ∴cs∠DBC=csA=,
    ∴cs∠DBC==,即=
    ∴BD=,
    故选:C.
    4.(2020·广东广州·中考真题)如图,中,,,,以点为圆心,为半径作,当时,与的位置关系是( )
    A.相离B.相切C.相交D.无法确定
    【详解】解:∵中,, ,
    ∴csA=
    ∵,
    ∴AC=4
    ∴BC=
    当时,与的位置关系是:相切
    故选:B
    5.(2020·广东深圳·中考真题)如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置,T在P的正北方向,且T在Q的北偏西70°方向,则河宽(PT的长)可以表示为( )

    A.200tan70°米B.米C.200sin70°米D. 米
    【详解】解:在Rt△PQT中,
    ∵∠QPT=90°,∠PQT=90°-70°=20°,
    ∴∠PTQ=70°,
    ∴,
    ∴,
    即河宽米,
    故选:B.
    6.(2020·山东济南·中考真题)如图,△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区,驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE=43°,视线PE与地面BE的夹角∠PEB=20°,点A,F为视线与车窗底端的交点,AFBE,AC⊥BE,FD⊥BE.若A点到B点的距离AB=1.6m,则盲区中DE的长度是( )(参考数据:sin43°≈0.7,tan43°≈0.9,sin20°≈0.3,tan20°≈0.4)
    A.2.6mB.2.8mC.3.4mD.4.5m
    【详解】∵FD⊥AB,AC⊥EB,
    ∴DF∥AC,
    ∵AF∥EB,
    ∴四边形ACDF是平行四边形,
    ∵∠ACD=90°,
    ∴四边形ACDF是矩形,
    ∴DF=AC,
    在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,∠ABE=43°,
    ∴AC=AB•sin43°≈1.6×0.7=1.12(m),
    ∴DF=AC=1.12(m),
    在Rt△DEF中,∵∠FDE=90°,∠PEB=20°,
    ∴tan∠PEB=≈0.4,
    ∴DE≈=2.8(m),
    故选:B.
    7.(2020·内蒙古赤峰·中考真题)如图,Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AB = 5,AC= 3,把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ,则四边形ABC'A'的面积是 ( )
    A.15B.18C.20D.22
    【详解】解:在ACB中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,
    由勾股定理可得:,
    ∵A’C’B’是由ACB平移得来,A’C’=AC=3,B’C’=BC=4,
    ∴,
    又∵BB’=3,A’C’= 3,
    ∴,
    ∴,
    故选:A.
    8.(2018·浙江丽水·中考真题)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=,∠ADC=,则竹竿AB与AD的长度之比为
    A.B.C.D.
    【详解】在Rt△ABC中,AB=,
    在Rt△ACD中,AD=,
    ∴AB:AD=:=,
    故选B.
    9.(2021·山东济南·中考真题)无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测.如图,某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时,在距地面高度为的处测得试验田右侧出界处俯角为,无人机垂直下降至处,又测得试验田左侧边界处俯角为,则,之间的距离为(参考数据:,,,,结果保留整数)( )
    A.B.
    C.D.
    【详解】解:由题意得:OA⊥MN,∠N=43°,∠M=35°,OA=135m,AB=40m,
    ∴,
    ∴,,
    ∴;
    故选C.
    10.(2018·重庆·中考真题)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1:0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cs24°≈0.91,tan24°=0.45)( )
    A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米
    【详解】作BM⊥ED交ED的延长线于M,CN⊥DM于N.
    在Rt△CDN中,∵,设CN=4k,DN=3k,
    ∴CD=10,
    ∴(3k)2+(4k)2=100,
    ∴k=2,
    ∴CN=8,DN=6,
    ∵四边形BMNC是矩形,
    ∴BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,
    在Rt△AEM中,tan24°=,
    ∴0.45=,
    ∴AB=21.7(米),
    故选A.
    11.(2020·浙江杭州·中考真题)如图,已知AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,连接AC,OC.若sin∠BAC=,则tan∠BOC=_____.
    【详解】解:∵AB是⊙O的直径,BC与⊙O相切于点B,
    ∴AB⊥BC,
    ∴∠ABC=90°,
    ∵sin∠BAC==,
    ∴设BC=x,AC=3x,
    ∴AB===2x,
    ∴OB=AB=x,
    ∴tan∠BOC==,
    故答案为:.
    12.(2018·广西南宁·中考真题)如图,从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°,从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°,已知甲楼的高AB是120m,则乙楼的高CD是_____m(结果保留根号)
    【详解】解:由题意可得:∠BDA=45°,
    则AB=AD=120m,
    又∵∠CAD=30°,
    ∴在Rt△ADC中,
    tan∠CDA=tan30°=,
    解得:CD=40(m),
    故答案为40.
    13.(2019·山东枣庄·中考真题)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为______m.(精确到0.1m.参考数据:sin53°≈0.80,cs53°≈0.60,tan53°≈1.33)
    【详解】
    过D作DE⊥AB,
    ∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,
    ∴∠ADE=53°,
    ∵BC=DE=6m,
    ∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m,
    ∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m,
    故答案为9.5
    14.(2020·山东枣庄·中考真题)如图,人字梯,的长都为2米.当时,人字梯顶端高地面的高度是____米(结果精确到.参考依据:,,)
    【详解】在中,
    ∵,,
    ∴,
    ∴.
    故答案为1.5.
    15.(2020·四川自贡·中考真题)如图,我市在建高铁的某段路基横断面为梯形,∥,长为6米,坡角为45°,的坡角为30°,则的长为 ________ 米 (结果保留根号)
    【详解】解:过C作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA,
    ∵BC=6,
    ∴CE=,
    ∴DF=CE=,
    ∴,
    故答案为:.
    16.(2019·河南·中考真题)数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像(塑像中高者)的高度.如图所示,炎帝塑像DE在高55m的小山EC上,在A处测得塑像底部E的仰角为34°,再沿AC方向前进21m到达B处,测得塑像顶部D的仰角为60°,求炎帝塑像DE的高度.(精确到1m.参考数据:,,,)
    【详解】解:,,,




    在中,,


    答:炎帝塑像DE的高度约为51m.
    17.(2021·北京·中考真题)如图,在四边形中,,点在上,,垂足为.
    (1)求证:四边形是平行四边形;
    (2)若平分,求和的长.
    【详解】(1)证明:∵,
    ∴AD∥CE,
    ∵,
    ∴四边形是平行四边形;
    (2)解:由(1)可得四边形是平行四边形,
    ∴,
    ∵,平分,,
    ∴,
    ∴EF=CE=AD,
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    18.(2019·天津·中考真题)如图,海面上一艘船由西向东航行,在处测得正东方向上一座灯塔的最高点的仰角为,再向东继续航行到达处,测得该灯塔的最高点的仰角为.根据测得的数据,计算这座灯塔的高度(结果取整数).参考数据:,,.
    【详解】解:如图,根据题意,,,,.
    ∵在中,,
    ∴.
    ∵在中,,
    ∴.
    又,
    ∴.
    ∴.
    答:这座灯塔的高度约为45m.
    【B组-提高题】
    19.(2020·浙江舟山·中考真题)为了测量一条两岸平行的河流宽度,三个数学研究小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向.测量方案与数据如下表:
    (1)哪个小组的数据无法计算出河宽?
    (2)请选择其中一个方案及其数据求出河宽(精确到0.1m).(参考数据:sin70°≈0.94,sin35°≈0.57,tan70°≈2.75,tan35°≈0.70)
    【答案】(1)第二个小组的数据无法计算河宽;(2)河宽为56.4m
    【分析】(1)第二个小组的数据无法计算出河宽;
    (2)第一个小组:证明BC=BH=60m,解直角三角形求出AH即可.
    第三个小组:设AH=xm,则CA=,AB=,根据CA+AB=CB,构建方程求解即可.
    【详解】解:(1)第二个小组的数据无法计算河宽;
    (2)第一个小组的解法:
    ∵∠ABH=∠ACH+∠BHC,∠ABH=70°,∠ACH=35°,
    ∴∠BHC=∠BCH=35°,
    ∴BC=BH=60m,
    ∴AH=BH•sin70°=60×0.94≈56.4(m).
    第三个小组的解法:
    设AH=xm,则CA=,AB=,
    ∵CA+AB=CB,
    ∴=101,
    解得x≈56.4.
    答:河宽为56.4m.
    课题
    测量河流宽度
    测量工具
    测量角度的仪器,皮尺等
    测量小组
    第一小组
    第二小组
    第三小组
    测量方案示意图
    说明
    点B,C在点A的正东方向
    点B,D在点A的正东方向
    点B在点A的正东方向,点C在点A的正西方向.
    测量数据
    BC=60m,∠ABH=70°,
    ∠ACH=35°.
    BD=20m,∠ABH=70°,
    ∠BCD=35°.
    BC=101m,∠ABH=70°,
    ∠ACH=35°.

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