初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数28.2 解直角三角形及其应用随堂练习题

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一、单选题
1.如图，已知矩形的面积等于矩形的面积，若要求出图中阴影部分的面积，只要知道( )
A.矩形与矩形的面积之差B.矩形与矩形的面积之差
C.矩形与矩形的面积之和D.矩形与矩形的面积之和
【答案】B
【分析】由矩形的面积等于矩形的面积得到，转化为比例式，从而发现两个角相等，进而转化为平行来解决问题.
【详解】解：因为矩形的面积等于矩形的面积，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
即为矩形与矩形的面积之差的一半，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的面积和矩形的性质、平行线的性质与判定等知识，是一道综合性比较高的题目.
2.如图，沿AB方向架桥，以桥两端B、D出发，修公路和，测得，，，则公路的长为( )
A.900mB.mC.mD.750m
【答案】D
【分析】过点C作，垂足为E，根据三角形内角和定理可求出，的度数，进而求出的度数，在直角三角形中，由特殊角三角函数以及直角三角形边角的关系可得答案.
【详解】过点C作，垂足为E，
，
，
，
，
，
在Rt中，，m，
m，
在Rt中，，
m，
故选：D.
【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键.
3.如图所示，河堤横断面迎水坡的坡度，堤高m，则坡面的长度是( )
A.6mB.12mC.6mD.6m
【答案】D
【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可.
【详解】解：∵迎水坡的坡度，
∴，
∴(米)，
在中，由勾股定理得，
(米)，
故选：D.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度、坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键.
4.九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是( )
A.方案1B.方案2C.方案3D.无法确定
【答案】C
【分析】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可.
【详解】解：方案1，设米，则米，
则菜园的面积，
当时，菜园面积取最大值，最大面积为8平方米；
方案2，作交于点D，

则菜园的面积，
当时，菜园面积取最大值，最大面积平方米；
方案3，半圆的半径，
此时菜园面积平方米平方米，
故选C.
【点睛】本题主要考查同周长的几何图形的面积问题，解题的关键是分别求出三个方案中面积的最大值.
5.如图，位于云贵两省交界处的北盘江大桥，目前为世界第一高的钢桁梁斜拉桥，为了测量北盘江大桥的高度，一测量员在桥面测得、两，点相距米，，的正切值约为，如果普通楼房每层高约为米，则水面到北盘江大桥桥面的距离大约相当于普通楼房的层数是( )

A.180层B.200层C.220层D.240层
【答案】B
【分析】根据、两点相距米，，的正切值约为，可求出的长度，普通楼房每层高约为米，用的长度除以，由此即可求解.
【详解】解：∵，，，
∴，即，
∴，
∵普通楼房每层高约为米，
∴水面到北盘江大桥桥面的距离大约相当于普通楼房的层数是层，
故选：.
【点睛】本题主要考查直角三角形中的正切值的计算，掌握正切的定义是解题的关键.
6.如图，是某一景区雕像，雕像底部前台米，台末端点有一个斜坡长为米且坡度为，与坡面末端相距米的地方有一路灯，雕像顶端测得路灯顶端的俯角为，且路灯高度为米则，约为_______米.(精确到米，，)( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】如图，作于，延长交于，作于.求出，即可解决问题；
【详解】解：如图，作于，延长交于，作于，
根据题意，，，，，，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
和为直角三角形，
∴，，，，
∵斜坡长为米且坡度为，
∴在中，，，
∴，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴，
在中，，
∴
，
∴
(米).
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
7.为了疫情防控工作的需要，某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，摄像头到地面的距离米，小明身高米，他在点A测得点D的仰角是在点B测得点D仰角的2倍，已知小明在点B测得的仰角是a，则体温监测有效识别区域的长为_______米.( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】首先由题意可知四边形是矩形，可得，米，再由解直角三角形可求得、的长，据此即可解答.
【详解】解：由题意可知：四边形是矩形，
，米，
米，
(米)，
在中，，
(米)，
在中，，
(米)，
(米)，
故选：B.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键.
8.我国航天事业捷报频传，神州十五号于2022年11月29日晚11点08分在酒泉卫星发射中心成功发射升空，震撼人心.当神州十五号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为30°，A与Р两点的距离为12千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在Р处测得B点的仰角为45°，则神州十五号从A处到B处的距离的长为_______千米. ( )
A.B.C.D.
【答案】D
【分析】先解直角三角形求出的长，再解直角三角形求出的长即可求出的长即可.
【详解】解：∵在中，千米，
∴千米，千米，
∵在中，千米，
∴千米，
∴千米，
故选D.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出、的长是解题的关键.
9.在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处.在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)则大楼的高度是_______米.(图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：，精确到整数) ( )
A.88B.90C.92D.94
【答案】C
【分析】过点B作，垂足为E，过点B作，垂足为D，则，根据已知可设米，则米，从而在
中，利用勾股定理可求出的长，然后设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答.
【详解】解：过点B作，垂足为E，过点B作，垂足为D，
则，
∵斜坡的坡度，
∴，
∴设米，则米，
在中，(米)，
∵米，
∴，
∴，
∴米，米，
设米，
∴米，
在中，，
∴(米)，
∴米，
在中，，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴(米)，
∴大楼的高度约为92米.
故选C.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
10.喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，求点P到赛道AB的距离 (结果保留整数，参考数据：)( )
A.B.C.87D.173
【答案】D
【分析】过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答.
【详解】解：过点P作，垂足为C，
设米，
在中，，
∴(米)，
在中，，
∴(米)，
∵米，
∴，
∴，
∴，
∴米，
∴点P到赛道的距离约为173米，
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
二、填空题
11.如图，四边形是由两个直角三角板拼成的，其中，，E为边的中点，连接，交于点F.若，则的长为______.
【答案】
【分析】连接，由题意可得，，利用相似三角形的性质，求解即可.
【详解】解：连接，如下图：
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，解得，
由可得，，
解得，
故答案为：
【点睛】此题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础知识.
12.如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口，则边长a为______mm.
【答案】
【分析】如图，连接、，过O作于H.解直角三角形求出即可.
【详解】解：如图，连接、，过O作于H.
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由正多边形的外接圆半径、边长、边心距组成的直角三角形是解题的关键.
13.如图，测得某医院的自动扶梯的长为m，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度n为______.
【答案】
【分析】利用三角函数的定义即可求解.
【详解】解：，
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数，正确理解三角函数的定义是关键.
14.如图，大楼高，远处有一塔，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为，则塔高为_________m.
【答案】
【分析】用分别表示出，长，根据得方程求，进而求得长.
【详解】解：根据题意得：，，
∴，
∴，
∵.
∴大楼高.
解得：，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
15.如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点处，测得河的北岸边点在其北偏东方向，然后向西走60m到达点，测得点在点的北偏东方向，如图2，则这段河的宽 __m(结果保留根号).
【答案】
【分析】作交的延长线于设m，根据正切的定义用表示出根据题意列出方程，解方程即可.
【详解】解：作交的延长线于

设m，
，
则，
解得，
答：这段河的宽约为米，
故答案为：.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
三、解答题
16.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为.沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度，米，米.
(1)求点距水平面的高度；
(2)求广告牌的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到米.参考数据：，)
【答案】(1)8米
(2)宣传牌高约米
【分析】(1)在中，通过解直角三角形求出；
(2)过作的垂线，设垂足为.在解直角三角形求出的长，进而可求出即的长，在中，，则，由此可求出的长然后根据即可求出宣传牌的高度.
【详解】(1)解：中， ，
∴，
∴；
答：点距水平面的高度为8米.
(2)过作于，
由(1)得：；，
中，，
∴.
中，
∵，，
∴ .
∴
答：宣传牌高约米.
【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.
17.2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，m，m，m，.机械臂端点到工作台的距离m.
(1)求、两点之间的距离；
(2)求长.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)延长AB，过点C作，在中，求出、的长，再在中求出.
(2)过点A，作于点F，则四边形为矩形，求出，在中，求出.
【详解】(1)如图，延长AB，过点C作，
∵，
∴，
在中，
，
，
∴，
在中，
∴、两点之间的距离为.
(2)过点A，作于点F，
则四边形为矩形，
∴，，
∴
在中，
，
∴
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形并求解.
18.如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为.已知操控者A和小区楼房之间的距离为45米，无人机的高度为米.(假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据：，.计算结果保留根号)
(1)求此时小区楼房的高度；
(2)在(1)条件下，若无人机保持现有高度沿平行于的方向，并以5米秒的速度继续向右匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？
【答案】(1)此时小区楼房的高度为米
(2)经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线
【分析】(1)过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，可知四边形为矩形，再根据平行线的性质可证，可得，设米，则根据题意列方程即可求解；
(2)当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，先利用特殊角的三角函数值求出的度数，接着求出的度数，再通过三角函数求得和，进而得到的值，最后除以无人机的速度即可.
【详解】(1)如图1，过点D作，垂足为H，过点C作，垂足为E，
由作图可知四边形为矩形，
∴，
∵无人机测得操控者A的俯角为，测得小区楼房顶端点C处的俯角为，，
∴，
∴，
∴，
设米，
∴米，且，
∴，
∴，
解得，
经检验，为原方程的解，
∴米，
∴米，
答：此时小区楼房的高度为米；
(2)如图2，当无人机飞行到图中F点处时，操控者开始看不见无人机，此时刚好经过点C，过点A作，垂足为G，
由(1)知，米，
∴(米)，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴米，
∴米，
∵无人机速度为5米秒，
∴所需时间为(秒)，
答：经过秒时，无人机刚好离开了操控者的视线.
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用、三角函数的问题、矩形的判定和性质和平行线的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.