高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册4.4 二项式定理学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册4.4 二项式定理学案，共8页。

(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 二项式定理
(a＋b)n＝bn❶，这个公式称为二项式定理，右边的多项式叫作(a＋b)n的二项展开式，一共有n＋1项，其中各项的系数 (其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)叫作二项式系数．
在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则(1＋x)n＝xn.
要点二 二项展开式的通项
二项展开式中的an－rbr叫作二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项为展开式的第r＋1项：Tr＋1＝an－rbr❷.
批注❶ (1)展开式共有n＋1项，各项的次数都是n；
(2)字母a按降幂排列，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，次数由0逐项加1直到n.
批注❷ (1)通项是二项展开式的第r＋1项，而不是第r项；
(2)(a＋b)n与(b＋a)n的二项展开式相同，但是(a＋b)n的第r＋1项为an－rbr，(b＋a)n的第r＋1项为bn－rar.因此，应用二项式定理时，a与b是不能随便交换位置的．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
an－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项展开式的二项式系数相同．( )
2．(x－)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．8
3．(1－5x)5展开式中的第2项为( )
A．－25x B．25x
C．－25 D．250x2
4．在(1－2x)4的展开式中，x3的系数为( )
A．48 B．32
C．－48 D．－32
5．用二项式定理展开(2x－1)4＝________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 二项式定理的正用、逆用
例1 (1)写出展开式：(2x－)5；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
方法归纳
运用二项式定理解题的两个策略
巩固训练1 (1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S等于( )
A．x4 B．x4＋1
C．(x－2)4 D．x4＋4
(2)(x＋)6的展开式为________．
题型2 求二项展开式中与特定项相关的量
角度1 二项展开式中的特定项问题
例2 (1)在(－2)5的展开式中，x2的系数为( )
A．－5 B．5
C．－10 D．10
(2)在二项式(x－)12的展开式中，求①第4项；②常数项；③有理项．
方法归纳
二项展开式的通项Tr＋1＝an－rbr的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r项；②求含xr(或xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项，找出未知数的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算．
巩固训练2 (1)二项式(1＋2x)7的展开式中含x3项的系数为( )
A．35 B．70 C．140 D．280
(2)(2x＋)6的展开式中，常数项为________．
角度2 两个二项式积的展开式中的特定项问题
例3 [2022·湖南怀化月考](x2＋1)(－2)5展开式的常数项为( )
A．112 B．48 C．－112 D．－48
方法归纳
求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N＋)的展开式中与特定项相关的量的步骤
巩固训练3 (x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数是________．
角度3 形如(a＋b＋c)n的展开式中的特定项问题
例4 (x2＋3x－1)4的展开式中x的系数为( )
A．－4 B．－8
C．－12 D．－16
方法归纳
求形如(a＋b＋c)n(n∈N＋)的展开式中与特定项相关的量的3种方法
巩固训练4 (x－－1)4的展开式中，常数项为________．
题型3 根据特定项及系数求参数
例5 (1)[2022·湖南衡阳测试]已知(x＋)6的展开式中的常数项为－160，则实数a＝( )
A．2 B．－2
C．8 D．－8
(2)若(2－ax)5(x＋1)2展开式中x2的系数为272，则实数a＝________．
方法归纳
已知二项展开式中的特定项的系数求参数，一般是利用通项公式并进行化简后，令字母的指数符合要求(常数项的指数为零；有理项的指数为整数等)，解出r，代回通项公式解方程即可求出参数．
巩固训练5 (1)[2022·湖南长郡中学月考]设的展开式中x3的系数为a，则a的值为________；
(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．
易错辨析 混淆项的系数与二项式系数
例6 设(x－)n(n∈N*)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
解析：由题设，得T2＝xn－1(－)＝－nxn－1，
T4＝xn－3(－)3＝n－3
＝，化简得n2－3n－4＝0，
解得n＝4或n＝－1(舍去)．
(x－)4的展开式的通项为
Tr＋1＝x4－r
令4－r＝2，则r＝2，所以含x2的项为x2＝12x2.
【易错警示】
4．4 二项式定理(1)
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)√
2．解析：(x－)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.
答案：B
3．解析：(1－5x)5展开式中的第2项为·(－5x)＝－25x.
答案：A
4．解析：Tr＋1＝(－2x)r＝(－2)rxr，
所以x3的系数为×(－2)3＝－32.
答案：D
5．解析：(2x－1)4＝4(－1)031(2x)2(－1)2(2x)1(－1)3(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
答案：16x4－32x3＋24x2－8x＋1
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)方法一 (2x－)5＝(2x)5 (2x)41 (2x)32 (2x)23(2x)14(2x)0(－)5＝32x5－120x2＋.
方法二 (2x－)5＝()5＝(4x3－3)5＝(4x3)50(4x3)41(4x3)32(4x3)23(4x3)14(4x3)0(－3)5]＝32x5－120x2＋.
(2)原式＝54321(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
巩固训练1 解析：(1)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝32＝((x－1)＋1)4＝x4.
(2)根据二项式定理，
(x＋)6＝(x＋x－1)6＝+－5＋
x－6＝x6＋6x4＋15x2＋20＋15x－2＋6x－4＋x－6.
答案：(1)A (2)x6＋6x4＋15x2＋20＋15x－2＋6x－4＋x－6
例2 解析：(1)Tr＋1＝)5－r(－2)r＝r
令＝2，得r＝1，
∴T2＝(－2)x2＝－10x2，
所以x2的系数为－10.
(2)二项展开式的通项
Tr＋1＝x12－r(－)r＝
①令r＝3，则T4＝＝－220x8.
②令12－r＝0，则r＝9，从而，常数项为＝－220.
③当r＝0，3，6，9，12时，Tr＋1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4，T10＝＝－220，T13＝x－4.
答案：(1)C (2)见解析
巩固训练2 解析：(1)Tr＋1＝(2x)r，所以x3的系数为×23＝280.
(2)(2x＋)6的展开式通项为Tr＋1＝(2x)6－r·()r＝·x6－2r，r∈N，r≤6，
令6－2r＝0，得r＝3，则T4＝＝8×20＝160，
所以常数项为160.
答案：(1)D (2)160
例3 解析：展开式的常数项为(－2)3＋(－2)5＝－112.
答案：C
巩固训练3 解析：(x2＋1)(2x＋1)6＝x2(2x＋1)6＋(2x＋1)6，
二项式(2x＋1)6的通项为Tr＋1＝(2x)6－r.
所以当r＝6时，x2的系数为＝1.
当r＝4时，x2的系数为＝60.
所以(x2＋1)(2x＋1)6展开式的x2的系数为1＋60＝61.
答案：61
例4 解析：(x2＋3x－1)4＝(x2＋3x)(x2＋3x)2(x2＋3x)＋1，
又(x2＋3x)r的二项展开式的通项Tk＋1＝(x2)r－k(3x)k＝·3k·x2r－k，
当且仅当r＝1，k＝1时符合题意，
所以(x2＋3x－1)4的展开式中x的系数为·3＝－12.
答案：C
巩固训练4 解析：(x－－1)4＝[－1＋(x－)]4，
∴Tk＋1＝(－1)4－k(x－)k(k＝0，1，2，3，4)，
k＝0时，T1＝1，(x－)k的展开式的通项为Tr＋1＝xk－r(－)r＝xk－2r(r≤k)，
令k＝2r可得或，
∴常数项为1－12＋6＝－5.
答案：－5
例5 解析：(1)(x＋)6展开式的通项为：Tr＋1＝·x6－r·()r＝·x6－2r·ar，
取r＝3得到常数项为·a3＝20a3＝－160，解得a＝－2.
(2)因为(2－ax)5(x＋1)2＝(x2＋2x＋1)(2－ax)5，
又因为(2－ax)5二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝25－r(－ax)r＝25－r(－a)rxr，
所以(2－ax)5(x＋1)2展开式中x2的系数为
×23·(－a)2＝272，
解得：a＝3或－1.
答案：(1)B (2)3或－1
巩固训练5 解析：(1)(x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝x6－r(－)r＝r
令6－＝3，解得r＝2，
因此，x3的系数为a＝(－2)2＝60.
(2)(ax＋1)6的展形式中含x2项的系数为a2，含x项的系数为a，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得a＝0，因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝.
答案：(1)60 (2)出错原因
纠错心得
求解本题易将“二项展开式的某项的系数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一谈，得到如下错解．
(x－)n的展开式中第二项与第四项的系数分别为＝1∶2，化简得n2－3n－10＝0.又n∈N*，所以n＝5. (x－)5的展开式的通项式为Tr＋1＝x5－r令5－r＝2，则r＝3，所以含x2的项为x2.
(a＋b)n的展开式中的第r＋1项的二项式系数是 (r＝0，1，2，…，n)，仅与n，r有关；第r＋1项的系数不是二项式系数，但有时这个系数与二项式系数相等．注意二项式系数一定为正，而对应项的系数可能为负．